Algunos desarrollos adicionales · Transformaciones Fraccionales Lineales en CN Algunos desarrollos...

Propiedades espectrales y problemas relacionadosIsometrıas y problemas relacionados

Transformaciones Fraccionales Lineales en CN

Algunos desarrollos adicionales

XIX Escuela Venezolana de MatematicasAlgunos Problemas de la Teorıa de Operadores de Composicion en

Espacios de Funciones Analıticas

Gerardo A. Chacon, Gerardo R. Chacon y Jose GimenezUniversidad de los Andes

Septiembre 2006

XIX Escuela Venezolana de Matematicas Desarrollos adicionales

1 Propiedades espectrales y problemas relacionadosOperadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC ∗

ψ y C ∗ψCϕ

Rango Numerico de Operadores de Composicion

2 Isometrıas y problemas relacionadosFunciones ortogonales en el espacio de Dirichlet

3 Transformaciones Fraccionales Lineales en CN

Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion

Operadores de composicion esencialmente normales

Un operador T en un espacio de Hilbert se dice normal siTT ∗ = T ∗T , y esencialmente normal si T ∗T − TT ∗ es compacto.

• Bourdon, Levi, Narayan y Shapiro (2003): Espacio de Hardy.

• Bourdon, Levi, Narayan y Shapiro (2003): Espacio de Hardy.• MacCluer y Weir (2004): Espacios de Bergman.

G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)

Un operador de composicion Cϕ inducido en D por unatransformacion fraccional lineal ϕ en Hol(D) es no trivialmenteesencialmente normal si y solo si ϕ no es una transformacionhiperbolica, que no sea automorfismo con un punto fijo en ∂D.

Los operadores CϕC∗ψ y C ∗

El problema de determinar la compacidad de CϕC ∗ψ y C ∗

ψCϕ fueestudiado por Clifford y Zheng en el espacio de Hardy (1999) y enel espacio de Bergman (2003).

Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces CϕC ∗

ψ no es compacto, visto como operador enD, si y solo si existen puntos η1 y η2 en ∂D tales queϕ(η1) = ψ(η2) ∈ ∂D.

Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces CϕC ∗

ψ no es compacto, visto como operador enD, si y solo si existen puntos η1 y η2 en ∂D tales queϕ(η1) = ψ(η2) ∈ ∂D.

Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces C ∗

ψCϕ no es compacto, visto como unoperador en D, si y solo si existen puntos ω1 y ω2 en ∂D tales queϕ−1(ω1) = ψ−1(ω2) ∈ ∂D.

Para un operador acotado T en un espacio de Hilbert H, el rangonumerico de T se define como el subconjunto del plano complejodado por:

W (T ) := {〈Tx , x〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}.

Para un operador acotado T en un espacio de Hilbert H, el rangonumerico de T se define como el subconjunto del plano complejodado por:

W (T ) := {〈Tx , x〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}.

Bourdon Shapiro (2000) y Matache (2000): H2.

Si ϕ ∈ TFL(D), para Cϕ : D0 → D0 se tiene que:

1 Si ϕ es un automorfismo elıptico con un punto interior fijo α y ϕ′(α) es una raızn-esima de la unidad, entonces W (Cϕ) = co{ϕ′(α)k : k = 0, 1, . . . n − 1}.

2 Si ϕ es conjugado a una rotacion por un multiplo irracional de π: z 7→ µz,|µ| = 1, entonces W (Cϕ) = D ∪ {µ, µ2, . . . }.

3 Si ϕ es un automorfismo hiperbolico o un automorfismo parabolico, entoncesW (Cϕ) = D.

4 Si ϕ es parabolica y no es un automorfismo, entonces W (Cϕ) es la envolventeconvexa de una espiral que une 1 y 0.

5 Si ϕ es hiperbolica con exactamente un punto fijo en la frontera del discoentonces W (Cϕ) = D.

6 Si ϕ no es elıptica, con un punto exterior al disco y un punto interior del discofijos y ϕ′(α) es la derivada en este ultimo punto, entonces

W (Cϕ) = co({ϕ′(α)n : n = 1, 2 . . . } ∪ {0}).

Transformaciones Fraccionales Lineales en CNFunciones ortogonales en el espacio de Dirichlet

Isometrıas y problemas relacionados

Objetivo

Teorıa de funciones ⇒ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇒ Propiedades del operador Cϕ

Objetivo

Operadores de Composicion, isometrıas y problemasrelacionados

Objetivo revisado

Teorıa de funciones ⇔ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇔ Propiedades del operador Cϕ

Objetivo revisado

Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet

• Nordgren (1968) El operador de composicion Cϕ inducido en H2

por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.

por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• M. Martın y D. Vukotic (2005) En D, los operadores decomposicion isometricos son aquellos inducidos por aplicacionesunivalentes y llenas, del disco en sı mismo, que fijen el origen.(ϕ ∈ Hol(D) es una aplicacion llena si A[D \ ϕ(D)] = 0)

por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• W. Rudin (1988) Si ϕ es una aplicacion analıtica y acotada en eldisco unitario D tal que el conjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } seaortogonal en H2, ¿ϕ debe ser un multiplo constante de una funcioninterior?

por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• W. Rudin (1988) Si ϕ es una aplicacion analıtica y acotada en eldisco unitario D tal que el conjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } seaortogonal en H2, ¿ϕ debe ser un multiplo constante de una funcioninterior?• C. Sundberg (2003) y C. Bishop(2006) Existen funciones ϕ queno son interiores pero para las cuales el conjunto {ϕn} es ortogonalen H2.

• M. Martın y D. Vukotic (2005) En D, los operadores decomposicion isometricos son aquellos inducidos por aplicacionesunivalentes y llenas, del disco en sı mismo, que fijen el origen.(ϕ ∈ Hol(D) es una aplicacion llena si A[D \ ϕ(D)] = 0)• Problema: ¿Cuando es ortogonal {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } en D?

G. A. Chacon, G. R. Chacon y J. Gimenez (2005)

Sea ϕ ∈ Hol(D) con ϕ(0) = 0 y nϕ esencialmente acotada. Elconjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } es ortogonal en D si y solo si existeuna funcion g : [0, 1) → [0,∞) tal que para casi todo r ∈ [0, 1),nϕ(re iθ) = g(r) para casi todo θ ∈ [0, 2π] (esto es, nϕ esesencialmente radial).

Modelo lineal fraccional

Sea ϕ ∈ Hol(D) univalente, entonces existe una aplicacionunivalente σ : D → C y una transformacion fraccional linealψ ∈ Hol(D) tal que ψ(σ(D)) ⊂ σ(D) y σ ◦ ϕ = ψ ◦ σ.

Modelo lineal fraccional

Sea ϕ ∈ Hol(D) univalente, entonces existe una aplicacionunivalente σ : D → C y una transformacion fraccional linealψ ∈ Hol(D) tal que ψ(σ(D)) ⊂ σ(D) y σ ◦ ϕ = ψ ◦ σ.

Definicion

Una aplicacion ϕ de CN en CN es llamada una transformacionfraccional lineal si es de la forma

ϕ(z) :=Az + B

〈z ,C 〉+ D, z ∈ CN ;

Donde A es una matriz N ×N, B y C son elementos en CN (vistoscomo vectores columna), y D es un numero complejo.

Definicion

Una aplicacion ϕ de CN en CN es llamada una transformacionfraccional lineal si es de la forma

ϕ(z) :=Az + B

〈z ,C 〉+ D, z ∈ CN ;

Donde A es una matriz N ×N, B y C son elementos en CN (vistoscomo vectores columna), y D es un numero complejo.

Problema: Estudiar los operadores de composicion inducidos enespacios de funciones analıticas en la bola unitaria de CN portransformaciones fraccionales lineales.

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