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ARITMÉTICA ENTERA LOS NÚMEROS ENTEROS

= {..., n, ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} (Zahlen, en alemán, números) Recordamos la estructura de sus propiedades aritméticas la relación de orden usual, compatible con esas operaciones

Departamento de Matemática Aplicada. ETSIInf. UPM. Victoria Zarzosa Rodríguez

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Operaciones en : suma y producto que verifican las propiedades: 1) asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

2) conmutativa a + b = b + a a b = b a

3) existencia de elemento neutro a + 0 = a a 1 = a

4) existencia de elementos opuestos a a a + (a) = 0

5) distributiva a (b + c) = a b + a c

6) cancelativa Si a 0 y si a b = a c b = c


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Relación de orden total en ( , ) compatible con las operaciones definidas en :

si a b entonces a + c b + c y a c b c, si c

Axioma de buena ordenación Si S es un subconjunto no vacío de y S tiene una cota inferior,

entonces S tiene un elemento mínimo.

En el conjunto de los números racionales ℚ no es cierto:

S = {x = tal que n } no tiene mínimo.


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PRINCIPIO DE INDUCCIÓN El conjunto de los números naturales es el menor conjunto inductivo: 1) 1

2) si n , entonces n + 1 , n

Principio de inducción (B. Pascal, “Tratado del triángulo aritmético”, 1665)

Sea S un subconjunto no vacío de tal que

1) 1 S

2) si k S, entonces k + 1 S, k

Entonces S = .


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Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que n

a)

n

knk

1

2)12(

b)

n

kk

1

2)12( = 3

)12)(12( nnn

c)

n

k

nnnk

1

2

6)12)(1(

d) 2

11

3

n

k

n

kkk

2) Probar que si n 1, entonces n se puede expresar como suma de

treses y ochos.


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Principio de inducción fuerte Sea z0 y S un subconjunto de 0 = {z / z z0} tal que

1) z0 S

2) si {z0, z0 + 1, …, n} S, entonces n + 1 S

Entonces S = 0.


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Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que

a) 2n > n + 1, n 2

b) 2n + 1 < n2, n 3

c) n! ≥ 2n, n 4

2) Probar que

a) n2 + 3n es par b) n3 + 3n2 + 2n = n (n + 1) (n + 2) es múltiplo de 6 c) 42n 1 es divisible por 15


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DIVISIBILIDAD Relación de orden parcial en ( , ) Sean a, b , b 0. b divide a a ( ba ) si y sólo si existe c / a = b c. Propiedades Sean a, b, c se tiene que 1) 1a

2) a0

3) Si ca y cb entonces ca + b

El recíproco no es cierto: 49 + 3 y 4 no divide a 9 ni a 3

4) Si ca y cb entonces ca x + b y, x, y


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5) Si a b = 1 entonces a = b = 1 ó a = b = 1

6) Si a b y b a entonces a = b o a = b

En se puede dividir: Ejemplos a) 27 = 4.6 + 3 = 4.5 + 7 = 4.4 + 11 = 4.3 + 15 = ...

R = {3, 7, 11, 15, ...} = {3 + 4 k / k }

b) 27 = 4 (7) + 1 = 4 (8) + 5 = 4 (9) + 9 = ... R = {1, 5, 9, 13, ...} = {1 + 4 k / k }

a = b q + r 0 r b


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Consecuencia del axioma de buena ordenación:

El conjunto R de los restos de la división entera de a entre b es un

subconjunto no vacío de y R tiene una cota inferior, entonces R tiene

un resto mínimo r tal que 0 r b.

Teorema de la división entera Sean a, b , b

Existen unos únicos q, r , tales que a = b q + r con 0 r b.


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SISTEMAS DE NUMERACIÓN Una consecuencia importante del teorema de la división entera es la

justificación del sistema de numeración.

Teorema Sean b y b 2. Cualquier n se escribe de manera única como

⋯ …

con 0 rj < b, j {0, 1, …, k} y rk 0.

En este caso se dice que n está expresado en base b.


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Demostración Por el teorema de la división entera n = b q0 + r0 0 r0 b 0 q0 n q0 = b q1 + r1 0 r1 b 0 q1 q0 n q1 = b q2 + r2 0 r2 b 0 q2 < q1 q0 n ...... qk1 = b qk + rk 0 rk b 0 qk < qk1 … < q0 n qk = 0 El conjunto de los cocientes R = {qi / i = 0, 1, ..., k} está acotado

inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.

n = b q0 + r0 = b (b q1 + r1) + r0 = b (b (b q2 + r2 ) + r1) + r0 = … =

k

j

jjbr

0


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Ejemplo 1006 = 2. 503 + 0 1006 = 8. 125 + 6

503 = 2. 251 + 1 125 = 8. 15 + 5

251 = 2. 125 + 1 15 = 8. 1 + 7

125 = 2.62 + 1 1 = 8.0 + 1

62 = 2. 31 + 0

31 = 2. 15 + 1

15 = 2. 7 + 1

7 = 2. 3 + 1

3 = 2. 1 + 1

1 = 2. 0 + 1

100610 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 + 22 + 21 = 11111011102 100610 = 1.83 + 7.82 + 5.81 + 6.80 = 17568


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ALGORITMO DE EUCLIDES (c. 325 265 a C.) Definición Sean a, b , se dice que d = mcd (a, b) si y sólo si 1) d 1 2) d a y d b 3) c tal que c a y c b, se tiene que c d. Teorema Si a, b tales que a = b q + r, entonces mcd (a, b) = mcd (b, r) Demostración Si d = mcd (a, b) entonces d a y d b d a b q = r. Sea c tal que c b y cr c b q + r = a c d. Por tanto, d = mcd (b, r).


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Algoritmo a = b q1 + r1 0 r1 b b = r1 q2 + r2 0 r2 r1 r1 = r2 q3 + r3 0 r3 r2 .......... rk-2 = rk-1 qk + rk 0 rk rk-1 rk-1 = rk qk+1 0 = r k+1 El conjunto de los restos R = {ri / i = 0, 1, ..., k} está acotado inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.

mcd (a, b) = mcd (b, r1) = mcd (r1, r2) = ... = mcd ( rk-1, rk) = rk


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Teorema de Lamé ( 1795 1870 ) El nº de pasos del algoritmo de Euclides es k < 5. nº de dígitos mín (a, b). Ejemplo Hallar el mcd (654, 444) El número de pasos es k < 5. nº de dígitos mín (654, 444) = 15. 654 = 444.1 + 210 444 = 210.2 + 24 210 = 24.8 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3

mcd (654, 444) = 6


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Teorema de Bézout Si a , b , entonces x, y tales que a x + b y = d = mcd (a, b) Demostración Por el algoritmo de Euclides, d = mcd (a, b) = mcd ( rk1, rk) = rk Entonces, sustituyendo los restos, d = rk = (rk2 rk1 qk ) = rk2 (rk3 rk2 qk1 ) qk

= (1 + qk1 qk ) rk2 qk rk3 = ... Ejemplo d = mcd (a = 654, b = 444) = 6 d = 6 = 24 18.1 = 24 ( 210 24.8 ) = 210 + 9.24 = = 210 + 9 ( 444 210.2 ) = 19.210 + 9.444 = = 19 ( 654 444 ) + 9.444 = 28.444 19.654 Existen x = 19, y = 28 tales que d = 19 a + 28 b.


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Definición

a, b son primos entre sí si y sólo si mcd (a, b) = 1.

En este caso, x, y tales que a x + b y = 1.

Lema de Euclides

Sean a, b, c tales que ab.c y mcd (a, b) = 1, entonces ac.

Demostración Si mcd (a, b) = 1 entonces x, y tales que

a x + b y = 1 c a x + c b y = c.

Si ab.c ac b y y como ac a x , entonces ac.


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“Si ab.c no implica que ab o ac”:

428 = 2 .14 y 4 no divide a 2 ni a 14.

Proposición

Si se dividen dos números enteros por su mcd, resultan dos números

primos entre sí.

Sean a, b

mcd (a, b) = d d , d a, db y , 1


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Demostración

) Si mcd (a, b) = d d a, d b y x, y con a x + b y = d

x, y tales que 1 , 1.

) Si da, db, 1,mcd

db

da x, y con 1

a x + b y = d.

Sea c tal que ca y cb ca x + b y = d

d = mcd (a, b).


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ECUACIONES DIOFÁNTICAS Diofanto de Alejandría (s. III a C.)

“Aritmética” (se conservan 6 de los 13 volúmenes)

a, b, c conocidosa x + b y = c x, y incógnitas


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Teorema La ecuación diofántica a x + b y = c tiene solución en

si y sólo si d = mcd (a, b) c. Si ( x1, y1 ) es una solución particular obtenida mediante el algoritmo de Euclides, entonces todas las soluciones son de la forma

, ∀ ∈


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Demostración ) Si la ecuación a x + b y = c tiene solución en y mcd (a, b) = d

entonces da, db dc.

) Si mcd (a, b) = d x0, y0 tales que dyax 00 b

Si dc entonces c ydcb x

dca 00 , por tanto

es una solución particular de la ecuación a x + b y = c.


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Si (x, y) es otra solución de la ecuación, entonces a x + b y = c

a (x x1) + b (y y1) = 0 )()( 11 yydbxx

da

.

Como 1,mcd

db

da

|

|

t tal que

. Por tanto, , ∀ ∈


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Ejemplos 1) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 150 x + 100 y = 200

Solución mcd (150, 100) = 50200 entonces existe solución de la ecuación 150 x + 100 y = 200

2.50100501.100150

mcd (150, 100) = 50 = 150 100 200 = 4.150 4.100

44

1

1

yx

tty

tx,

3424


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2) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 84 x 30 y = 60

Solución mcd (84, 30) = 660 entonces existe solución de la ecuación 84 x 30 y = 60

4.62461.2430242.3084

mcd (84, 30) = 6 = 30 24 = 30 (84 30.2) = 84 + 3.30

60 = 84.10 + 30.30

3010

1

1

yx

tty

tx,

1430510


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NÚMEROS PRIMOS Definición p 1 es primo si los únicos divisores positivos de p son {1, p}.

Si n no es primo se dice que es compuesto.

Un número n es compuesto si y sólo si a, b { 2, 3, ..., n 1 }

tales que n = a b.

Teorema fundamental de la aritmética (Euclides) Todo n 1 es primo o se puede expresar de forma única como

producto de números primos, salvo el orden de los factores.


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Teorema de Euclides

Existen infinitos números primos.

Demostración

Si el conjunto de los números primos P es finito entonces P = { p1, ..., pn }.

Se considera el número p = p1 ... pn + 1

pi divide a p1 ... pn = p 1 i n

pi no divide a p i n p es primo y p P.


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Proposición de Fermat (1601 1665) Si n es un número compuesto, entonces tiene un divisor primo p n . Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b. Si a b, entonces a2 a b = n a n . Si a es primo, ya está demostrado. Si a es compuesto a = p1 ... pr con pi números primos pi a n y pi a n.

Consecuencia Sea n 1 . Si para todo número primo p n se cumple que p no divide a n, entonces n es primo.


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DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS

El método de la criba de Eratóstenes (s. III a C.) para obtener los números primos < n, se aplica con los números n , exclusivamente.

Este método de división es inviable porque el método proporciona la factorización del número como producto de números primos.

n = 244497 1 es primo y tiene 13395 cifras.

Un computador que se pare en n , necesitaría 106684 años.

El Big-Bang ocurrió hace 1.426940639 . 1010 años

La estrella más antigua tiene 1.3 . 1010 años El Sol tiene 4.6 . 109 años.


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Teorema de Marin Mersenne (15881648) Si 2n 1 es primo, entonces n es primo. Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b y como 2ab 1 = (2a 1) (2a (b 1) + 2a (b 2) + …+ 2a + 1), entonces 2n 1 es compuesto.

Los primeros números primos de Mersenne son:

22 1 23 1 25 1 27 1 213 1 217 1 219 1 231 1 2127 1

(los marcados no los encontró Mersenne) 261 1 287 1 2107 1


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“El recíproco no es cierto”: 211 1 = 2047 = 23 . 89 no es primo

Mersenne afirmó que 267 1 y 2257 1 eran primos y no lo son.

En 1903, Frank Nelson Cole, de la Universidad de Columbia, en la

conferencia “Sobre la factorización de números grandes” en la Sociedad

Americana de Matemática demostró a mano que

267 1 = 147.573.952.589.676.412.927 = = 193.707.721 761.838.257.287

El 48º número primo de Mersenne, el mayor conocido es 257.885.161−1,

tiene 17.425.170 dígitos y ha sido hallado con el proyecto GIMPS

(Great Internet Mersenne Prime Search), formado en 1996.

http://www.mersenne.org


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