Arcoseno hiperbólico. Definición, fórmula y

gráfica.José de Jesús García Ruvalcaba

UABC

Seno hiperbólico.

• Recordemos que el seno hiperbólico es la componente impar de la función exponencial:

sinh 𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

Gráfica del seno hiperbólico.

• Notemos que es una función biyectiva:

sinh: −∞,+∞ → −∞,+∞

Por lo tanto, no necesita ningunarestricción para invertirse. Su inversa es la función arcoseno hiperbólico.

Gráfica del arcosenohiperbólico.

arcsinh: −∞,+∞ → −∞,+∞

Fórmula explícita para el arcosenohiperbólico.

• Sea 𝑦 = arcsinh 𝑥

𝑦 = arcsinh 𝑥

𝑥 = sinh 𝑦

𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

2

• Hay que despejar 𝑦.

Continuación.

𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

2

2𝑥 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

0 = 𝑒𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦

𝑒𝑦 − 2𝑥 − 𝑒−𝑦 = 0

𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒𝑦 − 1 = 0

Continuación.

𝑒2𝑦 − 2𝑥𝑒𝑦 − 1 = 0

𝑒𝑦 =− −2𝑥 ± −2𝑥 2 − 4 1 −1

2 1

𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4𝑥2 + 4

2

Continuación.

𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4𝑥2 + 4

2

𝑒𝑦 =2𝑥 ± 4 𝑥2 + 1

2

𝑒𝑦 =2𝑥 ± 2 𝑥2 + 1

2

𝑒𝑦 = 𝑥 ± 𝑥2 + 1

Desigualdades necesarias.

𝑥 + 𝑥2 + 1 > 0

𝑥 − 𝑥2 + 1 < 0

𝑒𝑦 > 0

𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1

Como ejercicio, demostrar las primeras dos desigualdades.

Conclusión.

𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 + 1

𝑦 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1

arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1

𝑥 ∈ −∞,+∞

Resumen

arcsinh: −∞,+∞ → −∞,+∞

arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1