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ALGEBRA LINEAL

MsC. Andrés Baquero

Capítulo III: “Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional”

jueves, 2 de julio de 15

Introducción a los vectores

Vectores Geométricos

Vectores en sistemas de coordenadas

Vectores en el espacio 3D

• Así como los vectores en el plano se pueden describir por parejas de números reales, los vectores en el espacio tridimensional se pueden describir por ternas de números reales introduciendo un sistema de coordenadas rectangulares.

• Para construir ese sistema de coordenadas, se elige un punto O,denominado el origen, y se eligen tres rectas perpendiculares entre si, denominadas ejes de coordenadas, que pasan por el origen.

• Los ejes se identifican con x , y y z y se elige una dirección positiva para cada eje de coordenadas,así como una unidad de longitud para medir distancias (figura a).

• Cada par de ejes de coordenadas determina un plano denominado plano de coordenadas.

• Estos planos se denominan plano xy, plano xz y plano yz.

• A cada punto P en el espacio tridimensional corresponde una terna de números (x, y , z ) denominados coordenadas de P , como sigue:

• Por P se hacen pasar tres planos paralelos a los planos de coordenadas, y los puntos de intersección de estos planos con los tres ejes de coordenadas se denotan por X. Y y Z (figura b).

Traslación de ejes

Norma de un vector: Aritmética vectorial

Propiedades de las operaciones vectoriales

Norma de un vector

Producto punto: Proyecciones

Producto punto de vectores

Fórmula de las componentes para el producto punto

Cálculo del ángulo entre dos vectores

Vectores ortogonales

• Los vectores perpendiculares también se denominan vectores ortogonales.

• Por el teorema 1.3.lb: dos vectores dierentes de cero son ortogonales si y sólo si su producto punto es cero.

• Si se acuerda en considerar a u y v como perpendiculares cuando alguno o los dos son cero, entonces se puede afirmar sin excepción que dos vectores u y v son ortogonales (perpendiculares) si y sólo si u · v = O.

• Para indicar que u y v son vectores ortogonales, se escribe

Proyecciones ortogonales

Rectas y planos en 3D

Planos en 3D

• En geometría analítica plana, una recta se puede especificar dando su pendiente y uno de sus puntos.

• De manera semejante, un plano en el espacio tridimensional se puede especificar proporcionando su inclinación y especificando uno de sus puntos.

• Un método conveniente para describir la inclinación es especificar un vector diferente de cero (denominado normal) que es perpendicular al plano.

Planos en 3D

Forma vectorial de la ecuación de un plano

Rectas en el espacio 3D

Forma vectorial de la ecuación de la recta

Algunos problemas donde interviene la distancia

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