Algebra Lineal

Gustavo Rodríguez Gómez

INAOE

Verano 2011

Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21

Espacios Vectoriales

Espacios VectorialesINAOE

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Contenido

1 Espacios VectorialesTerminologíaDefinicionesBasesDimensión de un espacio vectorialSumas y sumas directas

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Terminología

El conjunto de números enteros positivos es denotado porN = {1, 2, . . .}.El conjunto de todos los enteros es denotado por Z.

El conjunto de números reales es denotado por R = (−∞,∞).El conjunto de números complejos es denotado por C.

El conjunto de números racionales es denotado por Q.

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Campos

Sea K ⊂ C. Diremos que K es un campo si satisface las siguientescondiciones

1 Si x , y ∈ K , entonces x + y y xy son también elementos de K .2 Si x ∈ K , entonces −x es también elemento de K . Si además x 6= 0,entonces x−1 es un elemento de K .

3 Los elementos 0 y 1 son elementos de K .

El conjunto de números reales R y el conjunto de números complejosC y el conjunto de números racionales Q son campos.

El conjunto de todos los enteros Z no es un campo.

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Subcampos

Sean K , L campos y supongamos que K ⊂ L, diremos que K es unsubcampo de L.

Observemos que los campos que estamos considerando todos sonsubcampos de C.

A los elementos de un campo K los llamaremos números o escalares.

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Espacios vectoriales

Un espacio vectorial V sobre un campo K (V/K )es un conjunto deobjetos que pueden ser sumados y multiplicados por elementos de K talque:

1 ∀u, v ∈ V se cumple u + v ∈ V y ∀λ ∈ K y ∀u ∈ V se cumpleλu ∈ V .

2 ∀u, v ,w ∈ V se cumple (u + v) + w = u + (v + w).3 Existe un elemento de V , denotado por 0, tal que 0+ u = u + 0∀u ∈ V

4 Dado un elemento u ∈ V , el elemento (−1)u es tal queu + (−1)u = 0.

5 ∀u, v ∈ V , se tiene u + v = v + u.6 Si λ ∈ K , entonces λ(u + v) = λu + λv ∀u, v ∈ V .7 Si α, β ∈ K , entonces (α+ β)v = αv + βv .8 Si α, β ∈ K , entonces (αβ)v = α(βv) ∀v ∈ V .9 ∀u ∈ V , se cumple 1 · u = u · 1, 1 ∈ K .

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Subespacios vectoriales

DefiniciónSea V un espacio vectorial y W ⊂ V . Diremos que W es un subespaciovectorial de V si satisface

1 Si v ,w ∈ W , entonces v + w ∈ W .2 Si v ∈ W y λ ∈ K , entonces λv ∈ W .3 El elemento 0 ∈ V es también un elemento de W .

LemaSi W1 y W2 son subespacios de V entonces W1 ∩W2 es también unsubespacio de V .

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

1 Si V = Rn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros reales.

2 Si V = Cn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros complejos.

3 Si V = Qn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros racionales.

4 Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.5 Sea V = Rn y W = {v ∈ Rn : v = (v1, v2, . . . , vn−1, 0)} ⊂ Rn,entonces W es un subespacio de Rn. Al subespacio W se le identificacon Rn−1.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

1 Si V = Rn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros reales.

2 Si V = Cn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros complejos.

3 Si V = Qn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros racionales.

4 Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.5 Sea V = Rn y W = {v ∈ Rn : v = (v1, v2, . . . , vn−1, 0)} ⊂ Rn,entonces W es un subespacio de Rn. Al subespacio W se le identificacon Rn−1.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

1 Si V = Rn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros reales.

2 Si V = Cn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros complejos.

3 Si V = Qn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros racionales.

4 Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.5 Sea V = Rn y W = {v ∈ Rn : v = (v1, v2, . . . , vn−1, 0)} ⊂ Rn,entonces W es un subespacio de Rn. Al subespacio W se le identificacon Rn−1.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

1 Si V = Rn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros reales.

2 Si V = Cn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros complejos.

3 Si V = Qn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros racionales.

4 Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.

5 Sea V = Rn y W = {v ∈ Rn : v = (v1, v2, . . . , vn−1, 0)} ⊂ Rn,entonces W es un subespacio de Rn. Al subespacio W se le identificacon Rn−1.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

1 Si V = Rn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros reales.

2 Si V = Cn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros complejos.

3 Si V = Qn, entonces V es un espacio vectorial sobre el campo denúmeros racionales.

4 Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.5 Sea V = Rn y W = {v ∈ Rn : v = (v1, v2, . . . , vn−1, 0)} ⊂ Rn,entonces W es un subespacio de Rn. Al subespacio W se le identificacon Rn−1.

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Generadores (span)

EjemploSea V un espacio vectorial arbitrario y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Seanx1, x2, . . . , xn ∈ K escalares. Una expresión del tipo de

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn,

es llamada combinación lineal de v1, v2, . . . , vn. Sea W el conjunto detodas las combinaciones lineales de v1, v2, . . . , vn. Entonces W es unsubespacio de V .

Observación

W = span {v1, v2, . . . , vn} ={

n

∑i=1xivi : vi ∈ V , xi ∈ K i = 1, 2, . . . , n

}.

Al subespacio W se le llama el subespacio generado por v1, v2, . . . , vn.Si W = V entonces decimos que v1, v2, . . . , vn genera V sobre K .

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Bases

DefiniciónSea V/K un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Diremos quev1, v2, . . . , vn son linealmente dependiente sobre K si existen elementosa1, a2, . . . , an ∈ K no todos iguales a 0 tal que

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.

Si no existen tales elementos diremos que v1, v2, . . . , vn son linealmenteindependiente sobre K .

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Bases

LemaSea V un espacio vectorial sobre el campo K y v1, v2, . . . , vn elementoslinealmente independientes de V . Entonces dos combinaciones dev1, v2, . . . , vn son iguales.

DefiniciónUna base de V sobre K es una sucesión de elementos {v1, v2, . . . , v} de Vque satisfacen

1 span(v1, v2, . . . , vn) = V ,2 {v1, v2, . . . , v} son linealmente independientes.

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Representación de los elementos de V

Los elementos de V se pueden representar como n−adas relativas asu base {v1, v2, . . . , vn}. Si v ∈ V entonces se puede representarcomo una combinación lineal

v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn

de los elementos de la base.

A (λ1,λ2, . . . ,λn) se le llaman las coordenadas de v respecto a labase {v1, v2, . . . , vn} de V .

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Representación de los elementos de V

Los elementos de V se pueden representar como n−adas relativas asu base {v1, v2, . . . , vn}. Si v ∈ V entonces se puede representarcomo una combinación lineal

v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn

de los elementos de la base.

A (λ1,λ2, . . . ,λn) se le llaman las coordenadas de v respecto a labase {v1, v2, . . . , vn} de V .

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Subconjunto máximo linealmente independiente

DefiniciónSea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sea {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V yr ≤ n, diremos que {v1, v2, . . . , vr} es un subconjunto máximo deelementos linealmente independientes si v1, v2, . . . , vr son linealmenteindependientes, y si dada cualquier vi con i > r , los elementosv1, v2, . . . , vr , vi son linealmente dependientes.

TeoremaSea V un espacio vectorial, {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V tal quespan(v1, v2, . . . , vn) = V . Sea {v1, v2, . . . , vr} un subconjunto máximo deelementos linealmente independientes. Entonces {v1, v2, . . . , vr} es unabase de V .

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Dimensión de un espacio vectorial

Nuestro objetivo es demostrar que cualesquiera dos bases de un espaciovectorial tienen el mismo número de elementos. A partir de este resultadose podrá definir la dimensión de un espacio vectorial.

TeoremaSea V un espacio vectorial sobre un campo K y {v1, v2, . . . , vm} una basede V . Sea w1,w2, . . . ,wn son elementos de V y n > m, entoncesw1,w2, . . . ,wn son linealmente dependientes.

TeoremaSea V un espacio vectorial con dos bases. Suponga que una base tiene nelementos y la otra m elementos. Entonces m = n.

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Dimensión de un espacio vectorial

DefiniciónSea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos.Diremos que n es la dimensión de V . Si V contiene únicamente el 0,entonces V no tiene base y diremos que V tiene dimensión 0.

EjemplosEl espacio vectorial Rn tiene dimensión n sobre R, el espacio vectorial Cn

tiene dimensión n sobre C. En general, para cualquier campo K , el espaciovectorial K n tiene dimensión n sobre K .

DefiniciónUn espacio vectorial con una base que consista de un número finito deelementos, o el espacio vectorial cero, es llamado espacio de dimensiónfinita.

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Dimensión de un espacio vectorial

EjemploSea K un campo. Entonces K es un espacio vectorial sobre si mismo ytiene dimensión 1. Observe que el elemento 1 ∈ K forma una base de K .

DefiniciónSea {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V elementos linealmente independientes, diremosque forman un conjunto máximo de elementos linealmente independientesde V , si dado cualquier elemento w ∈ V , los elementos {v1, v2, . . . , vn,w}son linealmente dependientes.

TeoremaSea V un espacio vectorial de dimensión n y {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V unconjunto linealmente independiente. Entonces {v1, v2, . . . , vn} constituyeuna base de V .

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Dimensión de un espacio vectorial

CorolarioSea V un espacio vectorial y W un subespacio. Si dim V = dim W ,entonces V = W.

TeoremaSea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. SeaW un subespacio diferente el nulo. Entonces W tiene una base y la dimW ≤ n.

TeoremaSea V un espacio vectorial de dimensión n y {v1, v2, . . . , vr} ⊂ Velementos que son linealmente independientes. Entonces existen{vr+1, vr+2, . . . , vn} ⊂ V tal que {v1, v2, . . . , vn} forman una base de V .

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Sumas y sumas directas

DefiniciónSea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sean U,W subespacios deV . Definimos la suma de U y W como

U +W = {u + w : u ∈ U,w ∈ W } .

Además, U +W es un subespacio de V .

DefiniciónDiremos que V es la suma directa, V = U ⊕W , si para cada elementov ∈ V existen elementos únicos u ∈ U y w ∈ W tal que v = u + w .

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Sumas y sumas directas

TeoremaSea V un espacio vectorial sobre un campo K y U,W subespacios de V .Si V = U +W, y si U ∩ V = {0}, entonces V es la suma directa de U yW .

TeoremaSea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K. Sea Wun subespacio de V . Entonces existe un subespacio U de V tal queV = U ⊕W.

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Sumas y sumas directas

TeoremaSi V es un subespacio vectorial de dimensión finita sobre K, y es la sumadirecta de los subespacios U,W entonces

dimV = dimU + dimW .

Ejemplo

Sea V = R3 sobre el campo R. Considere W como el subespaciogenerado por (1, 0, 0) y sea U el subespacio generado por (1, 1, 0) y(0, 1, 1). Entonces V = U ⊕W .

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