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ALGEBRA. III BIM.
TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA.
Í n d i c ePág.
..........................Monomios: Grados de un monomio 45
..........................Adición y sustracción de monomios 47
......................................Multiplicación de monomios 55
...............................................División de monomios 57
.........................Polinomios: Grados de un polinomio 59
.........................Adición y sustracción de polinomios 63
...........................Multiplicación de un monomio por
.............................................................un polinomio 67
COLEGIO TRILCE Página 2
ALGEBRA.
Monomio, tiene un sólo término algebraico.
• Por ejemplo: 4x3y4 ; +2x2 ; x2y3z4
también: M(x) = +5x2 ; M(x;y) = +10x3y4
Grados de un monomio
Cuando el monomio presenta dos o más variables se considera dos grados:
a. Grado absoluto (G.A.) Cuando se refiere a todas sus variables y está indicado por la suma de los exponentes de las variables.
b. Grado relativo (G.R.)Cuando se refiere a una sola variable y está indicado por el exponente de la variable en mención.
Ejemplo 1 Ejemplo 2
M(x;y) = 3x2y3 N(x;y;z) = 5x3y4z2
G.A. = 5 = 2 + 3 G.A. = 3 + 4 + 2 = 9
G.R.(x) = 2 G.R.(x) = 3; G.R.(y) = 4; G.R.(z) = 2
G.R.(y) = 3
AHORA HAZLO TÚ
1. Identificar las variables de los siguientes monomios:
a. A(x) = 5ax2
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
b. B(x) = 3a2b3x4
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
COLEGIO TRILCE Página 3
c. C(x) = a3b4c2x10
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
d. D(x;y) = 2x2y3
Variable(s):GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
ALGEBRA.
e. E(x;y) = 6abx2y7
Variable(s):GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
f. F(x;y;z) = 4x3y4z9
Variable(s): ____________GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
2. Si: A(x) = 6x2, entonces:
GR(x) = ____________
GA = ____________
3. Si: B(x;y) = 6x4y5, entonces:
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
4. Si: C(x;y) = 7a2b3x6y3, entonces:
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
5. Calcular el valor de "a", si:
M(x) = 5xa
es de grado absoluto 5.
COLEGIO TRILCE Página 4
6. Si: N(x;y) = 30x2yb;
es de grado absoluto 9. Hallar el valor de
"b".
Rpta.: ____________________
7. Sea: A(x;y) = axby5,
hallar el valor de "b", si el monomio es de
grado absoluto 12.
Rpta.: ____________________
8. Hallar el "GR(x)", si:
B(x;y) = xay4
es de grado absoluto 7.
Rpta.: ____________________
9. Sea "x" un monomio, entonces:
GR(x) = ____________
GA = ____________
10. Sea "xyz" un monomio, entonces:
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GR(z) = ____________GA = ____________
O bservació n:
E l signo positivo (+ ) delante de una
cantidad se sobreentiende así:
5x = + 5x
Recuerda:
*
*
Cantidades de signos igua les se sum an y
se pone el m ism o signo .
Cantidades de signos d iferentes se restan
y se pone el signo del m ayor.
ALGEBRA.
Rpta.: ____________________
CARACTERÍSTICAS FÍSICAS:
ADICIÓN DE MONOMIOS
Para sumar "monomios", se escriben dichos monomios unos a continuación de
otros, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes, si los
hay.
Ejemplo:
a. Sumar: 2a3; 3b2; 5x4; +5a3; -3x4
entonces: 32a + 3b + 5x + 5a - 3x2 4 3 4
+ 7a + 3b + 2x3 2 4
b. Sumar: 4a; 3b; 6c
4a = +4a
3b = +3b
6c = +6c
La suma será: 4a + 3b + 6c
c. Sumar: 8a; -2b
8a = +8a
-2b = -2b
La suma será: 8a + (-2b)8a - 2b
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ALGEBRA.
* Efectuar en cada caso:
1. Sumar: 8x2; 11b3x5; -3a2; -3b3x5
2 Sumar: 9a3x4; -3a3x4; 3a2; 4a2
3. Sumar: 10x; +50x; -40x; +5x; -x
4. Sumar tres veces "x", con cinco veces "x"
5. Sumar siete veces "x", con nueve veces "x".
6. Sumar el triple de "x" al cuadrado, con el doble de "x" al cuadrado.
7. Sumar el cuadruple de "x" al cubo con 7x3.
COLEGIO TRILCE Página 6
ALGEBRA.
¡AHORA HAZLO TÚ!
Afina tu destreza y con mucha limpieza resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Suma: 4x3; 5x3; 11x3; 15x3; 3x3
a. x3 b. 2x3 c 38x3 d. 4x3
2. Suma: 5x; 9y; 7x; 11y; 12x; 19y
a. 1 b 2x + 39y c. y d. x + y
3. Interpreta y efectúa:
a. Agregar a 9 veces "x" al cubo; 6 veces "x" al cubo.b. Agregar a 15 veces "x" al cuadrado; 11 veces "x" al cuadrado.c. Siendo "x" el precio de un caramelo, ¿cuánto gastó si compra 1; 2; 3 y 4 caramelos?
4. Si: M(x) = 3x2; N(x) = 10x2; S(x) = x2
hallar el valor de:
a. M(x) + N(x) b. M(x) + S(x)
c. N(x) + S(x) d. M(x) + N(x) + S(x)
5. Si: R(x;y) = 7x2y3; S(x;y) = 3x2y3; T(x;y) = 15x2y3
hallar el valor de:
a. R(x;y) + S(x;y) b. R(x;y) + S(x;y) + T(x;y)
c. T(x;y) + S(x;y) d. R(x;y) + T(x;y)
6. Si: Q(x) = 18y3; D(y) = 6y3; C(y) = 11y3
hallar el valor de:
a. C(y) + D(y) + Q(y) b. D(y) + C(y)
c. Q(y) + D(y) d. C(y) + Q(y)
COLEGIO TRILCE Página 7
ALGEBRA.
7. Si: F(x;y) = 126x3y2; B(x;y) = 28x3y2; Z(x;y) = 261x3y2
hallar el valor de:
a. B(x;y) + Z(x;y) b. F(x;y) + B(x;y)
c. Z(x;y) + F(x;y) + B(x;y) d. F(x;y) + Z(x;y)
8. Considera los siguientes monomios para luego hallar lo que se te pide.
M(x;y) = 5x2y3; N(x;y) = -18x2y3; S(x;y) = 6x2y3
a. M(x;y) + N(x;y) d. M(x;y) + N(x;y) + S(x;y)
b. M(x;y) + S(x;y) e. GR(x) en M(x;y)
c. N(x;y) + S(x;y) f. G.A. en N(x;y)
9. Halla la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono.
Triángulo equilátero
Perímetro : _ _ _ _ _ _ _ _ _
10x2
Cuadrado
Perímetro : _ _ _ _ _ _ _ _ _
5y
Triángulo isósceles
Perímetro: _ _ _ _ _ _ _ _ _
7x
Rectángu lo
Perímetro: _ _ _ _ _ _ _ _ _
2x - 1
5y4x + 3
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ALGEBRA.
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
Para restar dos monomios se escribe primero el monomio "minuendo" con su
respectivo signo y a continuación el monomio "sustraendo", con el signo
cambiado.
MINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA
Ejemplo: Efectuar:
a. (5a3x2) - (2a3x2)
entonces: 5a3x2 - 2a3x2 = 3a3x2
b. 8a3 - (-5a3)
entonces: 8a3 + 5a3 =
c. 5b4m3 - (-2b4m3)
entonces:
Ejemplo: Restar:
a. 3x2 de 12x2
entonces: 12x2 - 3x2 = 9x2
b. 7y3z4 de 21y3z4
c. x7y7 de 16x7y7
Ejemplo:
COLEGIO TRILCE Página 9
Recuerda:
S i delante de una cantidad está e l signo
m enos, ésta cam bia de signo.
- ( -2 ) = + 2
- (+ 3) = -3
- (4 ) = - 4
- ( -7 ) = 7
Recuerda:
*
*
Cantidades del m ism o signo se sum an
y se po ne e l m ism o s igno.
Cantidades de signos contrarios se
restan y se pone e l signo de l m ayor.
ALGEBRA.
a. De: 17x2y3 restar 2x2y3
entonces: 17x2y3 - (2x2y3)
17x2y3 - 2x2y3 = 15x2y3
b. De: 4xyz restar 2xyz
entonces:
c. De: 15x3y3 restar 12x3y3
entonces:
d. Restar 9 veces "x" de 12 veces "x"
entonces:
e. Restar 3 veces "x" de 6 veces "x"
entonces:
f. Restar 7 veces x2 de 24 veces x2
entonces:
¡AHORA HAZLO TÚ!
1. Efectúa las siguientes restas de monomios:
a. (16a3x5) - (7a3x5) b. 6a2 - (4a2)
c. 56m8n3 - (3m8n3) d. Restar 6x3 de 8x3
e. Restar x6y2 de 2x6y2 f. De 3xyz restar 3xyzg. De 10xm3 restar 10xm3 h. De 12x2y2 restar 10x2y2
2. Resuelve:
A. Restar 5a de 7a
a. -2a + 5 b. -2a - b + 5 c. 2a d. 2a + b - 5
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ALGEBRA.
B. Restar: y de z
a. -y - z b. z - y c. -z + y d. z + y
C. Restar: 6x2 de 15x2
a. x2 b. -11x2 c. 11x2 d. 9x2
D. Restar: 23x2y3 de 40x2y3
a x2y3 b. 17 c 17x2y3 d. 17x2
3. Interpreta y efectúa:
a. Quitarle a 12 veces "x" al cuadrado, 8 veces "x" al cuadrado.
b. Quitarle a 15 veces "x" al cubo, 9 veces "x" al cubo.
c. Si el precio de un chocolate es "x", ¿cuánto me queda si compro diez
chocolates y tengo 21x?
4. Si: M(x) = 23y2; J(y) = 240y2; L(y) = 135y2
hallar el valor de:
a. J(y) - M(y) b. L(y) - M(y)
c. J(y) - L(y) d. J(x) - L(y) - M(y)
5. Si: W(y;x) = 50y3x2; A(y;x) = 17y3x2; S(y;x) = 9y3x2
hallar el valor de:
a. W(y;x) - S(y;x) b. A(y;x) - S(y;x)
c. W(y;x) - A(y;x) - S(y;x) d. W(y;x) - A(y;x)
6. Si: B(x) = 3x3; C(x) = 15x3; D(x) = 6x3
hallar el valor de:
a. C(x) - D(x) b. C(x) - B(x)
c. D(x) - B(x) d. C(x) - D(x) - B(x)
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ALGEBRA.
7. SI: E(x;y) = 157x3y3; F(x;y) = 93x3y3; G(x;y) = 15x3y3
hallar el valor de:
a. E(x;y) - G(x;y) b. F(x;y) - G(x;y)
c. E(x;y) - G(x;y) - F(x;y) d. E(x;y) - F(x;y) - G(x;y)
Lee y completa:
Recuerda:
M ( x ) = 4 x 9M O NO M I O
Parte
N um érica
Parte
Literal
• ¿Cómo se multiplican MONOMIOS?
Primero : Se multiplican las partes numéricas, signos y números
(coeficientes).
Segundo : Se multiplican las partes literales, si tienen variables diferentes,
solo se juntan.
Si tienen variables iguales, se pone la misma variable y se
suman los exponentes.
Ejemplo:
• (4x7) (5y3) = 20x7y3
• (3x2) (2y3) = 6x2y3
• (3x9) (2x4) = 6x9 + 4 = 6x13
• (4x3) (3x2) = 12x5
• (5x4yz2) (3x4y4z2) =
COLEGIO TRILCE Página 12
ALGEBRA.
• (4x7) (2y5) =
• (10x3y4) (3x4y3) =
• (7xy4) (3x2y) =
• (x3y4) (4x5y7) =
• (3xyz) (x2y3z4) =
¡AHORA HAZLO TÚ!
1. Hallar la expresión algebraica que representa el área de cada figura.
a.
3x2
b.
5x+5x
3x 3x
c. 4x
x
d. 7xy2
2. Hallar "A + B", si:
A = 3x2 (5x2) B = 7x4 (6)
3. Calcular el coeficiente de "A.B" si:
A = 4x3y4 (4xy) B = 7x5 (5xy8)
4. Indicar el exponente de "z", luego de simplificar: "P(x) . Q(x)" si:
P(x)
= 7(8x2z4) + 2x2z4 y Q(x)
= 6(5x3z2) + 9x3z2
5. Simplificar:
COLEGIO TRILCE Página 13
Área de la
Región Cuadrada
lado lado×
Área de la
Región Rectangular
largo ancho×
Área de la
Región Triangular
base altura
2
×
lado
altura
ALGEBRA.
P(x)
= 3x2y2 (6x3y2) + 2x4y (4xy3)
• ¿Cómo se dividen MONOMIOS?
Primero : Se dividen las partes numéricas, signos y números
(coeficientes)
Segundo : Se dividen las partes literales, si tienen variables iguales, se
pone la misma variable y se restan los exponentes.
Si tienen variables diferentes, se deja el cociente indicado.
Se divide coeficiente entre coeficiente y variables iguales respectivamente.
Ejemplos:
COLEGIO TRILCE Página 14
ALGEBRA.
i. Si se cumple: (ax10yb) (2xcy3) = 3xy; hallar el valor de "a + b - c"
j. Si se cumple: (15xm + nyn + 1) (px3y4) = 3x3y; hallar "mnp"
k. Si: M(x) = 58x2; N(x) = 2x; hallar: M(x) N(x)
l. Si: P(x) = 100x3; Q(x) = 25x2; hallar: P(x) Q(x)
m. Hallar: R(x) S(x); si: R(x) = 225x3 y S(x) = 15x
n. Hallar: A(x;y) B(x;y); si: A(x;y) = 35x2y2 y B(x;y) = 7xy
o. Si: C(x;y) = 48x4y5 y D(x;y) = 12x2y3; hallar: C(x;y) D(x;y)
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ALGEBRA.
p. Hallar: M(x) N(x); si: M(x) = 18x9 y N(x) = 6x3. El G.A. de M(x) N(x) es:
q. Hallar el G.A. de R(x) S(x); si: R(x) = 72x8 y S(x) = 9x4
Definición: Es una expresión algebraica racional entera (los exponentes de sus variables son números enteros no negativos).
Ejemplos:
a. 2x2 - 6x b. x2 + 2x + 1
c. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 d. P(x) = x2 - 2x + 4
e. P(x;y) = x2 - y2 f. Q(x) = 4x3 + 3x2 + x + 3
N úm ero s enteros no negativo ssign ifica núm eros m ayores o
iguales a cero .
Recuerda:
Grados de un polinomioTenemos que distinguir:
a. Grado relativo, respecto a una de sus variables. Está dado por el mayor exponente que dicha variable tiene en el polinomio.
Ejemplo: En: 5x2y4 + 3x3y3 + 2x4y + x5y2, luego, GR(x) = 5; GR(y) = 4
b. Grado absoluto, respecto a todas sus variables. Está dado por el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
COLEGIO TRILCE Página 16
ALGEBRA.
Ejemplo:Sea: P(x;y) = x2y6 + 3x4y5 - 2x8y2
luego: G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 6
Para calcular el grado absoluto, se debe calcular:- el grado absoluto del 1er término = 2 + 6 = 8- el grado absoluto del 2do término = 4 + 5 = 9- el grado absoluto del 3er término = 8 + 2 = 10- y el mayor es: 10 = G.A.
AHORA HAZLO TÚ
1. Identificar cuántos términos tiene cada polinomio:
a. P(x) = x2 + 2x + 1 b. P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
c. P(x;y) = x2y2 + 3x + 3y3 d. x2 + y2 + 2xy
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
e. x3 + y3 + 2x2y2 + 2y3
Rpta.: _________________
2. Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios:
a. P(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 2x + 1 b. P(y) = y6 + y5 + 4y4 + 3y2 + 5
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
c. P(x) = 6x2 + 3x3 +7x + 8x4 d. P(x;y) = 5x2y3 + 3x4y5 + 8x
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
e. Q(x;y) = x6 + y6 + 3x2y4 + 6x8y3 f. R(x;y;z) = 3x3y4z8 + x8y2z + z4
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
COLEGIO TRILCE Página 17
ALGEBRA.
3. Hallar el valor de "a", si el grado absoluto del polinomio: P(x) = xa + 3x2; es 3.
Rpta.: _________________
4. Hallar el valor de "b", si se sabe que el grado relativo de "x" es 6 en el
siguiente polinomio:
P(x;y) = 5x2y3 + 3xby4
Rpta.: _________________
5. Hallar: GR(x) y GR(y), si:
P(x;y) = 3x2y3 + x4y + y4
GR(x) = GR(y) =
6. Hallar: GR(x) ; GR(y) y GA en:
P(x;y) = 6x2 + 3y5 + x4y3 + 7
GR(x) = GR(y) = G.A. =
7. Indica verdadero (V) si la proposición es verdadera y falso (F) si es falsa.
• El grado absoluto de un polinomio es igual al grado absoluto del ( )
término de mayor grado.
• En un polinomio el grado relativo respecto a una de sus variables ( )
viene dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el
polinomio.
• Los términos algebraicos en un polinomio están separados por ( )
los signos ( + ) y ( - ).
• En: P(x;y) = 3ax2y3 las variables son "a", "x" e "y". ( )
• Si: P(x;y;z) = 5x2 + 3x4y3z + 3a sus variables son: "x" e "y". ( )
COLEGIO TRILCE Página 18
ALGEBRA.
ADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar polinomios, se colocan los polinomios uno debajo del otro, de tal forma que coincidan los términos semejantes.Ejemplo:
a. Sumar: 3x2 + 6ab3 ; -2x2 + 3ab3
entonces:3 x + 6 a b
- 2 x + 3 a b
x + 9 a b
2 3
2 3
2 3
+
*
*
S i dos o m ás cantidades tienen el m ism o signo
se sum an y se pone el m ism o signo.
S i dos cantidades tienen signos co ntrarios se
restan y se pone e l signo del m ayor.
Recuerda:
b. Sumar: 9ab3 + 4z4 + 12b2y3 + 8x2; 5z4 - 7b2y3 - 5ab3
c. Sumar: 8x4z5 + 5m3 + 7x2y2; -3m3 - 7x2y2 + 2x4z5
COLEGIO TRILCE Página 19
ALGEBRA.
d. Sumar: x2 + 2x + 1; +5 - 2x + 7x2
e. Sumar: 5x3 + 4x + 7; 4 - 4x - 5x3
f. Sumar: x2 +3x + 5; 3x2 + 4x - 2; -7x - 3
g. Sumar: x10 + 2x6 - x3 - 1; 2x3 - 2x6 + 2x10 + 1
h. Sumar: x2y3 + 3x3y2; 7x2y3 - 6x3y2; x2y3 + 3x3y2
i. Sumar: 7ab2 + 5c3; 2ab2 + 6c3; ab2 - 10c3
j. Sumar: 6x3y + 2xy - 9xy2; 4x3y + 8xy - xy2
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Se procede como en la suma de polinomios, sólo que esta vez al polinomio
sustraendo se le cambia de signo a cada uno de sus términos.
a. (6a3b4 + 2x3 + 3mn) - (-mn + 2x3 - a3b4)
entonces:
b. (5a3 + 7b2x3 + 9m3n8) - (4b2x3 - 7a3 - 5m3n8)
c. (3x3 + 2x2 + x + 16) - (-2x3 - 2x2 - 6x + 13)
¡AHORA HAZLO TÚ!
Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
I. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios.
a. x3 + 5x3 b. 3x2 + 8x2
c. 2xyz + 9xyz d. 11ac - 7ac
COLEGIO TRILCE Página 20
ALGEBRA.
e. 13ab - 5ab + 4ab f. 5an - 4an + 11an
g. 10xm + 7xm + 16xm h. 7xy4 + 2xy4 - 6xy4
i. 6ax9 - 6ax9 + 2ax9 j. xyn + 13xyn - 10xyn - 2xyn
II. En los siguientes polinomios, reduce los términos semejantes de cada
clase.
a. 9x + 6y - 4x - 3y
b. 13ab + 6bc - 8ab + 9bc
c. 16an + 3am + 4an - an + 15am - am
d. 6x2 + 4y2 - 3x2 + 16 - 2y2 - 15
III. Resolver:
a. Restar: -5a + b + 10 de 7a + b + 18
b. Sumar: x2 + 14x; -5x + x2
c. Sumar: a + b - b - a + 2a - 2b
d. Sumar: 3x + x3; 4x2 + 5; x3 - 4x2 + 6
e. De: 31x2y restar - 12x2y
f. Restar: "c" de "b"
g. El resultado de sumar: 2x + 5x2 con el doble de x + 2x2 es:
h. Indicar el resultado del triple de la suma de: x3 + 2x2 + 3x + 1 con:
x2 - 2x2 - 2x - 1
i. ¿Cuál será el resultado de sumar: el triple de a2 + 2ab + b2 con el
doble de:
b2 - 3ab - a2?
j. De: 2x2 + 5x + 10 restar 2x2 + 2x + 3
IV. Sean los siguientes polinomios:
P(x) = 3x2 + 10x + 7
Q(x) = 9 + 11x + 16x2
R(x) = 17x3 + 3x2 + 10x + 7
calcular:
a. E = P(x) + Q(x)
COLEGIO TRILCE Página 21
ALGEBRA.
b. F = R(x) - P(x)
c. G = P(x) + Q(x) + R(x)
d. H = R(x) - Q(x)
V. Completa la tabla con monomios, de tal manera que al sumar las filas,
columnas y diagonales siempre de 26x3.
3 x 3
x 3
6 x 3
16x32 x 3
5 x 3
VI. Hallar la expresión algebraica, en cada caso, que represente el perímetro
de la figura. (Reducir términos semejantes, de ser posible)
Perímetro es la suma de todas las longitudes de los lados del polígono.
a.
x + 5
x + 1
P =
P = b.
x + 2
P =
P =
COLEGIO TRILCE Página 22
ALGEBRA.
c.
P =
P =
x + 10
x + 8
x + 6
d.
P =
P =
5x4x
3x
COLEGIO TRILCE Página 23
ALGEBRA.
AHORA HAZLO TÚ
1. Resuelve y luego simplifica si es posible:
a. 7(8x + 3) g. 3x(3 + 5x2 + 3x3)
b. 6(3x - 3) h. 8x(7x3 - 5x2 + 6x)
c. 8(x2 + 5x - 10) i. 4x2 (5x3 - 6x4 + 3x5)
d. 9(x3 + 3x2 - 4x) j. 5x2 (3x2 - 8x3 - 10x4)
e. 10(x2 + 6x - 6) k. 12x3 (6x2 - 7x4 - 8x6)
f. 11(6x3 - 3x2 + 4x) l. 9x3(3x3 - 6x2 - 3)
2. Simplificar en cada uno de los siguientes casos:
a. P(x) = 3x(2 + 4x) + (5x + 2)2x
b. Q(x) = 6(3x2 + 2) + 8(5x2 - 1)
c. R(x) = 4x2(5 + 3x) + 6x2(6 + 8x)
d. S(x) = 5x3(x2 + 7) + 7x3(x2 - 4)
COLEGIO TRILCE Página 24
ALGEBRA.
e. T(x) = x4(x2 + x3) + x4(x3 - x2)
f. V(x) = 8(x2 + 1) + 6(x2 + 2)
g. U(x) = 9(12x + 3) + 7(12x + 4)
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