M.C. Cynthia Guerrero

Análisis Dinámico

Introducción

La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en el se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas aplicada en el mismo. Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente: 1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las

coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración.

2. Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot).

3. Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos.

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Análisis Dinámico

El modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines:

Modelo dinámico

Simulación del

movimiento del robot

Diseño y evaluación del control

dinámico del robot

Dimensionamiento de los

actuadores

Diseño y evaluación

de la estructura

mecánica del robot

Introducción

M.C. Cynthia Guerrero

Análisis Dinámico

Introducción

Trabajo (W) es el producto escalar de la fuerza (F) por el desplazamiento que origina (x), siendo igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman.

( )W F x Cos

x

F

x

F

θ=0⁰

θ=45⁰

Energía cinética (K) lineal es la energía que posee un cuerpo por el hecho de moverse. La energía cinética de un cuerpo depende de su masa (m) y de su velocidad (v) según la relación:

21

2K mV

V m

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Análisis Dinámico

Energía cinética (K) rotacional Supongamos un anillo rotado con respecto a un eje perpendicular a su plano, que pasa por el centro de masa. La velocidad tangencial de una partícula en el borde es donde es el vector que apunta a dicha partícula (radio) y la velocidad angular del anillo. Entonces la energía cinética rotacional es: Donde m es la masa de la partícula, y V=rw, su velocidad tangencial. También se puede expresar en términos de la inercia I .

V wr r w

22 2 21 1 1

2 2 2K mV mr w Iw

m r

w

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Análisis Dinámico

La energía potencial (P) es aquella que tiene un cuerpo debido a su posición en un determinado momento. Por ejemplo un cuerpo que se encuentra a una cierta altura puede caer y provocar un trabajo o un resorte comprimido o estirado puede mover un cuerpo también produciendo trabajo. La energía potencial la consideramos como la suma de las energías potencial gravitatoria ( ) y potencial elástica ( ) , por lo tanto:

G EP P P

GP EP

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Análisis Dinámico

Energía potencial gravitatoria ( ) Es la que tienen los cuerpos debido a la gravedad (g) de la tierra. Se calcula multiplicando el peso (p) por la altura (h). Se suele considerar que a una altura cero la es cero, por lo tanto se calcula como:

GP

GP ph mgh

GP

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Análisis Dinámico

Energía potencial elástica ( ) Es la energía acumulada en un cuerpo elástico (K) tal como un resorte. Se calcula como:

21

2EP kx

EP

La energía potencial elástica es la que almacena un objeto por el hecho de estar deformado.

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Análisis Dinámico

Torque El torque y la potencia son dos indicadores del funcionamiento del motor, nos dicen qué tanta fuerza puede producir y con qué rapidez puede trabajar. El torque es la fuerza que producen los cuerpos en rotación, recordemos que el motor produce fuerza en un eje que se encuentra girando.

Torque: medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo, o la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director

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Análisis Dinámico

El péndulo simple Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición θ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos • el peso mg • la tensión T del hilo

θ

O

T

mg

mgCosθ mgSenθ

l

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Análisis Dinámico

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes: una primera componente en la dirección radial la cual se equilibra con la tensión T del hilo:

θ

O

l

mg

mgCosθ mgSenθ

La segunda componente perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

cosT mg

F mgsen

T

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Análisis Dinámico

La energia potencial del centro de masa del solido es:

θ

O

l

lCosθ

lSenθ

P mgh

l

h

cos (1 cos )h l l l

(1 cos )P mgh mgl

22 2 21 1 1

2 2 2K mV ml w Iw

La energia cinetica rotacional se puede escribir en terminos de la inercia I y la velocidad angular w:

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Análisis Dinámico

Mecánica Lagrangiana

Para encontrar las ecuaciones dinámicas de los robots se suelen utilizar técnicas como la mecánica Newtoniana y la mecánica Lagrangiana. En este curso veremos la mecánica Lagrangiana. La mecánica Lagrangiana se basa en la diferenciación de los termino de energía con respecto de las variables del sistema y el tiempo. Esta basada en las siguientes dos ecuaciones, una para movimientos lineales y otra para rotacionales. Primeramente, definiremos al Lagrangiano como: Donde L es el Lagrangiano, K es la energía cinética del sistema, y P es la energía potencial del sistema.

L K P

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Análisis Dinámico

Mecánica Lagrangiana

Entonces: Donde F es la suma de todas las fuerzas externas para un movimiento lineal, T es la suma de todos los torques en un movimiento rotacional, y θ y x son las variables del sistema.

i

i i

L LF

t x x

i

i i

L LT

t

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Análisis Dinámico

Ejemplo 1: Obtenga la relacion fuerza-aceleracion para el sistema mostrado en la figura, el cual tiene un grado de libertad, utilizando mecanica Lagrangiana.

i

i i

L LF

t x x

F m

K

Solucion: El eje ‘x’ denota el movimiento del carrito y es usado como variable en este sistema. Como el movimiento es lineal, solo usamos la ecuacion de fuerza F.

x

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Análisis Dinámico

i

i i

L LF

t x x

F m

K

Calculamos la energía cinética y la potencial

2 21 1

2 2K mV mx 21

2EP kx

De donde obtenemos el Lagrangiano L

2 21 1

2 2L K P mx kx

Lmx

x

mx mxt

Lkx

x

F mx kx

x

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Análisis Dinámico

Ejemplo 2: Calcule la ecuacion de movimiento para el sistema de 2GD.

i

i i

L LF

t x x

F m1

K

Solucion: En este problema hay dos grados de libertad, 2 coordenadas x y θ, por lo cual habra dos ecuaciones de movimiento: una por el movimiento lineal del sistema y otra por la rotacion del pendulo.

θ l

x

m2

i

i i

L LT

t

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Análisis Dinámico

/p c p cV V V

F m1

K La energia cinetica del sistema esta compuesta por la energia cinetica del carrito y la del pendulo. Note que la velocidad del pendulo es la suma de las velocidades del carrito y del pendulo con respecto al carrito:

θ l

x

m2 ˆ ˆc

dV xi xi

dt

Siendo la velocidad del péndulo con respecto al carrito: θ

l ˆcosl j

ˆlsen i

/ˆ ˆcosp c

dV lsen i l j

dt

/ˆ ˆcos (no hay velocidades negativas)p cV l i l sen j

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos cospV xi l i l sen j x l i l sen j

velocidad del carrito y del péndulo con respecto al carrito

Velocidad del carrito es el diferencial de la distancia x con respecto del tiempo, en el eje i

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Análisis Dinámico

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos cospV xi l i l sen j x l i l sen j

22

2 ˆcospV x l l sen j

Y Ya que : Entonces:

1 2

2

1 2 1 2 1 1 2 2

ˆ ˆ i j

,

, ,

V V V

V V V V V V V V V V V

carrito penduloK K K

2

1

1

2carritoK m x

2 2

2 2

1 1cos

2 2penduloK m x l m l sen

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Análisis Dinámico

carrito penduloK K K

2 2 2

1 2 2

1 12 cos

2 2K m m x m l lx

2 2

2

1 2 2

1 1 1cos

2 2 2K m x m x l m l sen

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2

1 1 12 cos cos

2 2 2K m x m x xl l m l sen

La energia potencial es la suma de la energia en el resorte y en el pendulo:

carrito penduloP P P

2

2

1(1 cos )

2P kx m gl

Ya que 2 2cos sin 1

P mgh

cos (1 cos )h l l l

Recordando

que:

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Análisis Dinámico

2 2 2

1 2 2

1 12 cos

2 2K m m x m l lx

El Lagrangiano queda:

2

2

1(1 cos )

2P kx m gl

2 2 2 2

1 2 2 2

1 1 12 cos (1 cos )

2 2 2L K P m m x m l lx kx m gl

La suma de las fuerzas F para el movimiento lineal es:

i

i i

L LF

t x x

1 2 2 cosL

m m x m lx

2

1 2 2 2cosd L

m m x m l m l sendt x

Lkx

x

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Análisis Dinámico

2

1 2 2 2cosL L

F m m x m l m l sen kxt x x

2

1 2 2 2cosL

m m x m l m l sent x

Lkx

x

La suma de torques T para un movimiento rotacional es:

i

i i

L LT

t

2

2 2 cosL

m l m lx

2

2 2 2cosd L

m l m lx m lx sendt

2 2

Lm lx sen m glsen

2 2 2 2

1 2 2 2

1 1 12 cos (1 cos )

2 2 2L K P m m x m l lx kx m gl

M.C. Cynthia Guerrero

Análisis Dinámico

2

2 2 2 2 2cosL L

T m l m lx m lx sen m lx sen m glsent

2

2 2 2cosd L

m l m lx m lx sendt

2 2

Lm lx sen m glsen

2

2 2 2cosT m l m lx m glsen

Si escribimos las dos ecueciones de movimiento en forma matricial obtenemos:

21 2 2 2

2 22 2 2

0

cos 0 0

m m m l kxF x m lsen x

m l m l m glsenT

2

1 2 2 2cosF m m x m l m l sen kx

2

2 2 2cosT m l m lx m glsen