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Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo
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APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA
1. CRECIMIENTO – DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS
Analicemos la siguiente función continua.
Definiciones
f es creciente en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x = x0” en el que cumple:
f(x0) ≤ f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝐱𝟎 f(x) ≤ f(x0) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 𝐱𝟎
f es decreciente en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x = x0” en el que cumple:
f(x0) ≥ f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝐱𝟎 f(x) ≥ f(x0) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 𝐱𝟎
f tiene un máximo relativo en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x0” en el que se cumple: f(x0) > f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼
f tiene un mínimo relativo en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x0” en el que se cumple: f(x0) < f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼
Es posible que una función sea creciente en un punto y no sea derivable en di-cho punto (caso c, derivadas laterales ≥0 pero distintas), o que presente un mínimo relativo y su derivada no sea nula (caso k, derivadas laterales de signos contrarios, a izquierda < 0 y a derecha > 0).
Pero, si una función es derivable en un punto “x0”, hay una relación entre la monotonía y el signo de la derivada f´(x0).
f es creciente en a, b, c. f es decreciente en e, g, h. f presenta máximos relativos en d, j. f presenta mínimos relativos en i, k.
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Relación entre el crecimiento-decrecimiento de una función f con el valor de su derivada primera f ’
a) Si la función f es derivable y creciente en
b) Si la función f es derivable y decreciente en 000 xfx
0
0 f 0 0
0
: para su demostración, ten en cuenta la definición y el significado geométrico de f'(x ):
f'(x ) = pendiente de la recta tangente a G en el punto (x , f(x ))
Supongamos que f es en , veamos
Nota
x
0
0
0
0
0
000 0
0 00
0
que valor tendría su derivada:
0lim =< ya que f es en cociente 0
0= lim 0
0lim = ya que f es en cociente 0
0
Supongamos que f es
x x
x x
x x
f x f xx
x xf x f xf x f x
x x f x f xx
x x
0
0
0
0
00
000 0
0 00
0
en , veamos que valor tendría su derivada:
0lim = ya que f es en cociente 0
0= lim 0
0lim = ya que f es en cociente 0
0
x x
x x
x x
x
f x f xx
x xf x f xf x f x
x x f x f xx
x x
Geométricamente veamos unos ejemplos gráficos:
0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x
Criterio del signo de la derivada 1ª para identificar los intervalos de
Sea f derivable en x0, entonces sí:
0 0) 0 estrictamente a f x f es creciente en x
0 0) 0b f x f es estrictamente decreciente en x
0 0) 0 no se puede asegurar nada sobre el de en c f x f x
Ejemplos de situaciones gráficas:
000 xfx
0 0x , f x 0 0x , f x
0 0x , f x
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0
0 f 0 0
0
0
: para su demostración, ten en cuenta la definición y el significado geométrico de f'(x ):
f'(x ) = pendiente de la recta tangente a G en el punto (x , f(x ))
a) Supongamos que > 0 :
= limx x
Nota
f x
f x
0
0
0
00 0 0
00
0 00 0 0
0
0
lim 0 < 0 a izquierda de
0
lim 0 > 0 a derecha de
Por lo tanto, si > 0 f es estrictamente creciente en
x x
x x
f x f xf x f x f x f x x
x xf x f x
x x f x f xf x f x f x f x x
x x
f x
0
0
0
0
0
00 0 0
000
0 00 0 0
0
x
b) Supongamos que < 0 :
lim 0 > 0 a izquierda de
= lim 0
lim 0 < 0 a derecha de
Por lo tanto, si
x x
x x
x x
f x
f x f xf x f x f x f x x
x xf x f xf x
x x f x f xf x f x f x f x x
x x
0 0
0
0
0
< 0 f es estrictamente decreciente en x
c) ¿Qué ocurre cuando 0?
Si es 0, entonces, no puede asegurarse nada, de entrada, sobre el comportamiento de f
en x , pues la función puede ser
f x
f x
f x
0 0
0
2
2
que sea creciente en x , decreciente en x , e incluso, que tenga
en x un extremo.
Los siguientes ejemplos lo confirma:
Consideremos las cuatro funciones siguientes:
( ) ( ) 2 (0) 0
( ) (
f x x f x x f
g x x g x
3 2
3 2
0
) 2 (0) 0
( ) ( ) 3 (0) 0
( ) ( ) 3 (0) 0
Observamos que, en todas ellas, x = 0 es un valor que anula a las derivadas primeras, (recta tangente
HORIZONTAL), sin embargo,el compo
x g
h x x h x x h
j x x j x x j
0rtamiento de cada una de ellas en x = 0 es muy diferente,
según se muestra en las gráficas:
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2
0
( ) ( ) 2 (0) 0
para x = 0 la función f tiene un
mínimo relativo
f x x f x x f
2
0
( ) ( ) 2 (0) 0
para x = 0 la función f tiene un
máximo relativo
g x x g x x g
3 2
0
( ) ( ) 3 (0) 0
la función en x = 0
j x x j x x j
j es decreciente
3 2
0
( ) ( ) 3 (0) 0
la función h es creciente en x = 0
h x x h x x h
Definición de valor y punto crítico
Sea 0x un punto en el dominio de f, si f ‘( 0x ) = 0 o f ‘( 0x ) no está definida (esto es, f
no derivable) entonces a 0x se le denomina “valor crítico” y al par ( 0x , f ( 0x )) “punto
crítico”.
Condición necesaria de extremo relativo (máximo o mínimo)
Sea f una función derivable en 0x , entonces:
Si tiene en 0x un máximo o un mínimo
relativo 0 0f x
Esto es, los “candidatos a ser extremos”, en puntos en donde la función es derivable, se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada primera.
xf
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Demostración: Si f tuviese en x0 un máximo relativo, entonces:
0 0
0
0 0
es x a izquierda 0 por lo que no tiene más remedio que ser 0
es en x a derecha 0
f en f xf x
f f x
Análogamente si f presentase en x0 un mínimo relativo, entonces:
0 0
0
0 0
es en x a izquierda 0 por lo que no tiene más remedio que ser 0es en x a derecha 0
f f xf x
f f x
Determinación de extremos relativos a través de la variación del signo de la deri-vada 1ª
Sea f una función derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es 00 xf , en-
tonces:
0) 0a f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es máximo relativo
0) ( ) 0b f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es mínimo relativo
Demostración:
0 0
0
0 0
0
0 " " de x f es a izquierda de x) x es
( ) 0 " " de x f es a derecha de x
0 " " de x f es a izquier)
Si f x con x a izquierdaa
Si f x con x a derecha
Si f x con x a izquierdab
máximo relativo
0
0
0 0
da de x x es min
( ) 0 " " de x f es a derecha de ximo
Si f x con x a derecharelativo
Identificación de máximos y mínimos relativos con el criterio de la derivada 2ª
Sea 0x un valor crítico, esto es 00 xf , entonces, 0 0si f x xf tiene
un extremo relativo en 0 , , :x además si
0) 0a f x f x tiene un mínimo relativo en 0x
0) 0b f x f x tiene un máximo relativo en 0x
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Demostración:
0 0 0 0
0 0 0
) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA , y como en x se anula ( ) 0,
entonces f' tendrá que " 0" "x" a izquierda de x , en x se anula ( ) 0,
f' "
a Si f x f es CRECIENTE en x f f x
ser negativa f x f f x
y pasará a ser p
0
0 0
0
0" "x" a derecha de x
( 0 a izqda de x ) ( 0 a decha de x )
f tiene en
ositiva f x
luego f cambia de ser decreciente f x a creciente f x
x un minimo relativo
0 0 0 0
0 0 0
) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA , y como en x se anula ( ) 0,
entonces f' tendrá que " 0" "x" a izquierda de x , en x se anula ( ) 0,
f'
b Si f x f es DECRECIENTE en x f f x
ser positiva f x f f x
y pasará a ser
0
0 0
0
" 0" "x" a derecha de x
( 0 a izqda de x ) ( 0 a decha de x )
f tiene en
negativa f x
luego f cambia de ser creciente f x a decreciente f x
x un máximo relativo
2. CURVATURA
Cuando la curva queda por encima de la rec-ta tangente se dice que f es convexa en x0.
Cuando la curva queda por debajo de la recta
tangente se dice que f es cóncava en x0.
Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:
f cóncava en 0 0 0x f x
f convexa en 0 0 0x f x
Demostración:
0 0 0 0f concava en 0 0x f es decreciente en x f x f x
0 0 0 0f convexa en 0 0x f es creciente en x f x f x
tg α1 < tg α
2 f '(x
1) < f '(x
2)
Las pendientes de las tangentes aumentan,
f ' es creciente
tg α1 > tg α
2 f '(x
1) > f '(x
2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente
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Criterio para saber el tipo de curvatura a través del signo de la 2ª derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:
0 0) 0 es c ncava en a f x f ó x
0 0) 0 es c en b f x f onvexa x
0 0) 0 no se puede asegurar nada acerca de la curvatura de en c f x f x
Demostración:
0 0 0) 0 es en es c ncava en a Si f x f x f ó x
0 0 0) 0 es en es c en b Si f x f x f onvexa x
Condición necesaria de punto de inflexión
Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.
Si f x tiene un punto de inflexión en 0 0 0x f x
Esto es, los “candidatos a puntos de infle-xión” se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada segunda.
Demostración:
0
0 0
0 0
que f tiene un en , :
a izquierda de x es 0por lo que tendrá que ser
a derecha de x es 0
Supongamos x convexo concavo entonces
f convexa f x
f cóncava f x
punto de inflexión
0 0f x
0
0 0
0 0
que f tiene un en , :
a izquierda de x es cóncava 0 por lo que tendrá que se
a derecha de x es convexa 0
Supongamos x concavo convexo entonces
f f x
f f x
punto de inflexión
0r 0f x
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Criterio para identificar puntos de inflexión a través del signo de la 2ª derivada
Sea f una función dos veces derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es
0 0f x , entonces:
0) 0 " " " "a f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x
0x es punto de inflexión cóncavo-convexo.
0) ( ) 0 " " " "b f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x
0x es punto de inflexión convexo-concavo.
Demostración:
0 0 0
0 0 0
0 " " de x f ' es a izquierda de x f es convexa a izquierda de x)
0 " " de x f ' es a derecha de x f es cóncava a derecha de x
Si f x con x a izquierdaa
Si f x con x a derecha
0
0 0 0
0 0
x es un .
0 " " de x f ' es a izquierda de x f es cóncava a izquierda de x)
0 " " de x f ' es a derecha de x
Si f x con x a izquierdab
Si f x con x a derecha
punto de inflexión cóncavo convexo
0
0
f es convexa a derecha de x
x es un .punto de inflexión convexo cóncavo
Identificación de punto de inflexión con el signo de la tercera derivada
Sea 0x un valor tal que 00 xf , entonces, si 00xf xf tiene
un punto de inflexión en 0x
a) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x cóncavo-
convexo.
b) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x convexo-
cóncavo.
c) Si 0 0f x no se asegura que xf tenga un punto de inflexión en 0x
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Demostración:
0 0 0 0
0 0 0
) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA SEGUNDA , y como en x es ( ) 0,
entonces f'' negativa " ( ) 0" para "x" a izquierda de x ,en x es ( ) 0,
para luego
a Si f x f es creciente en x f x
tendrá que ser f x f x
0
0
0 0
ser positiva " ( ) 0" para "x"a derecha de x
en presenta un inflexión ( ( ) 0) ( ( ) 0)
) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA SEGUNDA , y c
pasar a f x
luego x f pto de concavo f x convexo f x
b Si f x f es decreciente en x
0 0
0 0 0
0
omo en x es ( ) 0,
entonces f'' positiva " ( ) 0" para "x" a izquierda de x ,en x es ( ) 0,
para luego ser negativa " ( ) 0" para "x"a derecha de x
en
f x
tendrá que ser f x f x
pasar a f x
luego 0 presenta un inflexión ( ( ) 0) ( ( ) 0)x f pto de convexo f x concavo f x
CRITERIO GENERAL Sea f una función indefinidamente derivable en el punto 0x
Si la primera derivada que no se anula en el punto 0x es de orden par ( 2n k )
entonces en 0x la función presenta un extremo relativo:
1) )0 0 0 0 0.......... 0 0 2n nf x f x f x f x y f x con n k
)0 0
)0 0
) 0 .
) 0 .
n
n
a Si f x en x f tiene un máximo relativo
b Si f x en x f tiene un mínimo relativo
Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto 0x
es de orden impar ( 2 1n k ) entonces en 0x la función presenta un punto de
inflexión:
1) )0 0 0 0.......... 0 0 2 1n nf x f x f x y f x con n k
)0 0
)0 0
) 0 .
) 0 .
n
n
a Si f x en x f tiene un punto de inflexión convexo cóncavo
b Si f x en x f tiene un punto de inflexión cóncavo convexo
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES PARA RECORDARLAS
El signo de la derivada primera f’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función original f(x).
El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x).
El crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x) nos informa so-bre la concavidad-convexidad de la función original f(x).
El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre la concavidad-convexidad de la función original f(x).
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Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
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Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
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Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------
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RESUMEN SOBRE MONOTONÍA, CURVATURA, EXTREMOS RELATIVOS
Relación entre el crecimiento-decrecimiento de una función f con el valor de su de-rivada primera f ’
c) Si la función f es derivable y creciente en
d) Si la función f es derivable y decreciente en 000 xfx
0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x
Criterio del signo de la derivada 1ª para identificar los intervalos de
Sea f derivable en x0, entonces sí:
0 0) 0 estrictamente a f x f es creciente en x
0 0) 0b f x f es estrictamente decreciente en x
0 0) 0 no se puede asegurar nada sobre el de en c f x f x
Definición de valor y punto crítico
Sea 0x un punto en el dominio de f, si f ‘( 0x ) = 0 o f ‘( 0x ) no está definida (esto es, f
no derivable) entonces a 0x se le denomina “valor crítico” y al par ( 0x , f ( 0x )) “punto
crítico”.
000 xfx
0 0x , f x 0 0x , f x
0 0x , f x
2
0
( ) ( ) 2
(0) 0
para x = 0 la función
tiene un mínimo relativo
f x x f x x
f
2
0
( ) ( ) 2
(0) 0
para x = 0 la función
tiene un máximo relativo
g x x g x x
g
3 2
0
( ) ( ) 3
(0) 0
la función
en x = 0
j x x j x x
j
es decreciente
3 2
0
( ) ( ) 3
(0) 0
la función es creciente
en x = 0
h x x h x x
h
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Condición necesaria de extremo relativo (máximo o mínimo)
Sea f una función derivable en 0x , entonces:
Si tiene en 0x un máximo o un mínimo relativo
0 0f x
Esto es, los “candidatos a ser extremos”, en puntos en donde la función es derivable, se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada primera. Determinación de extremos relativos a través de la va-riación del signo de la derivada 1ª
Sea f una función derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es 00 xf , enton-
ces:
0) 0a f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es máximo relativo
0) ( ) 0b f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es mínimo relativo
Identificación de máximos y mínimos relativos con el criterio de la derivada 2ª
Sea 0x un valor crítico, esto es 00 xf , entonces, 0 0si f x xf tiene
un extremo relativo en 0 , , :x además si
0) 0a f x f x tiene un mínimo relativo en 0x
0) 0b f x f x tiene un máximo relativo en 0x CURVATURA Cuando la curva queda por encima de la recta tan-gente se dice que f es convexa en x0.
Cuando la curva queda por debajo de la recta tan-gente se dice que f es cóncava en x0.
xf
tg α1 < tg α
2 f '(x
1) < f '(x
2)
Las pendientes de las tangentes aumentan,
f ' es creciente
tg α1 > tg α
2 f '(x
1) > f '(x
2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente
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Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:
f cóncava en 0 0 0x f x
f convexa en 0 0 0x f x
Criterio para saber el tipo de curvatura a través del signo de la 2ª derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:
0 0) 0 es c ncava en a f x f ó x
0 0) 0 es c en b f x f onvexa x
0 0) 0 no se puede asegurar nada acerca de la curvatura de en c f x f x
Condición necesaria de punto de inflexión Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.
Si f x tiene un punto de inflexión en 0 0 0x f x
Esto es, los “candidatos a puntos de inflexión” se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada segunda.
Criterio para identificar puntos de inflexión a través del signo de la 2ª derivada
Sea f una función dos veces derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es
0 0f x , entonces:
0) 0 " " " "a f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x
0x es punto de inflexión cóncavo-convexo.
0) ( ) 0 " " " "b f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x
0x es punto de inflexión convexo-concavo.
Identificación de punto de inflexión con el signo de la tercera derivada
Sea 0x un valor tal que 00 xf , entonces, si 00xf xf tiene
un punto de inflexión en 0x
a) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x cóncavo-
convexo.
b) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x convexo-
cóncavo.
c) Si 0 0f x no se asegura que xf tenga un punto de inflexión en 0x
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CRITERIO GENERAL Sea f una función indefinidamente derivable en el punto 0x
Si la primera derivada que no se anula en el punto 0x es de orden par ( 2n k )
entonces en 0x la función presenta un extremo relativo:
1) )0 0 0 0 0.......... 0 0 2n nf x f x f x f x y f x con n k
)0 0
)0 0
) 0 .
) 0 .
n
n
a Si f x en x f tiene un máximo relativo
b Si f x en x f tiene un mínimo relativo
Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto 0x
es de orden impar ( 2 1n k ) entonces en 0x la función presenta un punto de
inflexión:
1) )0 0 0 0.......... 0 0 2 1n nf x f x f x y f x con n k
)0 0
)0 0
) 0 .
) 0 .
n
n
a Si f x en x f tiene un punto de inflexión convexo cóncavo
b Si f x en x f tiene un punto de inflexión cóncavo convexo
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES PARA RECORDARLAS
El signo de la derivada primera f’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función original f(x).
El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x).
El crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x) nos informa so-bre la concavidad-convexidad de la función original f(x).
El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre la concavidad-convexidad de la función original f(x).