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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
En esta clase se obtendrán expresiones para las ecuaciones diferenciales de energía total y energía interna.
Con estas ecuaciones se concluye el planteo de las tres leyes de conservación:
• Conservación de la masa
• Conservación de la Cantidad de Movimiento
• Conservación de la Energía
Por otra parte, estas ecuaciones nos permitirán:
• Ampliar nuestra capacidad para resolver problemas.
• Conocer el transporte de energía en un fluido o sólido homogéneo.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
La metodología para hallar estas ecuaciones será aplicar la conservación de energía a un pequeño elemento de volumen ΔxΔyΔz a través del cual circula un fluido
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
Se van a considerar los siguientes aportes de energía:
1. El transporte convectivo de energía cinética.
2. El transporte convectivo de energía interna
3. El ingreso y egreso de energía por conducción en el fluido.
4. Los esfuerzos que pueden realizar trabajo sobre el fluido en movimiento:
• Fuerzas de Presión
• Fuerzas Viscosas
5. El aporte de las fuerzas externas (ej. la fuerza de gravedad)
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qvvpvv ue 2
21
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
Velocidad de aumento de las energías cinéticas e interna en el interior del elemento de volumen ΔxΔyΔz:
u
2
1 2 vt
zyx (a)
Para simplificar el planteo de la energía que entra y sale a través de cada una de las caras del elemento de volumen, se define el vector ê:
De esta forma, el vector ê incluye el transporte convectivo de energía interna y energía cinética, la conducción de calor en el fluido y el trabajo asociado a las fuerzas de presión y los procesos moleculares.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
Entonces, la energía que entra y sale por cada una de las caras del elemento de volumen queda:
zzzzz
yyyyyxxxxx
eeyx
eezxeezy
ˆˆ
ˆˆˆˆ(b)
Por último, sólo resta considerar la velocidad con la cual realizan trabajo las fuerzas externas sobre el fluido:
zzyyxx gvgvgvzyx (c)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
(a) = (b) + (c)
zzyyxx
zzzzzyyyyy
xxxxx
gvgvgvzyx
eeyxeezx
eezyvt
zyx
ˆˆˆˆ
ˆˆu2
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Ahora, se puede plantear la siguiente igualdad:
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
zzyyxx
zyx
gvgvgv
z
e
y
e
x
ev
t
ˆˆˆ
u2
21
Si se hace que el elemento de volumen ΔxΔyΔz tienda a cero, se obtiene:
Reemplazando por las componentes de ê, se podrá obtener la ecuación de energía.
ikikjijiiiiiii qvvvvpvv ue 2
21
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
zzyyxx
zyxzzzyzyxzx
zyzyyyxyx
zxzyxyxxx
zzyyxx
zy
x
gvgvgv
z
q
y
q
x
qvvv
z
vvvy
vvvx
vpz
vpy
vpx
vvz
vvy
vvx
vt
uu
uu
2
212
21
2
212
21
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
gvqv
vpvvvt
uu 2
212
21
La ecuación anterior puede escribirse de forma más breve empleando notación vectorial:
Esta ecuación no incluye las formas de energía nuclear, radiactiva, electromagnética o química.
Si se define la energía potencial por unidad de masa:
g
(d)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
vgvEntonces, se cumple:
Usando la identidad vectorial: bababa
vvgv
Si se recuerda la ecuación de continuidad: vt
vt
gv
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
Si ϕ≠f(t), éste puede entrar en la derivada como constante.
vt
gv
qvvp
vvvt
uu 2
212
21
Reemplazando esta expresión en la ecuación (d), se obtiene la ecuación diferencial de energía total:
(e)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Sin embargo, por lo general resulta más útil la ecuación de energía interna. Para hallarla, se va a restar la ecuación de energía mecánica a la ecuación (e).
En la ecuación diferencial de energía mecánica aparecen los siguientes términos:
2
21 v
t
Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen.
vv2
21
Velocidad de adición de energía cinética por convección por unidad de volumen.
vpVelocidad de trabajo realizado por la presión del entorno sobre el fluido.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
vp Velocidad de conversión reversible de energía cinética en energía interna.
v Velocidad de trabajo realizado por las fuerzas viscosas sobre el fluido.
v :Velocidad de conversión irreversible de energía cinética en energía interna o calentamiento viscoso.
gv Velocidad de trabajo realizado por la fuerza externa sobre el fluido.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
v
vvp
vpvvvt
:
2
212
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Incluyendo la energía potencial por unidad de masa (ϕ), de la misma forma que se hizo en la ec. (e), se obtiene la ecuación diferencial de energía mecánica:
(f)
Restando las ecuaciones (e) - (f), se llega a la ecuación de variación para la energía interna:
vqvpvt
:uu (g)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Comparando las ecuaciones de energía mecánica (ec. f) con la
ecuación de energía interna (ec. g), se observa que en ambas ecuaciones se repiten términos con signo opuestos.
vp Este término puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el fluido se expande o se contrae. Por lo tanto, representa un modo de intercambio reversible.
v:Este término siempre es negativo (para fluidos Newtonianos) y en consecuencia representa una degradación irreversible de energía mecánica en energía interna.
Estos términos describen la interconversión de energía mecánica y energía interna.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
vqvpvt
:uu (g)
Otras formas de la ecuación de energía interna
Se puede escribir de forma más breve empleando la derivada sustancial:
vvpqDt
D :u (h)
Si se considera que û=f(V,T):
(i)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
Para fluidos newtonianos de ρ, µ y k constantes:
vTkDt
DTC 2 (j)
En esta ecuación se empleó la siguiente igualdad vv :La función v cambiará según el sistema de coordenadas adoptado. Sin embargo, se puede ver que expresión toma para el sistema de coordenadas rectangulares:
22
2222
2
y
v
z
v
x
v
z
v
x
v
y
v
z
v
y
v
x
v
zyzx
yxzyxv
22
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna
La última forma de la ecuación de energía que se verá es la de un sólido de propiedades constantes y sin generación interna de calor:
Tkt
TC 2
(k)
“Ecuación de Calor” o “Segunda Ecuación de Fourier”
Por lo tanto, la función v en coordenadas rectangulares queda:
22
2222
2
y
v
z
v
x
v
z
v
x
v
y
v
z
v
y
v
x
v
zyzx
yxzyxv
Se demuestra que para fluidos Newtonianos el producto –( :v)=µv es siempre positivo.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna para el
caso de un fluido newtoniano de ρ, µ y k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e.
vTkDt
DTC 2 (j)
23 2° cuatrimestre de 2015
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
•En este momento, se conoce la ecuación diferencial que describe el sistema en estudio (ec. j).
•Esta ecuación cumple con la homogeneidad dimensional.
•El cociente o razón entre un término y otro, no debe tener dimensiones.
•Si se conoce el sentido físico de cada término de la ecuación, se podría dar alguna interpretación física a los parámetros adimensionales que se formen por este método.
•Los valores de longitud, velocidad y otros parámetros característicos serán los valores más representativos o significativos del sistema en estudio.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Las variables de la ecuación son: ixtvT
Las variables adimensionales que se proponen:
Consideraciones: • Los perfiles de velocidad y temperatura se encuentran totalmente
desarrollados.
• Las temperaturas de ambas placas permanecen constantes a T0 y T1.
01
0*
TT
TTT
v
vv*
CL
vtt
*
C
ii
L
xx
*
e
vtt
*
e
xx i
i *
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Reemplazando por estas nuevas variables se obtiene:
*
2
vve
v
*
*
01
Dt
DT
v
e
TTC
Dt
DTC
*2*
2
012 Te
TTkTk
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Entonces, la ecuación adimensional queda:
*
2
*2*
2
01
*
*
01v
e
vT
e
TTk
Dt
DT
v
e
TTC
En este momento tenemos una ecuación de variables adimensionales con constantes dimensionales.
Ahora, nuestro objetivo es eliminar las dimensiones de las constantes de esta ecuación.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Si se divide toda la ecuación por una de las constantes dimensionales, se obtiene una ecuación totalmente adimensional:
*
01
*2*
*
*
veTTC
vT
evC
k
Dt
DT
Ahora, sólo resta hallar que números adimensionales describen este sistema.
*
01
*2*
*
*
vvk
vk
eTTC
vT
evC
k
Dt
DT
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
*
01
2*2*
*
*
vC
k
TTk
v
evT
C
k
evDt
DT
Re1
Re1
Pr1
Pr1
Br
Número de Reynolds:
Número de Prandlt:
Número de Brinkman:
evRe
k
CPr
01
2
BrTTk
v
30
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
**2*
*
*
PrRe
Br
PrRe
1vT
Dt
DT
Finalmente, la ecuación adimensional expresada en función de los números adimensionales hallados queda:
(l)
Sentido físico de los adimensionales hallados:
Número de Reynolds:
evRe
Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas viscosas
V
I
F
F
e
ve
v
ev
evev
2
2
Re
e
vFI
2
2e
vFV
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Sentido físico de los adimensionales hallados:
Efectividad relativa del transporte de momento y el transporte de energía por difusión
Número de Prandlt: k
CPr
C
kk
CPr
C
k
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Sentido físico de los adimensionales hallados:
2
2
e
v
012TT
e
k
Número de Brinkman: 01
2
BrTTk
v
Relación entre la generación de calor por efectos viscosos y el calor disipado por conducción
012
2
2
2
2
01
2
Br
TTe
ke
v
e
e
TTk
v
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Se propone hallar el perfil adimensional de temperatura de un fluido newtoniano de ρ, y k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e por la acción de un gradiente de presión en la dirección x.
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno:
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
**2*
*
*
PrRe
Br
PrRe
1vT
Dt
DT
12
1* T
21* y
21* y
Condiciones de contorno:
02
1* T
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno:
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
02
1* v
21* y
21* y
Condiciones de contorno:
02
1* v
gFr
vpDt
vDˆ
1
Re
1 *2***
*
*
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Simplificaciones que se asumen para la resolución:
•Estado estacionario.
•Los perfiles de temperatura y flujo laminar se encuentran totalmente desarrollados.
•El gradiente de temperaturas se encontrará establecido predominantemente en la coordenada y.
•En cuanto a las dimensiones, se establecerá que el espesor de separación entre placas es mucho menor que el ancho y largo de las mismas.
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Aplicando estas simplificaciones, las ecuaciones a resolver quedan:
2
*
*
2*
*2
*
*
PrRe
Br
PrRe
1
y
v
y
T
Dt
DT x
gFr
vpEuDt
vDˆ
1
Re
1 *2***
*
*
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Si se trabaja con la componente x* del balance de cantidad de movimiento, se tiene:
2*
*2
*
*
Re
10
y
v
x
pEu x
Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de velocidad del fluido:
2
*
1
2*
*
**
2
ReCyCy
x
pEuvx
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene:
21*
*
2
1
8
1Re0 CC
x
pEu
21*
*
2
1
8
1Re0 CC
x
pEu
Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C2:
8
1Re
*
*
2x
pEuC
40
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C1:
01 C
Por lo que el perfil adimensional de velocidad queda:
4
1
2
Re 2*
*
**
yx
pEuvx
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Ahora que se tiene el perfil adimensional de velocidad, se puede empezar a trabajar con la ecuación de energía interna:
2
*
*
2*
*2
Br0
y
v
y
T x
Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de temperatura en el fluido:
4
*
3
4*2
*
**
12ReBr CyC
y
x
pEuT
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene:
Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C4:
432116
12
*
*
12ReBr1 CC
x
pEu
432116
12
*
*
12ReBr0 CC
x
pEu
2
*
*
4 Re192
Br
2
1
x
pEuC
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C3:
Finalmente, el perfil adimensional de temperatura queda:
13 C
*
21
4*
161
2
*
** Re
12
Bryy
x
pEuT
Entonces, se puede ver que el número de Brinkman representa cuanto se aleja el perfil de temperatura de la linealidad. Ahora, se debe analizar que representa esto físicamente.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna
Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:
Número de Brinkman: 01
2
BrTTk
v
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Significado físico de los adimensionales hallados:
• El número de Reynolds se lo puede entender como la razón de las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas.
• El número de Prandtl representa la razón de la difusividad de momento a la difusividad térmica.
• El número de Brinkman representa la razón entre la producción de calor por disipación viscosa y la capacidad de eliminarlo por conducción.
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA
Bibliografía recomendada
• Capítulo 11 de “Fenómenos de Transporte”, Bird R.B., Stewart W.E. & Lightfoot E.N.
•Capítulo 16 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa”, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.
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