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OS NATU
HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.
SUMA Y RESTA DE IRRACIONALES.
MULTIPLICACIÓN DE IRRACIONALES.
DIVISIÓN DE IRRACIONALES.
POTENCIACIÓN DE IRRACIONALES.
RACIONALIZACIÓN.
HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Son todos aquellos que no se pueden expresar en forma de fracción
y tienen una cantidad infinita de decimales sin ningún patrón que se
repita, son los que no son racionales.
Los números irracionales los descubrió un estudiante de Pitágoras
llamado Hipaso, que trató de escribir la raíz de 2 en forma de fracción
(se cree que utilizando geometría). Pero demostró que no se podía
escribir de esta forma, por lo tanto demostró que existían números
que no eran racionales.
Para Pitágoras que creía que todos los números tenían valores
perfectos, no aceptaba la existencia de los números irracionales, y
tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó.
CARACTERÍSTICAS:
Cualquier raíz de un número primo.
Cualquier raíz que no sea exacta.
Números como π y e.
Todo número cuyo parte decimal sea infinita no periódica.
Con el teorema de Pitágoras podemos representar gráficamente la
posición de un número irracional teniendo en cuenta la siguiente
figura.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Para simplificar un radical se descompone el radicando en factores
primos.
EJEMPLO:
Se organiza en la raíz.
√23. 52
Se aplican las propiedades de la radicación de números enteros
para simplificar al máximo el número irracional.
√23. 52 = √23. √52 = √22. 2. √52
= 2√2. 5 = 10√2
SUMA Y RESTA DE IRRACIONALES
Para sumar o restar dos números irracionales se debe simplificar al
máximo y luego se suman o se restan aquellos que tengan el mismo
radicando y el mismo índice.
= 3√20 + 5√45 − 12√24
= 3√22. 5 + 5√32. 5 − 12√22. 6
= 3.2√5 + 5.3√5 − 12.2√6
= 6√5 + 15√5 − 24√6
= (6 + 15). √5 − 24√6
= 21√5 − 24√6
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Para multiplicar números irracionales se tiene en cuenta la siguiente
propiedad de la radicación de los números enteros.
= √𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏
Ejemplo: = (3√2). (2√6) = 3.2√2.6 = 6√12
= 6√12 = 6√22. 3 = 6.2√3 = 12√3
En algunas ocasiones los índices de los números irracionales no son
iguales, se debe amplificar con el fin de volverlas homogéneas y así
poder aplicar la propiedad anterior.
Ejemplo: (3√23
). (6√2)
(3√23
). (6√2) = (3√226) . (6√236
) = (3.6√22. 236) = (18√256
)
DIVISIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES
Para dividir números irracionales se tiene en cuenta la siguiente
propiedad de la radicación de los números enteros.
= √𝑎
𝑏=
√𝑎
√𝑏
Ejemplo:
3√8
2√2=
3
2√
8
2=
3
2√4 =
3
2. 2 = 3
En algunas ocasiones los índices de los números irracionales no son
iguales, se debe amplificar con el fin de volverlas homogéneas y así
poder aplicar la propiedad anterior.
Ejemplo:
2√33
3√34 =
2√33
3√34 =
2 √3412
3 √3312 =2
3√
34
33
12
=2
3√3
12
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS
IRRACIONALES
Para potenciar un número irracional se aplica la siguiente propiedad
de la radicación de números enteros y el resultado lo se simplifica.
( √𝑎𝑛
)𝑚
= √𝑎𝑚𝑛
Ejemplo:(√254
)2
(√254
)2
= ( √524)
2
= (√(52)24)
= ( √544) = 5
RACIONALIZACIÓN
Es el proceso de eliminar radicales que se encuentran en el
denominador, pueden presentarse casos donde el denominador es
un monomio (un término), binomio (2 términos), trinomio (3
términos).
Cuando es un monomio:
Cuando el índice es igual a 2 se multiplica por la misma raíz que está
en el denominador arriba y debajo de la fracción y se simplifican las
raíces.
Ejemplo: 2
√5
2
√5.√5
√5=
2√5
√52=
2√5
5
Cuando el índice es mayor a 2, primero se simplifica el radicando,
luego se multiplica por la misma raíz que está en el denominador
arriba y debajo de la fracción y se simplifican las raíces.
Ejemplo:
2
√45 =
2
√225 .√235
√235 =2√235
√255 =2√235
2= √235
Cuando es un binomio:
Se multiplica por la conjugada del binomio, la conjugada es el mismo
binomio per el signo que separa ambos términos es contrario es
decir:
(𝑎 + 𝑏) La conjugada es (𝑎 − 𝑏)
Ejemplo: 2
√2+5
2
√2 + 5.√2 − 5
√2 − 5=
2(√2 − 5)
(√2 + 5)(√2 − 5)
=2√2 − 10
(√2)(√2) + (5)√2 − (5)√2 − (5)(5)
=2√2 − 10
(√22) + 5√2 − 5√2 − 25=
2√2 − 10
2 − 25
=2√2 − 10
−23
BIBLIOGRAFÍA Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en:
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