Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-álgebras...

Algunas Propiedades del espectro Primo de lasMV-algebras

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

MAESTRIA EN ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS

JORGE HELI LOPEZ NUNEZ

Director : PhD. YURI ALEXANDER POVEDA QUINONES

JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras

MV-algebras

MV-algebra

Las MV-algebras son las algebras dela logica difusa

MV-algebra

Una MV-algebra es una tupla (A,⊕,¬, 0)

Ejemplo([0, 1],⊕,¬, 0) donde :

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

Ejemplo

([0, 1],⊕,¬, 0) donde :

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y)

= max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y)

= max(0, x − y)

MV-algebra

x ⊕ y = min (1, x + y)

¬x = 1− x .

x � y = ¬(¬x ⊕ ¬y) = max(0, x + y − 1)

x y = x � ¬y = ¬(¬x ⊕ y) = max(0, x − y)

MV-algebra

Existe una relacion orden parcial definida porx ≤ y ⇔ ∃ z , x ⊕ z = y ,

se sigue quex ≤ y ⇔ x y = 0

0 es mınimo1 es maximo

APORTES

1 Anillos Conmutativos Vs

MV-algebras

2 Ideales primos de la MV-algebra

libre free2.

APORTES

1 Anillos Conmutativos Vs

MV-algebras

2 Ideales primos de la MV-algebra

libre free2.

APORTES

3 Demostracion conjuntista de la

compacidad del espectro co-primo

de las MV-algebras.

4 Presentacion novedosa de los

conceptos basicos

APORTES

3 Demostracion conjuntista de la

compacidad del espectro co-primo

de las MV-algebras.

4 Presentacion novedosa de los

conceptos basicos

Anillos conmutativos con unidad y MV-algebras

IDEALES

Anillos

1 a, b ∈ I , entonces a− b ∈ I

2 Si a ∈ I , x ∈ A, entoncesa.x ∈ I

MV-algebras

1 Si x ∈ I , y ∈ A, y ≤ x ,entonces y ∈ I

2 Si x ∈ I , y ∈ I , entoncesx ⊕ y ∈ I

IDEALES

Anillos

1 a, b ∈ I , entonces a− b ∈ I

2 Si a ∈ I , x ∈ A, entoncesa.x ∈ I

MV-algebras

1 Si x ∈ I , y ∈ A, y ≤ x ,entonces y ∈ I

2 Si x ∈ I , y ∈ I , entoncesx ⊕ y ∈ I

IDEAL PRIMO

Anillos

x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .

MV-algebras

P.1 Para cada x , y ∈ A, (x y) ∈ P o (y x) ∈ P

IDEAL PRIMO

Anillos

x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .

MV-algebras

IDEAL PRIMO

Anillos

x , y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .

MV-algebras

Spec(A)

AnillosBase de abiertos

a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}

a ∈ A

MV-algebras

Base de abiertos

Wa = {P ∈ Spec(A), a ∈ P}

a ∈ A

Spec(A)

a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}

a ∈ A

MV-algebras

Base de abiertos

a ∈ A

Spec(A)

a = {I ∈ Spec(A) |a /∈ I}

a ∈ A

MV-algebras

Base de abiertos

a ∈ A

Spec (A) es un espacio topologico T0

Dado f : A→ B un homomorfimo, entonces

f ! : Spec(B)→ Spec(A)

es una funcıon continua.

Spec(A) es compacto

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1 Todo ideal primo de A es maximal.

2 Spec(A) es T2

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1 Todo ideal primo de A es maximal.

2 Spec(A) es T2

Dado f : A→ B es un morfismo , entonces :

Anillos

f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c

MV-algebras

f !Spec(B) =⋂

a∈Ker(f )

Anillos

f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c

MV-algebras

f !Spec(B) =⋂

a∈Ker(f )

Anillos

f !(Spec)(B) = {⋃{a |a ∈ ker(f )}}c

MV-algebras

f !Spec(B) =⋂

a∈Ker(f )

f !(Spec)(B) = Spec(A),

En anillos se cumple si y solo si Ker(f ) ⊆ rad(A)

Recordemos:

En la categorıa de espacios compactos Hausdorff sif : X → Y , es una funcion continua tal quef (X ) = Y , entonces f es un epimorfismo

Dados A, B ∈M, y f : A→ B un morfismo

es un epimorfismo en la categorıa de espacioscompactos Hausdorff.

* En anillos se debe cumplir ker(f ) ⊆ rad(A)

F : MVM // COMP

A� //

��

Spec(A)g !

&&LLLLLLLLLL

;;vvvvvvvvvvv

f ◦g##H

H Spec(C )

B� // Spec(B)

g !◦f !

Ideales Primos de free2

MV-algebras libres

##FFFFFFFFFFFFFFFFFFθ // // F termn

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

MV-algebras libres

��

⊆ {[0, 1]n → [0, 1]}

Funciones de McNaughton

f : [0, 1]n → [0, 1] es de McNaughton en n variables (Mcn ) sobre [0, 1]n siy solo si f es continua y existen polinomios lineales p1, ...pk concoeficientes enteros,

pi (x0, ..., xn−1) = bi + mi0x0 + ...mi(n−1)xn−1, (bi ,mit ∈)...

Funciones de McNaughton

f : [0, 1]n → [0, 1] es de McNaughton en n variables (Mcn ) sobre [0, 1]n siy solo si f es continua y existen polinomios lineales p1, ...pk concoeficientes enteros,

pi (x0, ..., xn−1) = bi + mi0x0 + ...mi(n−1)xn−1, (bi ,mit ∈)...

MV-algebra free2

f : [0, 1]2 −→ [0, 1]

Figura: free2

MV-algebra free2

f : [0, 1]2 −→ [0, 1]

Figura: free2

El ideal I{x0} = {f (x) ∈ free1 : f (x0) = 0, x0 ∈ [0, 1]} es maximal.

Ideales Primos no maximal de free1

Todo ideal primo no maximal de free1 es de la forma:

xx0 x0 + ε 1

= {f ∈ free1 : f (x) = 0 ∀x ∈ [x0, x0 + ε]}

xx0x0 − ε 1

Ix−0

= {f ∈ free1 : f (x) = 0 ∀x ∈ [x0 − ε, x0]}

Ideales Primos no maximal de free1

f (x0) = g(x0), ∀x0 ∈ [x, ε]

f (x0) < g(x0), ∀x0 ∈ [x, ε]

g(x0) < f (x0), ∀x0 ∈ [x, ε]

I{P} = {f (x , y) ∈ free2 : f (P) = 0} es maximal, para todoP ∈ [0, 1]2

Los ideales del conjunto de funciones que se anulan en dos puntosfijos no son primos.

I{( 13, 1

3),( 2

3)} = {f (x , y) ∈ free2}

∣∣f ( 13, 1

3) = 0,∧, f ( 2

3) = 0

}no es un ideal primo.

1-simplex

Il(P,S)={

f ∈ free2|f (PQ) = 0 para alg un PQ ∈ l(P, S) que depende de f}

es ideal primo no maximal, donde

l(P, S) ={

PQ∣∣∣Q ∈ PS, P 6= Q

}JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras

1-simplex

l(P, S)

Sl(P, S)

Q PS0S

l(P, S)

2-simplex1) Si P es un punto racional, rect(P, S) racional:

I∆A(P,S) = {f ∈ free2 |f (∆PQR) = 0 para alg un ∆PQR ∈ ∆A(P, S) que depende de f }

es un ideal primo no maximal, donde

∆A(P, S) ={

∆PQR| R ∈ A◦, PQ ⊆ PS, P 6= Q}

2-simplex1) Si P es un punto racional, rect(P, S) racional:

S0∆A(P, S)

∆A(P,S)

2) Si P es un punto racional, rect(P, S) no racional:

I∆(P,S) = {f ∈ free2 |f (∆PQR) = 0 para alg un ∆PQR ∈ ∆(P, S) que depende de f }

∆(P, S) ={

∆PQR| Q ∈ A◦, R ∈ (A)c , PS ∩ ∆PQR 6= P}

2) Si P es un punto racional, rect(P, S) no racional:

∆(P, S)

En este caso no existe ningun plano de McNaughton que se anule exactamentesobre la lınea no-racional rect(P, S)

3) Si P es un punto no racional, rect(P, S) racional:

I∆A(P) = {f ∈ free2 |f (∆TQR) = 0 para alg un ∆TQR ∈ ∆A(P) que depende de f }

∆A(P) ={

∆TQR| R ∈ A◦,TQ ⊆ rect(P, S), P ∈ TQ}

3) Si P es un punto no racional, rect(P, S) racional:

∆A(P)

4) Si no existen lineas racionales que cruzan por P, decir P es un punto noracional, rect(P, S) no racional:

I∆S (P) ={f ∈ free2 |f (∆PTQR) = 0 para alg un ∆PTQR ∈ ∆(P) que depende de f }

es un ideal maximal, donde:

∆(P) ={

∆PTQR|P ∈ (∆TQR)◦,T ∈ A◦, R ∈ (A)c ,Q ⊆ PS

}JORGE HELI LOPEZ NUNEZ Algunas Propiedades del espectro Primo de las MV-algebras

4) Si no existen lineas racionales que cruzan por P, decir P es unpunto no racional, rect(P, S) no racional:

S∆(P)

S0∆(P)

Si dado P un punto no racional tal que existe rect(P, S) racional, I∆S (P) no es primo.

TEOREMA

Los unicos ideales primos no maximales de free2 son de la forma I∆con ∆ un 1-simplex o un 2-simplex.

S0Il(X ,S)

S0I∆A(X ,S)

S0I∆(X ,S)

S0I∆A(X )

S0Il(X ,S)

S0I∆A(X ,S)

S0I∆(X ,S)

S0I∆A(X )

S0Il(X ,S)

S0I∆A(X ,S)

S0I∆(X ,S)

S0I∆A(X )

S0Il(X ,S)

S0I∆A(X ,S)

S0I∆(X ,S)

S0I∆A(X )

Dado I un ideal primo definimos,

I = {f ∈ I |Zf es un simplex}

entonces < I >= I

Demostracion

Sea I primo no maximal, I ⊂ IX , y no existe f ∈ I tal que Zf es un0-simplex.

Supongamos X ∈ [0, 1]2 ∩Q2

Si existe g ∈ I y Zg es un 1-simplex entonces g ∈ Il(X ,S) yI = Il(X ,S)

I = Il(X ,S)

⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)

Zg⊕h = {X}

⊇)f ∈ Il(X ,S)

Zg ⊆ Zf , f ∈< g >, f ∈ I

I = Il(X ,S)

⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)

Zg⊕h = {X}

⊇)f ∈ Il(X ,S)

Zg ⊆ Zf , f ∈< g >, f ∈ I

I = Il(X ,S)

⊆)h ∈ I , h /∈ Il(X ,S)

Zg⊕h = {X}

⊇)f ∈ Il(X ,S),Zf ⊆ Zg

Zq = Zg − Zf , Zf∧q = Zg , f ∧ q ∈ I

Si no existe g ∈ I tal que Zg es un

1-simplex entonces existe g ∈ I , tal que

Zg es un 2-simplex.

Si no existe g ∈ I tal que Zg es un

1-simplex entonces existe g ∈ I , tal que

Zg es un 2-simplex.

Construccion de l = XS

Consideremos los 2-simplex con extremo racional A,B,C ,D :

gA ∧ gB ∧ gC ∧ gD

= [0, 1]2, alguno esta enI , ya que I es primo, supongamos g

D∈ I .

Dividamos D en D1 y D2.

D∈ I .

1 D3 D4

1 D5 D6

Obtenemos una sucesion de 2-simplex con un vertice en X , tal que

D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...

1 D3 D4

1 D5 D6

D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...

1 D3 D4

1 D5 D6

D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...

1 D3 D4

1 D5 D6

D ⊃ D1 ⊃ D3 ⊃ ... ⊃ Di ⊃ ...

Por el teorema de encaje de Cantor existe un segmento

XS =⋂

Si l = XS es racional:

I = I∆A(X ,S)

⊇ f ∈ I∆A(X ,S)

Zf = ∆PQX

I = I∆A(X ,S)

⊇ f ∈ I∆A(X ,S)

Zg = ∆DEX = DZg1 = ∆DSX = C1

Zg2 = ∆ESX = C2

C1 ∩ C2 = XSC1 ∪ C2 = Dg1 ∧ g2 ∈ I

I = I∆A(X ,S)

⊇ f ∈ I∆A(X ,S)

Zf⊕g1 = ∆PRX ∈ ∆A(X ,S)

I = I∆A(X ,S)

⊇ f ∈ I∆A(X ,S)

Zf⊕g1 = ∆PRX ∈ ∆A(X ,S)Zg3 = �(PSDR)Zg3∧(f⊕g1) = C1

g3 ∧ (f ⊕ g1) ∈ Ig3 /∈ I(f ⊕ g1) ∈ If ∈ I ya que ( f ≤ (f ⊕ g1))

Si l es no-racional

I = I∆(X ,S)

Si X un punto no racional y XS es una recta racional

I = I∆A(X )

S0gA ∧ gB = 0, gA ∈ I , Zf ⊆ A

Si X un punto no racional y XS es una recta racional

I = I∆A(X )

S0X ∈ Zf , f ∈ I∆A(X )

Zh = A− Zf

Zh∧f = A, h ∧ f ∈ I , f ∈ I

En este trabajo se realizaron demostraciones nuevasy adaptaciones del caso general al caso free2, dandoun enfoque con un mayor componente geometrico ,queda por investigar hasta que punto este enfoquese puede generalizar al caso freen.

En la actualidad se estan encontrando bastantesresultados algebraicos y geometricos dentro de lateorıa de MV-algebras que constituiran parteimportante dentro de las teorıas que se pretendandesarrollar a futuro, este tipo de resultados abren elcamino a una clase de algebras con un grancontenido geometrico que hasta ahora empiezan aestudiarse.

GRACIAS

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