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5/24/2018 Beer Dinamica 9e Presentacion Ppt C12
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MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:
DINMICA
Novena edicin
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Notas:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPTULO
2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
12Cintica de partculas:Segunda ley de
Newton
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Mecnica vectorial para ingenieros: DinmicaNovena
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Introduccin
12 - 2
La primera y tercera leyes de Newton son suficientes para el estudio
de los cuerpos en reposo (esttica) o de los cuerpos en movimiento sinaceleracin.
Cuando un cuerpo se acelera (cambios en la magnitud de la velocidad odireccin), se requiere la segunda ley de Newton para relacionar elmovimiento del cuerpo con las fuerzas que actan sobre l.
Segunda ley de Newton:
- Una partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud dela fuerza resultante que acta sobre l y en la direccin de la fuerzaresultante.
- La resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula es igual ala razn de cambio del momento lineal de la partcula.
- La suma de los momentos respecto a Ode las fuerzas que actansobre una partcula es igual a la razn de cambio del momentoangular de la partcula alrededor de O.
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Segunda ley de movimiento de Newton
12 - 3
Segunda ley de Newton: Si lafuerza resultante que actasobre una partcula no es cero,la partcula tendr unaaceleracinproporcional a la magnitud de la resultante yen ladireccin de la resultante.
Considerar una partcula sometida a fuerzas constantes,
m
a
F
a
F
a
Fmasa,constante
3
3
2
2
1
1
Cuando una partcula de masa mse halla sometida a unafuerza la aceleracin de la partcula debe satisfacer,F
amF
La aceleracin debe ser evaluada con respecto a unsistemanewtoniano de referencia,es decir, no se est acelerando ogirando.
Si la fuerza que acta sobre la partcula es cero, laspartculas no se acelerarn, es decir, se mantendrn
estacionarias o continuarn en una lnea recta a velocidadconstante.
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Cantidad de movimiento lineal de una partcula
12 - 4
Sustituyendo la aceleracin por la derivada de los
rendimientos de la velocidad,
partculaladelinealmovimientodecantidad
Ldt
Ldvm
dt
d
dt
vdmF
Principio de la conservacin de la cantidad de
movimiento lineal:
Si la fuerza resultante sobre una partcula es cero, lacantidad de movimiento lineal de la partcula semantiene constante en magnitud y direccin.
e
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Sistemas de unidades
12 - 5
De las unidades de las cuatro dimensiones principales(fuerza, masa, longitud y tiempo), tres pueden serelegidas arbitrariamente. La cuarta debe ser compatiblecon la segunda ley de Newton.
Sistema Internacional de Unidades(unidades del SI):las unidades bsicas son las de longitud (metro), masa
(kilogramo) y tiempo (segundo). La unidad de fuerza esuna unidad derivada,
22
s
mkg1
s
m1kg1N1
Unidades de uso comn en Estados Unidos: las unidadesbsicas son las de fuerza (libra), longitud (pie) y tiempo(segundo). La unidad de masa es una unidad derivada,
ft
slb1
sft1
lb1slug1
sft32.2
lb1lbm1
2
22
Ne
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Ecuaciones de movimiento
12 - 6
La segunda ley de Newton establece
amF
La solucin para el movimiento de las partculas se ve
facilitada por la resolucin de la ecuacin vectorial enlas ecuaciones de componente escalar; por ejemplo,
para los componentes rectangulares,
zmFymFxmF
maFmaFmaF
kajaiamkFjFiF
zyx
zzyyxx
zyxzyx
Para los componentes tangencial y normal,
2vmF
dt
dvmF
maFmaF
nt
nntt
Ne
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Equilibrio dinmico
12 - 7
Expresin alternativa de la segunda ley de Newton,
inerciadevectoramamF
0
Con la inclusin del vector de inercia, el sistema defuerzas que actan sobre la partcula es equivalentea cero. La partcula est en equilibrio dinmico.
Los mtodos desarrollados pueden aplicarse paralas partculas en equilibrio esttico; por ejemplo,las fuerzas coplanares pueden representarse con un
polgono vectorial cerrado. Los vectores de inercia a menudo son llamados
fuerzas de inercia,ya que miden la resistencia queofrecen a los cambios de las partculas enmovimiento, es decir, los cambios en la velocidado direccin.
Las fuerzas de inercia pueden ser conceptualmente
tiles, pero no son como las de contacto y lasfuerzas gravitatorias halladas en la esttica.Ne
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Problema resuelto 12.1
12 - 8
Un bloque de 200 lb descansa sobre unplano horizontal. Se necesita encontrarla magnitud de la fuerza P requerida
para dar al bloque una aceleracin de10 ft/s2 hacia la derecha. Elcoeficiente de friccin cintica entre el
bloque y el plano es mk 0.25.
SOLUCIN:
Resolver la ecuacin de movimientopara el bloque en dos ecuaciones de lascomponentes rectangulares.
Las incgnitas consisten en la fuerza P
aplicada y la reaccin normal Ndelplano. Las dos ecuaciones puedenresolverse para estas incgnitas.
Ne
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Problema resuelto 12.1
12 - 9
N
NF
g
Wm
k
25.0
ftslb21.6
sft2.32
lb200
2
2
m
x
y
O
SOLUCIN:
Resolver la ecuacin de movimiento para elbloque en dos ecuaciones de las componentesrectangulares.
:maFx
lb1.62
sft10ftslb21.625.030cos 22
NP
:0 yF0lb20030sen PN
Las incgnitas consisten en la fuerza Paplicaday la reaccin normal Ndel plano. Las dosecuaciones se pueden resolver para estasincgnitas.
lb1.62lb20030sen25.030coslb20030sen
PP
PN
lb151PNe
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Problema resuelto 12.3
12 - 10
Los dos bloques que se muestran
empiezan a moverse a partir delreposo. El plano horizontal y la poleano presentan friccin, y se supone quela masa de la polea puede ignorarse.Determinar la aceleracin de cada
bloque y la tensin en la cuerda.
SOLUCIN:
Escribir las relaciones cinemticas de losmovimientos y las aceleracionesdependientes de los bloques.
Escribir las ecuaciones de movimiento
de los bloques y la polea. Combinar las relaciones cinemticas con
las ecuaciones de movimiento pararesolver las aceleraciones y la tensin dela cuerda.
Ne
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Problema resuelto 12.3
12 - 11
Escribir las ecuaciones de movimiento de los
bloques y la polea.:AAx amF
AaT kg1001
:BBy amF
B
B
BBB
aT
aT
amTgm
kg300-N2940
kg300sm81.9kg300
2
22
2
:0 CCy amF
02 12 TT
SOLUCIN:
Escribir las relaciones cinemticas de losmovimientos y las aceleraciones dependientes delos bloques.
ABAB aaxy 21
21
x
y
O
Ne
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Problema resuelto 12.3
12 - 12
N16802
N840kg100
sm20.4
sm40.8
12
1
221
2
TT
aT
aa
a
A
AB
A
Combinar las relaciones cinemticas con lasecuaciones de movimiento para resolver lasaceleraciones y la tensin de la cuerda.
ABAB aaxy 21
21
AaT kg1001
AB
a
aT
21
2
kg300-N2940
kg300-N2940
0kg1002kg150N2940
02 12
AA
aa
TT
x
y
O
Ne
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Problema resuelto 12.4
12 - 13
El bloqueBde 12 lb empieza amoverse desde el reposo y se desliza
sobre la cuaAde 30 lb, la cual estsobre una superficie horizontal.
Si se ignora la friccin, determinar a)laaceleracin de la cua, y b)laaceleracin del bloque relativa a la
cua.
SOLUCIN:
El bloque est obligado a deslizarse porla cua. Por lo tanto, sus movimientosson dependientes. Expresar laaceleracin del bloque como laaceleracin de la cua ms la aceleracin
del bloque en relacin con la cua. Escribir las ecuaciones de movimiento
de la cua y el bloque.
Resolver para las aceleraciones.
Ne
d
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Problema resuelto 12.4
12 - 14
SOLUCIN:
El bloque est obligado a deslizarse por la cua.Por lo tanto, sus movimientos son dependientes.
ABAB aaa
Escribir las ecuaciones del movimiento para lacua y el bloque.
x
y:AAx amF
AAAA
agWN
amN
1
1
5.0
30sen
:30cos ABABxBx aamamF
30sen30cos
30cos30sen
gaa
aagWW
AAB
ABABB
:30sen AByBy amamF 30sen30cos1 ABB agWWN
Ne
d
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Problema resuelto 12.4
12 - 15
AA agWN 15.0
Resolver para las aceleraciones.
30senlb12lb302
30coslb12sft2.3230sen2
30cos
30sen30cos2
30sen30cos
2
1
A
BA
BA
ABBAA
ABB
a
WW
gWa
agWWagW
agWWN
2sft07.5Aa
30sensft2.3230cossft07.5
30sen30cos
22
AB
AAB
a
gaa
2sft5.20ABa
M i i l i i Di iN
ed
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dicin
Problema resuelto 12.5
12 - 16
La plomada de un pndulo de 2 mdescribe un arco de crculo en un planovertical. Si la tensin en la cuerda es
2.5 veces el peso de la plomada en laposicin que se indica, determinar lavelocidad y la aceleracin de la
plomada en esa posicin.
SOLUCIN:
Resolver la ecuacin del movimiento dela plomada en componentes tangencialesy normales.
Resolver las ecuaciones de componentespara la aceleracin normal y tangencial.
Despejar la velocidad en funcin de laaceleracin normal.
M i t i l i i Di iNo
ed
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Problema resuelto 12.5
12 - 17
SOLUCIN:
Resolver la ecuacin del movimiento de la plomadaen componentes tangenciales y normales.
Resolver las ecuaciones de componentes para laaceleracin normal y tangencial.
:tt maF
30sen
30sen
ga
mamg
t
t
2sm9.4ta
:nn maF
30cos5.2
30cos5.2
ga
mamgmg
n
n
2sm03.16naResolver para la velocidad en funcin de la
aceleracin normal.
22
sm03.16m2 nn avv
a
sm66.5v
M i t i l i i Di iNo
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Problema resuelto 12.6
12 - 18
Determinar la rapidez mxima dela curva de una autopista de radio= 400 ft que tiene un ngulo de
peralte q = 18o. La rapidezmxima de la curva peraltada deuna autopista es aquella a la cualun automvil debe viajar para queno exista fuerza de rozamiento
lateral en sus neumticos.
SOLUCIN:
El automvil se desplaza en unatrayectoria circular horizontal con elcomponente normal de la aceleracinapuntando hacia el centro de latrayectoria. Las fuerzas que actan
sobre el automvil son su peso y unareaccin normal de la superficie de lacarretera.
Resolver la ecuacin de movimientopara el automvil en los componentes
verticales y normal. Calcular la velocidad del vehculo.
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dicin
Problema resuelto 12.6
12 - 19
SOLUCIN:
El automvil se desplaza en unatrayectoria circular horizontal con el
componente normal de la aceleracinapuntando hacia el centro de latrayectoria. Las fuerzas que actansobre el automvil son su peso y unareaccin normal de la superficie de lacarretera.
Resolver la ecuacin de movimientopara el automvil en los componentesverticales y normal.
:0 yF
q
q
cos
0cos
WR
WR
:nn maF
q
q
q
2
sencos
sen
v
g
WW
agWR n
Calcular la velocidad del vehculo.
18tanft400sft2.32
tan
2
2 qgv
hmi1.44sft7.64 v
M i t i l i i Di iNo
ed
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dicin
Problema resuelto 12.7
12 - 20
Un bloqueBde masa mpuededeslizarse libremente sobre un brazosin friccin OAque gira en un planohorizontal a una velocidad constante .0q
a) la componente vrde la velocidad deBa lo largo de OA, y
b) la magnitud de la fuerza horizontal
ejercida sobreBpor el brazo OA.
Si se sabe queBse suelta a una distanciar0de O, expresar como funcin de r
SOLUCIN:
Escribir las ecuaciones radiales ytransversales de movimiento para el
bloque.
Integrar la ecuacin radial paraencontrar una expresin para la
velocidad radial. Sustituir la informacin conocida en
la ecuacin transversal para encontraruna expresin para la fuerza en el
bloque.
M i t i l i i Di iNo
ed
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21/21h ll ll h d
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dicin
Problema resuelto 12.7
12 21
SOLUCIN:
Escribir las ecuaciones radiales ytransversales de movimiento parael bloque.
:
:
qq amF
amF rr
q
rrmF
rrm
2
0 2
Integrar la ecuacin radial para encontraruna expresin para la velocidad radial.
r
r
v
rr
rr
rr
rrr
drrdvv
drrdrrdvv
dr
dvv
dt
dr
dr
dv
dt
dvvr
r
0
20
0
20
2
q
dr
dvv
dt
dr
dr
dv
dt
dvvr rr
rrr
20
220
2 rrvr q
Sustituir la informacin conocida en laecuacin transversal para encontrar unaexpresin para la fuerza en el bloque.
212
0
22
02 rrmF q