Segmentos y angulos
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1. CONCEPTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES
2. FIGURAS GEOMETRICAS
3. LINEAS
4. ANGULOS
5. TRIANGULOS
6. AREAS DE REGIONES PLANAS
7. CUADRILÁTEROS
8. CIRCUNFERENCIA
9.- EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EL PUNTO
La idea intuitiva de un punto geométrico nos da la marca que deja en el papel la punta bien afilada de un lápiz, o un grano de arena muy pequeño.El punto no tiene dimensión.
Se le representa por el punto ortográfico (.) y colocando una letra mayúscula al costado. Así:
A. P. K.
punto A punto P punto K
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LA RECTA
La recta es una sucesión infinita de puntos alineados, por eso es que
posee una longitud infinita.
A las rectas se les representa:
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.............
Lrecta m AB
L
recta recta
m . .A B
EL PLANO
La superficie del piso, una hoja de papel, la superficie de una pizarra, nos dan
la idea intuitiva del plano geométrico.
Un plano geométrico es una superficie ilimitada que no tiene espesor.
Se le representa:
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P Q
Plano PPlano Q
ESPACIO
La idea intuitiva de espacio , viene a ser una extensión indefinida de
tres dimensiones es decir un lugar tan grande donde caben todos los
objetos reales o imaginarios.
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Una figura geométrica es un conjunto de puntos que tiene forma,
tamaño y posición. Se clasifica:
Figuras congruentes Figuras semejantes
Figuras equivalentes Figura convexa
Figura cóncavaRegresar Continuar
FIGURAS CONGRUENTES
Son aquellas que tienen igual forma y tamaño.
ABCD = PQRS
símbolo de congruencia
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A
B C
D P
Q R
S
4cm.
4cm.
4cm.
4cm.
=
FIGURAS SEMEJANTES
Son semejantes cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño.
ABC MNQ
símbolo de semejanza
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A
B
C M
N
Q
6cm. 6cm.
6cm.
2cm. 2cm.
2cm.
FIGURAS EQUIVALENTES
Son equivalentes cuando tienen diferente forma, pero igual tamaño.
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A B. .M
N
Q
R
.
.
. .
12cm.3cm. 5cm.
4cm.Longitud AB=longitud MNQR
Área(1) = área(2)
: Símbolo de
equivalencia(1) (2)
<>
<>
<>
FIGURA CONVEXA
Es cuando una recta secante corta al contorno de la figura como
máximo en dos puntos.
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1
2 Recta secante
.
.
FIGURA CONCAVA
Es cuando una recta secante corta al contorno de la figura en más de
dos puntos.
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1
2
3
4
recta secante
a. Líneas rectas
c. Línea mixta
Regresar
b. Líneas curvas
d. Línea quebrada o poligonal
Continuar
e. Partes de la línea recta
. .A B
L
..
...
. .
Partes de la Línea recta
Semirrecta:
semirrecta AB semirrecta AC
Rayo:
rayo AB rayo AC
A
origenC B
origen
A
C B
• Segmento: Porción de línea recta comprendida entre dos puntos
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. .A B
AB : Se lee segmento AB
AB = BA
5cm.
AB= 5cm o m AB = 5cm.
A B
M4cm. 4cm.
AM = MB AM = MB = AB2
EJEMPLOS
1.-Sobre una recta se toma 3 puntos consecutivos A;B;C. De tal manera que
BC =3AB.hallar la longitud de AB si AC =36cm
AB + BC = AC A B C
x+3x=36 x 3x
4x= 36 AB= 9cm
x=9cm
2.-sobre una recta se toma los puntos A;B;C y D en forma consecutiva de modo que AC=18m; BD=16m y AD= 30m.determina la longitud de BC
AB + BD = AD A B C D
AB+16 = 30
AB= 14 18cm
AB +BC =18 16cm
14 +BC =18 30cm
BC=4 cm
ANGULOS
1. ANGULOS ESPECIALES
2. TEOREMAS DE LOS ANGULOS
3. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
5. ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL
SER CORTADAS POR UNA RECTA SECANTE
6. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS ENTRE PARALELAS
Continuar Regresar
O
A
B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se denomina
vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
1 – Según su medida
Agudo: AÔB 90º
A
B B
B
BB
O O
O
O
O
A
A
A
A
Obtuso: AÔB 90ºRecto: AÔB = 90º
LLano: AÔB = 180º
Completo: AÔB = 360º
2 – Según su posición
2.1 Consecutivos: son ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común
2.2 Adyacentes: son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son líneas opuestas
2.3 Opuestos por el vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro
A B
OC
AÔB y BÔC son ángulos consecutivos
A
B
OC
AÔB y DÔC son ángulos opuestos por el vérticeA B
OCD
AÔB y BÔC son ángulos adyacentes
AÔD y BÔC son ángulos opuestos por el vértice
3 – Según sus características
3.1 Complementarios: un ángulo es complementario de otro cuando lasuma de sus medidas es 90º
3.2 Suplementarios: un ángulo es suplementario de otro cuando la suma de sus
medidas es 180º
= 90º
+ = 180º
Ángulos consecutivos son dos o más ángulos que tienen un mismo vértice y un lado común dos a dos, tales como a, b y c (7)
La Suma de las medidas de dos o más ángulos consecutivos formados en un recta es 180º.
ASI a+b+c=180º (8)
La Suma de las medidas de dos o más ángulos consecutivos formados en un plano es 360º
ASI d+e+f+g+h=360º
Ángulos opuestos por el vérticeson dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos tales como x y z (10)
c
b a (7)
(8)a
b
c
(9)
x z (10)
d
e
f
g h
RegresarContinuar
4 – Ángulos especiales
Rectas oblicuas: Dos rectas en el plano son oblicuas cuando al cortarse forman cuatro ángulos diferentes de un ángulo recto.
La notación: L L
Rectas perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
La notación: L L
L
L
11
L
L1
1
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Rectas paralelas:
Dos rectas en un plano son para le las cuando por más que se
prolonguen no llegan a cortarse.
La notación: L // L1
L
L 1
RegresarContinuar
Ángulos externos: 1, 2, 7, 8
12
3 4
5 6
78
L
1L
S
Ángulos internos: 3, 4, 5, 6
Ángulos alternos externos: 1 y 8, 2 y 7
Ángulos alternos internos: 3 y 6, 4 y 5
Ángulos correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8
Ángulos conjugadas externas: 1 y 7, 2 y 8
Ángulos conjugadas internas: 3 y 5, 4 y 6
RegresarContinuar
TEOREMAS:
1 2
3 4
5 6
7 8
L
1L
S
1.- Los ángulos alternos externos son
congruentes: m<1 = m<8m<2 = m<7
2.- Los ángulos alternos internos son
congruentes: m<3 = m<6
m<4 = m<5
3.- Los ángulos correspondientes son
congruentes: m<1 = m<5 m<2 = m<6
m<3 = m<7 m<4 = m<8
4.- los ángulos conjugadas externas son suplementarios:
m<1 + m<7 = 180º m<2 + m<8 = 180º
5.- Los ángulos conjugadas internas son suplementarios:
m<3 + m<5 = 180º m<4 + m<6 = 180º
Regresar
Continuar
+ + = x + y
x
y
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre
dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
El complemento de la diferencia entre el suplementoy el complemento de un ángulo “X” es igual alduplo del complemento del ángulo “X”. Calcule lamedida del ángulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y elcomplemento del primer ángulo es el doble de la medidadel segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas dedichos ángulos.
Sean los ángulos: y
+ = 80°Dato: = 80° - ( 1 )
( 90° - ) = 2 ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 10°
= 70°
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y ladiferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: y
( 90° - ) ( 90° - ) = 130°++ = 50° ( 1 )
( 180° - ) ( 180° - ) = 10°-- = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
+ = 50°- = 10°
(+)
2 = 60°
= 30°
= 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), setraza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC yBOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medidadel ángulo AOB.
A B
OC
M
60°
20°X
De la figura:
= 60° - 20°
Luego:
X = 40° - 20°
= 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes
AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado
por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
A
O
B
C
X
( - X)
( + X) ( - X)= 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según el
enunciado
Del enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Luego se reemplaza por lo que
Se observa en la gráfica
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal
que la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y
COD.
A
C
B
D
M
N
X
De la figura:
2 + = 90°
+ 2 = 90°( + )
2 + 2 + 2 = 180°+ + = 90°
X = + +
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
2 + 2 = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero
cóncavo
+ = 55° (1)
80° = + + X (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°
80°
30°
X
m
n
RESOLUCIÓN
5
4 65°
X
m
n
Por la propiedad:
4 + 5 = 90°
= 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUCIÓN
3 + 3 = 180°
+ = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = + X = 60°
RESOLUCIÓN
2
x
m
n
2
x
Ángulos conjugados
internos