1. Sistemas de ecuaciones lineales2. Álgebra de matrices3. Determinantes4. Geometría de los vectores5. Espacios vectoriales6. Valores propios y diagonalización7. Transformaciones lineales8. Espacios euclidianos

a

b

a b

a

b

a b

a

b

a b

a b

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,y el sentido es el de si >0y el inverso que si 0

a

a

aa

a

a

a a

Un conjunto

1,2,...,

de elementos de un espacio vectorial es llamado independiente si cualquiercombinación lineal igual a cero implicaque todos los coeficientes son cero.

iS x i k

V

1

Es decir, si

0

entonces necesariamente0 para toda .

k

i ii

i

c x

c i

1 2

1 2

Un conjunto de elementos de un espaciovectorial es llamado dependiente si hayun conjunto de elementos diferentes en ,

, ,...,y un correspondiente conjunto de escalares

, ,..., no todo

k

k

SV

Sx x x

c c c

1

s cero, tales que

0k

i ii

c x

1 2

1 2

Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es llamadodependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en ,

, ,..., y un correspondiente conjunto de escalares

, ,..., no t

k

k

S VS

x x x

c c c

1

odos cero, tales que 0k

i ii

c x

1

Sea 0, entonces

1j

k

j i iiji j

c

x c xc

1

1 2

Un conjunto de elementos de unespacio vectorial es llamadoindependiente si no es dependiente.

Es decir, 0

implica que ... 0

k

i ii

k

SV

c x

c c c

2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es,dependiente o independiente,

el conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

1,1 1,1 0,0a b

2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

1,1 1,1 0,0

00

a b

a ba b

2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

00

Unica solución:0 y 0

a ba b

a b

1,1 1,1 0,0

00

0 y 0

a b

a ba b

a b

2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

linealmente independSo ie s n nte

V R

No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero

3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente,

el conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero

1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0a b c

3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero

1,

¿Eso

0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0

qué implica? , , 0,0,0a b c

a b c

3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero

1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0

¿Eso qué implica? , , 0,0,

Por tanto, a fuerza 0, 0, 0

0

a b c

a b c

a b c

El conjunto

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

es linealmente INDEPENDIENTE

3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

3Sea el espacio vectorial

El conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

es linealmente independiente

V R

No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule

Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .

: , es continua

Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin3 ,...,sinson linealmente independientes para todo

V

V f R f

t t t ntn

1

Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .

Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin 3 ,...,sinson linealmente independientes para todo 1

V

t t t ntn

1

sin 0 ¿ ?n

k kk

a kt a

1

sin 0n

kk

a kt

1

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

1

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

1

1

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin 0

sin sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

a dt lt kt l n

Si

sin sin

1 cos s

c

in

1 cos sin cos sin

1 osc sos s coin

k l

lt kt dt

d lt kt dtl dt

dlt kt lt kt dtl dt

klt lkt t tl

ktl

d

cos cos

1 sin cos

1 1sin cos sin cos

1sin cos sin sin

lt kt dt

d lt kt dtl dt

dlt kt lt kt dtl l dt

klt kt lt kt dtl l

2

2

2

2 2

sin sin

1cos sin sin cos sin sin

Por lo tanto,

11 sin sin cos sin sin cos

lt kt dt

k klt kt lt kt lt kt dtl l l

k klt kt dt lt kt lt ktl l l

cos cos

1cos cos sin cos sin

1sin s

sin

in cos sin lt kt dtklt kt dt l

klt kt dt lt kt lt kt dtl l

t ktl l

2

2 2

2 2

1cos sin sin cossin sin

1 /Por tanto, si

cos sin sin cossin sin l lt kt k lt ktlt

klt kt lt ktl llt kt dt

k lk

ktk l

l

dt

2

2 2

11 sin sin cos sin sin cosk klt kt dt lt kt lt ktl l l

2 2

2 2

2 2

sin sin

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

lt kt dt

l lt kt k lt ktk l

l l k k l kk l

l l k k l kk l

2 2

cos sin sin cossin sin l lt kt k lt ktlt kt dtk l

2 2

2 2

2 2

2 2

sin sin

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

lt kt dt

l l k k l kk l

l l k k l kk l

l l k k l kk l

l l k k l kk l

2 2

1

sin sin

cos sin sin cos2

Como

sin 0 y cos 1

para entero,

sin sin 0

k

lt kt dt

l l k k l kk l

k k

k

lt kt dt

2

Si

sin

1 cos sin

1 cos sin cos sin

1 cos sin cos cos

k l

kt dt

d kt kt dtk dt

dkt kt kt kt dtk dt

kt kt kt kt dtk

2 2

2

2

Si 1sin cos sin cos

1 cos sin sin

1sin cos sin2 2

k l

kt dt kt kt kt dtk

kt kt dt kt dtk

tkt dt kt ktk

2

2

1sin cos sin2 2

1 cos sin2 2 2 2

Por tanto,

sin

kt dt k kk

k kk

kt dt

2 1sin cos sin2 2tkt dt kt kt

k

sin sin

, enteros mayores o iguales a 1

kllt kt dt

k l

Delta de Kronecker:

1 si 0 si

kl

kl

k lk l

1

1

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin 0

sin sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

a dt lt kt l n

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

n

kk

n

kk

kl

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

l

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

a l n

1

1

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

0 0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

l

l

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

a l na l n

Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .

: , es continua

Las funciones sin ,sin 2 ,sin3 ,.son linealmente indep

..,siendien

para nt te ds o o 1

V

V f R f

t t t ntn

¿Cómo es el conjunto 2,3 , 1, 1 ?

2,3 1, 1 0,0

2 1,3 0,0

2 03 0

Solución al sistema:2 1

2 3 1 03 1La única solución eES LINEALMENTE INDEPEN

sD TE

0IEN

r s

r r s

r sr s

r s

¿Cómo es el conjunto ,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4 ?

,3,0 , 1,2 2, 2 ,4 0,0,0

2 ,3 2 ,2 4 0,0

2 03 2 0

2 4 0

i i i i

a i b i c i i

ia ib c a b ic b ic

ia ib ca b icb ic

2 03 2 0

2 4 02

3 1 20 2 4

21 2 3 2 3 1

3 1 2 22 4 0 4 0 2

0 2 4

0 12 2 6 0 12 12 0

ia ib ca b icb ici i

ii

i ii i

i i ii i

i

i i i

2 03 2 0

2 4 0

Ya sabemos que el sistema de ecuacionestiene soluciones diferentes de la trivial,por lo tanto, el conjunto

,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4

LINEALMENTE DEPes ENDIE NTE

ia ib ca b icb ic

i i i i

32

1

,2 3 1 2 2

2 1 1 23 1 2 3 1 20 2 4 0 2 4

1 1 2 1 1 20 2 4 0 1 20 2 4 0 1 2

R i

RRR R

i i ii ii i

i ii ii i

2 03 2 0

2 4 0

ia ib ca b icb ic

3 2 1 2

2 1 1 23 1 2 0 1 20 2 4 0 1 2

1 1 2 1 0 00 1 2 0 1 20 0 0 0 0 0

R R R R

i i ii ii i

ii i

2 03 2 0

2 4 0

ia ib ca b icb ic

2 0 1 0 03 2 0 0 1 2

2 4 0 0 0 0

02 0

0

0 2

0

ia ib ca b ic ib ic

ab ic

a b ic

2 3 4

Sea el espacio vectorial de funcionescontinuas en . Es decir,

: es continua

El conjunto

1, , , , ,..., 1

es linealmente independiente

n

VR

V f R R f

x x x x x n

Dado un conjunto 1,2,...,

de elementos de un espacio vectorial , al conjunto de vectores que se obtienencomo combinaciones lineales de loselementos de se le llama espaciogenerado por .

iS x i k

V

SS

1

1,2,...,i

k

i ii

S x i k V

v V v a x

2¿Qué espacio genera el conjunto 1,1 en ?R

Una base de un espacio vectorial esun conjunto de vectores linealmenteindependientes que genera el espacio.

Es decir, todo elemento delespacio vectorial se puedeescribir como una combinaciónlineal de los elementos de la base.

1 2

1

2

ˆ ˆ ˆAl conjunto de vectores , ,...,

definidos comoˆ 1,0,0,...,0

ˆ 0,1,0,0,...,0

.

.

.ˆ 0,0,0,...,1

se le llama base natural de ,ya que todo vector se puede representar de manera única como

n

n

n

e e e

e

e

e

x x

R

1 1 2 2ˆ ˆ ˆ... n ne x e x e

La dimensión de un espaciovectorial es el número deelementos en cualquiera desus bases.

•Un espacio vectorial tiene dimensiónfinita si tiene una base con un númerofinito de vectores.

•En un espacio de dimensión finitatodas las bases tienen el mismonúmero de elementos.

Sea un subconjunto no vacíode un espacio vectorial .Si es también un espaciovectorial con las mismasoperaciones de suma y demultiplicación por un escalar,entonces es un subespacio de

SV

S

S V

TeoremaSea un subconjunto no vacíode un espacio vectorial .Entonces es un subespacio de

si y sólo si satisface losaxiomas de cerradura.

SV

SV S

,

V

V

x yV

Sea un espacio vectorial sobre loscomplejos.Se dice que tiene un producto escalaró producto interno ó producto punto,si para cualesquiera dos elementos en se asocia un número complejoúnico , .x y

, ,

, ,,

, ,

x y V x y

x y z Vc

x y y x

en se asocia un número complejo único .

Esta asignación tiene las siguientes propiedades:Para cualesquiera y para cualquier escalar

1)

C

2) , , ,

3) , ,

4) , 0 0

x y z x y x z

cx y c x y

x x x

Simetría hermitiana

Distributividad o linealidad

Asociatividad o homogeneidad

si Positividad

Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado

ESPACIO EUCLIDIANO REAL

Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado

ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO

Normalmente se dice

ESPACIO EUCLIDIANO

y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.

El espacio vectorial con el producto puntousual, es un espacio euclidiano

nR

1

,

,

Es obvio que este producto escalar satisface lascondiciones necesarias. Haganlo como ejercicio.

n

n

i ii

x y R

x y x y x y

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,se define el producto escalar (interno ó punto)como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp p aa

p