LIMITES DE FUNCIONES

LIMITES DE FUNCIONES

ESQUEMA PARA LIMITES

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LIMITES

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

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1. ;

2. ;

3. ;

4. , siempre que

5. ;

6. siempre que >0 cuando n sea par.

Teoremas Principales de los Limites

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EJEMPLOS

1.Determine el Solución:

, Aplicando el teorema 3.

, Aplicando el teorema 8  , Aplicando el teorema 2Respuesta:

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EJEMPLOS

2. Determine .Solución: , Aplicando teorema 7.

, Aplicando teoremas 9 y 2.

, Aplicando el teorema 4.

, Aplicando el teorema 8 y 1.

, Aplicando el teorema 2.

Respuesta:

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TEOREMA POR SUSTITUCION

• Si f es una funcional polinomial o una función racional, entonces:

• Con tal con f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador en c, no sea cero.

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Encuentre ;

Solución:

Respuesta

Ejemplo

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TEOREMA DEL EMPAREDADO

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h(x)

g(x)

f(x)

c

L

x

y

TEOREMA DEL EMPAREDADO

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EJEMPLO

De la figura se ve que:

sen q q tan q

Dividiendo entre sen q :

1 q /sen q tan / q sen q = 1/cos q

Invirtiendo cada término

1 sen q / q cos q

Tomando el límite

limq0 1 limq0 sen q / q limq0 cos q

pero

limq0 cos q = 1

Por el teorema del emparedado

limq0sen q/q = 1

1

P

T

tan q

sen q

cos q

q

1

A(1, 0)QO

arco de longitud q

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Teorema de Funciones trigonometricas

Para todo número real c en el dominio de la función.

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Limites Trigonométricos Especiales

1.

2.

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EJEMPLO

encuentre el límite Solución:

==

Aquí, el argumento de la función seno es 3x, no solo x, como lo requiere el teorema B.

Sea y=3x, entonces y 0 si y solo si x 0, de modo que

= =1

=3

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LIMITES INFINITOS

Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

si f (x) crece sin límite cuando x→a.

si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

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Interpretación grafica

LIMITES INFINITOS

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EJEMPLO

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EJEMPLO

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