Post on 26-Dec-2015
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Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte
sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3.
Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces,
dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes
al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua
bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de
contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días)
𝑣 = 109
Velocidad de entrada y salida de agua del lago es de:
𝑎 = 𝑏 = 1001
Concentración de contaminantes
𝑐 = 11001⁄
Ecuación diferencial para este caso
�̇� = 1001
1001−
𝑥
109 1001, O bien �̇� + 1001
109 = 1
Solución a la ecuación homogénea
𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐 𝑒−
1001109 𝑡
Se usa el método de variación de parámetros. Buscando una solución de la
ecuación no homogénea de la forma
𝑥(𝑡) = 𝑐(𝑡) 𝑒−
1001109 𝑡
Entonces
𝑐′(𝑡) 𝑒−
1001109 𝑡
= 1 ⟹ 𝑐′(𝑡) = 𝑒 1001109 𝑡
⟹ 𝑐(𝑡) = 109
1001 𝑒
1001109 𝑡
+ 𝑐
Luego
𝑥(𝑡) = 109
1001 + 𝑐 𝑒
− 1001109 𝑡
.
0 = 𝑥(0) = 109
1001 (1 − 𝑒
− 1001109 𝑡
)
Por lo tanto
𝑥(𝑡) = 109
1001 (1 − 𝑒
− 1001109 𝑡
)
La concentración de contaminantes en el lago en el lago en el tiempo t es:
𝑥(𝑡)
𝑣=
1
1001 (1 − 𝑒
− 1001109 𝑡
).
Respuesta. Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos
diarios de contaminación) tenemos: La concentración
En un día es 0.0014%,
En un mes 0.012%
Y en un año0.146%