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Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública
1
Be
Licenciatura en Seguridad Pública
5°Cuatrimestre
Programa de la asignatura:
Estadística para la investigación en seguridad
pública
Unidad 1. Modelos probabilísticos
Clave:
010920518/020920518
Universidad Abierta y a Distancia de México
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública
2
Índice
Be ........................................................................................................................................................ 1
Unidad 1. Modelos probabilísticos ....................................................................................................... 3
Presentación de la unidad .................................................................................................................... 3
Propósitos ............................................................................................................................................ 3
Competencia específica ....................................................................................................................... 3
1.1. Muestreo ....................................................................................................................................... 4
1.1.1. Estratificado .......................................................................................................................... 5
1.1.2. Por conglomerados ............................................................................................................... 6
Actividad 1. Tipos de muestreo ............................................................................................................ 6
Actividad 2. Muestreo .......................................................................................................................... 7
1.2. Variables aleatorias....................................................................................................................... 8
1.2.1. Discretas .............................................................................................................................. 11
1.2.2. Continuas ............................................................................................................................ 11
1.2.3. Esperanza y varianza ............................................................................................................... 11
Actividad 3. Variables aleatorias ........................................................................................................ 15
1.3. Modelos probabilísticos ............................................................................................................... 16
1.3.1. Binomial ............................................................................................................................... 17
1.3.2. Poisson ............................................................................................................................... 19
1.3.3. Normal ................................................................................................................................ 21
1.3.4. Aproximación de la distribución normal a la binomial .......................................................... 25
1.4. Aplicación de la distribución normal ............................................................................................ 25
1.4.1. Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal ............................................ 25
Actividad 4. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30
Actividad 5. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30
Actividad 6. Problemario .................................................................................................................... 31
Autoevaluación .................................................................................................................................. 31
Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos ................................ 32
Actividades de Autorreflexión ............................................................................................................. 32
Cierre de la unidad ............................................................................................................................. 33
Fuentes de consulta ........................................................................................................................... 33
Fuentes cibergráficas ......................................................................................................................... 34
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
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Unidad 1. Modelos probabilísticos
Presentación de la unidad
En esta primera unidad se describen los principales modelos probabilísticos empleados en la
investigación. Se realiza inferencia estadística para una población por medio de técnicas estadísticas
y, finalmente, se realizan comparaciones entre poblaciones a través de pruebas de hipótesis.
Conocer, comprender y saber aplicar los métodos estadísticos es extremadamente importante, ya
que por medio de ellos se pueden tomar decisiones sobre los eventos o fenómenos que se estudian;
lo anterior porque se tendrán argumentos y evidencias para sustentar dichas decisiones. Por ejemplo,
descubrir que en un lugar ocurren más accidentes que en otros lugares, en horas específicas o bajo
condiciones particulares, brinda la oportunidad de tomar las medidas pertinentes para evitarlos.
Las aplicaciones de la estadística solo están limitadas por la veracidad de los datos que se estudian y
por la imaginación de los usuarios de los métodos estadísticos.
Propósitos
Los propósitos de esta unidad son:
Identificar los diferentes tipos de muestreo.
Reconocer los diferentes tipos de variable aleatoria.
Comprender el significado de esperanza y varianza, así como aprender a determinarlas.
Conocer y usar los diferentes modelos probabilísticos.
Conocer, comprender y usar la aproximación de la distribución normal a la binomial
Competencia específica
Analizar información para la caracterización de una población mediante el estudio de los tipos
de modelos probabilísticos y la selección del modelo pertinente.
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1.1. Muestreo
Existen dos tipos de análisis estadísticos, que se corresponden con dos enfoques de la Estadística:
Estadística descriptiva. Se refiere a las técnicas que son utilizadas para describir o
caracterizar los datos obtenidos (Pagano, 2011).
Estadística inferencial. Es la parte de la estadística que permite tomar decisiones e inferir
sobre los grupos de donde se han tomado las muestras (poblaciones) a partir de información
obtenida de dichas muestras.
Para asegurar que las descripciones que se verán más adelante son claras, se establecerán las
siguientes definiciones:
Población. Este término se emplea para representar clases enteras de objetos o eventos a
los que se les atribuirán generalizaciones.
Muestra. Es un subconjunto de mediciones o eventos que se seleccionan de la población de
interés. Se dice que una muestra debe ser representativa de la población.
Parámetro. Son las mediciones de las características de la población. Algunos de estos
parámetros son:
mediana
µ media
σ varianza
Si la distribución de una población puede expresarse mediante alguna función, los parámetros
pueden ser utilizados para determinar el comportamiento de la distribución.
Estimador. Es un valor numérico basado en los datos de una muestra aleatoria, que se utiliza
para estimar el valor de un parámetro poblacional.
La teoría de muestreo es un conjunto de técnicas que permite estimar y describir cantidades
desconocidas de la población, tales como como la media poblacional (µ) y la varianza (σ) (llamados
parámetros poblacionales) a partir de los correspondientes estadísticos (estimadores).
También permite saber si las diferencias observadas entre dos muestras son debidas a situaciones
aleatorias o si realmente son significativas, lo que sirve para decidir sobre la validez de determinados
experimentos.
Las conclusiones de la teoría del muestreo y de la inferencia estadística solo pueden ser válidas si las
muestras son representativas de la población, por ejemplo, cuando se realiza muestreo al azar,
donde cada miembro de la población tiene igual probabilidad de ser elegido.
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El muestreo en el que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez se llama
muestreo con remplazamiento. Cuando solo puede ser elegido una vez, se tiene un muestreo sin
remplazamiento.
Según el tamaño de una población, esta puede clasificarse como:
Finita. La que tiene un número contable de elementos.
Infinita. Cuando la población está formada por un número incontable de elementos. Sin
embargo, desde el punto de vista de la estadística, una población finita muy grande puede
considerarse infinita.
Considérense todas las posibles muestras de tamaño N que pueden tomarse de una población, si con
cada una de las muestras se calcula un estadístico (estimador), por ejemplo la media o la desviación
estándar, se obtiene una distribución del estadístico denominada distribución muestral, que será
estudiada más adelante.
1.1.1. Estratificado
Cuando es necesario dividir una población en grupos, denominados estratos o clases, se deben tener
en cuenta algunas recomendaciones:
Los estratos no se superponen y todos ellos forman a la población.
Los elementos de cada estrato deben ser lo más parecidos entre sí, que respecto a la
población.
Los estratos deben ser lo más diferentes entre ellos.
No hay ventaja en la estratificación si el criterio que se usa para formar los grupos es
únicamente que sean del mismo tamaño.
Es importante resaltar que para cada uno de los estratos son aplicables los procedimientos expuestos
para un muestreo aleatorio simple. Por lo anterior, si de cada estrato se extrae una muestra, la
muestra final de la población estará compuesta por el conjunto de estas y se tendrá un tamaño de
muestra más pequeño que si se realizara una muestra del total de la población, y aun si fuera del
mismo tamaño, en ambos casos se tendrá una precisión mayor. A esta forma de elegir una muestra
se le conoce como muestreo aleatorio estratificado.
Existen varios criterios para la estratificación:
Asignación proporcional al tamaño de los estratos. También se le denomina criterio de
asignación uniforme de muestreo. El propósito es dar un mayor peso a los estratos de mayor
tamaño.
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Asignación proporcional a las desviaciones estándar de los estratos. En este caso, se asignan los tamaños muestrales de los estratos en proporción a los niveles de dispersión de los mismos. Esta asignación es mejor cuando los estratos son iguales o aproximadamente iguales entre sí.
Asignación óptima. Se llama así a una combinación de los dos tipos previos de asignación:
las diferencias entre las fracciones se asignan como proporcionales a las diferencias entre las
desviaciones estándar.
1.1.2. Por conglomerados
Cuando la población se puede dividir en grupos con toda la variabilidad de la población, es decir, lo
suficientemente heterogéneos para considerar que cada uno de ellos representa a la población,
entonces se dice que se tienen conglomerados.
Ahora bien, para una población dividida en conglomerados, cuando se requiere un muestreo, se
pueden elegir algunos de los estratos para la realización del estudio, ya que cada uno de los grupos
puede ser considerado equivalente al otro porque son igual de diferentes entre ellos (heterogéneos),
pero además se puede pensar en cada uno de ellos como una pequeña copia de la población que se
estudia, y por ello todos los elementos del conglomerado se pueden incluir en la muestra.
Cuando se hablaba de muestreo estratificado, la unidad muestral eran los elementos de la población
y cada estrato estaba formado por elementos muy parecidos entre sí, mientras que en un muestreo
por conglomerado, los elementos que conforman el grupo deben ser muy diferentes entre sí para
poder representar a la población. Además, los estratos deben ser lo más diferentes de uno a otro y
los conglomerados deben ser parecidos entre ellos.
. Tipos de muestreo
Actividad 1. Tipos de muestreo
En la primera parte de la primera unidad se ha analizado el significado de muestreo y los diferentes
tipos que existen.
El objetivo de la actividad es que conozcas los diferentes tipos de muestreo, las ventajas y
desventajas de cada uno de ellos, además de conocer bajo qué condiciones conviene usar uno u
otro.
Para completar la información presentada aquí y reforzar lo aprendido, realiza lo siguiente:
1. Lee los siguientes documentos:
-El muestreo
-Muestreo aleatorio estratificado
-Muestreo estratificado
-Muestreo por conglomerados
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-Muestreo
2. Elabora un cuadro comparativo de los diferentes tipos de muestreo, donde describas las
diferencias y similitudes entre ellos.
3. Identifica las características que debe tener un buen muestreo y los errores que se pueden
cometer para realizar un muestreo.
4. Identifica las ventajas de usar uno u otro tipo de muestreo.
5. Por último, elabora un reporte donde integres los resultados previos con tus conclusiones.
6. Al terminar, envía tu documento a la sección de tareas, con la nomenclatura
EISP_U1_A1_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
Actividad 2. Muestreo
El objetivo de esta actividad es que compartas información y que verifiques la información de tus
compañeros(as).
Entra al Foro denominado Muestreo y realiza lo siguiente:
1. Lee con atención las preguntas que ahí se presentan.
2. Documéntate sobre los tópicos que se correspondan con las preguntas planteadas.
3. Responde las preguntas y sube tus aportaciones al foro.
4. Revisa las aportaciones de tus compañeros y comparte con ellos tus opiniones en relación a las
respuestas que ellos dieron a las preguntas.
5. Revisa las aportaciones de tus compañeros(as), compara sus opiniones con las tuyas e
intercambia comentarios a fin de establecer un diálogo fructífero y de cercanía.
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
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1.2. Variables aleatorias
Como recordarás, en el primer curso de Estadística se estudiaron frecuencias asociadas a las
muestras y su descripción. En este segundo curso se estudiarán las distribuciones de frecuencia en
una población, así como sus propiedades.
Una distribución de frecuencia de una muestra es una estimación de la distribución de frecuencia de
la población correspondiente. Si la muestra es grande, entonces la distribución de frecuencia de la
muestra es una buena aproximación a la distribución de frecuencia de la población. Ahora bien,
aunque usualmente las muestras no son lo bastante grandes para determinar la distribución de la
población con mucha precisión, en ella existe suficiente información para sugerir el tipo de
distribución implicada, además de que puede obtenerse información de otras fuentes y de la
experiencia misma.
Una variable aleatoria X es un número cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. El
adjetivo aleatorio se usa para indicar que el valor de la variable depende del resultado de un
experimento, que a su vez depende del azar.
Ejemplo (1). Experimento: lanzar simultáneamente tres monedas.
(a) El espacio muestral del experimento (el conjunto de todos los resultados posibles).
Sea A el resultado de obtener un águila y S el resultado de obtener un sol o sello. El
espacio muestral de lanzar simultáneamente tres monedas:
S = {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}
(b) Sea X la variable aleatoria que describe el número de águilas en cada lanzamiento.
Escribir el valor de la variable aleatoria.
Los valores que toma la variable aleatoria X , son 0,1,1,1,2,2,2,3 ; por tanto,
podemos escribir: 0,1,2,3X . Como los valores que puede tomar la variable se
pueden contar, se dice que es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo (2). Experimento: lanzar simultáneamente dos dados de diferente color
(a) El espacio muestral de lanzar simultáneamente dos dados.
S= {11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66}
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(b) Sea X la variable aleatoria que describe la suma de los puntos obtenidos en cada
lanzamiento. Escribir el valor de la variable aleatoria.
Los valores de X en cada lanzamiento son:
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
Por tanto 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2X que como puede apreciarse, es una variable
aleatoria discreta.
Ejemplo (3). Experimento: consideremos que de un estante se eligen 100 paquetes de azúcar cuya
etiqueta dice 1 kg. Designemos como la variable aleatoria X el peso que se mide de cada paquete.
Describir el espacio muestral para el experimento.
En este caso, los valores que podemos esperar para el peso de los paquetes ya no se
puede listar, por tal motivo tenemos que X es una variable continua. Es decir, el espacio
muestral está conformado por todos los valores contenidos dentro de un rango de valores.
Podemos decir, por ejemplo, que el espacio muestral es el intervalo 100.1,900.0
kilogramos.
Cuando se asignan probabilidades de ocurrencia, a todos los posibles valores numéricos de una
variable aleatoria X , mediante una tabulación o una función, se obtiene como resultado una
distribución de probabilidad.
Es necesario resaltar que:
La probabilidad de cada evento es un valor entre cero y uno, inclusive.
La suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno.
xf significa que hay una función donde f depende de x .
xXP significa que la variable aleatoria puede asumir diferentes valores.
Ejemplo (4). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (1).
A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así
como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.
XP
8
1
8
3
8
3
8
1
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Ejemplo (5). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (2).
A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así
como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
XP
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Ejemplo (6). Un jugador profesional de tenis participa en una gira de cinco partidos y se sabe que la
probabilidad de que gane un partido es de 0.6
Sea X la variable aleatoria que representa el número de partidos ganados por el
jugador antes de su primera derrota. Encontrar la distribución de probabilidad.
Debe notarse que los resultados de los partidos son eventos independientes. En este
caso, la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos puede calcularse mediante un
diagrama de árbol, con lo que se obtiene:
X 0 1 2 3 4 5
XP 4.0
24.0
6.04.0
14.0
6.04.02
09.0
6.04.03
05.0
6.04.04
08.0
6.05
108.005.009.014.024.0 XP
Ejercicio. ¿Cuál de los recuadros mostrados a continuación representa una distribución de
probabilidad? Explicar.
X XP X XP X XP
2 0.25 2 0.20 2 0.3
4 0.30 4 0.30 4 0.4
6 0.15 6 0.25 6 - 0.1
8 0.25 8 0.25 8 0.4
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1.2.1. Discretas
Se dice que las variables aleatorias son discretas cuando se puede hacer una lista con todos los
valores numéricos posibles de la variable aleatoria y de las probabilidades correspondientes en una
tabulación. Como en el caso de los ejemplos (1) y (2).
Por lo anterior, podemos decir que una variable aleatoria es el resultado de un conteo, de manera que
cada uno de los valores está claramente separado entre sí. En el ejemplo (1) no puede haber 1.5
águilas, mientras que no se pueden obtener 4.5 puntos en el ejemplo (2).
1.2.2. Continuas
Frecuentemente no es posible hacer una lista con todos los valores de la variable aleatoria y sus
correspondientes probabilidades, porque son demasiados. Podemos decir, con ciertas limitaciones,
que una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores posibles.
En muchos de estos casos, las probabilidades para un rango de valores se determinan a través de
una función, cuya gráfica se denominada curva de probabilidad. El ejemplo (3) es un caso de variable
continua, pero no se incluyó la función que la describe.
Una de las razones por las que es importante establecer con claridad si una variable es discreta o
continua, tiene que ver con la manera en que se determinan la esperanza y la varianza. Aquí solo se
estudiará cómo hacerlo si la variable aleatoria es discreta.
1.2.3. Esperanza y varianza
En el curso previo de Estadística se estudiaron las medidas de tendencia central y dispersión para
una distribución de frecuencias; entonces se vio que la media proporciona información de la
tendencia central de los datos, mientras que la varianza describe la dispersión de los mismos. De
forma equivalente, una distribución de probabilidad se resume a través de la media y la varianza
2 .
Para presentar la definición de esperanza consideremos el ejemplo (1). Supongamos que al lanzar
tres monedas simultáneamente, se recibirá un peso por cada águila que aparezca. ¿Cuánto se
espera ganar si se repite el lanzamiento de las tres monedas un gran número de veces?
En este caso, consideremos que la variable aleatoria X representa el número de águilas obtenidas
al lanzar las tres monedas; sin embargo, puede apreciarse que no todos los resultados son
igualmente probables, de manera que para determinar la esperanza es necesario incluir la
probabilidad de que el evento ocurra.
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5.1
8
12
8
3
8
6
8
30
8
13
8
32
8
31
8
10
XE
El valor encontrado representa lo que se espera ganar si se lanzan las tres monedas
simultáneamente, muchas veces. Es importante hacer notar que no tiene sentido hacer una pregunta
como ¿cuánto se espera ganar si se lanzan las tres monedas una vez?, lo anterior puede
malinterpretarse, ya que hace pensar que se pregunta sobre el hecho de hacer un lanzamiento. Debe
tenerse en cuenta esta precisión porque frecuentemente así es como se pregunta en los libros de
texto.
La esperanza también es conocida como media y como promedio ponderado; la fórmula para
calcularla es:
ix
ii xPxXE
Esta expresión quiere decir que se debe multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su
probabilidad de ocurrencia y luego hacer la suma de todos los valores obtenidos. Supongamos que
en el juego anterior, en lugar de ganar X pesos por cada águila, se ganan 2X . Entonces, si el juego
se llevara a cabo muchas veces, se espera ganar:
3
8
24
8
9
8
12
8
30
8
13
8
32
8
31
8
10 22222
XE
Como ya se mencionó, la media proporciona información acerca de la tendencia central de los datos;
ahora veremos de qué forma la varianza describe la dispersión. La fórmula para determinar la
varianza es:
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ix
ii xPx22
Existe una relación entre la esperanza y la varianza, ya que calcular 2ixE , equivale a
encontrar 2 . Ahora bien, es la desviación estándar (la raíz cuadrada de la varianza) la que nos
ofrece información sobre la variabilidad de la distribución, pues entre más grande sea el valor , los
datos están menos agrupados o más dispersos respecto a la media.
Otra manera de interpretar a la esperanza es como el valor medio de infinitas observaciones o como
el punto de equilibrio de la distribución de probabilidad. Por todo lo anterior, se puede concluir que la
varianza puede representarse de tres formas:
22
22
22
xExE
xPx
xPx
i
i
x
ii
x
ii
A continuación se muestra un comparativo de la media y la varianza para una distribución de
frecuencias y una distribución de probabilidad:
ii x
n
fx
ix
ii xPx
i
i
x
ii
x
ii
xxn
f
n
xxf
2
2
2
ix
ii xPx22
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Ejemplo (7). Calcular la media y la varianza de la siguiente distribución discreta de probabilidad:
ix 2 8 10
ixP 0.5 0.3 0.2
Recuérdese que ix
ii xPx y ix
ii xPx22 , así que para determinar
la media y la varianza, primero rescribiremos los datos de la tabla y agregaremos
algunas columnas que nos permitirán organizar mejor los cálculos necesarios para
encontrar la media y la varianza.
ix ixP ii xPx ix 2ix ii xPx2
2 0.5
1.0 -3.4 11.56 5.78
8 0.3
2.4
2.6 6.76 2.028
10 0.2
2.0
4.6 21.16 4.232
1 4.5 04.122
Ejemplo (8). Determinar y 2 para el ejemplo (1).
Reorganizando los datos:
ix ixP ii xPx ix 2ix ii xPx2
0 81 0
23
49
329
1 83
83
21
41
323
2 83
86
21
41
323
3 81
83
23
49
329
1 2
3
8
12
4
3
32
24
Puesto que ix
ii xPx , se tiene que 2
3 y como ix
ii xPx22 , tenemos que
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Ejemplo (9). Determinar y 2 para el ejemplo (5) y dar una interpretación al valor encontrado
para .
Del ejemplo (5), tenemos que la distribución de probabilidad es:
X 0 1 2 3 4 5
XP 4.0 24.0 14.0 090. 05.0 08.0
Para determinar el valor de la media, hacemos:
39.1
508.0405.0309.0214.0124.004.0
En el caso de la varianza, usaremos la fórmula 222 ix
ii xPx
48.2
39.108.0505.0409.0314.0224.014.0022222222
Que 39.1 , significa que cada vez que participa en un torneo de cinco partidos, el
jugador tiene la esperanza de ganar “1.39 juegos” antes de perder el primero.
Otra manera de interpretar lo anterior es: si el tenista pudiera jugar 500 partidos, tiene la
esperanza de ganar 139 juegos antes de perder el primero.
Actividad 3. Variables aleatorias
Como hemos podido ver, existen diferentes tipos de variables aleatorias, según el evento de estudio.
La actividad tiene como objetivo que comprendas los conceptos de media, esperanza matemática,
varianza, variable aleatoria y distribución de probabilidad y que los uses para resolver ejercicios
relacionados.
1. Lee los siguientes documentos para que apoyes tu aprendizaje:
-Introducción Esperanza Varianza
-Lotería y Probabilidad
-Valor esperado
-Variables aleatorias
2. Define claramente el significado de variable aleatoria.
3. Explica detalladamente la forma en que se construye una distribución de probabilidad.
4. Explica por qué se dice que la media y la desviación estándar describen la distribución de
probabilidad.
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5. Describe el significado geométrico (en términos de distancias), tanto de la media como de la
desviación estándar.
6. Realiza los ejercicios siguientes:
(a) Para el Ejemplo (2), encontrar los valores de y 2
(b) Sea X la variable aleatoria que representa el número de varones en familias con cuatro hijos.
(I) Encontrar el espacio muestral de tener cuatro hijos S.
(II) Construir una tabla que muestre la distribución de probabilidades de X
(III) Representar gráficamente la distribución de probabilidad de X
(IV) Encontrar los valores de y 2
7. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas
con la nomenclatura EISP_U1_A3_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
1.3. Modelos probabilísticos
En el primer curso de Estadística se estudiaron distribuciones empíricas, primero se presentaron
geométricamente (con histogramas) y luego con una representación aritmética parcial, a través de la
media y la desviación estándar.
Si al estudiar el comportamiento de una variable aleatoria se ve que esta se comporta de cierta
manera, es posible usar modelos conocidos para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. Es
decir, un modelo probabilístico permite describir los resultados de un experimento, así como predecir
el comportamiento de la variable de estudio. Frecuentemente, a los modelos probabilísticos también
se les denomina distribuciones de Probabilidad.
Es importante hacer notar que existen modelos probabilísticos tanto para variables discretas como
para variables continuas. En el presente curso se estudiarán dos de las distribuciones discretas:
binomial y Poisson; pero existen más, tales como la distribución geométrica e hipergeométrica,
mientras que de las distribuciones continuas, en la primera unidad únicamente veremos la distribución
normal.
A continuación se detallarán las características que se deben considerar para aplicar cada uno de los
modelos probabilísticos.
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1.3.1. Binomial
Una distribución es considerada binomial cuando:
Los eventos que se presentan son independientes.
Solo existen dos posibles resultados del evento (éxito o fracaso).
La probabilidad de éxito permanece constante.
La variable aleatoria X se define como el número de éxitos dentro de un número n fijo de
ensayos.
Si p es la probabilidad de éxito, pq 1 es la probabilidad de fallo, x es el número específico de
éxitos y n el número de ensayos, entonces la probabilidad P de que ocurran x éxitos en n ensayos
es:
xnx
xn qpCxP
Otra manera de escribir la probabilidad:
xnxqpxnx
npnxP
!!
!,
Para esta distribución, se tiene que:
la media: np
la varianza: npq2
la distribución estándar: npq
Ejemplo (10). Cada día hay cinco salidas de autobuses de la ciudad A a la ciudad B , y se sabe
que la probabilidad de que uno de los autobuses llegue tarde a su destino es 20.0 Sea
X el número de autobuses que llegan tarde.
(a) Explicar por qué es una distribución binomial.
(b) Determinar la probabilidad de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4, 5 de los viajes lleguen
con retraso.
(c) Determinar la probabilidad de que al menos dos de los autobuses lleguen con
retraso.
(d) Determinar la probabilidad de que a lo más dos de los autobuses lleguen con
retraso.
Ahora se dará respuesta a cada uno de los incisos anteriores.
(a) Sabemos que es una distribución binomial porque
(i) Que un autobús llegue tarde no depende de que otro lo haga, es decir, se trata
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
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18
de eventos independientes.
(ii) Solo existen dos posibles resultados: que llegue tarde o no.
(iii) La probabilidad de que llegue tarde siempre es la misma.
(iv) La variable aleatoria, en este caso el número de autobuses que llegan tarde,
es el resultado de contar cuántos llegan tarde de un total de cinco posibles.
(b) La probabilidad de que ningún autobús llegue tarde se determina haciendo:
3277.0
3277.011
8.02.0!05!0
!520.0,50
050
P
En este ejemplo, son de resaltarse dos hechos que frecuentemente se olvidan, el
primero es que el factorial de cero es uno, es decir 1!0 , y el segundo, que
cualquier número diferente de cero elevado a la potencia cero es uno, es decir,
10 a .
El cálculo de la probabilidad de que uno de los viajes se retrase:
4096.0
4096.02.05
8.02.0!15!1
!520.0,51
151
P
Para las siguientes probabilidades, se indican los cálculos que deben realizarse y
se dejan como ejercicio de práctica:
2528.02.0
!25!2
!520.0,52
P
3538.02.0
!35!3
!520.0,53
P
4548.02.0
!45!4
!520.0,54
P
5558.02.0
!55!5
!520.0,55
P
Los resultados de los cálculos se muestran a continuación:
ix 0 1 2 3 4 5
ixP 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003
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19
Puede verificarse que 1ixP , de manera si es una distribución de
probabilidad
(c) La frase “que al menos dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que
pueden ser dos, tres, cuatro o cinco, es decir:
2627.0
00030006400512020480
54322
....
PPPPxP
(d) La frase “de que a lo más dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que
podrían ser cero, uno o dos, es decir:
9421.0
204804096032770
2102
...
PPPxP
Como pudo notarse, los cálculos para determinar la probabilidad de una distribución binomial pueden
ser largos y engorrosos, por tal motivo se usan tablas con los valores ya establecidos. Estas tablas se
pueden conseguir fácilmente en cualquier libro de estadística o en internet y permiten obtener las
probabilidades sin tener que realizar todos los cálculos. Lo mismo ocurre para las otras distribuciones
de probabilidad.
1.3.2. Poisson
Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número designado de
eventos cuando:
los eventos ocurren en un continuo de tiempo o espacio,
los eventos ocurren de manera independiente,
los eventos son “raros” ( 1.0p y 5np ).
Teóricamente, las posibilidades en este tipo de distribución son infinitas; es decir que el número de
eventos va de cero a infinito de manera discreta. Para determinar la probabilidad de que ocurra un
cierto número de éxitos en un proceso de Poisson, solo es necesario conocer el número promedio, a
largo plazo, de eventos para el tiempo o espacio de interés, dicho valor promedio se designa como
o . Uno de los cuidados que debe tenerse al usar la fórmula para la distribución de Poisson es que
el valor de debe aplicarse al periodo de tiempo pertinente.
La probabilidad de X éxitos en una distribución de Poisson está dada por:
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20
exxP
x
!|
Para una distribución de Poisson el promedio es igual a la varianza, es decir: 2
Ejemplo (11). En cada rollo de lámina de 500 metros de longitud hay dos defectos en promedio.
(a) Explicar por qué es un evento tipo Poisson.
Los defectos se presentan en un continuo de espacio, en este caso, la longitud
de la lámina.
Que haya un defecto no impide que se presente otro, así que los eventos son
independientes.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un segmento de 100 metros no tenga ningún
defecto?
Si el promedio de un rollo de 500 metros es de 2 defectos, entonces
representa el promedio de defectos que en hay en 100 metros.
4.0
500
1002
Con esta información se tiene que:
6703.0
!0
4.04.0|0
4.0
4.0
0
e
exP
Por supuesto se obtiene el mismo valor si se consultan las tablas.
Ejemplo (12). A cierto puerto, un barco llega cada dos días, en promedio.
(a). Explicar por qué es un evento tipo Poisson.
Los defectos se presentan en un continuo de tiempo, en este caso, el tiempo.
Que un barco llegue al puerto no depende del arribo de otro, así que los
eventos son independientes.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos o más barcos en un día seleccionado al
azar?
Si el promedio de llegadas es 1 cada 2 días, entonces representa el
promedio de llegadas en cada día.
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21
5.02
11
Con esta información se tiene que:
090204.0
000000000000100000130
0001580001579001263600758160
!8
5.0
!7
5.0
!6
5.0
!5
5.0
!4
5.0
!3
5.0
!2
5.0
4325.0|2
5.0
8
5.0
7
5.0
6
5.0
5
5.0
4
5.0
3
5.0
2
...
....
eee
eeee
PPPxP
Otra manera de hacerlo es:
0903.0
3032.06065.01
!1
5.0
!0
5.01
101
5.0|215.0|2
5.0
1
5.0
0
ee
PP
xPxP
Si se consultan las tablas, el valor que se obtiene es 0902.0 porque en ellas
solo se incluyen cuatro dígitos.
1.3.3. Normal
Esta distribución de probabilidades es continua y simétrica, es decir, con los valores observados
distribuidos de manera uniforme y además, no es plana ni puntiaguda (mesokurtica). La distribución
normal es importante por tres razones:
Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma.
Se usan para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y la de
Poisson.
La distribución de probabilidad de la media muestral y la proporción muestral es la distribución
normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribución de
la población de origen.
En el caso de una variable aleatoria con distribución de probabilidad continua, solo es posible
determinar el valor de probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un intervalo; puesto
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22
que hay un número infinito de valores en cualquier intervalo, la probabilidad de que tome un valor en
particular es cero.
Para una variable con distribución normal, se tiene que la altura de la función de densidad (o curva de
probabilidad) es:
2
2
2
22
1)(
X
exf
La función exponencial ue también se expresa como xexp , de manera que )(xf puede ser escrita
como:
2
2
2 2exp
2
1)(
Xxf
Para determinar la probabilidad de
ocurrencia en el intervalo bxa se debe
resolver la integral mostrada, lo que
equivale a calcular el área bajo la curva
normal en ese intervalo.
Sin embargo, puesto que para diferentes
valores de y se genera una
distribución normal distinta, calcular la
probabilidad anterior significa resolver
muchas veces la misma integral.
2
3
2
3
b
adxxfbxaP
Para evitar esos cálculos, todas las distribuciones normales se transforman a otra equivalente,
denominada distribución normal estándar, cuyas principales características son que 0 y 1 .
Si la forma límite de un histograma para una distribución de frecuencias tiene la forma de una
campana, entonces puede usarse una curva normal para la determinación de las probabilidades.
Recuérdese que para una variable continua no es posible conocer la probabilidad de un evento, así
que es necesario realizar distribuciones de frecuencias.
Se sabe que tiene la siguiente interpretación geométrica con respecto a la curva normal.
El área bajo la curva normal entre y es aproximadamente el 68% del área
total.
El área bajo la curva normal entre 2 y 2 es aproximadamente el 95% del área
total.
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23
El área bajo la curva normal entre 3 y 3 es aproximadamente el 99.7% del área
total.
El eje de la figura previa ha sido marcado en unidades de , empezando con la media . Es claro
en este bosquejo que casi no hay área bajo la curva más allá de 3 unidades desde ; sin
embargo, esta se extiende desde hasta .
Toda la información previa se puede resumir en tres puntos:
La distribución es simétrica con respecto a la media; es decir, las porciones izquierda y
derecha de la gráfica son una la imagen especular de la otra, por lo que la media es igual a la
mediana.
Los datos de una distribución normal se agrupan alrededor de la media.
El rango de los datos no tiene límites, pero solo un pequeño porcentaje de ellos, menos del
3%, se encuentra a más de tres desviaciones estándar de la media.
Antes de calcular probabilidades con la distribución normal, haremos algunos ejercicios para
determinar el área bajo la curva normal estándar. Para esto, es necesario disponer de una tabla de
áreas bajo la curva normal, a cuatro dígitos y de 0z a 3z .
Ejemplo (13). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de 5.1z y de
diferentes interpretaciones al valor encontrado.
En la tabla se localiza el valor de 5.1z y se encuentra el valor 4332.0 .
Para encontrar el área a la izquierda de 5.1z debemos recordar que el área total
bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de 0z .
Por tanto el área buscada es 9332.04332.05.0 .
Algunas interpretaciones son:
1. El %32.93 de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de
5.1 .
2. Un miembro de la población que tiene un puntaje 5.1z tiene un rango
percentil de 93 .
3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un
puntaje z menor de 5.1 e, es de 9332.0 .
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24
Ejemplo (14). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de 72.1z y de
diferentes interpretaciones al valor encontrado.
En la tabla se localiza el valor de 72.1z y se encuentra el valor 4573.0 .
Para encontrar el área a la izquierda de 72.1z , debemos recordar que el área total
bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de 0z .
Por tanto el área buscada es 0427.04573.05000.01 .
Algunas interpretaciones para este resultado son:
1. El %27.4 de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de
72.1 .
2. Un miembro de la población que tiene un puntaje 72.1z tiene un rango
percentil de 4 .
3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un
puntaje z menor de 72.1 , es de 0427.0 .
Ejemplo (15). Para una curva normal, encuéntrese el área entre 5.1z y 72.1z .
En la tabla se localizan los valores de 5.1z y de 72.1z y se encuentran los
valores 4332.0 y 4573.0 respectivamente.
Entonces, el área de 0z hasta 5.1z es de 4332.0 , mientras que de 0z hasta
72.1z es 4573.0 , por tanto, el área buscada se determina haciendo la suma de
las dos anteriores 8905.0 .
Como habíamos mencionado, una distribución de probabilidad con distribución normal puede
convertirse en una distribución normal estándar. Para esto, cualquier valor x de una población con
distribución normal puede convertirse a su valor normal estándar z , mediante la transformación:
xz
Donde la nueva distribución tendrá media cero y varianza uno. Esta transformación es equivalente a
“mover” el origen del sistema de coordenadas al valor de la media y un cambio en la escala.
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25
Ejemplo (16). Para una variable aleatoria con distribución normal, se desean conocer los valores z
que corresponden a 2201 x y 2802 x , si se sabe que 230 y 20
Sustituyendo en la fórmula
xz obtenemos:
50.0
20
2302201
z
50.2
20
2302802
z
1.3.4. Aproximación de la distribución normal a la binomial
Cuando n es grande, por ejemplo 30n , pero 5np y 5nq , la distribución de probabilidad
binomial puede aproximarse a la distribución de probabilidad normal.
Conocida qpn y , la distribución normal permite calcular:
n
ax
xnx
xn qpCaxP }{
Hay que tener mucho cuidado para hacer la aproximación correcta de la binomial usando la normal,
ya que es necesario calcular los valores de z con los valores de Ex 1 y/o Ex 2 , siento E la mitad
del intervalo sobre el cual se construye el histograma. A este ajuste se le denomina corrección por
continuidad.
1.4. Aplicación de la distribución normal
Ahora se resolverán algunos ejemplos: donde se usa la distribución normal estándar para la
determinación de las probabilidades, un ejemplo comparativo del cálculo de la probabilidad usando la
distribución binomial y la normal, y uno más donde se puede modelar usando la distribución binomial
pero en la que resulta más conveniente utilizar la distribución normal.
1.4.1. Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal
A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos, cuya solución se describe cuidadosamente
con el propósito de que se tenga la mayor cantidad posible de referencias que ayuden a comprender
los procesos y replicarlos en otros ejercicios semejantes. Además, se hizo una selección de los
ejemplos, para intentar cubrir la mayoría de las posibilidades que habitualmente se pueden presentar
al resolver ejercicios de este tipo.
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26
Ejemplo (17). Una población normal tiene una media 55 y una desviación estándar de 5 .
(a) Se desea conocer la probabilidad de un valor entre 49 y 60.
(b) Se desea conocer la probabilidad de un valor mayor de 60.
Solución: como se trata de una distribución normal, primero se deben calcular los puntajes z
correspondientes y después buscar las áreas bajo la curva, entre 0z y cada uno de
los valores encontrados.
(a) Sustituyendo en la fórmula
xz obtenemos:
2.1
5
554949
z
1
5
556060
z
área = 0.3849 área = 0.3413
7262.03413.03849.06049 xP
(b) Como el área entre 0z y 1z es 0.3413, el área a la derecha es
0.500 - 0.3413 = 0.1587
Por tanto:
1587.060 xP
Ejemplo (18). Se sabe que la probabilidad de que un tirador acierte un disparo es de 30.0 y realiza
12 disparos. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en seis de ellos?
Solución: este evento se puede modelar como una distribución binomial.
o Acertar un disparo o no hacerlo, son eventos independientes.
o Solo existen dos posibles resultados: acertar o no hacerlo.
o La probabilidad de éxito permanece constante: 3.0 .
o La variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número fijo de
ensayos: 12.
La probabilidad de que acierte por lo menos seis veces es:
121110
98766
xPxPxP
xPxPxPxPxP
30.0,121230.0,121130.0,1210
30.0,12930.0,12830.0,12730.0,1266
PPP
PPPPxP
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27
117.0
000.0000.0000.0001.0008.0029.0079.06
xP
Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Sabemos que:
30.0p y 12n
De donde:
6.33.012 np
4.87.012 nq
Como 3.6 no es mayor que cinco, y 8.4 sí lo es, la aproximación a la distribución normal
podría no ser muy buena. Realizaremos la aproximación con:
6.3 np
6.152.2 qpn
Ahora haremos el cálculo usando la aproximación a la normal. Ya que los anteriores son
números enteros, 6xP y el tamaño del intervalo es uno, debe encontrarse utilizando un
límite de 5.5, que es el que separa los resultados 5 y 6.
1875.1
6.1
6.35.55.5
z
El área entre 0z y 19.1z es 3830.0 , de manera que el área buscada es
117.03830.05000.0 .
Por tanto, la probabilidad de acertar por lo menos seis de los doce disparos usando la
aproximación a la normal es:
117.06 xP
Como puede apreciarse, aunque no parecía una buena decisión usar la aproximación a la
normal, hemos obtenido la misma probabilidad.
Ejemplo (19). Una persona se dirige hacia su trabajo en automóvil todos los días durante la hora de
mayor tránsito (por la mañana). Debe atravesar un cruce de ferrocarril que siempre
tiene una gran afluencia de vehículos. Observa que el 30% de las veces no es posible
cruzar la vía en forma inmediata. A causa del tránsito, el tiempo que requiere
atravesar el cruce es aleatorio.
(a) Encuéntrese la probabilidad de que en un día cualquiera el conductor llegue al
cruce y lo atraviese inmediatamente.
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
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28
El siguiente mes se dirige a su trabajo en automóvil solo 19 veces. Denótese con x
el número de veces en que al llegar al cruce fue posible atravesarlo inmediatamente.
Encuéntrese:
(b) 11xP
(c) la probabilidad de que x tenga, por lo menos, un valor igual a 15; es decir,
15xP
(d) 1814 xP
(e) 16xP
(f) Cierto número de éxitos es tan alto, y por lo tanto tan poco común, que solo existe
una probabilidad de alrededor de 0.05 de que ocurra. ¿Cuál es el número de
estos éxitos?, es decir, encuéntrese b , tal que bxP sea aproximadamente
igual a 0.05.
Solución: este es un evento binomial porque:
el cruzar o no, son eventos independientes,
solo existen dos posibles resultados: cruzar o no hacerlo,
la probabilidad de éxito permanece constante: 0.70,
la variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número
fijo de ensayos.
Ahora daremos respuesta a cada uno de los incisos:
(a) 70.030.01 p
(b) Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Como:
30.0q 19n
Se tiene que:
3.137.019 np
7.53.019 nq
Como 13.3 y 5.7 son mayores que cinco, puede utilizarse la distribución normal como
una aproximación de la binomial, con:
3.13 np
00.299.3 qpn
Ya que los anteriores son números enteros, 11xP y el tamaño del intervalo
es uno, debe encontrarse utilizando un límite de 11.5, que es el que separa el
resultado favorable 11 del no favorable 12.
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública
29
90.0
2
3.135.115.11
z
El área a la izquierda de 90.0 es 1841.0 , por lo tanto
1841.011 xP
(c) Para encontrar 15xP se utilizará el límite 14.5, que es el que separa a los
resultados favorables de los no favorables.
60.0
2
3.135.145.14
z
El área entre 0z y 60.0z es 2257.0 , de manera que:
2743.02257.05.015 xP
(d) Para encontrar 1814 xP se calculará 5.185.13 xP .
1.02
3.135.135.13
z 6.2
2
3.135.185.18
z
área = 0.0398 área = 0.4953
El área entre 13.5 y 18.5 se obtiene al restar los valores de las áreas, de manera
que 4555.05.185.13 xP
(e) Para encontrar 16xP , se utilizarán los límites 15.5 y 16.5
1.12
3.135.155.15
z 6.1
2
3.135.165.16
z
área = 0.3643 área = 0.4452
Por tanto, 0809.016 xP
(f) Para encontrar el número de éxitos x , tales que 05.0 bxP , se busca en la
tabla un área igual a 0.4500, que corresponde a un puntaje de z = 1.65. Para
convertir este valor en el número de éxitos se despeja la fórmula
xz , de
donde zx
6.163.13265.1 x
De esta forma, los valores 19,18,17x ocurrirán solo el 5% de las veces.
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública
30
Actividad 4. Modelos probabilísticos
Como hemos podido ver, existen diferentes modelos probabilísticos y cada uno de ellos se utiliza
según las características de los datos que se analizan.
La actividad tiene como objetivo que conozcas las características de cada uno de los modelos
probabilísticos, y que reconozcas las similitudes y diferencias entre ellos.
Para completar la información presentada aquí, realiza lo siguiente:
1. Revisa y ordena las características de cada uno de los modelos probabilísticos que se han
estudiado.
2. Elabora un organizador gráfico donde expliques detalladamente cuál modelo se puede usar
según las condiciones del caso de estudio.
3. Escribe las recomendaciones que le harías a alguien que está estudiando los modelos
probabilísticos; es decir, ¿cuáles conceptos o detalles deberían centrar su atención para que el
tema sea comprendido?
4. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas,
con la nomenclatura EISP_U1_A4_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
Actividad 5. Modelos probabilísticos
El objetivo de esta actividad es que reconozcas las características de los modelos probabilísticos, que
compartas las soluciones a los ejercicios y que verifiques las respuestas de tus compañeros(as).
Entra al Foro denominado Modelos probabilísticos y realiza lo siguiente:
1. Consulta los planteamientos que ahí se presentan.
2. Documéntate sobre los tópicos que se correspondan con las preguntas planteadas que te hará tu
Facilitador(a).
3. Responde las preguntas y sube tus aportaciones al foro.
4. Revisa las aportaciones de tus compañeros(as) y comparte con ellos tus opiniones en relación a
las respuestas que dieron a las preguntas.
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos
Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública
31
Actividad 6. Problemario
El objetivo de esta actividad es que pongas a prueba los conocimientos adquiridos durante el curso
resolviendo ejercicios asociados con cada uno de los temas y subtemas.
Para completar esta actividad realiza lo siguiente:
1. Revisa el archivo Actividad 6. Ahí encontrarás ejercicios sobre muestreo, variables aleatorias, y
modelos probabilísticos.
2. Resuelve cuidadosamente cada uno de los problemas según vayas avanzando en el curso.
3. Consulta a tu Facilitador(a) y a tus compañeros(as) en caso de tener alguna duda.
4. Integra en un archivo de Word las soluciones a los ejercicios una vez que estés seguro de que no
hay errores y súbelo a la plataforma.
5. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas,
con la nomenclatura EISP_U1_A6_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
Autoevaluación
Con la finalidad de realizar un ejercicio de repaso acerca de los conceptos más importantes
estudiados en la unidad, resuelve el ejercicio de autoevaluación que se encuentra en la pestaña de la
unidad.
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32
Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos
El objetivo de esta actividad es que repases los conocimientos adquiridos durante el curso
resolviendo ejercicios asociados con cada uno de los temas y subtemas, y que además integres
todas tus actividades como portafolio.
1. Revisa el archivo Evidencia de aprendizaje. Ahí encontrarás ejercicios sobre muestreo, variables
aleatorias, modelos probabilísticos y distribución normal.
2. Resuelve cuidadosamente cada uno de los problemas.
3. En un documento escribe las soluciones a los ejercicios, una vez que estés seguro de que no hay
errores.
4. Integra en el mismo documento todos tus trabajos :
Actividad 1. Tipos de muestreo
Actividad 3. Variables aleatorias
Actividad 4. Modelos probabilísticos
Actividad 6. Problemario
Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilisticos
5. Después de integrar tus trabajos, envía tu documento a la sección de tareas, con la
nomenclatura EISP_U1_EA_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).
*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al
momento de calificar tu trabajo.
Actividades de Autorreflexión
Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro
Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) presente. A partir de
ellas, debes:
1. Elaborar tu autorreflexión en un archivo de texto llamado EISP_U1_ATR_XXYZ.
2. Enviar tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.
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33
Cierre de la unidad
En la primera parte de la unidad se analizaron los diferentes tipos de muestreo que existen así como
las características de cada uno ellos; así mismo, se identificaron las ventajas de usar uno u otro
según el caso de estudio.
En la segunda parte se definió el significado de variable aleatoria, se conocieron los diferentes tipos
de variables, analizamos el significado de los conceptos y con ellos se construyeron diferentes
distribuciones de probabilidad. También se revisó el significado de esperanza matemática y la manera
en que esta y la varianza permiten describir las distribuciones de probabilidad, de las que se
caracterizaron y usaron tres: la binomial, la de Poisson y la normal, viendo de qué manera esta última
permite aproximar a la primera.
Finalmente, se resolvieron algunos ejemplos que involucran a la distribución normal, analizando
diversas posibilidades, con la intención de conocer diferentes formas en que se puede usar la
distribución normal, además de que se usaron las tablas de cada una de las distribuciones.
Por todo lo anterior, se dispone de las herramientas necesarias que nos permitirán analizar la
información de una muestra, para identificar las dinámicas de la población de estudio, mediante la
resolución de problemas con técnicas de estadística inferencial.
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