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ARITMÉTICA ENTERA LOS NÚMEROS ENTEROS

= {..., n, ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} (Zahlen, en alemán, números) Recordamos la estructura de sus propiedades aritméticas la relación de orden usual, compatible con esas operaciones

Departamento de Matemática Aplicada. ETSIInf. UPM. Victoria Zarzosa Rodríguez

Operaciones en : suma y producto que verifican las propiedades: 1) asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

2) conmutativa a + b = b + a a b = b a

3) existencia de elemento neutro a + 0 = a a 1 = a

4) existencia de elementos opuestos a a a + (a) = 0

5) distributiva a (b + c) = a b + a c

6) cancelativa Si a 0 y si a b = a c b = c

Relación de orden total en ( , ) compatible con las operaciones definidas en :

si a b entonces a + c b + c y a c b c, si c

Axioma de buena ordenación Si S es un subconjunto no vacío de y S tiene una cota inferior,

entonces S tiene un elemento mínimo.

En el conjunto de los números racionales ℚ no es cierto:

S = {x = tal que n } no tiene mínimo.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN El conjunto de los números naturales es el menor conjunto inductivo: 1) 1

2) si n , entonces n + 1 , n

Principio de inducción (B. Pascal, “Tratado del triángulo aritmético”, 1665)

Sea S un subconjunto no vacío de tal que

1) 1 S

2) si k S, entonces k + 1 S, k

Entonces S = .

Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que n

2)12( = 3

)12)(12( nnn

6)12)(1(

2) Probar que si n 1, entonces n se puede expresar como suma de

treses y ochos.

Principio de inducción fuerte Sea z0 y S un subconjunto de 0 = {z / z z0} tal que

1) z0 S

2) si {z0, z0 + 1, …, n} S, entonces n + 1 S

Entonces S = 0.

Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que

a) 2n > n + 1, n 2

b) 2n + 1 < n2, n 3

c) n! ≥ 2n, n 4

2) Probar que

a) n2 + 3n es par b) n3 + 3n2 + 2n = n (n + 1) (n + 2) es múltiplo de 6 c) 42n 1 es divisible por 15

DIVISIBILIDAD Relación de orden parcial en ( , ) Sean a, b , b 0. b divide a a ( ba ) si y sólo si existe c / a = b c. Propiedades Sean a, b, c se tiene que 1) 1a

3) Si ca y cb entonces ca + b

El recíproco no es cierto: 49 + 3 y 4 no divide a 9 ni a 3

4) Si ca y cb entonces ca x + b y, x, y

5) Si a b = 1 entonces a = b = 1 ó a = b = 1

6) Si a b y b a entonces a = b o a = b

En se puede dividir: Ejemplos a) 27 = 4.6 + 3 = 4.5 + 7 = 4.4 + 11 = 4.3 + 15 = ...

R = {3, 7, 11, 15, ...} = {3 + 4 k / k }

b) 27 = 4 (7) + 1 = 4 (8) + 5 = 4 (9) + 9 = ... R = {1, 5, 9, 13, ...} = {1 + 4 k / k }

a = b q + r 0 r b

Consecuencia del axioma de buena ordenación:

El conjunto R de los restos de la división entera de a entre b es un

subconjunto no vacío de y R tiene una cota inferior, entonces R tiene

un resto mínimo r tal que 0 r b.

Teorema de la división entera Sean a, b , b

Existen unos únicos q, r , tales que a = b q + r con 0 r b.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Una consecuencia importante del teorema de la división entera es la

justificación del sistema de numeración.

Teorema Sean b y b 2. Cualquier n se escribe de manera única como

⋯ …

con 0 rj < b, j {0, 1, …, k} y rk 0.

En este caso se dice que n está expresado en base b.

Demostración Por el teorema de la división entera n = b q0 + r0 0 r0 b 0 q0 n q0 = b q1 + r1 0 r1 b 0 q1 q0 n q1 = b q2 + r2 0 r2 b 0 q2 < q1 q0 n ...... qk1 = b qk + rk 0 rk b 0 qk < qk1 … < q0 n qk = 0 El conjunto de los cocientes R = {qi / i = 0, 1, ..., k} está acotado

inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.

n = b q0 + r0 = b (b q1 + r1) + r0 = b (b (b q2 + r2 ) + r1) + r0 = … =

Ejemplo 1006 = 2. 503 + 0 1006 = 8. 125 + 6

503 = 2. 251 + 1 125 = 8. 15 + 5

251 = 2. 125 + 1 15 = 8. 1 + 7

125 = 2.62 + 1 1 = 8.0 + 1

62 = 2. 31 + 0

31 = 2. 15 + 1

15 = 2. 7 + 1

7 = 2. 3 + 1

3 = 2. 1 + 1

1 = 2. 0 + 1

100610 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 + 22 + 21 = 11111011102 100610 = 1.83 + 7.82 + 5.81 + 6.80 = 17568

ALGORITMO DE EUCLIDES (c. 325 265 a C.) Definición Sean a, b , se dice que d = mcd (a, b) si y sólo si 1) d 1 2) d a y d b 3) c tal que c a y c b, se tiene que c d. Teorema Si a, b tales que a = b q + r, entonces mcd (a, b) = mcd (b, r) Demostración Si d = mcd (a, b) entonces d a y d b d a b q = r. Sea c tal que c b y cr c b q + r = a c d. Por tanto, d = mcd (b, r).

Algoritmo a = b q1 + r1 0 r1 b b = r1 q2 + r2 0 r2 r1 r1 = r2 q3 + r3 0 r3 r2 .......... rk-2 = rk-1 qk + rk 0 rk rk-1 rk-1 = rk qk+1 0 = r k+1 El conjunto de los restos R = {ri / i = 0, 1, ..., k} está acotado inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.

mcd (a, b) = mcd (b, r1) = mcd (r1, r2) = ... = mcd ( rk-1, rk) = rk

Teorema de Lamé ( 1795 1870 ) El nº de pasos del algoritmo de Euclides es k < 5. nº de dígitos mín (a, b). Ejemplo Hallar el mcd (654, 444) El número de pasos es k < 5. nº de dígitos mín (654, 444) = 15. 654 = 444.1 + 210 444 = 210.2 + 24 210 = 24.8 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3

mcd (654, 444) = 6

Teorema de Bézout Si a , b , entonces x, y tales que a x + b y = d = mcd (a, b) Demostración Por el algoritmo de Euclides, d = mcd (a, b) = mcd ( rk1, rk) = rk Entonces, sustituyendo los restos, d = rk = (rk2 rk1 qk ) = rk2 (rk3 rk2 qk1 ) qk

= (1 + qk1 qk ) rk2 qk rk3 = ... Ejemplo d = mcd (a = 654, b = 444) = 6 d = 6 = 24 18.1 = 24 ( 210 24.8 ) = 210 + 9.24 = = 210 + 9 ( 444 210.2 ) = 19.210 + 9.444 = = 19 ( 654 444 ) + 9.444 = 28.444 19.654 Existen x = 19, y = 28 tales que d = 19 a + 28 b.

Definición

a, b son primos entre sí si y sólo si mcd (a, b) = 1.

En este caso, x, y tales que a x + b y = 1.

Lema de Euclides

Sean a, b, c tales que ab.c y mcd (a, b) = 1, entonces ac.

Demostración Si mcd (a, b) = 1 entonces x, y tales que

a x + b y = 1 c a x + c b y = c.

Si ab.c ac b y y como ac a x , entonces ac.

“Si ab.c no implica que ab o ac”:

428 = 2 .14 y 4 no divide a 2 ni a 14.

Proposición

Si se dividen dos números enteros por su mcd, resultan dos números

primos entre sí.

Sean a, b

mcd (a, b) = d d , d a, db y , 1

Demostración

) Si mcd (a, b) = d d a, d b y x, y con a x + b y = d

x, y tales que 1 , 1.

) Si da, db, 1,mcd

da x, y con 1

a x + b y = d.

Sea c tal que ca y cb ca x + b y = d

d = mcd (a, b).

ECUACIONES DIOFÁNTICAS Diofanto de Alejandría (s. III a C.)

“Aritmética” (se conservan 6 de los 13 volúmenes)

a, b, c conocidosa x + b y = c x, y incógnitas

Teorema La ecuación diofántica a x + b y = c tiene solución en

si y sólo si d = mcd (a, b) c. Si ( x1, y1 ) es una solución particular obtenida mediante el algoritmo de Euclides, entonces todas las soluciones son de la forma

, ∀ ∈

Demostración ) Si la ecuación a x + b y = c tiene solución en y mcd (a, b) = d

entonces da, db dc.

) Si mcd (a, b) = d x0, y0 tales que dyax 00 b

Si dc entonces c ydcb x

dca 00 , por tanto

es una solución particular de la ecuación a x + b y = c.

Si (x, y) es otra solución de la ecuación, entonces a x + b y = c

a (x x1) + b (y y1) = 0 )()( 11 yydbxx

Como 1,mcd

t tal que

. Por tanto, , ∀ ∈

Ejemplos 1) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 150 x + 100 y = 200

Solución mcd (150, 100) = 50200 entonces existe solución de la ecuación 150 x + 100 y = 200

2.50100501.100150

mcd (150, 100) = 50 = 150 100 200 = 4.150 4.100

2) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 84 x 30 y = 60

Solución mcd (84, 30) = 660 entonces existe solución de la ecuación 84 x 30 y = 60

4.62461.2430242.3084

mcd (84, 30) = 6 = 30 24 = 30 (84 30.2) = 84 + 3.30

60 = 84.10 + 30.30

1430510

NÚMEROS PRIMOS Definición p 1 es primo si los únicos divisores positivos de p son {1, p}.

Si n no es primo se dice que es compuesto.

Un número n es compuesto si y sólo si a, b { 2, 3, ..., n 1 }

tales que n = a b.

Teorema fundamental de la aritmética (Euclides) Todo n 1 es primo o se puede expresar de forma única como

producto de números primos, salvo el orden de los factores.

Teorema de Euclides

Existen infinitos números primos.

Demostración

Si el conjunto de los números primos P es finito entonces P = { p1, ..., pn }.

Se considera el número p = p1 ... pn + 1

pi divide a p1 ... pn = p 1 i n

pi no divide a p i n p es primo y p P.

Proposición de Fermat (1601 1665) Si n es un número compuesto, entonces tiene un divisor primo p n . Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b. Si a b, entonces a2 a b = n a n . Si a es primo, ya está demostrado. Si a es compuesto a = p1 ... pr con pi números primos pi a n y pi a n.

Consecuencia Sea n 1 . Si para todo número primo p n se cumple que p no divide a n, entonces n es primo.

DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS

El método de la criba de Eratóstenes (s. III a C.) para obtener los números primos < n, se aplica con los números n , exclusivamente.

Este método de división es inviable porque el método proporciona la factorización del número como producto de números primos.

n = 244497 1 es primo y tiene 13395 cifras.

Un computador que se pare en n , necesitaría 106684 años.

El Big-Bang ocurrió hace 1.426940639 . 1010 años

La estrella más antigua tiene 1.3 . 1010 años El Sol tiene 4.6 . 109 años.

Teorema de Marin Mersenne (15881648) Si 2n 1 es primo, entonces n es primo. Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b y como 2ab 1 = (2a 1) (2a (b 1) + 2a (b 2) + …+ 2a + 1), entonces 2n 1 es compuesto.

Los primeros números primos de Mersenne son:

22 1 23 1 25 1 27 1 213 1 217 1 219 1 231 1 2127 1

(los marcados no los encontró Mersenne) 261 1 287 1 2107 1

“El recíproco no es cierto”: 211 1 = 2047 = 23 . 89 no es primo

Mersenne afirmó que 267 1 y 2257 1 eran primos y no lo son.

En 1903, Frank Nelson Cole, de la Universidad de Columbia, en la

conferencia “Sobre la factorización de números grandes” en la Sociedad

Americana de Matemática demostró a mano que

267 1 = 147.573.952.589.676.412.927 = = 193.707.721 761.838.257.287

El 48º número primo de Mersenne, el mayor conocido es 257.885.161−1,

tiene 17.425.170 dígitos y ha sido hallado con el proyecto GIMPS

(Great Internet Mersenne Prime Search), formado en 1996.

http://www.mersenne.org

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