2019

Autor: Mariano Abril Domingo

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Madrid, España, octubre 2019 Licencia: Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/

ARaquelyDiego

Elhexágonoirregular

SindudaquetodosconocéiselcuentodeElpa0tofeo ,quenotratasobreunpatosinosobreuncisne.Puesbien,estahistoria7tulada“Elhexágono1

irregular”tampocotratasobreunhexágonosinosobreunheptágono.¡Cómo!,¿nosabesloqueesunheptágono?Unheptágonoescualquierfiguraplanaformadapor7ladosrectos.Porejemplo,elcontornoaparentedeestacasitaqueheremarcadoencolornegro7eneformaheptagonal.

Peroeseesunheptágonoirregularporquesusladosnosonigualesytampocosonigualeslosángulosqueformansusladosentresí.Encambio,lafigurageométricadibujadaaladerechaencolorrojoesunheptágonoregularporque7ene7ladosdeiguallongitudyelánguloqueformandosladosconsecu7vosessiempreelmismo .2

Esteseráelpersonajeprincipaldenuestrahistoria:elheptágonoregular.Ycomovaaserelprotagonistadebemosescogerunnombreparaél…ynollamarle,despec7vamente,“hexágonoirregular”.

¡Uf!,nosemeocurreninguno.Creoquelomejorserállamarle“Heptágono”,así,conmayúscula,porqueahoranoesunsustan7vocomúnsinounnombrepropio.

Estahistoriasedesarrollaendospaíses:PoligoniayPolyhedrastán.Poligoniaesunpaísmuyextenso.Dehecho,todavíaningúnexploradorhaalcanzadosusfronteras.Enélviven,claroestá,lospolígonos:lasfigurasgeométricasplanasformadasporsegmentosrectos.Abundanlostriángulos,cuadrados,pentágonosyhexágonos.Estospertenecenalgruposocialdelospolígonosconvexos.Hayotrospolígonosbastantemássingularesquealgunasvecessonmenospreciadosporlosconvexos.Setratadelospolígonoscóncavos.

Elpa7tofeoesuncuentoclásicodelescritordanésHansChris7anAndersen,publicadoen1843.1

Sussieteladosmiden1.93cmyelánguloqueformandosladosconsecu7voses,aproximadamente,de128.57grados.Tieneunperímetrode13.5cmyunasuperficiede13.5cm2.2

Paracalculareláreadeunheptágonodelado ,usaestafórmula: .L A = 3.634 · L2

¿Sabesporquénosonjustamentevalorados?Porqueenesteestamentohayalgunasfamiliasmuychulasylosconvexossientenverdaderaenvidia.

Porejemplo,elgrupodelospentagramasesdignodeadmiración.¡No!Nomerefieroalospentagramasmusicales,sinoalosgeométricos.Mira,estepolígonodecolorazulesunpentagramacomolosquehabitanenPoligonia.Tambiénhayheptagramas,quesonprimosdenuestroamigoHeptágono.

Endefini7va,haymuchos7posdepolígonos:cóncavosyconvexos,regulareseirregularessonalgunosdeloshabitantesdePoligonia .3

Polyhedrastán,oPolyehdra,comolesgustandecirasushabitantes,estásituadoalnortedePoligoniayes,comoyatehabrásimaginado,elpaísdelospoliedros.

SedicequePolyhedratambiénesinfinito.

Unpoliedroesuncuerpogeométricoformadoporpolígonosqueencierraunvolumen.Porejemplo,unacajadezapatosesunpoliedroporqueestáformadopor6cuadriláterosysirveparametercosas,esdecir,queencierraunvolumen.Perounanaranjano7eneformapoliédricaporquesucáscaraesesférica.

Entucolegio,seguroquealgunavezhastenidolaoportunidaddevermuchospoliedroscomoelcubo,eldodecaedro,la

pirámideoelprismapentagonal…Amílosquemásmegustansonlosqueestánhechosdemadera,perodemaderadeverdad.

Laúnicadiferenciaentrelospolígonoscóncavosyconvexosesquelosprimeros7enenentrantesysalientesmientrasquelossegundosno.3PO

LYHE

DRAS

TÁN

POLIGONIA

Puesbien,estahistoriacomenzóenPoligoniaeldíaqueHeptágonoescuchó,porcasualidad,partedeunaconversaciónentreuntriánguloequiláteroyunhexágonoregular:

–¡Miraqueestámalhechoelchaval!–comentabaeltriángulo.

–Yatedigo–replicósuinterlocutor–.¿Perocuántomidesuángulocentral?

–¿Quiénlosabe?¿Teimaginasquetuángulocentralfuese59.99oqueelmíofuera120.01grados?Noloquieronipensar–selamentóeltriángulo.

–Algunosdicenqueesunhexágonoirregular–susurróburlonamenteelhexágono–.Disimula,queseacercaporahí.

CuandoHeptágonoregresóacasa,preguntóasuspadres:

–¿Cuántomidemiángulocentral?

–Hijo,esaesunapreguntaverdaderamentedidcildecontestar–replicaronsuspadres.

Enefecto.Heptágonohabíahechounadeesaspreguntasquealospadresnolesgustacontestar.Teexplicaréporqué.

Enprimerlugar,tedeberíaaclararqueelángulocentraldeunpolígonoregulareselánguloqueformaelcentrodelpolígonoconcualquieradedosvér7cesconsecu7vos.Paracalcularlo,hayquedividirlosgradosdeunacircunferencia,esdecir,360,entreelnúmerodeladosdelpolígono.Porejemplo,elángulocentraldeltriánguloequiláteroes:

Yelángulocentraldelhexágonoes:

360°3

= 120°

360°6

= 60°

¡Los triángulos equiláteros somos

guays!

¡Y los hexágonos! Al fin y al cabo, los hexágonos estamos hechos con seis

triángulos.

Elproblemaaparececuandoqueremosobtenerelángulocentraldeunheptágonoregular:

Elresultadoesunnúmerodecimalperiódicoenelquelasecuencia“428571”serepiteindefinidamente.Sí,yaséqueestaráspensandoqueestono7eneimportancia…“Simul7plico51.428571por7elresultadoes359.999997”,medirás.Pero,créeme,enPoligoniay,sobretodo,entrelospolígonosconvexosregularesestetemanoesningunatontería.Untriánguloequiláterotecontestaríaquetefaltan3millonésimasdegradoparatenerlacircunferenciacompleta.

Lacues7ónnohizosinoagravarsecuandounavez,jugandoa“pareseimpares”,fueconfundidoporunoctógono.Enotraocasión,jugandoa“teselar” ,todoslospolígonossereíandeélynadiequeríaestarensuequipoporque,comoyahabrásadivinado,conunheptágonoregulares4

imposibleteselarelpa7odelrecreo.

Poreso,unbuendía,cansadodeaguantarburlasyquelellamasen“elhexágonoirregular”,Heptágonodijoasuspadres:

–Aquínomesientoagustoymegustaríaviajaraotrasciudadesyconocerotrasculturas.¡VoyairaPolyhedra!

Suspadressabíanmuybiencómosesenfay,nosintristeza,aceptaronsudecisión.

Polyhedrateníamuchasciudades:Platonia,Arquimedia,PiramidalyPrismaleranlasmásconcurridasperoexisfanmuchasotrasnotanfamosas.

360°7

= 51.428571 428571 428571…

Enrealidad,noexisteelverboteselar.Síexisteelnombrefemeninoteselaqueescadaunadelaspiezasconlasqueseformaunmosaico.Esejuegoconsisteenpavimentarel4

planosindejarhuecos.Porejemplo,unasucesióndecuadradosigualesconvenientementedispuestosteselanelplano.Tambiénloshexágonosregulares,determinadosrectángulosyhastaalgúnpolígonoirregularpuedenrellenarcompletamenteelplanosindejarhuecos.

PlatoniaestácercadelafronteraconPoligoniayHeptágonollegóenseguida.Allísolohabíapoliedrosformadosportriángulosequiláteros,cuadradosypentágonosregulares .Engeneraleranamablesymuyeducadosyalgunoentablóconversaciónconél,peromásporcuriosidadqueporverdadera5

amistad.

Poreseairedis7nguidodesushabitantes,aHeptágononolegustómuchoPlatoniaasíquesoloestuvounosdíashastaquesemarchóaArquimedia.EstaciudaddebesunombrealgranfilósofogriegoArquímedesyalgunoshistoriadoresafirmanquefueelmismoArquímedesquienlafundó.Yocreoquenoesciertoysoloquierenfas7diaralosquedicenquePlantoniafuefundadaporPlatón.

Arquimediaesunaciudadmuchomáscosmopolitayvibrantequelaciudaddelospoliedrosplatónicos.AquílavidanoescomoladePlatonia,lugarenelquelostriángulossolosejuntancontriángulos,loscuadradosconcuadradosylospentágonosconpentágonosparaformarlosdiferentespoliedros.No,nimuchomenos.EnArquimedianohaysemejantesegregaciónyexistenpoliedrosformadosindis7ntamenteporcuadradosytriángulos,porhexágonosypentágonos…y¡hastahaypoliedrosformadosporcuatroclasesdiferentesdepolígonos!

Heptágonopaseóporsusanimadascallesyestabaconvencidodequeprontoencontraríaalgúnamigode7lados…Peronofueasí.Decepcionadoyaba7dodescansóaquellanocheconelpropósitodemarcharsedeallíalamañanasiguiente.

EnPlatoniasolohabitantetraedrosformadospor4triángulosequiláteros;cuboscons7tuidospor6cuadrados;octaedrosquesonpoliedrosformadospor8triángulosequiláteros;5

dodecaedrosquesonlosmásengreídosporqueestáncompuestospor12pentágonosregulareseicosaedros,que7enen20triángulosequiláteros.

“Piramidal,dondetodoslospolígonossonbienvenidos”,asírezabaelcarteldelacarreteraqueHeptágonoencontróaldivisarlasprimeraspirámides.Yantesdellegaralcentrodelaciudad,leyóotroanuncioquedecía“Senecesitanpolígonosdetodaslasclases”.Noselopensódosveces,yentróenloque,porsuaspecto,parecíahabersidoenotro7empounprósperonegociodepirámides.

–¡Buenosdías!,adelante.¡Unheptágono!–exclamóelbuenartesano–.Nosesuelenverpolígonosregularesde7ladosporaquí.

–¡Hola!,¿cómofuncionaesto?–preguntóHeptágonoalavezquesesenfainfinitamentereconfortadoalversereconocidoasimplevista.

–¡Oh,sí,claro!,leexplico.Verá,siustedmedasupermiso,leharéunafotogradadigital,queposteriormenteampliaréhastaunaescalaadecuadayqueservirádemodeloparalospatronesdeunafabulosapirámiderectaheptagonal–leaclaróelpropietario.

–Deacuerdo–contestóHeptágonoentusiasmado–,meparecefascinante.Porfinalguienreconocemivalía–sedijoasímismo.

Acon7nuacióntehecopiadoesepatrónparaquetútambiénpuedasconstruirunapirámideheptagonal.Tediréqueestapirámideesunoctaedroporque7ene8caras.Tieneunabasede4.67cmdeladoyunaalturade7.57cm.Lafórmulaparacalcularsuvolumenes:

Enestaexpresión, representalasuperficiedelabase(recuerdaqueeláreadeunheptágonoes )y ,laalturadelapirámide.Portanto,estepoliedro7eneunvolumendeunos200cenfmetroscúbicos,unvolumensimilaraldeunvasodeagua:

V =13

· S · H

S S = 3.634 · L2 H

V =13

· S · H =13

· 3.634 · L2 · H =13

· 3.634 · 4.672 · 7.57 = 199.98 cm3

PIRAMIDAL,

DONDE

TODOS LOS

POLÍGONOS

SON

BIENVENIDOS

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2

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1

Porfin,nuestroamigoHeptágonosesenfarealizado.YnoerasoloporelhechodesaberqueahorahabríaunapirámidedeambulandoporPolyehdraqueteníaporbaseunpolígonosemejanteaél,sinoporquedescubrióqueenPiramidaltodoelmundoerabienvenido.Acababadever,dehecho,comounostriángulosquenoeranequiláterostambiéneranapreciadosyhabíanservidoparaconstruiresapirámide.

Undíaentablóamistadconunar7stacontemporáneoquesededicabaatruncarpirámidesyquenuncahabíatrabajadoconunapirámideheptagonal.

–Parecepeligroso,¿truncar?–preguntóHeptágono.

–Oh,no7enesnadaquetemer.Truncareseliminarlapartedearribadeunapirámide,apar7rdeunciertoplanoporencimadelabaseyhastalacúspide.Soloescortarlapuntadelapirámide–leaseguróelar7sta.

–Interesante–contestóHeptágono,quenohabíacomprendidoniunapalabra–.Peroconunacondición.

–¿Cuál?

–Queelpoliedroresultantetengaunvolumende200cenfmetroscúbicos.

–Teloprometo–contestósunuevoamigo.

Heptágonoaceptógustosoyelar7statomóunaspocasfotogradas,hizoalgunoscálculosyunoscuantosbocetoshastaquepintóestebonitocuadro7tulado“Tronco” .6

Elpoliedroresultantedeltruncamientodeunapirámidesedenominatronco,asíqueelar7stanoseestrujómuchoelcerebroparaponerleunftulo.6

2

2

Porsuerte,hepodidorecuperarunodeesosbocetosparaquetúconstruyastupropiotroncodepirámideheptagonal.Y,además,asípodremoscomprobarsielar7stacumpliósupromesa.

Observaquelabaseinferiordeltronco7eneunladodelongitudiguala4.06cm.Portanto,suáreaes:

Porotraparte,labasesuperior7eneunladodemenorlongitud,exactamentevale2.03cm,lamitaddelmayor.Suáreaes:

Fíjatebienquecuandounpolígonoeseldobledegrandequeotrosusuperficienoesdosvecesmayorsinocuatro.Hayqueelevarlarazóndesemejanza,queesestecasoes2,alcuadrado(siquisiésemoscompararlosvolúmenestendríamosqueelevarlaalcubo).

Elvolumendeuntroncodepirámidesecalculadeformasimilaralvolumendeunprisma(áreadelabasemul7plicadaporlaaltura)usandocomoáreadelabase,nolabasesuperiornitampocolainferior,sinounamediadeambas.Exactamente :7

Unavezquehayasconstruidotutronco,compruebaquemide5.71cmdealturayque,portanto,suvolumenes:

Eltroncodepirámideheptagonalesuneneaedro,esdecir,unpoliedrode9caras:2heptágonosregularesy7trapeciosiguales.Tiene21aristasy14vér7ces.

AI = 3.634 · L2 = 3.634 · 4.062 = 60 cm2

AS = 3.634 · L2 = 3.634 · 2.032 = 15 cm2

Ab =AI + AI · AS + AS

3=

15 + 15 · 60 + 603

=15 + 900 + 60

3=

15 + 30 + 603

=105

3= 35 cm2

V = S · H = 35 · 5.71 = 199.85 cm3

Estamediasedenominamediaheroniana.Recibeestenombreenhonordelmatemá7cogriegodelprimersigloHeróndeAlejandría.Esmásfamosa,sicabe,lafórmulaque7

inventóparaelcálculodeláreadeuntriángulodelados , y ,conocidacomofórmuladeHerón: ,siendo lamitaddelperímetrodel

triángulo.

a b c A = s · (s − a) · (s − b) · (s − c) s

1

TroncodepirámideregularheptagonalYasabes:primero,recortaporlalíneacon7nua;luego,doblaporlaslíneasdiscon7nuasy,porúl7mo,pegalassolapassiguiendoelordendelosnúmeros.

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33

3

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1

Heptágonohabíaquedadorealmenteimpresionadoporelhechodequeenestaciudad,nosololostriángulosisósceleserantenidosencuenta,sinoquetambiénlostrapecioseranmuyvalorados.RecordóqueenPoligonialoscuadrados(consuscuatroladostanigualesytodossusángulosajustadosa90gradosexactamente)siempreseburlabandelostrapeciosllamándoles“cuadriláterosirregulares”.

SindudaalgunaquePiramidalerafascinante,peroHeptágonosabíaquedebíacon7nuar,queaúnlequedabanmuchasmaravillaspordescubrir.AlamañanasiguienteemprenderíarumboaPrismal.Estaerasuúl7manocheenPiramidalyHeptágonosehallabaensimismadoenestosyotrospensamientosmientraspaseabaporlaPlazadeVictorKleeyquepresidíaunaimponentepirámidedecristal .8

Heptágonohabíaaveriguadoqueelmatemá7conorteamericanoVictorKlee(1925–2007)eramuyapreciadoenestaciudadporhaberinventadoloskleetopos.

Loskleetopossonaquellospoliedrosqueseformanapar7rdeotrossus7tuyendosuscarasporpequeñaspirámides.Porejemplo,imaginaque añadesunapequeñapirámideencadaunadelascarasdeuncubo.Estenuevo poliedro esunkleetopodecubo.

Enrealidad,laimagenqueilustraestapáginaeslaPirámidedelMuseodelLouvredeParís,obradelarquitectoIeohMingPei,inauguradaen1989.8

Yesoes,precisamente,loqueimaginóHeptágono:unkleetopodepirámideheptagonal.Porsuerte,enlaPlazadeVictorKleehabíaunoscuantosar7stascallejerosqueofrecíankleetoposalosturistas.PorunaspocasmonedassepodíanadquirirverdaderasobrasdeartegeométricocomolaqueHeptágonocompróycuyosplanospudeconseguircuandoviajéaPiramidalafindedocumentarmeparaescribirestahistoria.Esperoquedisfrutesconsuconstrucción.

Porcierto,tecontaréunaanécdotaalrespectoqueelpropioar7stamerefiriócuandorealizabamispesquisas.

Heptágonoexigióalartesanoambulantequesukleetopotuvieraexactamente200cenfmetroscúbicosdevolumen.Elbuenhombrenoteníaniideadecómocalcularlo,pero,comoeramuyastuto,lepropusolosiguiente:

–Mejoraún.Porelmismopreciolevoyahacerunkleetopodedipiramide.

–Noleen7endo–interrumpióHeptágono.

–Muysencillo.Unadipirámideconsisteenunirdospirámidesporsubase.Escomoundiamante–leaclaróelvendedor.

–¡Magnífico!

–Y,además,haréqueenunapirámideloskleetoposquedenhaciaafuerayenlaotrahaciaadentro–añadióelartesano–.Leaseguroquequedaráencantadoconmirealización.

Deestamanera,elartesanosolotuvoquecalcularelladoylaalturadeunapirámideheptagonaldetalformaquetuviera100cenfmetroscúbicosdevolumen.Ycomoelespacioextraquelosabultamientosañadíanaunapirámideeraelmismoquelosentrantesquitabanalaotra,elresultadoseríaunadipirámideconelvolumenqueHeptágonohabíaexigido.

Elpoliedroresultante7ene42carasyes,portanto,undotetracontaedro.Esta“palabreja”seformaconlosafijos:do–quesignificados,–tetraconta–quesignificacuarentay–edroquesignificacara.Nohacefaltaquelascuentes,tansolopiensaquecadacaradelapirámidehasidosus7tuidaportresnuevascarasdelkleetopo.

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KleetopodedipirámideregularheptagonalObservaqueenestemodelohayaristasconmarcadasconlíneasdiscon7nuasyconrayaypunto.Primero,doblatodascomohashechohastaahoray,después,doblaalrevéslasseñaladasconrayaypunto.

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Alamañanasiguiente,HeptágonoemprendióvuelohaciaPrismal.Estaesunaciudadmuyparecidaacualquieradelasqueencontramoshoyendíaenlospaísesmáspoblados.Sushabitantesvivenenesbeltosedificiosconformasdeprismasyan7prismas.

Seguroquepodríasexplicarmemuybienquéesunprisma,pero¿sabesquéesunan7prisma?

Siunprismaesaquelpoliedroenelquepodemosiden7ficardosbasesparalelasentrelasquemedianrectángulosqueformanlascaraslaterales,unan7prismaesaquelpoliedroenelquelasbasesestánunidas,noporrectángulos.sinoportriángulos.

Observaestafigura.Setratadean7prismaheptagonal.Susbasessonheptágonosregularesyestángiradasunarespectodelaotra,deformaquelosvér7cesdeunheptágonosecorrespondenconlospuntosmediosdelosladosdelotro.Comoves,lasbasesestánunidasportriángulos.Delosladosdelabaseinferiorpartentriánguloscuyosvér7cesseapoyanenlosvér7cesdelabasesuperioryviceversa,delosladosdelabasesuperiorarrancantriánguloscuyosvér7cesdescansanenlosvér7cesdelabaseinferior.Dependiendodelaalturadelan7prisma,esdecir,delaseparaciónentresusbases,lostriángulosseránmásomenosesbeltos.Hayuncasoespecial,unaalturatalquehacequelascaraslateralesseantriángulosequiláteros.Aesteconjuntodepoliedrosselesdenominaan7prismasuniformes.

Calcularelvolumendeunprismaesfácilpuestansolohayquemul7plicareláreadelabaseporlaalturadelprisma.Perocalcularelvolumendelan7prismaesbastantecomplicado.Dehecho,yonoloséysólohepodidoaveriguaralgunafórmulaparacalcularelvolumendean7prismasuniformes,deesosquesuscarassontriángulosequiláteros.

Estaeslaexpresióndelvolumendeunan7prismaheptagonaluniformedelado :

L

V = 3.234 · L3

Puedescomprobarqueunan7prismaheptagonaluniformecuyosladosmidan3.95cm7eneunvolumendecasi200cenfmetroscúbicos.Acon7nuaciónapareceelrecortableparaconstruirestepoliedro.Compruebaque7ene16caras,queesunhexadecaedro.

Conlosprismasocurrealgosimilar.Engeneralsuscaraslateralessonrectángulosmásomenosesbeltos,dependiendodelaalturadelprisma.Tambiénexisteunconjuntodeprismasuniformesquesonaquellosque7enenlasparedeslateralescuadradasporquelaalturadelprismacoincideconlalongituddelladodelpolígonodelabase.

Enla7endadelhotelenelqueHeptágonosealojóhabíarecortablesparahacerunamaquetadelestablecimiento.Encontrarásunacopiaenlaspáginassiguientes.Alverla,

Heptágononolodudóniuninstanteycompróuna.

Porcierto,¿sabíasquelosarquitectosdeledificioOneWorldTradeCenterseinspiraronparasudiseñoenlaformadelan7prismacuadrangular?

Esteedificio,de546metrosdealtura,sealzaenelmismolugarendondeseubicabanlasTorresGemelasdelWorldTradeCenterdestruidasenlosatentadosterroristasdel11desep7embrede2001.Eselsextoedificiomásaltodelmundo.

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Yporsitodasestascosasnofueransuficientesparallenardealegríasupequeñocorazón,Heptágonosetropezóconunprimolejano:unheptagrama.

¿Recuerdaselpentagramadelapágina5?Piensaqueseformaapar7rdeunpentágonoregulardelasiguientemanera.Primeronumeramossus vér7cesdel1al5.Acon7nuaciónunimoslosvér7cessiguiendoestasecuencia“1→3→5→2→4→1”.Elpolígonoresultanteespolígonocóncavo complejo9denominadopentagramaoestrellapentagonal.Sesuelerepresentarcomolafracción5/2.

Tepropongoqueintentesconstruirunheptagrama...

Lospolígonoscomplejossonaquellasfigurasgeométricascuyosladossecruzan.9

Dibujaunheptágono,numerasusvér7cesyúnelossiguiendoestasecuencia“1→3→5→7→2→4→6→1”obienestaotra“1→4→7→3→6→2→5→1”.Elprimerosedenominaheptagrama7/2yelsegundo,7/3.¿Adivinasporqué? 10

ComopodéisimaginarHeptágonoseencontrabamuyemocionadoyllenodealegría.Senfalanecesidaddecompar7restossen7mientosconsuspadres,consusamigosheptagonalesyconaquellospolígonosque,porserirregulares,eranmenospreciadoscon7nuamenteenPoligonia.Debíaenseñarlesdequetodoslospolígonos,regularesoirregulares,cóncavosoconvexos,porelmerohechodeserfigurasplanaslimitadasporsegmentosrectos,encierranunasuperficieyesaes,precisamente,lagrandiosidaddelospolígonos,detodoslospolígonos.

Teníaquellevarunadeesasfantás7casformaspoliédricasquehabíaconocido.Asíquelepidióasuprimosegundoheptagonalquelepermi7ráhacerunacopiaconlaqueconstruirunprismacomoenquefiguraacon7nuación.

Elvolumendeestosprismasesfácildecalcularcuandosabeseláreadelabase.Heaveriguadoquelasuperficiedeunheptagrama7/2quemida devér7ceavér7cees:

HeptágonodebíavolveraPoligoniaycontaratodosque

lospolígonos,noimportacómosean,sonlos“ladrillos”conlosqueseconstruyeninfinidaddemaravillosospoliedros.

L

S = 0.860 · L2

Datecuentaqueparaformarestassecuenciasenuncasosumamos2alnúmerodelvér7cemientrasqueenelotrosumamos3.10

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78

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Fin

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“Todoslossereshumanosnacenlibreseigualesendignidadyderechosy,dotadoscomoestánderazónyconciencia,debencomportarsefraternalmentelosunosconlosotros.”

Arfculo1delaDeclaraciónUniversaldelosDerechosHumanosaprobadaporlaAsambleaGeneraldelasNacionesUnidas,en1948,enParís.

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Mariano no ha estudiado matemáticas, pero le gustan mucho, y tampoco es escritor, pero ha escrito dos libros. Es coronel del Ejército de Tierra y ha cursado ingeniería civil en la Universidad Politécnica de Madrid. Es, también, doctor en construcción.

Natural de Teruel, vive en Madrid con su esposa y sus dos hijos. Tiene 56 años, le apasiona realizar toda clase de manualidades, también le gusta la pintura, la música y correr. Cree firmemente en la igualdad de las personas.

Está convencido de que el estudio de los poliedros estimula la imaginación, aumenta la visión en tres dimensiones y favorece el desarrollo de la inteligencia espacial. Por eso ha escrito este cuento con recortables, y que también nos habla de integración y de respeto, con el que pretende animar a los más jóvenes para que se introduzcan en el apasionante (y desconocido) mundo de los poliedros.

Es autor del libro de divulgación científica titulado 225 preguntas sobre la naturaleza del universo, editado por Marcombo, dirigido al público en general y a los jóvenes en particular.

El autor Mariano Abril Domingo

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El libro

A través de la geometría, este cuento nos habla de la igualdad entre las personas, del valor único de cada una y del respeto a las que no son como nosotros.

Se exponen, además, una serie de conceptos geométricos de Primaria y se inician otros propios de Secundaria. Pero más que una obra de matemáticas es un libro de manualidades.

Es un cuento dirigido a jóvenes a partir de 12 años a los que les guste hacer manualidades y que estén dispuestos a pasar un rato entretenido con las tijeras y el pegamento. También puede ser una oportunidad para que los padres nos involucremos y ayudemos un poquito a nuestros hijos.

A través de su protagonista, un hexágono irregular, el lector se adentra en el mundo de los polígonos, primero, y de los poliedros, después. Acompañaremos a nuestro amigo en su viaje a las ciudades de Piramidal y Prismal, en el país de Polyhedra y aprenderemos las principales características de seis poliedros diferentes de los que se incluyen recortables para realizar modelos en papel de los mismos.

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En WeebleBooks creemos en una educación al alcance de todos, más divertida, moderna, creativa y sin barreras económicas o geográficas.

Un proyecto educativo abierto a la colaboración de tod@s para fomentar la educación, ofreciéndola de una forma atractiva, moderna y sin barreras económicas o geográficas.

Nos hemos enfocado al desarrollo de la lectura como una actividad clave para nuestro público juvenil.

Creamos y editamos libros educativos, divertidos, actuales, sencillos e imaginativos para el público infantil y juvenil de forma gratuita en versión digital. Libros que pueden usarse en casa o en la escuela como libros de apoyo.

¡Y lo mejor es que son gratis! Por ello publicamos en formato electrónico. Queremos hacer accesible esta nueva forma de aprender.

Si quieres saber más de nosotros y conocer otros libros que puedes descargarte gratis, visítanos en: www.weeblebooks.com

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