Post on 25-Jun-2015
5 CASOS PARA CALCULAR LIMITES
EN FUNCIONES Y LIMITES EN
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
CALCULO DIFERENCIAL
CUANDO EVALUAMOS UNA FUNCION MEDIANTE LIMITES LOS RESULTADOS SON
SENCILLOS PERO DA LA CASUALIDAD EN QUE ALGUNAS FUNCIONES TIENEN RAIZ
CUADRADA, OTRAS TIENEN QUE SER FACTORIZADAS U OTRAS TIENEN QUE ESTAR
DERIVADAS (POR METODO DE L’HOSPITAL O REGLA DE LOS 4 PASOS).
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS PARA ENTENDER ESTE TEMA…
lim𝑥→2
3𝑥
lim𝑥→2
3𝑥 = 3 2 = 6
lim𝑥→−2
𝑥2 + 8𝑥 − 1
lim𝑥→−2
𝑥2 + 8𝑥 − 1 = −2 2 + 8 −2 − 1 = 4 − 16 − 1 = −13
lim𝑎→2
8𝑎
lim𝑎→2
8𝑎 = 8 2 = 16 = 4
lim𝑥→
23
7𝑥 − 10
lim𝑥→
23
7𝑥 − 10 = 72
3− 10 =
14
3− 10 = −
16
3
lim𝑥→0
3𝑥2 + 7𝑥 − 3
2𝑥 − 1
lim𝑥→0
3𝑥2 + 7𝑥 − 3
2𝑥 − 1=3 0 2 + 7 0 − 3
2 0 − 1=0 + 0 − 3
0 − 1=−3
−1= 3
lim𝑥→0
4𝑥
lim𝑥→0
4𝑥 = 4 0 = 0
lim𝑥→2
𝑥
3𝑥 − 2
lim𝑥→2
𝑥
3𝑥 − 2=
0
3 0 − 2=
0
0 − 2=
0
−2= 0
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2= lim
𝑥→2
𝑥 + 2 𝑥 − 2
𝑥 − 2= lim
𝑥→2𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4
lim𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 3
lim𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 3=
3 2 + 4 3 − 21
3 − 3=9 + 12 − 21
0=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 3= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 𝑥 + 7
𝑥 − 3= lim
𝑥→3𝑥 + 7 = 3 + 7 = 10
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1=1 − 1
1 − 1=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→1
𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1𝑥2 + 𝑥 + 1 = 1 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥=02 + 9 0
0=0 + 0
0=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥= lim
𝑥→0
𝑥 𝑥 + 9
𝑥= lim
𝑥→0𝑥 + 9 = 0 + 9 = 9
FORMULA DE L’HOPITAL
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= lim
𝑥→𝑎
𝑑𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑑𝑑𝑥
𝑔 𝑥
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2= lim
𝑥→2
𝑑𝑑𝑥
𝑥2 − 4
𝑑𝑑𝑥
𝑥 − 2= lim
𝑥→2
2𝑥
1= 2 2 = 4
lim𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
lim𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 3=
3 2 + 4 3 − 21
3 − 3=9 + 12 − 21
0=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→3
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 3= lim
𝑥→3
𝑑𝑑𝑥
𝑥2 + 4𝑥 − 21
𝑑𝑑𝑥
𝑥 − 3= lim
𝑥→3
2𝑥 + 4
1= 2 3 + 4 = 6 + 4 = 10
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1=1 − 1
1 − 1=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
𝑑𝑑𝑥
𝑥3 − 1
𝑑𝑑𝑥
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
3𝑥2
1= 3 1 2 = 3 1 = 3
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥=02 + 9 0
0=0 + 0
0=0
0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
lim𝑥→0
𝑥2 + 9𝑥
𝑥= lim
𝑥→0
𝑑𝑑𝑥
𝑥2 + 9𝑥
𝑑𝑑𝑥
𝑥= lim
𝑥→0
2𝑥 + 9
1= 2 0 + 9 = 0 + 9 = 9
lim𝑥→2
4 − 𝑥2
3 − 𝑥2 + 5
= lim𝑥→2
4 − 𝑥2
3 − 𝑥2 + 5
3 + 𝑥2 + 5
3 + 𝑥2 + 5= lim
𝑥→2
4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5
9 − 𝑥2 + 5
= lim𝑥→2
4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5
9 − 𝑥2 − 5= lim
𝑥→2
4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5
4 − 𝑥2
= lim𝑥→2
3 + 𝑥2 + 5 = 3 + 2 2 + 5 = 3 + 4 + 5 = 3 + 9 = 3 + 3
= 6
lim𝑥→2
2𝑥 − 3
2𝑥 − 3
= lim𝑥→2
2𝑥 − 3
2𝑥 − 3
2𝑥 + 3
2𝑥 + 3= lim
𝑥→2
2𝑥 − 3
2𝑥 − 3 2𝑥 + 3= lim
𝑥→2
1
2𝑥 + 3
=1
2(2) + 3=
1
4 + 3
=1
2 + 3
REGLA DE LOS 4 PASOS
USANDO LA FORMULA SIGUIENTE:
limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
HALLAR EL LIMITE DE LA FUNCION
𝑦 = 3𝑥2
𝑓 𝑥 + ℎ = 3 𝑥 + ℎ 2 = 3 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2
𝑓 𝑥 = 3𝑥2
limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ= lim
ℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 3𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
6𝑥ℎ + 3ℎ2
ℎ
= limℎ→0
ℎ(6𝑥 + 3ℎ)
ℎ= lim
ℎ→06𝑥 + 3ℎ = 6𝑥 + 3 0
= 6𝑥
HALLAR EL LIMITE DE LA FUNCION
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ + 5
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5
limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ + 5 − 𝑥 + 5
ℎ
= limℎ→0
𝑥 + ℎ + 5 − 𝑥 + 5
ℎ
𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5
𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5
= limℎ→0
𝑥 + ℎ + 5 − (𝑥 + 5)
ℎ 𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ 𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5
= limℎ→0
1
𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5=
1
𝑥 + 0 + 5 + 𝑥 + 5=
1
𝑥 + 5 + 𝑥 + 5
=1
2 𝑥 + 5
lim𝛼→0
𝑠𝑒𝑛 𝛼
tan𝛼
lim𝛼→0
𝑠𝑒𝑛 𝛼
tan𝛼=𝑠𝑒𝑛 0
tan 0=0
0= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂
lim𝛼→0
𝑠𝑒𝑛 𝛼
tan𝛼= lim
𝛼→0
𝑑𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑑𝑑𝑥
tan 𝛼= lim
𝛼→0
cos 𝛼
(sec 𝛼)2=
cos 0
(sec 0)2=
1
1 2=1
1
= 1
lim𝛼→0
𝑐𝑠𝑐 𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
lim𝛼→0
𝑐𝑠𝑐 𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼=
0
1 − 1=0
0= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂
lim𝛼→0
𝑐𝑠𝑐 𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼= lim
𝛼→0
𝑐𝑠𝑐 𝛼
𝑠𝑒𝑛2 𝛼= lim
𝛼→0(csc 𝛼) csc 𝛼 2 = lim
𝛼→0csc 𝛼 3 = csc 0 3
= 0
BIBLIOGRAFIAS
W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica, 2da. Edición,
Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs.
AGUILAR Sánchez, Gerardo y CASTRO Pérez, Jaime, “Problemas de
Cálculo integral” 1ra Edición, Tec de Monterrey, México, DF., Julio
2003, 127 págs.