Algoritmos iterativos de Algoritmos iterativos de tomografía tridimensional en tomografía tridimensional en

microscopía electrónicamicroscopía electrónica

Carlos Óscar Sánchez SorzanoCarlos Óscar Sánchez Sorzano

Unidad de BioComputaciónUnidad de BioComputación

Centro Nacional de Biotecnología (CSIC)Centro Nacional de Biotecnología (CSIC)

Directores: J.M.Carazo y Fco. Del Pozo

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros– Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros – Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Estudios estructurales

Estudios bioquímicos

Introducción al problema Introducción al problema biológicobiológico

ProteínasSustratos

MEFVALGGPDAGSPTPFPDEAGAFLGLGGGERTEAGGLLASYPSGRVS...

Propiedades:Solubilidad, peso, tamaño, temperatura de desnaturalización, ...

Introducción al problema Introducción al problema biológicobiológico

Microscopio electrónicoMicroscopio electrónicofilamento

ánodo

columna lentecondensadora

lenteobjetivoportamuestras

lenteproyectadora

pantallafosforescente

placafotográfica

Introducción al problema Introducción al problema biológicobiológico

Rango de estructuras estudiadas por Rango de estructuras estudiadas por microscopía electrónica de transmisiónmicroscopía electrónica de transmisión

10 nm. 1 m.100 nm.

proteína ribosoma vírus mitocondria

Introducción al problema Introducción al problema biológicobiológico

Tinciónnegativa

Criomicroscopía

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros– Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

ConceptoConcepto

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

• Las imágenes de Microscopía Electrónica son imágenes Las imágenes de Microscopía Electrónica son imágenes de proyección (Transformada de Rayos X) de la de proyección (Transformada de Rayos X) de la densidad electrónica del espécimen (densidad electrónica del espécimen (aproximadamenteaproximadamente) )

Suposición: Objeto de Fase Débil (Weak Phase Object)

(La dispersión (scattering) inelástico es tolerable frente al elástico y éste se considera un proceso lineal)

Transformada de rayos X

donde

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

• Inversión de la Transformada de Rayos XInversión de la Transformada de Rayos X

Donde es la proyección de sobre Donde es la proyección de sobre

La distribución de densidad f(r) está determinada de forma única por el conjunto de todas sus integrales de línea . Además, las proyecciones recogidas no responden a las proyecciones exactas de f(r).

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

Algoritmos de expansión en serieAlgoritmos de expansión en serie

bAx 10 Millones de ecuaciones

1 Millón de incógnitas

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

Expansión en blobs sobre una rejilla centrada en el cuerpo (BCC)Expansión en blobs sobre una rejilla centrada en el cuerpo (BCC)

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

-

Proyectar Retroproyectar

x

(k)

...

Iterar (n veces)

)(

,

1

2,

1

)1(,

)()1()(

kijiJ

i

Jk

iikk

jk

j ll

xlbxx

G.T. Herman. Academic Press 1980R.Marabini et al. Uñtramic. 72:53-65 1998

Técnica de reconstrucción algebraicaTécnica de reconstrucción algebraica

por bloques (ARTk)por bloques (ARTk)

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros– Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

• Reducción del espacio a reconstruirReducción del espacio a reconstruir

• Optimización del blob y rejilla de reconstrucciónOptimización del blob y rejilla de reconstrucción

• Optimización de parámetros libres mediante Optimización de parámetros libres mediante simulaciónsimulación

• Optimización del orden de las proyeccionesOptimización del orden de las proyecciones

• Estudio de normalizaciónEstudio de normalización

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Optimización del blob y rejilla de reconstrucciónOptimización del blob y rejilla de reconstrucción

E. Garduño et al. Electronic Notes in Theor. Comp. Sci. 46 2001S. Matej et al. IEEE Trans. Med. Im. 15: 68-78 1996

ErrorError alphaalpha

radioradio

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Optimización del blob y rejilla de reconstrucciónOptimización del blob y rejilla de reconstrucción

)0(

)(14,114,5.1),(

..

)2(),(

2minimizar

1

2

,

B

Ba

as

aaBCC

r

sT

a

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Optimización de parámetros libresOptimización de parámetros libres

• Simulación del proceso de reconstrucción Simulación del proceso de reconstrucción partiendo de volúmenes conocidospartiendo de volúmenes conocidos– Phantoms analíticos

– Especímenes de estructura atómica conocida

C.O.S. Sorzano et al. J. Struct. Biol. 133(2): 108-118 2001

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

• Definición conceptual de (algunas) tareas y de sus Definición conceptual de (algunas) tareas y de sus Figuras de Mérito (FOM´s) asociadas:Figuras de Mérito (FOM´s) asociadas:

– Consistencia estructural:• FOM: Norma L2 y L1 del error

• FOM: Coincidencia de medias y varianzas

• FOM: Resolución, correlación, información mutua

• …

– Separabilidad estructural:• FOM: Solapamiento histogramas de fondo y señal

• FOM: Separabilidad estadística entre medias

• …

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

FOMs: Fourier Shell Correlation (FSC)FOMs: Fourier Shell Correlation (FSC)

),(

2

),(

2

),(

*

)}({)}({

)}({)}({

))(,(

RRRR

RR

RrTFRpTF

RrTFRpTF

RrpFSC

thRwpFSCE

RrpFSCscinf

R

))(,(

))(,(max

thRrpFSCscinfR

))(,(max

M. Van Heel, Ultramicroscopy 21:95-100 1987

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

• Análisis estadístico intra-experimento– Realizar una serie de reconstrucciones para j

– Evaluar cada reconstrucción obteniendo FOM i(j)– Eliminación de elementos no representativos, FOMs cuya media

no alcanza una precisión deseada a cada j, y FOMs no correlacionadas con

– Agrupación de FOMs por tendencias– Elección de un representante de clase– Combinación de los representantes de clase– Selección de la región óptima para este experimento

• Análisis estadístico inter-experimentoAnálisis estadístico inter-experimento– Identificación de variables relevantes– Determinación de un modelo para frente a dichas variables

Optimización de parámetros libresOptimización de parámetros libres

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros – Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

• Modelo teóricoModelo teórico

• Estimación del modelo teórico de cada Estimación del modelo teórico de cada micrografíamicrografía– Estimación espectral– Ajuste del modelo teórico a dicha estimación

• Corrección de la función de transferencia a Corrección de la función de transferencia a partir del modelo teórico encontradopartir del modelo teórico encontrado

J. Frank CRC Press 1996

,...),,()( as CCffRCTF

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

)(ui

)(rim

)()()(22

RTFRCTFRTF iim

))(cos)()(sen()( 0 RQRRERCTF

Función de transferenciaFunción de transferencia

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

Estimación espectralEstimación espectral

K

kk

yx

AVPERI I

NNKS

1

2)(

11)(ˆ RR

)(

)()(ˆ

R

RR

A

BS ARMA

I

Promediado de periodogramas

Modelado autoregresivo y

media móvil

(+) Menor varianza que promediado de periodogramas(+) Menor región de soporte

R. L. Kashyap IEEE Trans. Inf. Theory 30(5): 736-45 1984

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

)()(),(ˆmin)(2

,...,,,...,,

RRRR BgCTFSdCTF fCCARMAI

fCC asas

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

Ajuste de parámetrosAjuste de parámetros

)()(),()(corr)()()())(),(( RRRRRRRRRR

gWfWgfWgfdp

20

2)( gsS

R

gS

S eKeKbBg

RR

R

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

Corrección de CTFCorrección de CTF

x(-1)

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

Refinamiento Iterativo de DatosRefinamiento Iterativo de Datos

Start n=0

gn

ART

P C.P

-

+x

k

g

)1

01

)1 ).( kkk

k VPCPgg

G.T. Herman et al. Optical Eng. 29:513-23 1990

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros – Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Conocimiento Conocimiento a prioria priori

• Simetría puntualSimetría puntual• Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

– Superficie– Volumen– Positividad– Solución inicial

Conocimiento Conocimiento a prioria priori

SimetríaSimetría

Planos de simetría paraun eje rotacional de orden 6

La simetría supone el conocimiento de otras proyecciones

Conocimiento Conocimiento a prioria priori

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

Restricciones a nivel volumétricoRestricciones a nivel volumétrico

• Solución inicialSolución inicial

• SuperficieSuperficie

• PositividadPositividad

• VolumenVolumen

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros – Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Optimización de parámetrosOptimización de parámetros

Análisis intra-experimento

OptimizaciónOptimización de parámetros de parámetros

00793.0max 7473.25224.2 N

0033.10095.0max 0001.00878.0 NS

74.02 R

82.02 R

Análisis inter-experimento

Optimización de parámetrosOptimización de parámetros

N. Boisset et al., Ultramic. 74:201-7 1998ART, SIRT: Parámetro óptimo

SIRT: Parámetro no óptimo

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros– Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

Reconstrucción de partículas Reconstrucción de partículas individualesindividuales

Antígeno T de SV40

Reconstrucción de partículas Reconstrucción de partículas individualesindividuales

Antígeno T de SV40

Reconstrucción de partículas Reconstrucción de partículas individualesindividuales

Antígeno T de SV40

Reconstrucción de partículas Reconstrucción de partículas individualesindividuales

Antígeno T de SV40

21Å

33Å

14Å

15Å

Frecuencia (1/Å)

FSC

ContenidoContenido• IntroducciónIntroducción

– Introducción al problema biológico– Introducción a la tomografía tridimensional

• Materiales y MétodosMateriales y Métodos– Optimización del proceso de reconstrucción– Corrección de la función de transferencia del

microscopio– Conocimiento a priori– Reconstrucción de cristales

• ResultadosResultados– Optimización de parámetros – Reconstrucción de partículas individuales

• ConclusionesConclusiones

ConclusionesConclusiones• Se ha puesto a punto un paquete de programas en el que

las ideas expuestas en la presente tesis están disponibles y ya han sido utilizadas en estudios concretos.

• Se ha desarrollado un método de estimación de la función de transfencia de contraste teórica (CTF).

• Se ha desarrollado un mecanismo de corrección de la función de transferencia de contraste, tanto en fase como en amplitud.

• Se ha desarrollado un método de optimización útil en entornos con una alta variabilidad, un amplio número de variables independientes y múltiples funciones objetivo a optimizar.

ConclusionesConclusiones• Se han propuesto modelos para una gran variedad de Se han propuesto modelos para una gran variedad de

parámetros utilizados durante elparámetros utilizados durante el proceso de reconstrucciónproceso de reconstrucción..

• Se hanSe han incorporado mecanismos de introducción de incorporado mecanismos de introducción de información información aa prioripriori en el propio proceso de reconstrucción. en el propio proceso de reconstrucción.

• Se han extendido lSe han extendido los métodos iterativos de reconstrucción os métodos iterativos de reconstrucción tridimensionaltridimensional a estudios con cristales bidimensionales. a estudios con cristales bidimensionales.

• Todas estas aportaciones han contribuido a una mejora de la Todas estas aportaciones han contribuido a una mejora de la calidad decalidad de los volúmenes obtenidos materializada en una los volúmenes obtenidos materializada en una mejora apreciable de la resoluciónmejora apreciable de la resolución alcanzadaalcanzada en un valor en un valor entre 10entre 10ÅÅ y 15 y 15ÅÅ de resolución. de resolución.

IntroducciónIntroducción

DnaB: crio-microscopía

0

20

40

60

80

100

slice number

rota

tiona

l ene

rgy

(%)

harmonic 3

harmonic 61

6

11

16

21

Complejo DnaB/DnaC

1 6

11 16

21 26

-40

-30

-20

-10

0

slice number

rota

tion

(deg

rees

)

0

25

50

75

100

slice number

rota

tiona

l ene

rgy

(%)

harmonic 3

harmonic 6

DnaC DnaB

91

Å

Evolución del número de estructuras

depositadas en PDB

PDB Annual Report 2001http://www.rcsb.org/pdb/annual_report01.pdf

objeto tridimensio

nal

proyecciones en

todas las direcciones posibles

algoritmos de reconstrucció

n

reconstrucción

tridimensional

Bases de la Microscopía Electrónica

Tridimensional

3. Es posible reconstruir la

estructura tridimensional de un objeto a partir

de sus proyecciones

Material biológico:

• flexible• alto contenido en agua• sensible a radiación• genera poco contraste

Tinción negativa:

• deshidratación• ¿tinción parcial?• deformación / compresión• la imagen refleja la forma del “molde”

Criomicroscopía:

• entorno hidratado/fisiológico• menor riesgo de deformaciones• la imagen refleja la masa del especimen

Partículas de baja simetría

Ribosoma (7.5/11.5 Å)

Matadeen et al. (1999) Structure 7, 1575-1583

Gabashvili et al. (2000) Cell 100, 537-549

U1 snRNP (10 Å)

Stark et al. (2001) Nature 409, 539-541

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

Los ángulos de Euler son interpretables como un sistema de coordenadas solidario a la partícula

Introducción a la tomografía Introducción a la tomografía tridimensionaltridimensional

•Reconstrucción del especimen medio (una sola imagen por especimen antes de su “destrucción”)

•Ruido traslacional, angular y en las imágenes (SNR<1)

•Especímenes son MUY sensibles a la radiación

BlobsBlobs

In(x): Función de Bessel de primera especie modificadaJn(x): Función de Bessel de primera especie

BlobsBlobs

ARTART

SoluciónInicial

(1)(2)

(3)

ARTART

(1)(2)

(3)

Blobs y FOMsBlobs y FOMs

Optimización del blob y la rejillaOptimización del blob y la rejilla

FOMsFOMs

RN

i

iRiR

R

rp

NRscL

1

2

,,

2

11)(2

RN

i

iRiR

R

rp

NRscL

1

,,

2

11)(1

RrRpRsc ,,2

11)( RrRpRsc ,,1)(

RrRpRrRp mmMMRsc ,,,,2

11)(

BN

i

iRiR

iB

rp

dNBscbl

1

2

,,

2

111)(

BN

i

iRiRi

B

rpd

NBscap

1

2

,,

2

11)(

K

k

krTRkpTRK

Rscrt1

)(,)(,1

1)(

FOMsFOMs

V

V

V

V

V

V

N

iVriVN

N

iVpiVN

N

iVriVVpiVN

rp

rpsc

1

2,,

1

1

2,,

1

1,,,,

1

)()(

))((

rH

rH

pH

pH

pH rH

rHpH

N

irrN

N

ippN

N

i

N

jprprNN

iHiHiHiH

jiHjiH

scinf

1

1

1

1

1 1

1

)(log)()(log)(

),(log),(

FOMsFOMs

S

S

I

I

SI

NN

hsin22

S

S

O

O

SO

NN

hsbr22

FOMsFOMs

dterr

dterrhsdt 1

FOMsFOMs

222

321

321

421

2

hsvr

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Selección estadística de parámetrosSelección estadística de parámetros

FOM

max

maxEl máximo se encuentra en algún punto de este intervalo

ANOVA y regresión no lineal pueden ayudar a establecer modelos

Combinación de FOMsCombinación de FOMs

T

ttt

T

tt FOMFOM

121

1

,...,

,..., 21 FOMFOM

Clasificación

Análisis de Componentes Principales (PCA)

,..., 2'

1'

tt FOMFOM

Representante de grupo

I

iiitt wFOMFOM

1

'

I

iit ww

1

T

ttt wFOMFOM

1

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Reducción del volumen reconstruidoReducción del volumen reconstruido

1. Implicaciones en velocidad2. Implicaciones en la

“determinación” del sistema

91.16

)2()2(

)2(

3

2

33

4

2

rrNrrN

Incog

Ecs

r

Optimización del proceso de Optimización del proceso de reconstrucciónreconstrucción

Orden de las proyeccionesOrden de las proyecciones

-

Proyectar Retroproyectar

x

(k)

...

Iterar (n veces)

1

}0,max{

,minn

Lniji

jn

Normalización de imágenesNormalización de imágenes

Gradiente localdentro de lamicrografía

Restar el planode fondo

Diferentes intensidades en las proyecciones Normalización

Normalización y PositividadNormalización y Positividad

Datos originales

bnIaI id )(

n

nII

'

Resultado

(+) n es constante(+) Se elimina la dependencia con la transformación lineal(+) Se pueden aplicar restricciones de positividad al volumen(-) Puede depender de fuertes variaciones del desenfoque del microscopio

NormalizaciónNormalización

NormalizaciónNormalización

Microscopio

Transformaciónlineal

Digitalización

CorrecciónCTF

Normalización

Log

NormalizaciónNormalización

•Microscopio: De densidad de potencial a negativo de películaVars: Dureza del haz, tiempo de exposición, desenfoque, calidad de la película

•Revelado: De negativo de película a densidades ópticasVars: concentración de los reveladores, tiempo de revelado

•Digitalización: De densidades ópticas a transmitanciaVars: no. of bits, global calibration, integration time

•Correcciones:•Logaritmo

Vars: no. de bits

•NormalizaciónVars: método

NormalizaNormalizacióciónn

Los momentos de las proyecciones, salvo la media, de un objeto no tienen por qué coincidir

A

B

NormalizaciónNormalización

Image mean Image variance

Background mean

Background variance

x x 2x 0 0

bnxay )( bxa )( 222nxa b 22

na

y

ymyy' 0 1

22nx

x

22

2

nx

n

n

y

m

myy' 0

2

2222

b

nxaa

3

2

b

bxa

b

xa

2

2

22

222222

2

22 )(

b

b

ba

anxana

b

xa

n

ymyy'

n

n

2

22

n

nx

0 1

ny

n

mm

myy' 1

2

22

n

nx

0

2

2

x

n

CTFCTF

Mejorando la resolución: la magia de los FEG

Cañón termoiónico de W Field Emission Gun

32 Å18 Å

original FEG cañón termoiónico de W

Mejorando la resolución: efecto de la CTF

J. Frank CRC Press 1996

,...),,()( fCCfRCTF as

Corrección de la función de Corrección de la función de transferencia del microscopiotransferencia del microscopio

)(ui

)(rim

)()()(22

RTFRCTFRTF iim

))(cos)()(sen()( 0 RQRRERCTF

Función de transferenciaFunción de transferencia

CTFCTF

Vqvm ee 221

vm

h

e

)()( )( ueu iui

im 2

)( ufu

u

ruiiim eur )(2)()(

)()()( * rrrI imimim

)())(cos)((sen

)()0()()0(

)()())}(({)(

0

**

*

RIuQu

RR

RRRrITFRI

i

imimimim

imimim

Las ondas dispersadas llevan menor potencia que las no dispersadas

WPO

CTFCTF

Aberración esférica: Variación de desenfoque en función de ladistancia al centro de la lente. Cs=1..5mm

2)(

432 RC

RfR s

Aberración cromática: Variación de la velocidad de los electronespor inestabilidad de la tensión de aceleración. Ca

Coherencia temporal: Dispersión energética de los electrones.U/U=2eV

2log

4241

)(RC U

Ua

eRE

CTFCTF

Estabilidad de la lente: Variación de la corriente de la lente I/I<10ppm

2log

242

41

)(RC I

IUU

a

eRE

Apertura angular de la lente: variación del paralaje del hazde electrones. =1mrad

23222 )()( RfRCseRE

CTFCTF

)()(2

0 RFJRE Desplazamiento mecánico transversal: en el plano focal por

fenómenos electrostáticos. R

)sinc()( RRRE

Desplazamiento mecánico longitudinal: perpendicular alplano focal. F

CTFCTF

Astigmatismo: focalización asimétrica del haz. fm, fM y

22 )))sen(arg(()))cos(arg(()sgn()( RRR Mmm ffff

Diámetro angular: diafragma metálico de radio RA

A

A

RR

RRRE

0

1)(

Modelado AR (Auto-Regresivo) y ARMA Modelado AR (Auto-Regresivo) y ARMA (Autoregresivo, Media Móvil)(Autoregresivo, Media Móvil)

ESTIMACIÓN ESPECTRALESTIMACIÓN ESPECTRAL : Se considera el ruido como un proceso aleatorio cuya : Se considera el ruido como un proceso aleatorio cuya potencia espectral hay que determinar.potencia espectral hay que determinar.

N

Np

M

Mq

yxqypxrqpayxr ),(),(),(),(

Modelo AR

),( )),(),((),(),(1),(

yxeqypxrqypxrqpayxrNqp

Modelo ARMA

AR) caso el (para

ARMA) caso el (para

),(

)M

Xq

M

Yi(p2

),(

)M

Xq

M

Yi(p2

ARMA) (filtro

1),(

),(1),(

),(1),(

),(),(

),(),(

2

XY

1

XY

YXB

eqpbYXB

eqpaYXA

YXEYXA

YXBYXR

Nqp

Nqp

Determinación de los coeficientes ARMADeterminación de los coeficientes ARMA

Procedimiento propuesto por Kashyap (1984)

Selección de las regiones de soporte N1, N2, N3

N1

N2

N3=

Son las regiones cuya información se tendrá en cuenta para determinación del ARMA (deben ser simétricas)

023 NN

Determinación de los coeficientes ARMADeterminación de los coeficientes ARMA

Solución de las Ecuaciones de Yule - Walker para determinar los coeficientes AR

3

),(

),(

)),(),((),(),(1

Nyx

qypxqypxqpayxNqp

Solución de la ecuación de autocorrelación en el pixel considerado para determinar la varianza del ruido

1),(

),(),(2)0,0(Nqp

yxqpa

Determinación de los coeficientes ARMADeterminación de los coeficientes ARMA

Determinación de los coeficientes ARMA resolviendo las ecuaciones de Yule-Walker en la región de soporte N2

2

),(

),(

),()),(),((),(),(1

Nyx

yxbqypxqypxqpayxNqp

Realización del filtro ARMA sobre una imagen de ruido blanco de media 0 y varianza 1

),(),(

),(),( YXE

YXA

YXBYXR

FFT inversa

¿Cuál de los modelos ARMA se ajusta más a ¿Cuál de los modelos ARMA se ajusta más a la CTF original ?la CTF original ?

MA

ARMAARMA

Promediadoperiodogramas

ARMA

Fases del ajusteFases del ajuste

Fases del ajusteFases del ajuste

Fases del ajusteFases del ajuste

Fases del ajusteFases del ajuste

Resultado del ajusteResultado del ajuste

CTF de cada partículaCTF de cada partícula

Experimento con IDRExperimento con IDR

Phantom

Experimento con IDRExperimento con IDRReconstrucción sin corrección de CTF

Experimento con IDRExperimento con IDR

Reconstrucción con corrección de fase

Experimento con IDRExperimento con IDR

Reconstrucción con corrección de amplitud

A prioriA priori

SimetríaSimetría

M a tr iz d e s im e tr ía

A u to v a lo re s

R o ta c ió n r e s p e c to a l

e je Z

1,, jj ee

R e f le x ió n r e s p e c to a l p la n o X Y

1,1,1

R e f le x ió n r e s p e c to a l

e je Z

1,1,1

R e f le x ió n r e s p e c to a l

o r ig e n

1,1,1

100

0cossen

0sencos

100

010

001

100

010

001

100

010

001

SimetríaSimetría

yxz

xzy

zyx

dttssEf

dttssSEf

dttssEfP

tyx

t

tyx

t

tyx

t

),,(

),,(

),,()(

','

,

,,

s

)()( rr Sff

tt SEE ,',' tSLEE ,','

SimetríaSimetría

15 10 6

Crio-ME:PRD1 en

diferentes estados

de ensamblaj

e

25 Å

14 Å

12 Å

Adenovirus humano (wt)

Adenovirus humano: polipéptido IX

Stewart, P. L., et al. 1993. EMBO J. 12:2589-99

Ad2: EMwt-Xray Ad5: EMwt-EMdl313

Sombreado metálico(-) Altura desconocida

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

Imagen tipo proporcionada por el microscopio de fuerzas atómicas

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

Corte a lo largo de Y

Datos reales: policabeza del bacteriófago T4

Alineamiento de superficieAlineamiento de superficie

0.874 0.877 0.879 0.881 0.884 0.886 0.888 0.890 0.893 0.895

Inner surface, Original 2D correlations

ztop

zbo

tto

m

0.893392 0.892448 0.890992 0.888988 0.886435 0.883372 0.879875 0.876048

0.894509 0.893747 0.892463 0.890615 0.888196 0.885241 0.881825 0.87805

0.895524 0.894982 0.893916 0.892277 0.890051 0.887269 0.884001 0.88035

0.89634 0.896053 0.895249 0.893869 0.891892 0.889343 0.886288 0.882829

0.896868 0.896867 0.896365 0.895292 0.893618 0.89136 0.888578 0.885375

0.897039 0.897349 0.897184 0.896464 0.895145 0.893235 0.890785 0.887894

0.896793 0.897432 0.897635 0.897308 0.896395 0.894888 0.892825 0.890301

0.896054 0.897035 0.897633 0.897742 0.897286 0.896238 0.894622 0.892518

0.894852 0.896166 0.897161 0.897723 0.897756 0.897211 0.896086 0.894449

0.893171 0.894796 0.89618 0.897201 0.897744 0.897736 0.897148

0.89105 0.892945 0.894687 0.896149 0.8972 0.897744

0.888575 0.890683 0.89273 0.894588 0.896114

0.885875 0.888129 0.890413 0.892602

0.883099 0.885431 0.887874

0.880396 0.882743

0.877884-12

-8

-4

0

4

-12 -10 -8 -6 -4

3%

-0.036 -0.021 -0.006 0.009 0.025 0.040 0.055 0.070 0.086 0.101

Inner surface, 2D correlations

ztop

zbo

tto

m

-0.0186703

-0.0016104

0.0177465

0.0383556

0.0580639

0.0742878

0.0854067

0.0914891

0.0936882

0.0933613

0.0915979

0.0891555

0.0865295

0.0840303

0.0162883

0.0375149

0.0588474

0.077465

0.0909636

0.0987152

0.101716

0.101516

0.0994537

0.0964639

0.0931494

0.0898923

0.0869321

0.0592253

0.079686

0.0953585

0.104862

0.108844

0.108945

0.10673

0.103324

0.0994387

0.0955177

0.0918367

0.0885709

0.0983374

0.109473

0.114536

0.115106

0.112918

0.109269

0.104975

0.100541

0.0962715

0.0923641

0.0889449

0.118448

0.119641

0.117672

0.113971

0.10946

0.104693

0.0999994

0.0955919

0.0916153

0.0881678

0.120843

0.117297

0.11276

0.10784

0.102894

0.0981475

0.093751

0.0898173

0.0864273

0.114884

0.109986

0.10495

0.100014

0.095338

0.0910429

0.0872207

0.083944

0.106237

0.101249

0.0964224

0.0918827

0.0877347

0.0840649

0.0809348

0.0970794

0.0924075

0.0880358

0.0840586

0.0805577

0.077596

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-12 -10 -8 -6 -4

3%

-0.015 -0.007 0.002 0.011 0.020 0.029 0.038 0.047 0.055 0.064

Inner surface, 3D correlations

ztop

zbo

tto

m

-0.0071804

0.0019605

0.0068172

0.012179

0.0229364

0.032937

0.0358189

0.040936

0.0450584

0.0453364

0.0461244

0.0477377

0.0484109

0.0486067

0.009881

0.0247057

0.0284893

0.0342802

0.0430266

0.0495163

0.0492914

0.0514212

0.0535882

0.0522333

0.0518381

0.0525441

0.052484

0.0312802

0.0510561

0.0505725

0.0533676

0.0576344

0.0601641

0.0574189

0.0573402

0.0583325

0.0560666

0.0549332

0.0550931

0.0532001

0.0734055

0.0657487

0.0641957

0.0646677

0.0647931

0.0607893

0.0594667

0.0599485

0.0573187

0.0557992

0.066776

0.0837563

0.0710968

0.0670459

0.0658277

0.0651271

0.0607609

0.0588737

0.0592388

0.0565738

0.0689066

0.0837519

0.0699129

0.0651409

0.0636031

0.0629012

0.0585879

0.056519

0.0569522

0.0646797

0.0790295

0.0658484

0.0610291

0.0597063

0.0592977

0.0551836

0.0531464

0.0585464

0.0729031

0.0607967

0.0560574

0.0550982

0.0550484

0.0511792

0.0523109

0.0666162

0.0555437

0.0509006

0.0503202

0.0506104

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-12 -10 -8 -6 -4

3%

Determinación de la superficie con 2 o 4 Å

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

Bioquímicamente se conoce el peso de las estructurasbajo estudio.

Masa conocida

Restricciones volumétricasRestricciones volumétricas

CristalesCristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

G CDGkjiG kjiGCD ),,(, :),,( r

)(rb )()( rr DbbD

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

)()( 1,,, oo

o sApsp

Teorema de la sección centralTeorema de la sección central

A) Objeto 3D

B) Proyección de A

C) Transformada de Fourier 2D de B

D) C es una sección de la transformada de Fourier 3D de A: Sección central.

Transformada de Fourier 3D de un cristal Transformada de Fourier 3D de un cristal 2D2D

TF de una proyección de cristal 2D

La información estructural se organizaA lo largo de una línea en el espacio

Combinación de secciones centrales

Líneas de red a lo largo de Z*.

Análisis de cristales 2DAnálisis de cristales 2D

ImagenOriginal

TransformadaDe Fourier

Extracción deComponentesDe Fourier

Síntesis

Efecto del proceso de “Unbending”:Efecto del proceso de “Unbending”:Mapa de distorsiónMapa de distorsión

Antes de unbending Después de unbending

Efecto del proceso de “unbending”Efecto del proceso de “unbending”

Antes de unbending Después de unbending

Interpolación en la líneas de redInterpolación en la líneas de redPara aplicar la TF-1 3D las líneas deben estar muestreadasuniformemente

Conoperdido

Conoperdido

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Sin ruido

MRC, 49 imgs

ART, 49 imgs

MRC, 97 imgs

ART, 97 imgs

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Con ruido

MRC, 13 imgs

ART, 13 imgs

MRC, 49 imgs

ART, 49 imgs

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción MRC Reconstrucción ART

Phi29

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Reconstrucción MRC Reconstrucción ART

Policabeza del bacteriófago T4

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Policabeza del bacteriófago T4ART

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Policabeza del bacteriófago T4MRC

Reconstrucción de cristalesReconstrucción de cristales

Policabeza del bacteriófago T4

ResultadosResultados

Optimización de parámetros ARTOptimización de parámetros ART

Frecuencia máxima del ruido: 0.2, 0.5Nº ecuaciones/incógnita: 50, 130, 210Blob: r=2, m=2, a=2, =10.4, g=sqrt(2)Nº iteraciones: 1Distribución angular: UniformePhantoms: Dobles cilindros aleatoriosSNR: <0.13

Optimización ARMAOptimización ARMA

Optimización IDROptimización IDR

Optimización SuperficieOptimización Superficie

Reconstrucción phantom simpleReconstrucción phantom simple

Reconstrucción bacteriorodopsinaReconstrucción bacteriorodopsina

Antígeno T SV40. 1400 imágenes WBP

La misma reconstrucción aplicando ART y las ideas expuestas en esta tesis

Reconstrucción de partículas Reconstrucción de partículas individualesindividuales

Antígeno T de SV40

Algunos planosAlgunos planos

WBP

ART

WBP

ART

Algunos planosAlgunos planos

Dos planos de LATDos planos de LAT

Dos planos del phantom de PDBDos planos del phantom de PDB

Reconstrucción de virusReconstrucción de virus

Adenovirushumano

Reconstrucción de virusReconstrucción de virus

Adenovirushumano