BISECTRICES Y NGULOS (sesin de entrenamiento dirigido #01)Dr. Hctor Flores

Universidad Autnoma de Nuevo Len, Olimpiada Mexicana de Matemticas

Instrucciones

Este documento es un entrenamiento dirigido loque significa que esta redactado a manera de monl-ogo, pero con indicaciones para el lector. Se sugiereseparar entre 10 y 20 minutos a su lectura y tenera la mano hojas blancas, material para escribir yjuego de geometra. Al final trata de encontrar aalguien para discutir las ideas que hayas tenido yespecialmente para comentar las tuyas.

Objetivos

El objetivo no es simplemente resolver los proble-mas, sino utilizarlos para desarrollar nuestras habil-idades de razonamiento. No pienses que "acabaste"solo porque encontraste la respuesta. Cada prob-lema es una oportunidad de aprendizaje y es nece-sario que entiendas los puntos de vista de otras per-sonas y sus formas de razonar. Esta es la nicaforma que conozco de desarrollar las habilidades derazonamiento.

Introduccin

Lo ms apasionante de las olimpiadas de matemti-cas es que los acertijos no requieren saber muchascosas. Es ms importante la imaginacin y las es-trategias intelectuales de razonamiento.Empecemos con un problema de geometra tomadodel libro [1]. Dedica al menos 5 minutos a tratarde resolver este problema por tu propia cuenta sinconsultar ninguna fuente de informacin externa.

Problema de muestraImagina un tringulo ABC y dos puntos D,Een los lados BC,AC respectivamente. Las bisec-trices internas de los ngulos DAC y CBEse cortan en el punto F . Demuestra que la me-dida de AFB es el promedio de las medidas deAEB y ADB.

Entendimiento del problema

Para este problema suponemos que conoces los con-ceptos de tringulo y ngulos. El nico concepto conel que puedes tener dificultades es el de "bisectriz in-terna".Un ngulo es la figura geomtrica formada por dossemirrectas que tienen un vrtice comn. Se le llamabisectriz interna al lugar geomtrico de los puntosque estn a la misma distancia de ambas semirrec-tas. En la figura siguiente las semirrectas que for-man el ngulo estn de color negro, el vrtice estmarcado y la recta roja indica la bisectriz interna.Aprovechamos el espacio para marcar una recta azulperpendicular a la bisectriz interna a la cual se lellama bisectriz externa.

Fig. 1: Bisectrices de un ngulo

Planteamiento de situacin

En problemas de geometra, el entendimiento se de-muestra trazando una figura clara que refleje todala informacin del problema. El diagrama siguientepresenta todo lo que dice el problema incluyendo ladefinicin de variables para los ngulos involucrados.Quisiera hacer notar algunas sugerencias generales.1 Explora diferentes configuraciones y evita lospuntos o rectas empalmadas.

2 Usa el mnimo de variables que sea posible.3 La informacin de bisectrices se refleja mejor convariables.

4 No traces nada que no est en el problema hastaque sea necesario hacerlo.

Fig. 2: Diagrama del problema

Anlisis/Observacin

La parte creativa en la solucin de problemas es elanlisis de la situacin. En este caso procuramos de-tectar patrones basados en nuestra experiencia pre-via. En este problema los patrones deben estar rela-cionados con ngulos y tringulos.Un patrn que puedes usar es el conocido resultadode que la suma de los ngulos de un tringulo es 180o.Con esta idea puede resolverse el problema aunquetendrs que definir algunas variables adicionales.Un patrn que de hecho usa mejor la informacines el siguiente que involucra dos tringulos que com-parten un ngulo en comn.

Fig. 3: Tringulos con ngulo comn

La experiencia en solucin de problemas se adquieremediante el dominio de patrones como este. Aunqueestos pueden deducirse de resultados bsicos, el noconocerlos puede significar la diferencia entre tenero no la idea correcta en problemas complejos.

Para practicar

Para que practiques te dejamos la siguiente lista deproblemas relacionados con bisectrices.1 Completa la demostracin del problema usandodos veces el patrn de la figura 3.

2 Completa la demostracin del problema demuestra usando solo que la suma de los ngulosde un tringulo es 180o

3 Analiza como se modifica el problema de muestrasi los puntos D,E estn en las rectas BC,ACpero fuera de los segmentos.

4 La bisectriz interna de B y la bisectriz externade C de otro 4ABC se cortan en C. Por C setraza una paralela a BC que corta AC,AB enL,M . Si sabemos que LC = 5 y MB = 7,calcula la medida de LM .

5 En la hipotenusa AB de un tringulo rectnguloABC se consideran puntos D,E, F de modo queCD AB, CE es bisectriz interna de BCA yF es punto medio de AB. Demuestra que CEtambin es bisectriz de DCF .

6 El segmento PC es perpendicular a la hipotenusaAC de un tringulo rectngulo ABC. Demuestraque BP es perpendicular o paralelo a la bisectrizde BAC.

References

[1] Posamentier and Salkind.Challenging Problems in Geometry.Dover, 1996.

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