Olmos Rizzato, Cecilia

MATEMATICA II – UNIDAD 4

Ejercicio seleccionado número 3:

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 1

Resolución:

- La función en x=0 es f(0)=1, la función corta al eje y en (0,1)

Análisis de intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Siendo: 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 1 , calcular sus intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

1°Paso: Calculamos la derivada primera.

𝑓´(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

2°Paso: Planteamos 𝑓´(𝑥) = 0

𝑓´(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

3°Paso: Calculamos las raíces de la ecuación.

𝑓´(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

−(−2) ± √4 + 12

2=

2 ± 4

2= (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

Las raíces son: x=3 y x=-1

4°Paso: Analizamos la continuidad de f´

𝑓´es un polinomio de segundo grado, por lo cual es continua en todos los reales.

5°Paso: Construimos la tabla para analizar los signos de 𝑓´(𝑥)

Intervalo -∞<x<-1 -1<x<3 3<x<∞

Valores -2 2 4

Signo en 𝑓´(𝑥) + - +

𝑓 Crece Decrece Crece

Olmos Rizzato, Cecilia

6°Paso: Conclusión.

𝑓 crece en: (-∞, -1) U (3, ∞)

𝑓 decrece en: (-1, 3)

Prueba de la derivada primera para calcular máximos y mínimos relativos:

De lo realizado anteriormente podes observar:

- En x=-1 la derivada primera cambia de signo, de + a – por lo que x=-1 es un valor de máximo de f.

- En x=3 la derivada primera cambia de signo, de - a + por lo que x=3 es un valor de mínimo de f.

Calculamos:

𝑓(−1) = 8

3

𝑓(3) = −8

El punto de máximo relativo es (-1, 8/3)

El punto de mínimo relativo es (3, -8)

Intervalos de concavidad y puntos de inflexión:

1°Paso: Calcular la derivada segunda y los valores donde la derivada segunda es cero

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 1

𝑓´(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

𝑓´´(𝑥) = 2𝑥 − 2

𝑓´´(𝑥) = 2𝑥 − 2 = 0

2𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 1

Olmos Rizzato, Cecilia

𝑓´´(𝑥) = 0 en x=1, 𝑓´´ está definida para todos los reales

2° y 3° Paso: Construimos la tabla

Intervalo -∞<x<1 1<x<∞

Valores -2 2

Signo en 𝑓´´(𝑥) - +

𝑓 Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

4°Paso: La concavidad cambia en x=1, f es continua en el valor.

5°Paso: Calculamos:

𝑓(1) = −8

3

6°Paso: La función es cóncava hacia arriba en (1, ∞) y es cóncava hacia abajo en (-∞,1), el

punto de inflexión es (1, -8/3)