Transcript of Algebra lineal. una introduccion moderna 3th
- 1. lgebra lineal Una introduccin moderna Tercera edicin David
PoolePoolelgebralinealUnaintroduccinmoderna Tercera edicin La
innovadora obra de David Poole destaca vectores e intuicin
geomtrica desde el principio y prepara mejor al estudiante para
hacer la transicin de los aspectos computacionales del curso a los
tericos. Diseado para un curso de introduc- cin de uno o dos
semestres y escrito de manera sencilla, "el matemtico ingls" Poole
centra su enfoque sobre la visualizacin que benecia al estudiante y
su conexin con el material. Ofrece ejemplos concretos para
introducir al estudiante antes de presentar la abstraccin y sigue
inmediata- mente una discusin terica con ejemplos adicionales y una
matriz de aplica- ciones a una gran variedad de disciplinas.
Estudiantes de una diversidad de fondos y estilos de aprendizaje se
benecian de enfoque prctico de Poole, que cubre vectores y geometra
vectorial desde el inicio con el n de permitir que los estudiantes
visualicen las matemticas mientras estn realizando operaciones
matricia- les. Con una comprensin concreta de la geometra de
vectores, los estudiantes son capaces de visualizar y comprender el
signicado de los clculos que se encuentran y desarrollar la madurez
matemtica para pensar en forma abstracta. Caractersticas
Exploraciones (1 por captulo) proporcionan guas ms profundas para
el descu- brimiento basadas sobre los conceptos claves, diseados
para trabajo individual o de grupo. Ms de 400 ejemplos,
generalmente trabajados con mayor detalle y ms nfasis en la
legibilidad que la mayora de los libros. Los ms de 2000 ejercicios
y problemas aplicados a partir de una amplia varie- dad de
disciplinas de ingeniera, ciencias fsicas, ciencias biolgicas y
empresa- riales. Notas al margen sensibles al contexto para ayuda
adicional y referencias cruza- das. Vietas destacando aplicaciones
del mundo real en los negocios, la ciencia y la sociedad con debate
ampliado de los conceptos detrs de las aplicaciones.
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- 3. lgebra lineal Una introduccin moderna 00-Preliminares.qxd
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- 5. Traduccin: Vctor Campos Olgun Traductor profesional Revisin
tcnica: Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologa Avanzadas Instituto
Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior
de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional lgebra lineal
Una introduccin moderna Tercera edicin David Poole Trent University
Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido
Singapur 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina iii
- 6. lgebra lineal, Una introduccin moderna Tercera Edicin David
Poole Director de producto y desarrollo Latinoamrica: Daniel Oti
Yvonnet Director editorial y de produccin Latinoamrica: Ral D.
Zendejas Espejel Editor: Sergio R. Cervantes Gonzlez Coordinadora
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Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de
la Editorial. Traducido del libro Linear Algebra, A Modern
Introduction 3rd ed. David Poole Publicado en ingls por
Brooks&Cole/Cengage Learning, 2011 ISBN-13: 978-0-538-73545-2
ISBN-10: 0-538-73545-7 Datos para catalogacin bibliogrca: Poole,
David lgebra lineal, Una introduccin moderna Tercera Edicin
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13 12 11 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina iv ISBN - - -0-1 07
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- 7. Para mis profesores y mis alumnos: He aprendido mucho de
cada uno de ustedes. 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina v
- 8. Prefacio ix Para el profesor xix Para el alumno xxv Vectores
1 1.0 Introduccin: el juego de la pista de carreras 1 1.1 Geometra
y lgebra de vectores 3 1.2 Longitud y ngulo: el producto punto 18
Exploracin: Vectores y geometra 32 1.3 Rectas y planos 34
Exploracin: El producto cruz 48 1.4 Aplicaciones 50 Vectores fuerza
50 Vectores cdigo 53 El sistema Codabar 60 Repaso del captulo 61
Sistemas de ecuaciones lineales 63 2.0 Introduccin: trivialidad 63
2.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales 64 2.2 Mtodos
directos para resolver sistemas lineales 70 Exploracin: Mentiras
que me dice mi computadora 89 Pivoteo parcial 90 Operaciones de
conteo: introduccin al anlisis de algoritmos 91 2.3 Conjuntos
generadores e independencia lineal 94 2.4 Aplicaciones 105
Asignacin de recursos 105 Balanceo de ecuaciones qumicas 107
Anlisis de redes 108 Redes elctricas 110 Modelos econmicos lineales
113 Juegos lineales nitos 115 El sistema de posicionamiento global
127 2.5 Mtodos iterativos para resolver sistemas linjeales 130
Repaso del captulo 140 Captulo 1 Captulo 2 vi 00-Preliminares.qxd
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- 9. Matrices 142 3.0 Introduccin: matrices en accin 142 3.1
Operaciones con matrices 144 3.2 lgebra matricial 160 3.3 La
inversa de una matriz 169 3.4 La factorizacin LU 186 3.5
Subespacios, bases, dimensin y rank 197 3.6 Introduccin a las
transformaciones lineales 217 Robtica 232 3.7 Aplicaciones 236
Cadenas de Markov 236 Modelos econmicos lineales 241 Crecimiento
poblacional 245 Grafos y digrafos 247 Cdigos de correccin de error
251 Repaso del captulo 262 Eigenvalores y eigenvectores 264 4.0
Introduccin: un sistema dinmico de grafos 264 4.1 Introduccin a
eigenvalores y eigenvectores 265 4.2 Determinantes 274 Mtodo de
condensacin de Lewis Carroll 295 Exploracin: Aplicaciones
geomtricas de los determinantes 297 4.3 Eigenvalores y
eigenvectores de matrices n n 303 4.4 Semejanza y diagonalizacin
312 4.5 Mtodos iterativos para calcular eigenvalores 322 4.6
Aplicaciones y el teorema de Perron-Frobenius 336 Cadenas de Markov
336 Crecimiento poblacional 341 El Teorema de Perron-Frobenius 343
Relaciones de recurrencia lineal 346 Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales 351 Sistemas dinmicos lineales discretos 359
Clasicacin de equipos deportivos y bsqueda en Internet 367 Repaso
del captulo 375 Ortogonalidad 377 5.0 Introduccin: sombras en la
pared 377 5.1 Ortogonalidad en n 379 5.2 Complementos y
proyecciones ortogonales 389 5.3 El proceso de Gram-Schmidt y la
factorizacin QR 399 Exploracin: La factorizacin QR modicada 407 Cmo
aproximar eigenvalores con el algoritmo QR 409 5.4 Diagonalizacin
ortogonal de matrices simtricas 411 5.5 Aplicaciones 419 Cdigos
duales 419 Contenido vii Captulo 3 Captulo 4 Captulo 5
00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina vii
- 10. Formas cuadrticas 425 Gracacin de ecuaciones cuadrticas 432
Repaso del captulo 443 Espacios vectoriales 445 6.0 Introduccin:
Fibonacci en el espacio (vectorial) 445 6.1 Espacios y subespacios
vectoriales 447 6.2 Independencia lineal, bases y dimensin 461
Exploracin: Cuadrados mgicos 478 6.3 Cambio de base 481 6.4
Transformaciones lineales 490 6.5 El kernel y el rango de una
transformacin lineal 499 6.6 La matriz de una transformacin lineal
515 Exploracin: Mosaicos, retculas y la restriccin cristalogrca 533
6.7 Aplicaciones 536 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas
536 Cdigos lineales 543 Repaso del captulo 550 Distancia y
aproximacin 552 7.0 Introduccin: geometra de taxi 552 7.1 Espacios
con producto interno 554 Exoploracin: Vectores y matrices con
entradas complejas 566 Desigualdades geomtricas y problemas de
optimizacin 570 7.2 Normas y funciones de distancia 575 7.3
Aproximacin por mnimos cuadrados 591 7.4 La descomposicin de valor
singular 613 Compresin de imgenes digitales 630 7.5 Aplicaciones
633 Aproximacin de funciones 633 Cdigos de correccin de error 640
Repaso del captulo 645 APNDICE A Notacin matemtica y mtodos de
demostracin 648 APNDICE B Induccin matemtica 657 APNDICE C Nmeros
complejos 664 APNDICE D Polinomios 675 APNDICE E Technology Bytes
Online-only Respuestas a ejercicios impares seleccionados 685 ndice
720 viii Contenido Captulo 6 Captulo 7 00-Preliminares.qxd 2/6/11
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- 11. Vea The College Mathematics Journal 24 (1993), 41-46. Lo
ltimo que uno sabe cuando escribe un libro, es qu poner primero.
Blaise Pascal Penses, 1670 La tercera edicin de lgebra lineal: una
introduccin moderna conserva el enfoque y ca- ractersticas que los
usuarios encontraron como fortalezas de la edicin anterior. Sin em-
bargo, agregu nuevo material para hacer el libro til para una
audiencia ms amplia y tambin refresqu los ejercicios. Quiero que
los alumnos vean al lgebra lineal como una materia excitante y que
apre- cien su tremenda utilidad. Al mismo tiempo, quiero ayudarles
a dominar los conceptos y tcnicas bsicas del lgebra lineal que
necesitarn en otros cursos, tanto en matemticas como en otras
disciplinas. Tambin quiero que los alumnos aprecien la interaccin
de las matemticas tericas, aplicadas y numricas que impregna la
materia. Este libro est diseado para usarse en un curso
introductorio de lgebra lineal en uno o dos semestres. Primero, y
ms importante, est dirigido a los alumnos, e hice mi mejor esfuerzo
para escribir el libro de modo que ellos no slo lo encuentren
legible, sino tam- bin que quieran leerlo. Como en la primera y
segunda ediciones, tom en cuenta la reali- dad de que los alumnos
que cursan lgebra lineal introductoria probablemente provengan de
varias disciplinas.Adems de las especialidades en matemticas,es
adecuado para los es- pecializados en ingeniera, fsica, qumica,
ciencias de la computacin, biologa, ciencias ambientales, geografa,
economa, psicologa, negocios y educacin, as como otros alum- nos
que toman el curso como una materia optativa o para cumplir los
requisitos del grado. En concordancia, el libro equilibra teora y
aplicaciones, est escrito en un estilo conversa- cional aunque es
completamente riguroso, y combina una presentacin tradicional con
la preocupacin por el aprendizaje centrado en el alumno. No existe
como un mejor estilo de aprendizaje nico. En cualquier grupo habr
algu- nos alumnos que trabajen bien de manera independiente y otros
que trabajen mejor en grupos; algunos que preeran el aprendizaje
basado en conferencias y otros que prosperen en un escenario de
talleres, realizando exploraciones; algunos que gocen con las
manipula- ciones algebraicas, algunos que sean fanticos del clculo
numrico (con y sin compu- tadora) y algunos que muestren fuerte
intuicin geomtrica. En este libro contino la pre- sentacin del
material en varias formas (algebraica, geomtrica, numrica y verbal)
de modo que todos los tipos de aprendices puedan encontrar una ruta
a seguir. Tambin trat de presentar los temas terico, de clculo y
aplicacin en una forma exible, aunque inte- grada. Al hacerlo,
espero que todos los alumnos estarn expuestos a los muchos lados
del lgebra lineal. Este libro es compatible con las recomendaciones
del Lineal Algebra Curriculum Study Group. Desde un punto de vista
pedaggico, no hay duda de que, para la mayora de los ix
00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina ix
- 12. alumnos,los ejemplos concretos deben anteceder a la
abstraccin.Aqu tom este enfoque. Tambin creo rmemente que el lgebra
lineal trata esencialmente de vectores y que los alumnos deben ver
primero vectores (en un escenario concreto) con la nalidad de obte-
ner cierta comprensin geomtrica. Ms an, la introduccin temprana de
los vectores permite a los alumnos ver cmo los sistemas de
ecuaciones lineales surgen de manera na- tural de problemas
geomtricos. Luego las matrices surgen igualmente de manera natural
como matrices de coecientes de sistemas lineales y como agentes de
cambio (transforma- ciones lineales). Esto prepara el escenario
para los eigenvectores y las proyecciones ortogo- nales, los cuales
se entienden mejor geomtricamente. Los dardos que aparecen en la
cu- bierta de este libro simbolizan vectores y reejan mi conviccin
de que la comprensin geomtrica debe anteceder a las tcnicas de
clculo. Trat de limitar el nmero de teoremas en el texto. En su
mayor parte, los resultados marcados como teoremas se usarn ms
tarde en el texto o resumen el trabajo prece- dente. Los resultados
interesantes que no son el tema central del libro se incluyeron
como ejercicios o exploraciones. Por ejemplo, el producto cruz de
vectores se estudia slo en exploraciones (en los captulos 1 y 4). A
diferencia de la mayora de los libros de lgebra lineal, el que
tiene en sus manos no tiene un captulo acerca de determinantes. Los
resultados esenciales estn todos en la seccin 4.2, con otro
material interesante con- tenido en una exploracin. Sin embargo, el
libro es muy completo para ser un texto in- troductorio. Siempre
que fue posible, inclu pruebas elementales y accesibles a los
teore- mas, con la nalidad de evitar el tener que decir: la prueba
de este resultado est ms all del mbito de este texto. El resultado
es, espero, una obra completa en s misma. No fui tacao con las
aplicaciones: existen muchas ms en el libro de las que se pue- den
abarcar en un solo curso. Sin embargo, es importante que los
alumnos vean la im- presionante gama de problemas a la que puede
aplicarse el lgebra lineal. Inclu algn material moderno acera de
teora de codicacin que por lo general no se encuentra en un texto
introductorio de lgebra lineal. Tambin hay impresionantes
aplicaciones del lgebra lineal en el mundo real, y un tema de
inters histrico, si no prctico, que se pre- senta como vietas
independientes. Espero que los profesores disfruten la enseanza a
partir de este libro. Ms importante: espero que los alumnos que
usen el libro terminen el curso apreciando la belleza, el poder y
la tremenda utilidad del lgebra lineal y que tengan diversin a lo
largo del camino. Qu hay de nuevo en la tercera edicin La
estructura global y el estilo de lgebra lineal: una introduccin
moderna siguen siendo los mismos que en la tercera edicin. He aqu
un resumen del material nuevo: El captulo 1 se reorganiz de manera
extensa. La introduccin a la aritmtica modular y al lgebra lineal
nita se movieron a la seccin 1.1. La seccin 1.4 ahora slo contiene
aplicaciones: vectores cdigo y una nueva subseccin acerca de
vectores fuerza, como aparecen en fsica e ingeniera. Los modelos
econmicos lineales, un tema de importancia en negocios y economa,
se agregaron como aplicacin en los captulos 2 y 3. Una nueva vieta
acerca del mtodo de condensacin de Lewis Carroll para evaluar
determinantes se agreg al captulo 4. Hay ms de 400 ejercicios
nuevos o revisados. Realic numerosos cambios pequeos de redaccin
para mejorar la claridad o precisin de la exposicin. Las
asignaciones de tareas en lnea ahora pueden realizarse usando
Enhanced WebAssign, que contiene ejercicios relacionados con el
libro. x Prefacio Vea las pginas 13, 50 Vea las pginas 113, 241 Vea
la pgina 295 Vea la pgina xvi 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42
Pgina x
- 13. Ejercicios, con soluciones, ahora estn disponibles para los
Apndices en el sitio web para el libro a disposicin del profesor.
Esto facilitar el uso del libro para aquellos profesores que
incluyan material de los apndices en sus cursos. Todos los
auxiliares existentes se actualizaron y muchos se colocaron en el
sitio web de la empresa. Caractersticas Estilo de escritura claro
El texto est escrito en un estilo simple, directo y conversacional.
Tanto como fue posi- ble, usidioma matemticoen lugar de apoyarme de
manera excesiva en notacin ma- temtica. Sin embargo, todas las
pruebas dadas son totalmente rigurosas y el Apndice A contiene una
introduccin a la notacin matemtica para quienes deseen simplicar su
propia escritura. Ejemplos concretos casi siempre preceden a los
teoremas, a los que luego siguen ms ejemplos y aplicaciones. Este
ujo, de lo especco a lo general y de re- greso, es consistente a lo
largo del libro. Conceptos clave introducidos al inicio Muchos
alumnos encuentran dicultad en el lgebra lineal cuando el curso
avanza de la realizacin de clculos (resolver sistemas de ecuaciones
lineales, manipulacin de vecto- res y matrices) a lo terico
(espacios generadores, independencia lineal, subespacios, bases y
dimensin). Este libro introduce todos los conceptos clave del
lgebra lineal muy temprano, en un escenario concreto, antes de
volver a visitarlos con total generalidad. Los conceptos
vectoriales como producto punto, longitud, ortogonalidad y
proyeccin se estudian primero en el captulo 1, en el escenario
concreto de 2 y 3 antes de que las nociones ms generales de
producto interior, norma y proyeccin ortogonal aparezcan en los
captulos 5 y 7. De igual modo, a los espacios generadores y la
independencia li- neal se les da un tratamiento concreto en el
captulo 2, antes de su generalizacin a es- pacios vectoriales en el
captulo 6. Los conceptos fundamentales de subespacio, base y
dimensin aparecen primero en el captulo 3, cuando se introducen los
espacios ren- gln, columna y nulo de una matriz; no es sino hasta
el captulo 6 cuando a estas ideas se les da un tratamiento general.
En el captulo 4 se introducen los eigenvalores y los ei-
genvectores, y se exploran para matrices de 2 2 antes de que
aparezcan sus contrapar- tes de n n.Al comenzar el captulo 4, todos
los conceptos clave del lgebra lineal se han introducido, con
ejemplos de clculo concretos para apoyarlos. Cuando dichas ideas
aparecen con plena generalidad ms tarde en el libro, los alumnos
han tenido tiempo de acostumbrarse a ellos y, por tanto, no se
sienten intimidados. nfasis en vectores y geometra Al conservar la
losofa de que el lgebra lineal trata principalmente con vectores,
este libro subraya la intuicin geomtrica. En concordancia, el
primer captulo es acerca de vectores y desarrolla muchos conceptos
que aparecern de manera repetida a lo largo del texto. Conceptos
como ortogonalidad, proyeccin y combinacin lineal se encuentran
todos en el captulo 1, as como un tratamiento amplio de lneas y
planos en 3 que ofrece comprensin esencial a la solucin de sistemas
de ecuaciones lineales. Este nfasis en vectores, geometra y
visualizacin se encuentra a lo largo del texto. Las transforma-
ciones lineales se introducen como transformaciones de matrices en
el captulo 3, con muchos ejemplos geomtricos, antes de incluir las
transformaciones lineales generales en el captulo 6. En el captulo
4 se introducen los eigenvalores con eigenimgenes Prefacio xi Vea
la pgina xv 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xi
- 14. como auxiliar visual. La prueba del Teorema de Perron se
proporciona primero heurs- ticamente y luego formalmente, en ambos
casos usando un argumento geomtrico. La geometra de los sistemas
dinmicos lineales refuerza y resume el material acerca de ei-
genvalores y eigenvectores. En el captulo 5, las proyecciones
ortogonales, los comple- mentos ortogonales de subespacios y el
proceso Gram-Schmidt se presentan todos en el escenario concreto de
3 antes de generalizarse a n y, en el captulo 7, a espacios de pro-
ducto interior. La naturaleza de la descomposicin del valor
singular tambin se explica de manera informal en el captulo 7 va un
argumento geomtrico. De las ms de 300 - guras en el texto, ms de
200 se dedican a fomentar una comprensin geomtrica del l- gebra
lineal. Exploraciones La introduccin a cada captulo es una
exploracin guiada (seccin 0) en la que se invita a los alumnos a
descubrir, individualmente o en grupos, algn aspecto del captulo
veni- dero. Por ejemplo, El juego de la pista de carreras introduce
los vectores, Matrices en accin introduce la multiplicacin de
matrices y las transformaciones lineales, Fibo- nacci en el espacio
(vectorial) toca conceptos de espacio vectorial yGeometra de taxi
establece normas generalizadas y funciones de distancia. Las
exploraciones adicionales que se encuentran a lo largo del libro
incluyen aplicaciones de vectores y determinantes a la geometra,
una investigacin de los cuadrados mgicos de 3 3, un estudio de la
si- metra basado en los mosaicos de M. C. Escher, una introduccin
al lgebra lineal com- pleja y problemas de optimizacin usando
desigualdades geomtricas. Tambin existen exploraciones que
introducen importantes consideraciones numricas y el anlisis de al-
goritmos. Hacer que los alumnos realicen algunas de estas
exploraciones es una forma de alentarlos a convertirse en
aprendices activos y de darles dominio sobre una pequea parte del
curso. Aplicaciones El libro contiene una abundante seleccin de
aplicaciones elegidas de una amplia gama de disciplinas, incluidas
matemticas, ciencias de la computacin, fsica, qumica, inge- niera,
biologa, negocios, economa, psicologa, geografa y sociologa. Digno
de aten- cin entre stas es un fuerte tratamiento de la teora de
codicacin, desde los cdigos de deteccin de error (como el
International Standard Book Numbers) hasta sosticados cdigos de
correccin de error (como el cdigo Reed-Muller, que se us para
transmitir fotografas satelitales desde el espacio).
Adicionalmente, existen cinco vietas que pre- sentan brevemente
algunas aplicaciones muy modernas del lgebra lineal: el sistema Co-
dabar, el sistema de posicionamiento global (GPS), robtica, motores
de bsqueda en Internet y la compresin de imgenes digitales.
Ejemplos y ejercicios Existen ms de 400 ejemplos en este libro, la
mayora resueltos con mayor detalle de lo acostumbrado en un libro
de texto introductorio al lgebra lineal. Este nivel de detalle es
consecuente con la losofa de que los alumnos querrn (y podrn) leer
un libro de texto. En concordancia, no se tiene la intencin de que
todos los ejemplos se estudien en clase; muchos pueden asignarse
para estudio individual o grupal, posiblemente como parte de un
proyecto. La mayora de los ejemplos tienen al menos un ejercicio
contra- parte, de modo que los alumnos pueden practicar las
habilidades incluidas en el ejemplo antes de explorar las
generalizaciones. Hay ms de 2000 ejercicios, ms que en la mayora de
los libros de texto de nivel si- milar. La respuesta a la mayora de
los ejercicios de clculo con nmero impar puede en- xii Prefacio Vea
las pginas 1, 142, 445, 552 Vea las pginas 89, 90, 91, 407, 409 Vea
las pginas 57, 545 Vea las pginas 60, 127, 232, 367, 630 Vea las
pginas 32, 297, 478, 533, 566, 570 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42
Pgina xii
- 15. contrarse en la parte nal del libro. Los profesores
descubrirn una riqueza de ejercicios de dnde elegir para
asignaciones de tarea en casa. (En la Gua del Instructor en lnea se
brindan algunas sugerencias.) Los ejercicios en cada seccin estn
graduados y avanzan de lo rutinario a lo desaante. Los ejercicios
varan desde los que tienen la intencin del clculo mental a los que
requieren el uso de una calculadora o un sistema algebraico de
cmputo, y de los ejercicios tericos y numricos a los ejercicios
conceptuales. Muchos de los ejemplos y ejercicios usan datos reales
recopilados de situaciones del mundo real. Por ejemplo, existen
problemas acerca de modelado del crecimiento de poblaciones de
caribes y focas, datacin con radiocarbono del monumento de
Stonehenge y predic- cin de salarios de jugadores de las grandes
ligas de beisbol. Trabajar tales problemas re- fuerza el hecho de
que el lgebra lineal es una valiosa herramienta para el modelado de
problemas de la vida real. Ejercicios adicionales aparecen en forma
de repaso al nal de cada captulo. En cada conjunto hay 10 preguntas
verdadero/falso diseadas para poner a prueba la compren- sin
conceptual, seguidas por 19 ejercicios de clculo y tericos que
resumen los princi- pales conceptos y tcnicas de cada captulo.
Bosquejos biogrficos y notas etimolgicas Es importante que los
alumnos aprendan algo acerca de la historia de las matemticas y
lleguen a verla como un esfuerzo social y cultural, as como
cientco. En concordancia, el texto contiene breves bosquejos
biogrcos acerca de muchos de los matemticos que contribuyeron al
desarrollo del lgebra lineal. Espero que estos bosquejos ayuden a
poner un rostro humano a la materia y que proporcionen a los
alumnos otra forma de relacionarse con el material. La Gua del
Instructor en lnea sugiere formas para ampliar algunas de tales
notas biogrcas en proyectos de ensayo. Descubr que muchos alumnos
se sienten alejados de las matemticas porque la ter- minologa no
tiene sentido para ellos: se trata simplemente de una coleccin de
palabras por aprender. Para ayudar a superar este problema, inclu
breves notas etimolgicas que ofrecen los orgenes de muchos de los
trminos que se usan en lgebra lineal. (Por ejem- plo, por qu se usa
la palabra normal para referirse a un vector que es perpendicular a
un plano?) Iconos marginales Los mrgenes del libro contienen muchos
iconos cuyo propsito es alertar al lector en varias formas. El
clculo no es un prerrequisito para este libro, pero el lgebra
lineal tiene muchas aplicaciones interesantes e importantes para el
clculo. El icono denota un ejemplo o ejercicio que requiere clculo.
(Este material puede omitirse si nadie en el grupo ha cursado al
menos un semestre de clculo. Alternativamente, pueden asignarse
como proyectos.) El icono denota un ejemplo o ejercicio que
involucra nmeros complejos. (Para los alumnos no familiarizados con
los nmeros complejos, el Apn- dice C contiene todo el material de
antecedentes que se necesita.) El icono indica que se requiere, o
al menos es muy til, un sistema algebraico de cmputo (como Maple,
Mathematica o MATLAB) o una calculadora con capacidades para
matrices (como la TI-89, TI-Nspire, HP-48gII, HP-50g, Casio 9850GC+
o Sharp EL-9200C) para resolver el ejemplo o ejercicio. Con la
intencin de ayudar a los alumnos a aprender cmo leer y usar este
libro de texto de manera ms efectiva, anot varios lugares donde se
aconseja al lector detenerse por un momento. Se trata de lugares
donde se necesita un clculo, debe suministrarse parte de una
prueba, debe vericarse una armacin o se requiere algo de
pensamiento adicional. El icono aparece en el margen de tales
lugares; el mensaje es: Detn- gase. Saque su lpiz. Piense en esto.
IIIIIIIIII CAS a + bi dy dx Prefacio xiii Vea las pginas 257, 370,
547, 611 Vea la pgina 34 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina
xiii
- 16. Tecnologa Este libro puede usarse exitosamente ya sea que
los alumnos tengan o no acceso a la tec- nologa. Sin embargo, las
calculadoras con capacidades para matrices y los sistemas alge-
braicos de cmputo son ahora comunes y, utilizados de manera
adecuada, pueden enri- quecer la experiencia de aprendizaje as como
ayudar con los clculos tediosos. En este texto se toma el punto de
vista de que los alumnos necesitan dominar todas las tcnicas bsicas
del lgebra lineal al resolver ejemplos a mano que no son demasiado
difciles para realizar clculos. Entonces la tecnologa puede usarse
(en todo o en parte) para re- solver ejemplos y aplicaciones
posteriores, y para aplicar tcnicas que se apoyen en los primeros.
Por ejemplo, cuando se introducen por primera vez sistemas de
ecuaciones li- neales, se proporcionan soluciones detalladas; ms
tarde, simplemente se presentan las soluciones, y se espera que el
lector las compruebe. Este es un buen lugar para usar al- guna
forma de tecnologa. Del mismo modo, cuando las aplicaciones usen
datos que hagan imprcticos los clculos a mano, use tecnologa. Todos
los mtodos numricos que se estudian dependen del uso de tecnologa.
Con la ayuda de tecnologa, los alumnos pueden explorar el lgebra
lineal en ciertas formas excitantes y descubrir mucho por ellos
mismos. Por ejemplo, si uno de los coe- cientes de un sistema
lineal se sustituye por un parmetro, cunta variabilidad hay en las
soluciones? Cmo cambiar una sola entrada de una matriz afecta sus
eigenvalores? Este libro no es un curso acerca de tecnologa, y en
los lugares donde sta puede usarse, no se especica un tipo
particular de tecnologa. El sitio web para el alumno que acom- paa
a este libro ofrece un apndice en lnea llamado Technology Bytes que
ofrece ins- trucciones para resolver una seleccin de ejemplos de
cada captulo usando Maple, Mathematica y MATLAB. Al imitar dichos
ejemplos, los alumnos pueden realizar ms clculos y exploraciones
usando cualquier CAS (siglas en ingls de sistema algebraico de
cmputo), MATLAB que tengan y explotar el poder de dichos sistemas
para auxiliarse con los ejercicios a lo largo del libro, en
particular con los marcados con el icono . El sitio web tambin
contiene conjuntos de datos y cdigo de cmputo en formatos Maple,
Mathematica y MATLAB relacionados con muchos ejercicios y ejemplos
en el texto. Alumnos y profesores pueden importarlos directamente
en su CAS para conservar la es- critura y eliminar errores. lgebra
lineal finita y numrica El texto abarca dos aspectos del lgebra
lineal que escasamente se mencionan juntos: l- gebra lineal nita y
lgebra lineal numrica. Al introducir pronto aritmtica modular, es
posible hacer del lgebra lineal nita (ms correctamente, lgebra
lineal sobre campos nitos, aunque yo no uso dicha frase) un tema
recurrente a lo largo del libro. Este enfo- que brinda acceso al
material acerca de teora de codicacin en las secciones 1.4, 3.7,
5.5, 6.7 y 7.5. Tambin hay una aplicacin a juegos lineales nitos en
la seccin 2.4 que los alumnos realmente gozarn. Adems de estar
expuestos a las aplicaciones de lgebra lineal nita, quienes se
especialicen en matemticas se beneciarn de ver el material acerca
de campos nitos, porque probablemente los encontrarn en cursos como
mate- mticas discretas, lgebra abstracta y teora de nmeros. Todos
los alumnos deben tener en cuenta que, en la prctica, en el lgebra
lineal es imposible llegar a soluciones exactas de problemas de
gran escala. La exposicin a algu- nas de las tcnicas del lgebra
lineal numrica brindar un indicio de cmo obtener so- luciones
aproximadas enormemente precisas. Algunos de los temas numricos
incluidos en el libro son: errores de redondeo y pivoteo parcial,
mtodos iterativos para resolver sistemas lineales y eigenvalores de
computacin, las factorizaciones LU y QR, las normas matriciales y
nmeros de condicin, aproximacin por mnimos cuadrados y el valor
singular de descomposicin. La inclusin del lgebra lineal numrica
tambin plantea algunos problemas interesantes e importantes que
estn ausentes por completo de la teo- CAS xiv Prefacio Vea las
pginas 53, 111, 251, 419, 543, 640 Vea las pginas 89, 90, 130, 322,
392, 403, 584, 591, 613 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina
xiv
- 17. ra del lgebra lineal, como las estrategias de pivoteo, la
condicin de un sistema lineal y la convergencia de los mtodos
iterativos. Este libro no slo plantea dichas cuestiones, sino
tambin muestra cmo puede abordarlos. Los discos de Gerschgorin, las
normas matriciales y los valores singulares de una matriz, que se
estudian en los captulos 4 y 7, son tiles a este respecto. Apndices
El Apndice A contiene un panorama de la notacin matemtica y mtodos
de prueba, y el Apndice B discute la induccin matemtica. Todos los
alumnos se beneciarn de dichas secciones, pero quienes estn
orientados a una especialidad en matemticas acaso deban poner
particular atencin en ellos. Algunos de los ejemplos en dichos
apndices son raros (por ejemplo, el ejemplo B.6 del Apndice B) y
subrayan el poder de los mto- dos. El Apndice C es una introduccin
a los nmeros complejos. Para alumnos familia- rizados con dichos
resultados, este apndice puede servir como una til referencia; para
otros, esta seccin contiene todo lo que necesitan conocer para
aquellas partes del texto que usan nmeros complejos. El Apndice D
es acerca de polinomios. Descubr que mu- chos alumnos requieren
repasar estos temas. La mayora de los alumnos no est familia-
rizado con la regla de los signos de Descartes; se usa en el
captulo 4 para explicar el com- portamiento de los eigenvalores de
las matrices de Leslie. Los ejercicios que acompaan los cuatro
apndices pueden encontrarse en el sitio web del libro. Al nal del
libro se proporcionan respuestas cortas a la mayora de los
ejercicios de clculo con nmero impar. Los conjuntos de ejercicios
para acompaar los Apndices A, B, C y D estn disponibles en el sitio
web acompaante, junto con sus respuestas de n- mero impar.
Auxiliares Los siguientes complementos estn todos disponibles de
manera gratuita para los profe- sores que adopten lgebra lineal:
una introduccin moderna (tercera edicin). Los alum- nos pueden
comprar el Manual de Soluciones y Gua de Estudio del Alumno, por
separado o adjunto con el libro. El sitio web tiene secciones
protegidas con contrasea para alum- nos y profesores. Manual de
Soluciones y Gua de Estudio del Alumno ISBN-10: 0-538-73771-9;
ISBN-13: 978-0-538-73771-5 Incluye soluciones detalladas de todos
los ejercicios con nmero impar y de ejercicios se- leccionados con
nmero par; resmenes de seccin y captulo de smbolos, deniciones y
teoremas; y consejos y sugerencias de estudio. Los ejercicios
complejos se exploran me- diante un formato pregunta/respuesta
diseado para profundizar en el conocimiento. Tambin se incluyen
problemas desaantes y de entretenimiento que exploran an ms
ejercicios seleccionados. Solution Builder
www.cengage.com/solutionbuilder Ofrece al profesor soluciones
completas de todos los ejercicios del texto, incluidos los que se
encuentran en las exploraciones y repasos de captulo, en
conveniente formato en lnea. Solution Builder permite a los
profesores crear impresiones personalizadas segu- ras de soluciones
en PDF que coinciden exactamente con los ejercicios asignados al
grupo. Disponible para quienes adopten el libro al rmar en la
direccin web mencio- nada anteriormente. Prefacio xv Vea las pginas
330, 586, 623 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xv
- 18. Gua del Instructor www.cengage.com/math/poole, sitio web
para el profesor Esta gua en lnea, escrita por Douglas Shaw y
Michael Prophet, aumenta el texto con va- liosos recursos
pedaggicos como proyectos de trabajo grupal, consejos pedaggicos,
in- teresantes preguntas de examen, ejemplos y material adicional
para clases, y otros tems diseados para reducir el tiempo de
preparacin del profesor y hacer que las clases de l- gebra lineal
sean una experiencia atractiva e interactiva. Para cada seccin del
texto, la Gua del Instructor incluye tiempo y nfasis sugeridos,
puntos a resaltar, preguntas para discusin, materiales y ejemplos
de clase, consejos tecnolgicos, proyectos estudiantiles, trabajo
grupal con soluciones, ejemplos de tareas y sugerencias de
preguntas para exa- men. ExamView banco de exmenes electrnico
ISBN-10: 0-538-73770-0; ISBN-13: 978-0-538-73770-8 El software para
exmenes ExamView permite a los profesores crear, entregar y
persona- lizar rpidamente exmenes para sus grupos en formatos
impresos y en lnea, y caracte- rsticas de calicacin automtica.
Incluye ms de 500 preguntas verdadero/falso, opcin mltiple y
respuesta libre con base en el texto. Todos los tems de examen
tambin se proporcionan en formatos PDF y Microsoft Word para los
profesores que opten por no usar el componente de software.
Enhanced WebAssign Un sistema de enseanza/aprendizaje fcil de usar
en lnea que ofrece tareas para casa asignables, calicacin
automtica, asistencia interactiva para estudiantes y control de
gestin de curso para profesores. Con cientos de ejercicios acordes
al texto, los alumnos obtienen prctica para resolver problemas que
clarican el lgebra lineal, construyen ha- bilidades e impulsan la
comprensin conceptual. La interfase simple y amigable con el
usuario de Enhanced WebAssign permite a los profesores crear
rpidamente un curso, inscribir alumnos, seleccionar problemas para
una tarea y controlar el nmero de inten- tos de respuesta que se
permitan a los alumnos. Una boleta de calicaciones rica en ca-
ractersticas ayuda a administrar las calicaciones del grupo,
establecer curvas de cali- cacin, asignar fechas lmite y exportar
resultados a una hoja de clculo fuera de lnea. Para ms informacin,
visite www.webassign.net/brookscole. Sitio web para lgebra lineal:
Una introduccin moderna www.cengage.com/math/poole Contiene
materiales adicionales en lnea para acompaar el texto dirigidos a
alumnos y profesores. Aqu pueden encontrarse ejercicios para
acompaar los apndices del libro, junto con respuestas
seleccionadas. El apndice Technology Bytes ofrece instrucciones CAS
para Maple, Mathematica y MATLAB para resolver ejemplos de cada
captulo. Con- juntos de datos CAS descargables en formatos Maple,
Mathematica y MATLAB ofrecen cdigo directo de computadora para
trabajar ejercicios y ejemplos del texto en un CAS. La Gua del
Instructor, versiones estticas de los tems de examen ExamView y
otros re- cursos tiles tambin son accesibles aqu slo para los
profesores. Reconocimientos Los revisores de cada edicin de este
texto aportaron valiosos y con frecuencia perspica- ces comentarios
acerca del libro. Estoy agradecido por el tiempo que cada uno de
ellos tom para hacer esto. Su juicio y tiles sugerencias
contribuyeron enormemente al desa- rrollo y xito de este libro, y
quiero agradecerles personalmente: Mark Brittenham, University of
Nebraska; Marek Elzanowski, Portland State Univer- sity; J. Douglas
Faires, Youngstown State University; Yuval Flicker, The Ohio State
Uni- versity; Justin Travis Gray, Simon Fraser University; William
Hager, University of xvi Prefacio 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42
Pgina xvi
- 19. Florida; Sasho Kalajdzievski, University of Manitoba;
Israel Koltracht, University of Connecticut; Dr. En-Bing Lin,
University of Toledo; Dr. Asamoah Nkwanta, Morgan State University;
Gleb Novitchkov, Penn State University; Arthur Robinson, George
Washington University; Roman Smirnov, Dalhousie University; Ron
Solomon, Ohio State University; Mo Tavakoli, Chaffey College; Bruno
Welfert, Arizona State Univer- sity. Estoy en deuda con mucha gente
que, a lo largo de los aos, inuy en mis percep- ciones acerca del
lgebra lineal y la enseanza de las matemticas en general. Primero,
quiero agradecer de manera colectiva a los participantes en las
sesiones de educacin y lgebra lineal especial en reuniones de la
Mathematical Association of America y la Ca- nadian Mathematical
Society. Tambin aprend mucho de la participacin en la Cana- dian
Mathematics Education Study Group y el Canadian Mathematics
Education Forum. Quiero agradecer especialmente a Ed Barbeau, Bill
Higginson, Richard Hoshino, John Grant McLoughlin, Eric Muller,
Morris Orzech, Bill Ralph, Pat Rogers, Peter Taylor y Walter
Whiteley, cuyos consejos e inspiracin contribuyeron enormemente con
la lo- sofa y el estilo de este libro. Mi gratitud tambin para
Robert Rogers, quien desarroll las soluciones para alumnos y
profesores, as como el excelente contenido de la gua de estudio. Un
agradecimiento especial para Jim Stewart por su apoyo y consejos
conti- nuos. Joe Rotman y su adorable libro A First Course in
Abstract Algebra inspir las notas etimolgicas en este libro, y me
apoy bastante en el The Words of Mathematics de Steven Schwartzman
cuando compil dichas notas. Agradezco a Art Benjamin por introdu-
cirme en el sisetma Codabar. Mis colegas Marcus Pivato y Reem
Yassawi ofrecieron in- formacin til acerca de los sistemas
dinmicos. Como siempre, estoy agradecido con mis alumnos por
plantear buenas preguntas y proporcionarme la realimentacin nece-
saria para convertirme en un mejor profesor. Sinceramente agradezco
a todas las personas que estuvieron involucradas en la pro- duccin
de este libro. Gunjan Chandola y su equipo en MPS Limited
realizaron una sor- prendente labor al producir la tercera edicin
con un calendario muy apretado. Agra- dezco a Roger Lipsett por
realizar una excelente labor al vericar la precisin de esta edicin
y a Richard Camp por hacer una concienzuda correccin del libro. Ha
sido una experiencia deliciosa trabajar con los autores de los
auxiliares, quienes estuvieron en la misma longitud de onda que yo
desde el principio. Doug Shaw y Mike Prophet escribie- ron una
excelente Gua del Instructor; Richard Pappas expandi y mejor el
contenido del banco de exmenes disponible en ExamView. Sobre todo,
ha sido una delicia traba- jar con todos los equipos editoriales,
de marketing y de produccin en Cengage Lear- ning: Molly Taylor,
editora sponsor; Dan Seibert, editor asociado; Shaylin Walsh, asis-
tente editorial; Susan Miscio, gerente de proyecto de contenido;
Andrew Coppola, editor de medios; y Jennifer Jones, gerente de
marketing. Ellos ofrecieron atinados consejos acerca de cambios y
adiciones, ofrecieron ayuda cuando la necesitaba, pero me permi-
tieron escribir el libro que quera. Soy afortunado por haber
trabajado con ellos, as como con el personal de las ediciones
primera y segunda. Como siempre, agradezco a mi familia por su
amor, apoyo y comprensin. Sin ellos, este libro no habra sido
posible. David Poole dpoole@trentu.ca Prefacio xvii
00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xvii
- 20. 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xviii
- 21. Me diras, por favor, hacia dnde debo ir desde aqu? Eso
depende bastante de hacia dnde quieras ir, dijo el Gato. Lewis
Carroll Alices Adventures in Wonderland, 1865 Este texto se escribi
con exibilidad en mente. Tiene la intencin de usarse en un curso de
uno o dos semestres con 36 clases por semestre. La gama de temas y
aplicaciones lo hace adecuado para varias audiencias y tipos de
cursos. Sin embargo, hay ms material en el libro del que puede
estudiarse en clase, incluso en un curso de dos semestres. Des- pus
del siguiente panorama del texto hay algunas breves sugerencias
acerca de formas de usar el libro. La Gua del Instructor en lnea
tiene sugerencias ms detalladas, incluidas notas pedaggicas,
ejercicios recomendados, actividades y proyectos para el saln de
clase, y temas adicionales Panorama del texto Captulo 1: Vectores
El juego de la pista de carreras en la seccin 1.0 sirve para
introducir los vectores de ma- nera informal. (Tambin es muy
divertido para jugar!) Luego los vectores se introducen formalmente
tanto desde un punto de vista algebraico como de uno geomtrico. Las
operaciones de suma y multiplicacin escalar y sus propiedades se
desarrollan primero en los escenarios concretos de 2 y 3 antes de
generalizarse a n . Tambin se introdu- cen la aritmtica modular y
el lgebra lineal nita. La seccin 1.2 dene el producto punto de
vectores y las nociones relacionadas de longitud, ngulo y
ortogonalidad. El concepto muy importante de proyeccin (ortogonal)
se desarrolla aqu; reaparecer en los captulos 5 y 7. La exploracin
Vectores y geometra muestra cmo pueden usarse mtodos vectoriales
para probar ciertos resultados en la geometra euclideana. La sec-
cin 1.3 es una introduccin bsica, aunque amplia, a las lneas y los
planos en 2 y 3 . Esta seccin es crucial para comprender el
signicado geomtrico de la solucin de los sistemas lineales del
captulo 2. Note que el producto cruz de vectores en 3 se deja como
exploracin. El captulo concluye con dos aplicaciones: vectores
fuerza y vectores cdigo. La mayora de los alumnos disfrutarn la
aplicacin al Universal Product Code (UPC) y al International
Standard Book Number (ISBN). La vieta acerca del sistema Codabar
que se usa en tarjetas de crdito y bancarias es una excelente
presentacin para clase que incluso puede usarse para introducir la
seccin 1.4 xix Vea la pgina 1 Vea la pgina 32 Vea la pgina 48 Vea
las pginas 56, 57, 60 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina
xix
- 22. Captulo 2: Sistemas de ecuaciones lineales La introduccin a
este captulo sirve para ilustrar que existe ms de una forma de en-
contrar una solucin para un sistema de ecuaciones lineales. Las
secciones 2.1 y 2.2 de- sarrollan la principal herramienta de
evaluacin para resolver sistemas lineales: reduc- cin de matrices
(eliminacin gaussiana y de Gauss-Jordan). Casi todos los mtodos de
evaluacin posteriores en el libro dependen de esto. El teorema del
rango aparece aqu por primera vez; se muestra de nuevo, con ms
generalidad, en los captulos 3, 5, y 6. La seccin 2.3 es muy
importante: ah se introducen las nociones fundamentales de genera-
dores y de independencia lineal de vectores. No se apresure con
este material. La seccin 2.4 contiene seis aplicaciones que pueden
elegir los profesores, dependiendo del tiempo disponible y de los
intereses del grupo. La vieta acerca del Sistema de Posicionamiento
Global ofrece otra aplicacin que disfrutarn los alumnos. Los mtodos
iterativos de la seccin 2.5 sern opcionales para muchos cursos,
pero son esenciales para un curso con un enfoque aplicado/numrico.
Las tres exploraciones de este captulo se relacionan en que todos
tratan con aspectos del uso de las computadoras para resolver
sistemas linea- les. Todos los alumnos deben al menos estar al
tanto de estos temas. Captulo 3: Matrices Este captulo contiene
algunas de las ideas ms importantes en el libro. Es un captulo
largo, pero el material inicial puede estudiarse muy rpidamente,
con tiempo adicional reservado para el material crucial de la
seccin 3.5. La seccin 3.0 es una exploracin que introduce la nocin
de transformacin lineal: la idea de que las matrices no slo son ob-
jetos estticos sino ms bien un tipo de funcin que transforma
vectores en otros vecto- res. Todos los hechos bsicos acerca de las
matrices, las operaciones matriciales y sus pro- piedades se
encuentran en las primeras dos secciones. El material acerca de
matrices particionadas y las representaciones mltiples del producto
matricial valen la pena des- tacarse, porque se usan repetidamente
en secciones posteriores. El teorema fundamental de las matrices
invertibles de la seccin 3.3 es muy importante y aparecer muchas
veces ms conforme se presenten nuevas caracterizaciones de
invertibilidad. La seccin 3.4 discute la muy importante
factorizacin LU de una matriz. Si este tema no se estudia en clase,
vale la pena asignarlo como proyecto o discutirlo en un taller. El
punto de la sec- cin 3.5 es presentar muchos de los conceptos clave
del lgebra lineal (subespacio, base, dimensin y rango) en el
escenario concreto de matrices antes de que los alumnos los vean
con plena generalidad. Aunque los ejemplos de esta seccin son todos
familiares, es importante que los alumnos se acostumbren a la nueva
terminologa y, en particular, en- tiendan qu signica la nocin de
base. El tratamiento geomtrico de las transformacio- nes lineales
de la seccin 3.6 tiene la intencin de suavizar la transicin hacia
las trans- formaciones lineales generales del captulo 6. El ejemplo
de una proyeccin es particularmente importante porque reaparecer en
el captulo 5. La vieta acerca de bra- zos robticos es una
demostracin concreta de la composicin de transformaciones li-
neales (y anes). Existen cinco aplicaciones de las cuales elegir en
la seccin 3.7. Deben estudiarse ya sean las cadenas de Markov o el
modelo de Leslie de crecimiento poblacio- nal, de modo que puedan
usarse nuevamente en el captulo 4, donde se explicar su
comportamiento. Captulo 4: Eigenvalores y eigenvectores La
introduccin a la seccin 4.0 presenta un interesante sistema dinmico
que involucra grcas. Esta exploracin introduce la nocin de un
eigenvector y anuncia el mtodo de potencias en la seccin 4.5. Para
conservar el nfasis geomtrico del libro, la seccin 4.1 contiene la
novedosa caracterstica deeigenimgenescomo una forma de visualizar
los eigenvectores de matrices de 2 2. Los determinantes aparecen en
la seccin 4.2, moti- xx Para el profesor Vea la pgina 63 Vea las
pginas 78, 211, 397, 504 Vea la pgina 127 Vea las pginas 89, 90, 91
Vea la pgina 142 Vea las pginas 178, 212, 307, 530, 628 Vea la
pgina 232 Vea la pgina 264 Vea las pginas 236, 245
00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xx
- 23. vados por su uso en el descubrimiento de los polinomios
caractersticos de matrices pe- queas. Este curso intensivo de
determinantes contiene todo el material esencial que necesitan los
alumnos, incluida una prueba opcional pero elemental del teorema de
ex- pansin de Laplace. La vieta Mtodo de condensacin de Lewis
Carroll presenta un mtodo alternativo, con inters histrico, para
calcular determinantes que los alumnos encontrarn muy atractivo. La
exploracin Aplicaciones geomtricas de los determi- nantes
constituye un buen proyecto que contiene muchos resultados
interesantes y ti- les. (Alternativamente, los profesores que
deseen poner ms atencin en los determi- nantes pueden elegir
exponer parte de esta exploracin en clase.) La teora bsica de los
eigenvalores y los eigenvectores se encuentra en la seccin 4.3, y
la seccin 4.4 trata el im- portante tema de la diagonalizacin. El
ejemplo 4.29 acerca de potencias de matrices vale la pena
estudiarlo en clase. El mtodo de potencias y sus variantes, que se
estudian en la seccin 4.5, son opcionales, pero todos los alumnos
deben estar al tanto del mtodo, y un curso aplicado debe analizarlo
con detalle. El teorema del disco de Gerschgorin puede estudiarse
independientemente del resto de la seccin 4.6. Aunque la prueba del
Teo- rema de Perron es opcional, el teorema en s (como el ms fuerte
teorema de Perron-Fro- benius) debe al menos mencionarse, porque
explica por qu debemos esperar un eigen- valor positivo nico con un
correspondiente eigenvector positivo en dichas aplicaciones. Las
aplicaciones acerca de relaciones de recurrencia y ecuaciones
diferenciales conectan el lgebra lineal con las matemticas
discretas y el clculo, respectivamente. La exponen- cial de
matrices puede exponerse si su grupo tiene un buen antecedente de
clculo. El tema nal de los sistemas dinmicos lineales discretos
vuelve a revisar y resume muchas de las ideas del captulo 4, y las
observa bajo una nueva luz geomtrica. Los alumnos go- zarn leyendo
cmo pueden usarse los eigenvectores para ayudar a clasicar equipos
de- portivos y sitios web. Esta vieta puede ampliarse fcilmente a
un proyecto o actividad enriquecedora. Captulo 5: Ortogonalidad La
exploracin introductoria, Sombras en la pared, es la mejor
matemtica: toma un concepto conocido (proyeccin de un vector sobre
otro vector) y lo generaliza en una forma til (proyeccin de un
vector sobre un subespacio: un plano), mientras descubre algunas
propiedades anteriormente no observadas. La seccin 5.1 contiene los
resulta- dos bsicos acerca de conjuntos de vectores ortogonales y
ortonormales que se usarn repetidamente de aqu en adelante. En
particular, deben destacarse las matrices ortogo- nales. En la
seccin 5.2 se generalizan dos conceptos del captulo 1: el
complemento or- togonal de un subespacio y la proyeccin ortogonal
de un vector sobre un subespacio. El teorema de descomposicin
ortogonal es importanteaqu y ayuda a congurar el pro- ceso
Gram-Schmidt. Note tambin la rpida prueba del teorema del rango. El
proceso Gram-Schmidt se detalla en la seccin 5.3, junto con la
extremadamente importante fac- torizacin QR. Las dos exploraciones
que siguen subrayan cmo se calcula en la prctica la factorizacin QR
y cmo puede usarse para aproximar eigenvalores. La seccin 5.4
acerca de diagonalizacin ortogonal de matrices simtricas (reales)
es necesaria para las aplicaciones que continan. Tambin contiene el
teorema espectral, uno de los puntos destacados de la teora del
lgebra lineal. Las aplicaciones de la seccin 5.5 incluyen c- digos
duales, formas cuadrticas y gracacin de ecuaciones cuadrticas. Yo
siempre in- cluyo al menos la ltima de stas en mi curso, porque
ampla lo que ya conocen los alum- nos acerca de las secciones
cnicas. Captulo 6: Espacios vectoriales La secuencia de Fibonacci
reaparece en la seccin 6.0, aunque no es importante que los alumnos
la hayan visto antes (seccin 4.6). El propsito de esta exploracin
es mostrar que los conceptos familiares de espacio vectorial
(seccin 3.5) pueden usarse fructfera- Para el profesor xxi Vea la
pgina 297 Vea la pgina 295 Vea las pginas 336, 341 Vea la pgina 367
Vea la pgina 377 Vea las pginas 407, 409 Vea las pginas 419, 425,
432 Vea la pgina 445 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina
xxi
- 24. mente en un nuevo escenario. Puesto que todas las ideas
principales de los espacios vec- toriales ya se introdujeron en los
captulos 1-3, los alumnos encontrarn las secciones 6.1 y 6.2
bastante familiares. El nfasis aqu debe ser sobre el uso de los
axiomas de espacio vectorial para probar propiedades en lugar de
apoyarse en tcnicas para calcular. Cuando se discute el cambio de
base en la seccin 6.3, es til mostrar a los alumnos cmo usar la
notacin para recordar cmo funciona la construccin. A nal de
cuentas, el mtodo Gauss-Jordan es el ms eciente aqu. Son
importantes las secciones 6.4 y 6.5 acerca de transformaciones
lineales. Los ejemplos se relacionan con resultados anterio- res
acerca de matrices (y de transformaciones matriciales). En
particular, es importante subrayar que el kernel y el rango de una
transformacin lineal generalizan el espacio nulo y el espacio de
columna de una matriz. La seccin 6.6 profundiza en la nocin de que
(casi) todas las transformaciones lineales son en esencia
transformaciones matricia- les. Esto se apoya en la informacin de
la seccin 3.6, de modo que los alumnos no deben encontrarla
terriblemente sorprendente. Sin embargo, los ejemplos deben
resolverse cuidadosamente. La conexin entre cambio de base y
similitud de matrices es digna de atencin. La exploracin Mosaicos,
retculas y la restriccin cristalogrca es una im- presionante
aplicacin del cambio de base. La conexin con la obra de M. C.
Escher la hace todava ms interesante. Las aplicaciones de la seccin
6.7 se apoyan en las anterio- res y pueden incluirse segn lo
permitan el tiempo y el inters. Captulo 7: Distancia y aproximacin
La seccin 7.0 abre con la entretenida exploracin Geometra de taxi.
Su propsito es establecer el material acerca de las funciones norma
y distancia generalizadas (mtricas) que se presentan despus. Los
espacios de producto interior se estudian en la seccin 7.1; el
nfasis aqu debe estar en los ejemplos y usar los axiomas. La
exploracin Vectores y matrices con entradas complejas muestra cmo
pueden extenderse los conceptos de producto punto, matriz simtrica,
matriz ortogonal y diagonalizacin ortogonal, desde los espacios
vectoriales reales hasta los complejos. La siguiente exploracin,
Desigual- dades geomtricas y problemas de optimizacin, es una que
usualmente disfrutan los alumnos. (Se divertirn al ver cuntos
problemas declculopueden resolverse sin usar clculo!) La seccin 7.2
incluye normas vectoriales y matriciales generalizadas y muestra
cmo el nmero condicional de una matriz se relaciona con la nocin de
sistemas linea- les mal condicionados que se explor en el captulo
2. La aproximacin de mnimos cua- drados (seccin 7.3) es una
importante aplicacin del lgebra lineal en muchas otras dis-
ciplinas. El teorema de mejor aproximacin y el teorema de mnimos
cuadrados son importantes, pero sus pruebas son intuitivamente
claras. Dedique algo de tiempo a los ejemplos, algunos sern
sucientes. La seccin 7.4 presenta la descomposicin en valor
singular, una de las aplicaciones ms importantes del lgebra lineal.
Si su curso llega hasta aqu, ser ampliamente recompensado. La SVD
no slo vincula muchas nociones discutidas anteriormente; tambin
ofrece algunas aplicaciones novedosas (y bastante poderosas). Si
est disponible un CAS, la vieta acerca de compresin de imagen
digital vale la pena de presentar; es un impresionante despliegue
visual del poder del lgebra li- neal y una culminacin que ajusta
bien con el curso. Las posteriores aplicaciones de la seccin 7.5
pueden elegirse de acuerdo con el tiempo disponible y el inters del
grupo. Cmo usar el libro Los alumnos encontrarn el libro muy fcil
de leer, por lo que yo generalmente les dejo leer una seccin antes
de exponer el material en clase. De esa forma puedo emplear el
tiempo de clase destacando los conceptos ms importantes y lidiar
con los temas que a los alumnos les parecen difciles, para trabajar
ejemplos y para discutir aplicaciones. No xxii Para el profesor Vea
la pgina 533 Vea la pgina 552 Vea la pgina 566 Vea la pgina 570 Vea
la pgina 624 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxii
- 25. trato de abarcar todo el material de la lectura asignada en
clase. Este enfoque me permite mantener el ritmo del curso bastante
vivaz y freno un poco para aquellas secciones que usualmente a los
alumnos les resultan desaantes. En un curso de dos semestres es
posible revisar todo el libro, incluida una razonable seleccin de
aplicaciones. Para exibilidad adicional, puede omitir algunos de
los temas (por ejemplo, ofrecer slo un breve tratamiento del lgebra
lineal numrica), de ese modo libero tiempo para un anlisis ms a
profundidad de los temas restantes, ms apli- caciones o alguna de
las exploraciones. En un curso de matemticas decente que enfatice
las pruebas, gran parte del material en los captulos 1-3 puede
estudiarse rpidamente. Entonces el captulo 6 puede exponerse en
conjuncin con las secciones 3.5 y 3.6, y el ca- ptulo 7 puede
integrarse en el captulo 5. Yo me asegurara de asignar las
exploraciones de los captulos 1, 4, 6 y 7 para tales clases. Para
un curso de un semestre, la naturaleza del curso y la audiencia
determinarn cules temas incluir. A continuacin se describen tres
posibles cursos. El curso bsico, descrito primero, tiene menos de
36 horas sugeridas, lo que permite tiempo para temas adicionales,
revisin en clase y exmenes. Los otros dos cursos se apoyan en el
curso b- sico, pero todava son bastante exibles. Un curso bsico A
continuacin se bosqueja un curso diseado para especialidades en
matemticas y alumnos de otras disciplinas. Este curso no menciona
espacios vectoriales generales en absoluto (todos los conceptos se
tratan en un escenario concreto) y es muy ligero en las pruebas.
Sin embargo, es una introduccin completa al lgebra lineal. Para el
profesor xxiii Seccin Nmero de clases 1.1 1 1.2 11.5 1.3 11.5 2.1
0.51 2.2 12 2.3 12 3.1 12 3.2 1 3.3 2 3.5 2 Seccin Nmero de clases
3.6 12 4.1 1 4.2 2 4.3 1 4.4 12 5.1 11.5 5.2 11.5 5.3 0.5 5.4 1 7.3
2 Total: 2330 clases Dado que los alumnos en un curso como este
representan una amplia variedad de disciplinas, yo sugerira el uso
de gran parte del tiempo de clase restante para aplicacio- nes. En
mi curso lo hago con los vectores de cdigo de la seccin 1.4, lo que
realmente parece agradar a los alumnos, y al menos una aplicacin de
cada uno de los captulos 2-5. Otras aplicaciones pueden asignarse
como proyectos, junto con tantas de las explo- raciones como se
desee. Tambin existe suciente tiempo de clase disponible para estu-
diar parte de la teora con detalle. 00-Preliminares.qxd 2/6/11
08:42 Pgina xxiii
- 26. Un curso con nfasis en la realizacin de clculos Para un
curso con nfasis en la realizacin de clculos, el curso bsico que se
present en la pgina anterior puede complementarse con las secciones
del texto que tratan con el l- gebra lineal numrica. En tal caso,
yo expondra en parte o completas las secciones 2.5, 3.4, 4.5, 5.3,
7.2 y 7.4, para terminar con la descomposicin en valores
singulares. Las ex- ploraciones de los captulos 2 y 5 son
particularmente adecuadas para tal curso, como lo son casi
cualquiera de las aplicaciones. Un curso para alumnos que ya
estudiaron algo de lgebra lineal Algunos cursos estarn dirigidos a
alumnos que ya encontraron los principios bsicos del lgebra lineal
en otros cursos. Por ejemplo, un curso de lgebra universitaria con
fre- cuencia incluir una introduccin a los sistemas de ecuaciones
lineales, matrices y deter- minantes; un curso de clculo en muchas
variables casi seguramente contendr material acerca de vectores,
lneas y planos. Para los alumnos que ya han visto tales temas,
puede omitirse gran parte del material inicial y sustituirlo con un
repaso rpido. Dependiendo de los antecedentes del grupo, puede ser
posible revisar rpidamente el material en el curso bsico hasta la
seccin 3.3 aproximadamente en seis clases. Si el grupo tiene un n-
mero signicativo de especialistas en matemticas (y especialmente si
este es el nico curso de lgebra lineal que tendrn), yo me asegurara
de exponer las secciones 1.4, 6.1- 6.5, 7.1 y 7.4 y tantas
aplicaciones como permita el tiempo. Si el curso tiene
especialistas en ciencia (mas no especialistas en matemticas),
abarcara las secciones 1.4, 6.1 y 7.1 y una seleccin ms amplia de
aplicaciones, para estar seguro de incluir el material acerca de
ecuaciones diferenciales y aproximacin de funciones. Si estn ms
representados los alumnos de ciencias de la computacin o
ingenieros, tratara de exponer tanto material como pudiera acerca
de cdigos y lgebra lineal numrica. Existen muchos otros tipos de
cursos que pueden usar con xito este libro. Espero que usted lo
encuentre til para su curso y que se divierta al usarlo. xxiv Para
el profesor 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxiv
- 27. Por dnde debo comenzar, por favor, su majestad?, pregunt.
Comience por el principio, dijo el rey, con gravedad, y contine
hasta que llegue al nal: entonces detngase. Lewis Carroll Alices
Adventures in Wonderland, 1865 El lgebra lineal es una materia
excitante. Est llena de resultados interesantes, aplicacio- nes
para otras disciplinas y conexiones hacia otras reas de las
matemticas. El Manual de soluciones y gua de estudio del estudiante
contiene consejos detallados acerca de cmo usar mejor este libro; a
continuacin se ofrecen algunas sugerencias generales. El lgebra
lineal tiene varios lados: existen tcnicas para realizar clculos,
conceptos y aplicaciones. Una de las metas de este libro es
ayudarlo a dominar todas estas facetas de la materia y a ver la
interaccin entre ellas. En consecuencia, es importante que lea y
comprenda cada seccin del texto antes de abordar los ejercicios en
dicha seccin. Si slo lee los ejemplos que se relacionan con los
ejercicios que se asignaron como tarea para casa, perder mucho.
Asegrese de entender las deniciones de trminos y el signicado de
los teoremas. No se preocupe si tiene que leer algo ms de una vez
antes de compren- derlo. Tenga a mano lpiz y calculadora mientras
lee. Detngase para trabajar los ejem- plos por usted mismo o para
completar los clculos faltantes. El icono en el mar- gen indica un
lugar donde debe detenerse y pensar en lo que ha ledo hasta el
momento. Las respuestas a la mayora de los ejercicios con nmero
impar para realizar clculos estn al nal del libro. Resista a la
tentacin de mirar la respuesta antes de haber com- pletado una
pregunta.Y recuerde que, incluso si su respuesta diere de la del
libro, toda- va puede estar correcto; hay ms de una forma correcta
de expresar algunas de las solu- ciones. Por ejemplo, un valor de
tambin puede expresarse como y el conjunto de todos los mltiplos
escalares del vector es el mismo que el conjunto de todos los
mltiplos escalares de . Conforme encuentre nuevos conceptos, trate
de relacionarlos con los ejemplos que conozca. Escriba las pruebas
y soluciones a los ejercicios en una forma lgica y conec- tada, y
use oraciones completas. Lea de nuevo lo que escribi para ver si
tiene sentido. Mejor an: si puede, haga que un amigo del grupo lea
lo que usted escribi. Si no tiene sentido para otra persona, hay
posibilidades de que no tenga sentido, punto. Descubrir que son
tiles o una calculadora con capacidades para matrices o un sis-
tema algebraico de cmputo. Dichas herramientas pueden ayudarle a
vericar sus pro- c 6 1 d c 3 1>2 d 12>2,1>12 IIIIIIIIII
xxv 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxv
- 28. pios clculos a mano y son indispensables para algunos
problemas que involucran clculos tediosos. La tecnologa tambin le
permite explorar aspectos del lgebra lineal por cuenta propia.
Puede jugar juegos de y si?: y si cambio uno de los elementos en
este vector? Y si esta matriz es de un tamao diferente? Puedo
forzar la solucin para que sea lo que quiero que sea al cambiar
algo? Para sealar los lugares en el texto o los ejercicios donde se
recomienda el uso de tecnologa, coloqu el icono en el mar- gen. El
sitio web que acompaa a esta obra contiene ejercicios seleccionados
del libro, re- sueltos con cdigo de computadora usando Maple,
Mathematica y MATLAB, as como Technology Bytes, un apndice que
proporciona mltiples consejos adicionales acerca del uso de la
tecnologa en el lgebra lineal. Est a punto de embarcarse en un
viaje a travs del lgebra lineal. Piense en este libro como en su
gua de viaje. Est listo? Adelante! CAS xxvi Para el alumno
00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxvi
- 29. Vectores 1Aqu vienen, surgiendo de la tristeza. Pequeas
echas para m y para ti. Albert Hammond y Mike Hazelwood Little
Arrows Dutchess Music/BMI, 1968 1.0 Introduccin: el juego de la
pista de carreras Muchas cantidades mensurables, como la longitud,
el rea, el volumen, la masa y la tem- peratura, pueden describirse
completamente al especicar su magnitud. Otras cantida- des, como la
velocidad, la fuerza y la aceleracin, requieren tanto una magnitud
como una direccin para su descripcin. Estas cantidades son
vectores. Por ejemplo, la veloci- dad del viento es un vector que
consta de rapidez del viento y su direccin, como 10 km/h suroeste.
Geomtricamente, los vectores se representan con frecuencia como e-
chas o segmentos de recta dirigidos. Aunque la idea de vector se
introdujo en el siglo XIX, su utilidad prctica, particu- larmente
en las ciencias fsicas, no se conoci sino hasta el siglo XX. Ms
recientemente, los vectores encontraron aplicaciones en ciencias de
la computacin, estadstica, econo- ma y las ciencias de la vida y
sociales. A lo largo de este libro se considerarn algunas de estas
muchas aplicaciones. Este captulo introduce los vectores y comienza
por considerar algunas de sus pro- piedades geomtricas y
algebraicas. Tambin se considerarn aplicaciones no geomtri- cas en
las que son tiles los vectores. Sin embargo, se comienza con un
juego simple que presenta algunas de las ideas clave. [Incluso quiz
quiera jugarlo con un amigo durante los momentos aburridos (muy
raros!) en las clases de lgebra lineal.] El juego se juega en papel
grco. Sobre ste se dibuja una pista, con una lnea de partida y una
lnea de meta. La pista puede ser de cualquier longitud y forma, en
tanto sea sucientemente ancha para alojar a todos los jugadores.
Para este ejemplo, se tendrn dos jugadores (llmelos Ann y Bert),
que usan plumas de diferentes colores para repre- sentar sus carros
o bicicletas o cualquier cosa que empleen para correr alrededor de
la pista. (Piense en Ann y Bert como ciclistas.) Ann y Bert
comienzan cada uno por dibujar un punto en la lnea de partida en un
lugar de la cuadrcula sobre el papel grco. Toman turnos para
moverse hacia un nuevo punto de la cuadrcula, sujetos a las
siguientes reglas: 1. Cada nuevo punto en la cuadrcula y el
segmento de recta que lo conecta con el punto anterior en la
cuadrcula debe encontrarse completamente dentro de la pista. 2. Dos
jugadores no pueden ocupar el mismo punto en la cuadrcula en el
mismo turno. (Esta es la regla de no colisin.) 3. Cada nuevo
movimiento se relaciona con el movimiento anterior del modo si-
guiente: si un jugador se mueve a unidades horizontalmente y b
unidades vertical- 1 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:21 Pgina
1
- 30. 2 Captulo 1 Vectores mente en un movimiento, entonces en el
siguiente movimiento debe moverse entre a 1 y a + 1 unidades
horizontalmente, y entre b 1 y b + 1 unidades verticalmente. En
otras palabras, si el segundo movimiento es c unidades
horizontalmente y d uni- dades verticalmente, entonces a c 1 y b d
1. (Esta es la regla acelera- cin/desaceleracin.) Note que esta
regla fuerza al primer movimiento a ser 1 uni- dad verticalmente
y/o 1 unidad horizontalmente. Un jugador que choque con otro o deje
la pista, es eliminado. El ganador es el primer jugador en cruzar
la lnea de meta. Si ms de un jugador cruza la lnea de meta en el
mismo turno, quien las sobrepase ms es el ganador. En el juego de
muestra que se presenta en la gura 1.1,Ann fue la ganadora. Bert
ace- ler muy rpidamente y tuvo dicultades para tomar la curva en la
parte superior de la pista. Para comprender la regla 3, considere
el tercer y cuarto movimientos de Ann. En su tercer movimiento,
avanz 1 unidad horizontalmente y 3 unidades verticalmente. En su
cuarto movimiento, sus opciones eran moverse de 0 a 2 unidades
horizontalmente y de 2 a 4 unidades verticalmente. (Note que
algunas de dichas combinaciones la habran dejado fuera de la
pista.) Eligi moverse 2 unidades en cada direccin. Inicio Meta A B
Figura 1.1 Un ejemplo del juego de pista de carrera Problema 1
Juegue algunos juegos de la pista de carreras. Problema 2 Es
posible que Bert gane esta carrera si elige una secuencia diferente
de movimientos? Problema 3 Use la notacin [a, b] para denotar un
movimiento que sea a unidades horizontalmente y b unidades
verticalmente. (Tanto a o b o ambos pueden ser negati- vos.) Si
acaba de realizar el movimiento [3, 4], dibuje en el papel grco
todos los pun- tos de la cuadrcula que posiblemente podra alcanzar
en el siguiente movimiento. Problema 4 Cul es el efecto neto de dos
movimientos sucesivos? En otras palabras, si se mueve [a, b] y
luego [c, d], cun lejos, horizontal y verticalmente, se habr
movido? El matemtico irlands William Rowan Hamilton (18051865) us
conceptos vectoriales en su estudio de los nmeros complejos y su
generalizacin, los cuaterniones. 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11
01:21 Pgina 2
- 31. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 3 Problema 5
Escriba la secuencia de movimientos de Ann con la notacin [a, b].
Su- ponga que ella comienza en el origen (0, 0) en los ejes
coordenados. Explique cmo puede encontrar las coordenadas del punto
de cuadrcula correspondiente a cada uno de sus movimientos sin
mirar el papel grco. Si los ejes se dibujan de manera dife- rente,
de modo que el punto de partida de Ann no est en el origen sino en
el punto (2, 3), cules seran las coordenadas de su punto nal?
Aunque simple, este juego introduce muchas ideas que sern tiles en
el estudio de los vectores. Las siguientes tres secciones
consideran a los vectores desde los puntos de vista geomtrico y
algebraico, comenzando, como en el juego de la pista de carreras,
en el plano. Geometra y lgebra de vectores Vectores en el plano
Comience por considerar el plano cartesiano con los familiares ejes
x y y. Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a
un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B; vea la gura
1.2. El vector de A a B se denota mediante ; el punto A se conoce
como su punto ini- cial u origen, y el punto B se conoce como su
punto terminal o punta. Con frecuencia, un vector simplemente se
denota mediante una sola letra minscula negrita, como v. El
conjunto de todos los puntos en el plano corresponden al conjunto
de todos los vectores cuyos orgenes estn en el origen O. A cada
punto A, le corresponde el vector a = a cada vector a con origen en
O, le corresponde su punta A. (Los vectores de esta forma en
ocasiones se conocen como vectores de posicin.) Es natural
representar dichos vectores usando coordenadas. Por ejemplo, en la
gura 1.3, A (3, 2) y el vector se escribe a [3, 2] con corchetes.
De igual modo, los otros vectores en la gura 1.3 son Las
coordenadas individuales (3 y 2 en el caso de a) se llaman los
componentes del vec- tor. En ocasiones, se dice que un vector es un
par ordenado de nmeros reales. El orden es importante pues, por
ejemplo, [3, 2] [2, 3]. En general, dos vectores son iguales si y
slo si sus componentes correspondientes son iguales. Por tanto, [x,
y] [1, 5] implica que x = 1 y y = 5. Con frecuencia es conveniente
usar vectores columna en lugar de (o adems de) vec- tores rengln.
Otra representacin de [3, 2] es (El punto importante es que losc 3
2 d . b 31, 34 and c 32, 14 OA ! OA ! ; AB ! y A B x Figura 1.2 y B
A C x c a b O Figura 1.3 La palabra vector proviene de la raz
latina que signica transpor- tar. Un vector se forma cuando un
punto se desplaza, o transporta, una distancia dada en una direc-
cin dada. Visto de otra forma, los vectores transportan dos piezas
de informacin: su longitud y su direccin. Cuando los vectores se
escriben a mano, es difcil indicar las negri- tas. Algunas personas
preeren es- cribir para el vector denotado en impreso por v, pero
en la mayora de los casos est bien usar una mi- nscula ordinaria v.
Por lo general ser claro desde el contexto cuando la letra denota
un vector. v ! La palabra componente se deriva de las palabras
latinas co, que signica junto con, y ponere, que signica poner. Por
tanto, un vector es poner juntos sus componentes. El plano
cartesiano recibe su nom- bre en honor del lsofo y mate- mtico
francs Ren Descartes (15961650), cuya introduccin de las
coordenadas permiti que los problemas geomtricos se maneja- ran con
el uso de tcnicas algebrai- cas. y 1.11.1 01-poole_ch01a_V4.qxd
31/5/11 01:21 Pgina 3
- 32. 4 Captulo 1 Vectores Ejemplo 1.1 componentes estn
ordenados.) En captulos posteriores ver que los vectores columna
son un tanto mejores desde el punto de vista computacional; por
ahora, trate de acos- tumbrarse a ambas representaciones. Puede
ocurrir que en realidad no pueda dibujar el vector [0, 0] desde el
ori- gen hacia s mismo. No obstante. Es un vector perfectamente
bueno y tiene un nombre especial: el vector cero. El vector cero se
denota 0. El conjunto de todos los vectores con dos componentes se
denota 2 (donde de- nota el conjunto de nmeros reales de donde se
eligen los componentes de los vectores en 2 ). Por tanto, [1, 3.5],
y estn todos en 2 . Piense de nuevo en el juego de la pista de
carreras y trate de conectar todas estas ideas con los vectores
cuyos orgenes no estn en el origen. El origen etimolgico de la
palabra vector en el verbo transportar ofrece una pista. El vector
[3, 2] puede interpretarse del modo siguiente: a partir del origen
O, viaje 3 unidades a la derecha, luego 2 unidades arriba y termine
en P. El mismo desplazamiento puede aplicarse con otros puntos
inicia- les. La gura 1.4 muestra dos desplazamientos equivalentes,
representados por los vecto- res y .CD ! AB ! 35 3, 443 12, p4 OO !
y C D P A B O x Figura 1.4 Dos vectores se denen como iguales si
tienen la misma longitud y la misma direc- cin. Por tanto, en la
gura 1.4. (Aun cuando tengan diferentes puntos inicial y nal,
representan el mismo desplazamiento.) Geomtricamente, dos vectores
son igua- les si uno puede obtenerse al deslizar (o trasladar) el
otro paralelo a s mismo hasta que los dos vectores coincidan. En
trminos de componentes, en la gura 1.4 se tiene A (3, 1) y B (6,
3). Note que el vector [3, 2] que registra el desplazamiento slo es
la di- ferencia de los componentes respectivos: De igual modo, y
por tanto como se esperaba. Se dice que un vector como con su punto
inicial en el origen est en posicin es- tndar. La discusin anterior
muestra que todo vector puede dibujarse como un vector en posicin
estndar. Por otro lado, un vector en posicin estndar puede
redibujarse (por traslacin) de modo que su origen est en cualquier
punto en el plano. Si A (1, 2) y B (3, 4), encuentre y vuelva a
dibujarlo (a) en posicin estndar y (b) con su origen en el punto C
(2, 1). Solucin Calcule [3 (1), 4 2] [4, 2]. Si entonces se
traslada hacia donde C (2, 1), entonces se debe tener D (2 4, 1 2)
(6, 1). (Vea la gura 1.5.) AB ! AB ! AB ! OP !AB ! CD ! , CD ! 31
142, 1 112 4 33, 24 AB ! 33, 24 36 3, 3 14 CD ! AB ! Cuando se hace
referencia a los vectores mediante coordenadas, se les considera
analticamente. 2 se pronuncia r dos. CD ! , 01-poole_ch01a_V4.qxd
31/5/11 01:22 Pgina 4
- 33. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 5 Nuevos vectores
a partir de otros anteriores Como en el juego de la pista de
carreras, con frecuencia se quiere seguir un vector a partir de
otro. Esto conduce a la nocin de suma de vectores, la primera
operacin vec- torial bsica. Si se sigue u por v, se puede
visualizar el desplazamiento total como un tercer vector, denotado
mediante u + v. En la gura 1.6, u [1, 2] y v [2, 2], de modo que el
efecto neto de seguir u por v es [1 2, 2 2] [3, 4] lo que produce u
+ v. En general, si u [u1, u2] y v [v1, v2], entonces su suma u + v
es el vector u v [u1 v1, u2 v2] Es til visualizar u v
geomtricamente. La siguiente regla es la versin geomtrica de la
discusin anterior. x y A(1, 2) B(3, 4) [4, 2] D(6, 1) C(2, 1)
Figura 1.5 x y 1 2 2 2 u v u v 3 4 u v Figura 1.6 Suma de vectores
01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 5
- 34. 6 Captulo 1 Vectores Figura 1.8 El paralelogramo
determinado por u y v La regla del paralelogramo Dados los vectores
u y v en 2 (en posicin estndar), su suma u v es el vector en
posicin estndar a lo largo de la diagonal del paralelogramo
determinado por u y v. (Vea la gura 1.9.) v vu u u v x y Figura 1.9
La regla del paralelogramo Si u [3, 1] y v [1, 4], calcule y dibuje
u v. Solucin Calcule u v [3 1, 1 4] [4, 3]. Este vector se dibuja
mediante la regla punta a origen en la gura 1.10(a) y mediante la
regla del paralelogramo en la gura 1.10(b). Ejemplo 1.2 Al
trasladar u y v paralelos a ellos mismos, se obtiene un
paralelogramo, como se mues- tra en la gura 1.8. Este paralelogramo
se llama paralelogramo determinado por u y v. Ello conduce a una
versin equivalente de la regla punta a origen para vectores en
posicin estndar. La regla punta a origen Dados los vectores u y v
en 2 , traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u.
La suma u + v de u y v es el vector desde el origen de u hasta la
punta de v. (Vea la gura 1.7.) v vu u v Figura 1.7 La regla punta a
origen v vu u 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 6
- 35. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 7 2v 2v v v1 2 y x
Figura 1.11 x y v v u u v (a) x y v u u v (b) Figura 1.10 Ejemplo
1.3 La segunda operacin vectorial bsica es la multiplicacin
escalar. Dado un vector v y un nmero real c, el mltiplo escalar cv
es el vector que se obtiene al multiplicar cada componente de v por
c. Por ejemplo, 3[2, 4] [6, 12]. En general, cv c [v1, v2] [cv1,
cv2] Geomtricamente, cv es una versin a escala de v. Si v [2, 4],
calcule y dibuje 2v, v, y 2v. Solucin Calcule del modo siguiente:
Estos vectores se muestran en la gura 1.11. 2v 32122, 2142 4 34, 84
1 2 v 31 2 122, 1 2 142 4 31, 24 2v 32122, 2142 4 34, 84 1 2
01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 7
- 36. 8 Captulo 1 Vectores 2v 2v v v1 2 Figura 1.12 x y A B a b b
a Figura 1.14 v v u u (v) v u u v Figura 1.13 Resta de vectores El
trmino escalar proviene de la palabra latina scala, que signica
escalera. Los peldaos igual- mente espaciados en una escalera
sugieren una escala y, en aritmtica vectorial, la multiplicacin por
una constante slo cambia la es- cala (o longitud) de un vector. Por
ende, las constantes llegaron a co- nocerse como escalares. Observe
que cv tiene la misma direccin que v si c 0 y la direccin opuesta
si c < 0. Tambin observe que cv es c veces ms largo que v. Por
esta razn, en el contexto de los vectores, las constantes (esto es:
nmeros reales) se conocen como escalares. Como muestra la gura
1.12, cuando se toma en cuenta la traslacin de vectores, dos
vectores son mltiplos escalares mutuos si y slo si son paralelos.
Un caso especial de un mltiplo escalar es (1)v, que se escribe v y
se llama nega- tivo de v. Puede usrsele para denir la resta
vectorial: la diferencia de u y v es el vector u v denido por u v u
(v) La gura 1.13 muestra que u v corresponde a laotradiagonal del
paralelogramo de- terminado por u y v. Si u [1, 2] y v [3, 1],
entonces u v [1 (3), 2 1] [4, 1]. La denicin de resta en el ejemplo
1.4 tambin est de acuerdo con la forma en que se calcula un vector
como . Si los puntos A y B corresponden a los vectores a y b en
posicin estndar, entonces b a, como se muestra en la gura 1.14.
[Observe que la regla de punta a origen aplicada a este diagrama
produce la ecuacin a (b a) b. Si accidentalmente dibujara b a con
su punta en A en lugar de en B, el dia- grama se leera b (b a) a,
que claramente est equivocado! Ms adelante, en esta seccin, se
hablar ms acerca de las expresiones algebraicas que involucran
vectores.] Vectores en 3 Todo lo que se ha hecho se extiende con
facilidad a tres dimensiones. El conjunto de todas las ternes
ordenadas de nmeros reales se denota mediante 3 . Puntos y vectores
se localizan usando tres ejes coordenados mutuamente
perpendiculares que se renen en el origen O. Un punto como A (1, 2,
3) puede localizarse del modo siguiente: primero recorra 1 unidad a
lo largo del eje x, luego avance 2 unidades paralelas al eje y y
nal- mente mueva 3 unidades paralelas al eje z. El vector
correspondiente a [1, 2, 3] es en- tonces como se muestra en la
gura 1.15. Otra forma de visualizar el vector a en 3 es construir
una caja cuyos seis lados estn determinados por los tres planos
coordenados (los planos xy, xz y yz) y por tres planos a travs del
punto (1, 2, 3) paralelos a los planos coordenados. El vector [1,
2, 3] corres- ponde entonces a la diagonal que va del origen a la
esquina opuesta de la caja (vea la - gura 1.16). AB ! AB ! Ejemplo
1.4 IIIIIIIIII OA ! , 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina
8
- 37. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 9 Las deniciones
en componentes de la suma de vectores y la multiplicacin escalar se
extienden a 3 en una forma obvia. Vectores en n En general, n se
dene como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nmeros
reales escritos como vectores rengln o columna. Por ende, un vector
v en n es de la forma Las entradas individuales de v son sus
componentes; vi se llama el componente i-simo. Las deniciones de
suma vectorial y multiplicacin escalar se extienden a n en la forma
obvia: si u [u1, u2, . . . , un] y v [v1, v2, . . . , vn], el
componente i-simo de u v es ui vi y el componente i-simo de cv slo
es cvi. Dado que en n ya no se pueden dibujar vectores, es
importante poder calcularlos. Debe tener cuidado de no suponer que
la aritmtica vectorial ser similar a la aritmtica de nmeros reales.
Con frecuencia lo es, y los clculos algebraicos que se hacen con
vec- tores son similares a los que se haran con escalares. Pero, en
secciones posteriores se en- contrarn situaciones donde el lgebra
vectorial es muy diferente a la experiencia previa con nmeros
reales. Por ello es importante vericar cualquier propiedad
algebraica antes de intentar usarla. Una de tales propiedades es la
conmutatividad de la adicin: u v v u para los vectores u y v. Esto
ciertamente es verdadero en 2 . Geomtricamente, la regla punta a
origen muestra que tanto u v como v u son las diagonales
principales del paralelo- gramo determinado por u y v. (La regla
del paralelogramo tambin reeja esta simetra; vea la gura 1.17.)
Note que la gura 1.17 es simplemente una ilustracin de la propiedad
u v v u. No es una demostracin, pues no abarca todo caso posible.
Por ejemplo, tambin deben incluirse los casos donde u v, u v y u 0.
(Cmo seran los diagramas para estos casos?) Por esta razn, es
necesaria una demostracin algebraica. Sin embargo, es tan fcil dar
una demostracin que sea vlida en n , como dar una que sea vlida en
2 . El siguiente teorema resume las propiedades algebraicas de la
suma vectorial y la multiplicacin escalar en n . Las demostraciones
se obtienen de las propiedades corres- pondientes de los nmeros
reales. 3v1, v2, . . . , vn 4 or v1 v2 o vn z A(1, 2, 3) 3 a 2 1 yx
Figura 1.15 z x y Figura 1.16 u v u v u v v u u u v v Figura 1.17 u
v v u IIIIIIIIII o 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 9
- 38. 10 Captulo 1 Vectores Teorema 1.1 Propiedades algebraicas
de los vectores en n Sean u, v y w vectores en n y sean c y d
escalares. Entonces a. u v v u Commutatividad b. (u v) w u (v w)
Asociatividad c. u 0 u d. u (u) 0 e. c(u v) cu cv Distributividad
f. (c d)u cu du Distributividad g. c(du) (cd)u h. 1u u Comentarios
Las propiedades (c) y (d), junto con la propiedad de conmutatividad
(a) impli- can tambin que 0 u u y u u 0. Si las propiedades
distributivas (e) y (f) se leen de derecha a izquierda, dicen que
es posible factorizar un escalar comn o un vector comn a partir de
una suma. Demostracin Se demuestran las propiedades (a) y (b) y las
demostraciones de las pro- piedades restantes se dejan como
ejercicios. Sea u [u1, u2, . . . , un], v [v1, v2, . . . , vn] y w
[w1, w2, . . . , wn]. (a) u v [u1, u2, . . . , un] [v1, v2, . . . ,
vn] [u1 v1, u2 v2, . . . , un vn] [v1 u1, v2 u2, . . . , vn un]
[v1, v2, . . . , vn] [u1, u2, . . . , un] v u La segunda y cuarta
igualdades son por la denicin de suma vectorial, y la tercera
igual- dad es por la conmutatividad de la suma de nmeros reales.
(b) La gura 1.18 ilustra la asociatividad en 2 . Algebraicamente,
se tiene La cuarta igualdad es por la asociatividad de la suma de
nmeros reales. Note el uso cui- dadoso de los parntesis. u 1v w2
3u1, u2, . . . , un 4 13v1, v2, . . . , vn 4 3w1, w2, . . . , wn 4
2 3u1, u2, . . . , un 4 3v1 w1, v2 w2, . . . , vn wn 4 3u1 1v1 w1
2, u2 1v2 w2 2, . . . , un 1vn wn 2 4 31u1 v1 2 w1, 1u2 v2 2 w2, .
. . , 1un vn 2 wn 4 3u1 v1, u2 v2, . . . , un vn 4 3w1, w2, . . . ,
wn 4 1u v2 w 13u1, u2, . . . , un 4 3v1, v2, . . . , vn 4 2 3w1,
w2, . . . , wn 4 La palabra teorema se deriva de la palabra griega
theorema, que a su vez proviene de una palabra que signica mirar a.
Por ende, un teorema se basa en la compren- sin que se adquiere
cuando se observan los ejemplos y de ellos se extraen propiedades
cuya aplica- cin en general se intenta demos- trar. De igual modo,
cuando se comprende algo en matemticas, por ejemplo, la demostracin
de un teorema, con frecuencia se dice ya veo. (u v) w u (v w) v w w
v u v u Figura 1.18 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina
10
- 39. Por la propiedad (b) del Teorema 1.1, puede escribirse sin
ambigedades u v w sin parntesis, pues los sumandos pueden agruparse
en cualquier forma que se quiera. Por (a), tambin se pueden
reordenar los sumandos si se quiere, por ejemplo, como w u v. Del
mismo modo, las sumas de cuatro o ms vectores pueden calcularse sin
im- portar el orden o agrupamiento. En general, si v1, v2, . . . ,
vk son vectores en n , tales sumas se escribirn sin parntesis: El
siguiente ejemplo ilustra el uso del Teorema 1.1 en la realizacin
de clculos alge- braicos con vectores. Sean a, b y x vectores en n
. (a) Simplique 3a (5b 2a) 2(b a). (b) Si 5x a 2(a 2x), despeje x
en trminos de a. Solucin Ambas soluciones se darn con detalle,
haciendo con referencia a todas las propiedades en el Teorema 1.1
que se utilicen. Es buena prctica justicar todos los pasos las
primeras veces que haga este tipo de clculos. Sin embargo, una vez
se sienta cmodo con las propiedades vectoriales, es aceptable dejar
fuera algunos de los pasos intermedios para ahorrar tiempo y
espacio. (a) Comience por insertar parntesis. (a), (e) (b) (f) (b),
(h) (b) (f) (a) (b) (f), (h) Puede ver por qu estar de acuerdo en
omitir algunos de estos pasos! En la prctica es aceptable simplicar
esta secuencia de pasos como o incluso hacer la mayora de los
clculos mentalmente. a 7b 13a 2a 2a2 15b 2b2 3a 15b 2a2 21b a2 3a
5b 2a 2b 2a 7b a 7b 112a 7b 11 22a 7b 1a 2a2 17b a2 2a 1a 15 22b2
2a 1a 15b 2b2 2 2a 11a 5b2 2b2 2a 11a 5b2 12b 2a2 113 122 2a 5b2
12b 2a2 113a 12a2 2 5b2 12b 2a2 13a 12a 5b2 2 12b 2a2 3a 15b 2a2
21b a2 13a 15b 2a2 2 21b a2 v1 v2 # # # vk Seccin 1.1 Geometra y
lgebra de vectores 11 Ejemplo 1.5 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11
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- 40. 12 Captulo 1 Vectores (b) En detalle, se tiene (e) (g) (a),
(b) (b), (d) (f), (c) (h) (b), (f) (d) (c) De nuevo, usualmente se
omitirn la mayora de estos pasos. Combinaciones lineales y
coordenadas Se dice que un vector que sea una suma de mltiplos
escalares de otros vectores es una combinacin lineal de dichos
vectores. A continuacin se presenta la denicin formal. Definicin Un
vector v es una combinacin lineal de vectores v1, v2, . . . , vk si
existen escalares c1, c2, . . . , ck tales que v c1v1 c2v2 ckvk.
Los escalares c1, c2, . . . , ck se llaman coecientes de la
combinacin lineal. El vector es una combinacin lineal de y pues
Comentario Determinar si un vector dado es una combinacin lineal de
otros vec- tores es un problema que se abordar en el captulo 2. En
2 , es posible bosquejar combinaciones lineales de dos vectores (no
paralelos) de manera muy conveniente. Sean u y v Puede usar u y v
para ubicar un nuevo conjunto de ejes (en la misma forma que e1 y
e2 ubican los ejes coordenados estndar). Puede usarc 0 1 dc 1 0 d c
1 2 d.c 3 1 d 3 1 0 1 2 2 3 1 5 4 0 2 2 1 5 4 0 , 2 3 1 1 0 1 , 2 2
1 x 3a 0 x 3a 1a 1a2 2 x 11 22a a 1a x2 a 2a a 112x 2a a 15 42x 2a
a 15x 4x2 2a 0 1a 5x2 4x 2a 14x 4x2 15x a2 4x 12a 4x2 4x 5x a 2a 4x
5x a 2a 12 # 22x 5x a 2a 212x2 5x a 21a 2x2 Ejemplo 1.6 Ejemplo 1.7
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- 41. estos nuevos