Post on 19-Feb-2016
MATEMATICA 1Alumnos: REY, MARIO ADRIAN / FARIAS HORACIO
Grupo 1
Comisión IS-MA1-COR-aolmos-DIST-A
ACTIVIDAD GRUPAL - 5D
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz constru-ya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego expli-cite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):
a) El vector genérico TX.b) El núcleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Además:e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio ge-nerado.f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que ha-cen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformación inversa.
Matriz Seleccionada en foro:
a) El vector genérico TX.T :Rn→Rm
X↦T (X )
[ xyz ]→[2 1 01 2 10 −1 2] .[ xyz ]=[2 x 1 y 0 z
1 x 2 y 1 z0 x −1 y 2 z ]
Transformación Lineal :[2 x +1 y +0 z1 x +2 y +1 z0 x −1 y +2 z ]= ¿
Gen=[ 2x+ yx+2 y+z− y+2 z ]
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b) El núcleo de esta TL.
Tomado de Guía de Estudio:
“Se llama núcleo de la transformación; es la solución del SELH AX = 0 ytambién se denota por NulA: consta del vector nulo o de infinitos vectores además delnulo.”
AX=0
NulT {X E Rn/AX=0 }
Matriz ampliada (A∨X)=[2 1 0 01 2 1 00 −1 2 0]={ 2 x+ y=0
x+2 y+z=0− y+2 z=0
Se realiza resolución de SEL mediante Wiris.com:
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Se realiza resolución de SEL mediante http://onlinemschool.com:
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Nucleo .T={[000]}
c) Los autovalores de la TL.
De acuerdo al método indicado para determinar autovalores y autovectores:
AX=kXAX−KX=0AX−KIX=0
( A−KI ) X=0
Siendo : I=[1 0 00 1 00 0 1] , A=[2 1 0
1 2 10 −1 2 ]
|A−kI|X=0
det ([2 1 01 2 10 −1 2]−k [1 0 0
0 1 00 0 1])
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det ([2−k 1 01 2−k 10 −1 2−k ])
El desarrollo del determinante |A−kI|
da lugar a una ecuación de grado n en la variable K:
Desarrollo mediante método de Sarrus:
Pn ( k )→ [2−k 1 01 2−k 10 −1 2−k ]=¿
(2−k ) (2−k ) (2−k ) + (0) +(0) – (0)-(1) (1)(2-k) – (2−k)(1)(-1) =
(2−k )3−2−k− (−2−2k )= (2−k )3
(2−k )3=0
Autovalor :k=2→o ( A )=[2]
d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.
Calculo de autovectores:
Aν=2 ν
Siendo A=[2 1 01 2 10 −1 2 ], o ( A )=[2]
[2 1 01 2 10 −1 2] [ xyz ]=2[ xyz ]
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[ 2 x+ yx+2 y+z− y+2 z ]=[2 x2 y
2 z ]2 x+ yx+2 y+z− y+2 z
¿2x¿2 y¿2 z
yxz
¿0¿−z¿ z
Autovector asociado a k =2:
ν (2 )=[ z (−101 ), z ϵ R]
Efectivamente se obtiene una autovalor triple, que se repite 3 veces. El autovalor es de multipliciadad triple, o bien los autovalores son: 2, 2, 2.
e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada es-pacio generado.
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Gràfico correspondiente a ν (2 )=[ z (−101 ), z ϵ R]
utilizando Wiris.com:
f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?
Debido a que se ha obtenido un único autovalor y un único autovector, se determina que la matriz presentada no es diagonalizable debido a que que la dimensión de las bases no coincide con la dimensión de la matriz. Es decir, la dimensión del espacio de autovectores debe coincidir con la multiplicidad para todos los autovalores. D se puede construir porque el 2 se repite 3 veces. La diagonal de D la integran 2, 2, 2. P no se puede construir porque solo tenemos una sola columna cuando necesitamos 3 columnas.
h) Plantee la transformación inversa.
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Fórmula a utilizar para la determinar la matriz inversa:
A−1= 1|A|
. Adj(A t)
a) Calculo de determinante |A|:
A=[2 1 01 2 10 −1 2 ]
|A|=(2.2 .2+1.1.0+0.1 .−1 )−(0.2 .0+1.1.2+2.1 .−1 )=8
Calculo de determinante utilizando onlinemschool:
b) Calculo de Transpuesta (At):
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A=[2 1 01 2 10 −1 2 ]
At :=[2 1 01 2 −10 1 2 ]
c) Calculo de Adjunta de At :
Adj ( At )=(−|2 −11 2 |
11
−|1 −10 2 |
12
|1 20 1|
13
|1 01 2|
21
|2 00 2|
22
−|2 10 1|
23
|1 02 −1|
31
−|2 01 −1|
32
|2 11 2|
33 )Adj ( At )=¿ ( (2.2 )−(1.−1) −((1.2 )− (0.−1 )) (1.1 )−(0.2 )
−((1.2 )−(0.1 )) (2.2 )−(0.0 ) −( (2.1 )−(1.0 ))(1.−1 )−(0.2 ) −((2.−1 )−(0.1 )) (2.2 )−(1.1 ) )
Adj ( At )=¿ ( 5 −2 1−2 4 −2−1 2 3 )
d) Calculo matriz inversa:
A−1= 1|A|
. Adj(A t)
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A−1=18.[5 −2 −1
2 4 21 −2 3 ] =[
58
−28
−18
28
48
28
18
−28
38
]Matriz Inversa: A−1=[
58
−28
−18
28
48
28
18
−28
38
]Calculo de inversa utilizando online matrix calculator:
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Calculo de
e) Transformación Inversa:
X↦ A−1(X )
[58
−28
−18
28
48
28
18
−28
38
]. [ xyz ]=[58x −2
8y −1
8z
28x 4
8y 2
8z
18x −2
8y 3
8z ]
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