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Semestre
INTEGRAL
INDEFINIDA O ANTIDERIVADA
MODULO I
I - 2014Ing. Jhony Chilón
abril - mayo 2014
semestre I - 2014
Matemáticas II
MODULO I
72
1.19. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Compruebe los siguientes resultados aplicando las propiedades de la integral y/o ciertos
cálculos algebraicos:
1.1. 4 3 2x (a b)x abx
x(x a)(x b)dx C4 3 2
++ + = + + +∫
1.2. 22x x
( x 1)(x x 1)dx x C5
+ − + = + +∫
1.3. 7 / 4
4 3
x x 4xdx C
7x= +∫
1.4. 2 2 4 23 3
3
3 2
(x 1)(x 2) 3x x 3x xdx 6 x C
13 7x
+ − = − − +∫
1.5. m n 2 2m m n 2n(x x ) 2x x 4x x 2x x
dx C4m 1 2m 2n 1 4n 1x
+− = − + ++ + + +∫
1.6. 4 3
2
2
x 2x xdx x ln(x 1) arctg(x) C
3x 1
+ = − + + + ++∫
1.7. 3 2 3x 3x 3x 1 (x 1)
dx Cx 1 3
− + − −= +−∫
1.8. 2x x x
x 1
a a 1 a 1dx . x C
a ln(a) aa ++ = + +∫
1.9. 3 32 2
2
3 x 3 62 x dx 2 x x x C
x x 5x
− + = − − + +
∫
1.10. x
x
x
2 ln(2)dx ln(2 1) C
2 1= + +
+∫
1.11. 2
2
2x 1dx ln x x C
x x
+ = + ++∫
1.12. 2x x
x
x
e e sen(x)dx e cos(x) C
e
− = + +∫
1.13. 3 2 5 362 x dx x C
5= +∫
1.14. n
n 1 2 xx dx 2ln x C (n 0)
x n− + = + + ≠
∫
1.15. 3
1 3x 3dx x C
4x 4= +∫
1.16. a
a
2
edx e arctg(x) C
1 x= +
+∫
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1.17. 3
xdx arctg(x) C
x x= +
+∫
1.18. 2x x 2 x
x
a a sec (x) adx tg(x) C
ln(a)a
+ = + +∫
1.19. 2tg (x)dx tg(x) x C= − +∫
1.20. 2 4
xdx arcsen(x) C (x 0)
x x= + >
−∫
2. Halle una función G cuya tangente tenga como pendiente 2x para cada x, y que su gráfico
pase por el punto (1, 1)− .
3. Compruebe los siguientes resultados usando el cambio de variable necesario:
3.1. 2
1 1 3xdx arcsen C
3 24 9x
= + −∫
3.2. 2
3
3
x 2dx 1 x C
31 x= + +
+∫
3.3. 2
3( x 2) 2dx ( x 2) C
93 x
+ = + +∫
3.4. 3 3x 2 x3e x dx e C= +∫
3.5. dx
ln ln(x) Cx ln(x)
= +∫
3.6. 5 6(ln(x)) (ln(x))dx C
x 6= +∫
3.7. 3 2 41tg (x)sec (x)dx tg (x) C
4= +∫
3.8. 2
4
x 1dx arctg(x ) C
21 x= +
+∫
3.9. 2
2
x 1 16dx 3x 4 8ln 3x 4 C
27 3x 4(3x 4)
= + − + − + ++ ∫
3.10. 12
10 11(x 2) 3(x 2) (x 1)dx (x 2) C
12 11
++ − = − + +∫
3.11. 2x
2x 1010 dx C
2ln10
−− = − +∫
3.12. 2x
2x 2 2x
e 1dx C
(1 e ) 2(1 e )= − +
+ +∫
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3.13. 2
1 1 xdx arctg C
x 11 11 11
= + + ∫
3.14. sen( x)
dx 2cos( x) Cx
= − +∫
3.15. 1 x
1 x
2
edx e C
x= − +∫
3.16. 1
dx ln 1 ln(x) Cx(1 ln(x))
= + ++∫
3.17. 2 2
4sen(x)cos(x)dx ln cos(2x) C
cos (x) sen (x)= − +
−∫
3.18. 2
2 2
2xdx ln(ln(x 5)) C
(x 5)ln(x 5)= + +
+ +∫
3.19. 2 2 2
2x 1 1dx C
2(2x 3) 2x 3= − +
− −∫
3.20. 2 2 2
22 2 2
x a b xdx C (b 0)
ba b x
+= + ≠+∫
3.21. n 1
n (ax b)(ax b) dx C (a 0) (n -1)
a(n 1)
+++ = + ≠ ≠+∫
3.22. cos(x) 1
dx ln 1 2sen(x) C1 2sen(x) 2
= + ++∫
3.23. 2x ln(x) ln (x)
dx 2 x Cx 2
+ = + +∫
3.24. 2 2 2
2 2 2
ax b 1 1 axdx ln(a x b ) arctg C (a 0, b 0)
2a a ba x b
+ = + + + ≠ ≠ + ∫
3.25. 2
3 6
6
x 1dx ln x x 1 C
3x 1= + − +
−∫
3.26. 3
2
arcsen(x) 2dx (arcsen(x)) C
31 x= +
−∫
3.27. 2
2 2
dx2 ln(x 1 x ) C
(1 x )ln(x 1 x )
= + + ++ + +∫
3.28. 2 2x x1
x.7 dx 7 C2ln(7)
= +∫
3.29. sen(log(x))
dx ln(10)cos(log(x)) Cx
= − +∫
3.30. arctg(x) 2 2 2
arctg(x)
2
e xln(1 x ) 1 ln (1 x )dx e arctg(x) C
41 x
+ + + += + + ++∫
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4. Compruebe los siguientes resultados aplicando el método de integración por partes:
4.1. x x
x
2
xa axa dx C (a 0 , a 1)
ln(a) (ln(a))= − + > ≠∫
4.2. ax
ax
2 2
ee sen(bx)dx (asen(bx) b cos(bx)) C (a,b 0)
a b= − − + ≠
+∫
4.3. 3
2 3x 1x ln(x)dx ln(x) x C
3 9= − +∫
4.4. 21 1 1xarctg(x)dx x arctg(x) x arctg(x) C
2 2 2= − + +∫
4.5. 2 2x sen(x)dx x cos(x) 2xsen(x) 2 cos(x) C= − + + +∫
4.6. n n n 1(ln(x)) dx x(ln(x)) n (ln(x)) dx , n N−= − ∈∫ ∫
4.7. 3 3 2(ln(x)) dx x(ln(x)) 3x(ln(x)) 6x ln(x) 6x C= − + − +∫
4.8. n n 2 n 21 n 2sec (x)dx sec (x)tg(x) sec (x)dx , n N , n 2
n 1 n 1− −−= + ∈ ≥
− −∫ ∫
4.9. arctg( x)dx (1 x)arctg( x) x C= + − +∫
4.10. 2
ln(x) ln(x) 1dx C
xx
−= − +∫
4.11. 2
5 2 3 2x 2dx (3 x) 4(3 x) 18 3 x C
53 x= − − + − − − +
−∫
4.12. 2x 1 x x 1 xx arccos dx arccos 1 x arcsen C
2 2 2 2 4 2
= − − + + ∫
4.13. 2 2
2
ln(x 1) ln(x 1)dx 2arctg(x) C
xx
+ += − + +∫
4.14. x x
2
xe dx eC
x 1(x 1)= +
++∫
4.15. 2 21 1 1xarcsen(x)dx x arcsen(x) x 1 x C
2 4 4
= − + − + ∫
4.16. 3 2 5 22 4x x 1dx x(x 1) (x 1) C
3 15− = − − − +∫
4.17. 2 21 1 1x cos (x)dx x xsen(2x) cos(2x) C
4 4 8= + + +∫
4.18. 2 21 1 1x ln(x 2)dx x ln(x 2) x x ln(x 1) C
4 2 2+ = + − + − + +∫
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4.19. n 1
na 2
x ( 1 ln(x) nln(x))x log (x)dx C (a 0,a 1)
(1 n) ln(a)
+ − + += + > ≠+∫
4.20. 3
2 2 2
2
x 1 2dx x x 1 x 1 C
3 31 x= + − + +
+∫
4.21. x x
arcsen dx xarcsen 2 x 2arctg( x) Cx 1 x 1
= − + + + + ∫
4.22. 2 2 3 81 1 1 1x sen (x)dx x x sen(2x) x cos(2x) C
6 4 8 4
= − − − + ∫
4.23. 2 x x 1 x 1
2 x
2 3
x 2 2 x 2x 2 dx C
ln(2) ln(2) ln(2)
+ += − + +∫
4.24. 5
3
3 2 3
x 1 1dx ln(x 1) C
3(x 1) 3(x 1)= + − +
+ +∫
4.25. x cos(2x) sen(2x)
xsen(x)cos(x)dx C4 8
= − + +∫
5. Obtenga una fórmula de reducción integrando una vez por partes:
5.1. nx sen(ax)dx∫ 5.2. nx cos(ax)dx∫
5.3. n ax(x b) e dx+∫ 5.4. n
2
xdx
1 x−∫
6. Aplicando las fórmulas obtenidas anteriormente calcule las siguientes integrales:
6.1. 4x sen(4x)dx∫ 6.2. 4x cos(4x)dx∫
6.3. 4 8x(x 2) e dx+∫ 6.4. 5
2
xdx
1 x−∫
7. Demuestre que si P(x) es un polinomio de grado n con coeficiente principal o de mayor
grado igual a 1, entonces ax n
ax
2 3 n
e P '(x) P ''(x) P '''(x) ( 1) n!e P(x)dx P(x) ... C
a a a a a
−= − + − + + + ∫
8. Aplicando la fórmula obtenida anteriormente calcule las siguientes integrales:
8.1. 3 2x(1 x )e dx−+∫ 8.2. 4 x(x 1) e dx−+∫ 8.3. 3 3x(x x 1)e dx+ −∫
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9. Calcule ln(x b)dx+∫ de la siguiente manera:
9.1. Usando la sustitución u x b= + e integrando por partes.
9.2. Integrando por partes con u ln(x b)= + y dv dx.=
10. Se dice que la integral
sen(x)dx
x∫
no constituye una integral elemental, deduzca que
cos(x)ln(x)dx∫
tampoco lo es.
11. Demuestre que ax
ax
2 2
e [b.sen(bx) a.cos(bx)]e cos(bx)dx C
a b
+= ++∫
con a, b, c, constantes reales no nulas.
12. Sean
sxA e cos(tx)dx= ∫ y sxB e sen(tx)dx= ∫ .
Demuestre que sxsB tA e sen(tx) C+ = + .
13. Demuestre la siguiente relación: m 1 n
m n m n 1x (ln(x)) nx (ln(x)) dx x (ln(x)) dx
m 1 m 1
+−= −
+ +∫ ∫
donde m y n son enteros positivos y úsela para calcular
2 3x (ln(x)) dx∫ .
14. Compruebe los siguientes resultados efectuando una sustitución trigonométrica:
14.1. 2
2 2
1 1 25 xdx C
25 xx 25 x
−= − +−∫
14.2.
33 2 2
2
x 64 1 16 5x 16 5xdx C
25 3 4 416 5x
+ + = − + + ∫
14.3. 2
1 1dx arc sec( 2x) C
2x 4x 2= +
−∫
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14.4. 2
2
1dx ln x 16 x C
16 x= + + +
+∫
14.5. 2 3 2 2 2
2
(9 x ) 9 x 3 x 1 x 9 xdx 9 arcsen C
x 2 3 2 9x
− − − = − − + ∫
14.6. 2
2 3 2 2
x x 1dx arcsen x C
4(16 x ) 16 x
= − + − −∫
14.7. 2
dx 1 4arctg x C
20 525 16x
= + + ∫
14.8. 3 2 2 5 2 2 3 21x x 9dx (x 9) 3(x 9) C
5− = − + − +∫
14.9. 2
2
dx 1 1 4x 9 3ln C
3 2 xx 4x 9
+ − = + + ∫
14.10. 2
2 2
2
x dx 1x x 2 ln x x 2 C
2x 2= − + + − +
−∫
14.11. 2 2
2x 1dx 1 x 1 1x 1 ln C
x 2 x
+ + − = + + + ∫
14.12. 2 2
216 4x 2 4 xdx 2 4 x 4ln C
x x
− − −= − + +∫
14.13. 2
2
dx 1 x 5 55 ln C
5 xx x 5
+ −= ++∫
14.14. 4
2
2 2 2
x 1 1 5 3 1dx ln x ln(x 2) C
4 8 4x(x 2) x 2
− = − + + + ++ +∫
14.15. 2 2
2
2x 5 2 13dx 9x 6x 2 ln 3x 1 9x 6x 2 C
9 99x 6x 2
+ = + + + + + + + ++ +∫
15. Compruebe los siguientes resultados completando cuadrados en el denominador y dando
un cambio de variable adecuado:
15.1. 2
x 1 3 3 3dx x ln x C
2 2 4 24x 12x 9
= − + − + − +∫
15.2. 2 2
2
3x 5 4 1dx 3x 2x 1 3 ln x 3x 2x 1 C
3 33x 2x 1
+ = + + + + + + + ++ +∫
15.3. 2
2
cos(x) 3dx ln sen(x) sen (x) 3sen(x) 5 C
2sen (x) 3sen(x) 5= − + − + +
− +∫
15.4. x
x
2x x
a ln(a)dx ln(a 1) C
a 2a 1= + +
+ +∫
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15.5. 2
cos(x) 1 3 sen(x)dx arctg C
sen (x) 6sen(x) 12 3 3
−= − + − + ∫
16. Compruebe los siguientes resultados efectuando un proceso de descomposición en
fracciones simples a las siguientes integrales de funciones racionales:
16.1. 2
3x 1 1 7dx ln x ln x 2 C
2 2x 2x
+ = − + − +−∫
16.2. 2
4
2 3x 2x 1 7 1dx 3arctg (x x 1) 2ln x ln x 1 C
6 3x x 3
+ −= − − + + + + + + ∫
16.3. 5 2
2
2 4
x 1 x 1 1dx ln(x 1) arctg(x) C
2 x 2x x
+ = − + + − ++∫
16.4. 6
2 4
x 1 1 65 65 63 xdx x ln x 2 ln x 2 arctg C
16x 128 128 64 2x (x 16)
+ = + − + + − − + − ∫
16.5. 3
2
4 2 2 2
x 1 1 1 1 1 x 1dx ln(x 1) . . arctg(x) C
2 2 2 2x 2x 1 x 1 x 1
− = + − + + ++ + + +∫
16.6. 4x 1
dx ln x 3ln x 1 Cx(x 1)
+ = + + ++∫
16.7. 3
2
x 3x 1 3dx x ln x 3ln x 1 C
x 1x(x 1)
− + = + + − + +++∫
16.8. 5 3
2
4 3 2
3x 2x x 3 2dx 3x x ln x 1 7ln x 1 C
2 x 1x x x x
+ − = − + + − + + + +++ − −∫
16.9. 3
2
2
x 1 1 27dx x 4x ln x 1 ln x 3 C
2 2 2x 4x 3= + − − + − +
− +∫
16.10. 4 3 2
2 2
3 2
x x 4x 1 1 4 1dx x ln x ln x x 1 3arctg (2x 1) 3 C
2 3 3x x x
+ + + = + + + + − + + + + ∫
16.11. 3
1 1 1dx ln x ln x 1 ln x 1 C
2 2x x= − − − + + +
−∫
16.12. 4
4
x 1 x 1 1dx x ln arctg(x) C
4 x 1 2x 1
−= + − ++−∫
16.13. 2 2
4 2 2
dx 1 x x 1 1 x 1ln arctg C
4x x 1 x x 1 2 3 3x
+ + −= + + + + − + ∫
16.14. 3 16
3 7 9
x 1 1 1 xdx x ln C
4 164x x (2x 1) (2x 1)
− = + +− − +∫
16.15. 2 2 2
dx x 1arctg(x) C
2(1 x ) 2(1 x )= + +
+ +∫
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17. Compruebe los siguientes resultados usando las técnicas para integrandos trigonométricos:
17.1. 3 31sen (x)dx cos(x) cos (x) C
3= − + +∫
17.2. 2 5 3 5 71 2 1sen (x)cos (x)dx sen (x) sen (x) sen (x) C
3 5 7= − + +∫
17.3. 4 4 1 3 1 1sen (x)cos (x)dx x sen(4x) sen(8x) C
64 2 2 16
= − + + ∫
17.4. 6 31 3 3 sen(4x) 1 1cos (x)dx [x sen(2x) x sen(2x) sen (2x)] C
8 16 2 4 2 6
= − + + + − + ∫
17.5. 3 3 5 31 1tg (x)sec (x)dx sec (x) sec (x) C
5 3= − +∫
17.6. 2
2 2
tg(x) 1 sec (x)dx ln C
41 tg (x) 1 tg (x)= +
− −∫
17.7. 2 2
1 1 tg(x) 2dx ln C
sen (x) 2cos (x) 2 2 tg(x) 2
−= +− +∫
17.8. x2
x2
tg( ) 2 51 1dx ln C
2sen(x) cos(x) 5 tg( ) 2 5
+ −= +
− + +∫
17.9. 1 1
sen(4x)cos(5x)dx cos(9x) cos(x) C2 9
= − + + ∫
17.10. 1 1
cos(2x)cos(3x)dx sen(x) sen(5x) C2 5
= + + ∫
17.11. 2 2 1 1 sen(4ax)cos (ax)sen (ax)dx x C
8 32 a= − +∫
17.12. 6 5 31 1tg (2x)dx tg (x) tg (x) tg(x) x C
5 3= − + − +∫
17.13. 4 3 1 1sen (x)dx x sen(2x) sen(4x) C
8 4 32= − + +∫
17.14. 2(sec(x) csc(x)) dx tg(x) ctg(x) 2ln(tg(x)) C+ = − + +∫
17.15. 1 1
cos(4x)cos(5x)dx sen(x) sen(9x) C2 18
= + +∫
17.16. 2 3 51 1sen (x)cos (x)dx sen(x) sen (x) C
3 5= − +∫
17.17. x 3x 1 1
sen cos dx cos(2x) cos(x) C2 2 4 2
= − + + ∫
17.18. 3
5
dx 1 3 3sec (x)tg(x) sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C
4 8 8cos (x)= + + + +∫
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17.19. 4 3 1 1cos (2x)dx x sen(4x) sen(8x) C
8 8 64= + + +∫
17.20. 4
5
sen(x) 1dx sec (x) C
4cos (x)= +∫
17.21. dx 1 1 1
ln 1 tg(x) ln sec(x) x C1 tg(x) 2 2 2
= + − + ++∫
17.22. dx 2
Cx1 2sen(x)
1 tg2
= − ++ +
∫
17.23. 2
3
sen (x) 1 1dx sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C
2 2cos (x)= − + +∫
17.24. dx 1 x 1 x
ln tg 3 ln tg 3 C4 5cos(x) 3 2 3 2
= − + + + + ∫
17.25. 2 2
2 2
sen(x)cos(x) 1dx ln sen (x) cos (x) C
4sen (x) cos (x)= − +
−∫
17.26. 2 2
cos(x) 1 1 2sen(x)dx 2 ln C
4sen (x) cos (x) 1 2sen(x)
+= +− −∫
17.27. sen(x) cos(x)
dx ln sen(x) cos(x) 1 Csen(x) cos(x) 1
+ = − − +− −∫
17.28. 3
dx2 tg(x) C
sen(x)cos (x)= +∫
17.29. tg(x)
dx ln sec(x) ln sec(x) 1 Csec(x) 1
= + − +−∫
17.30. 2
2 2
1 cos (x) 1 1dx ln cos(x) C
2(1 sen (x))ctg(x) cos (x)
− = + +−∫
17.31. 2
3(1 cos(2x)) 4dx 4sen(x) sen (x) C
cos(x) 3
+ = − +∫
17.32. 3
2
3
ctg (x) 1dx ln sen(x) sen (x) C
2csc (x)= − +∫
17.33. 5 3 52 1sen (x)dx cos(x) cos (x) cos (x) C
3 5= − + − +∫
17.34. 2
3 ctg (x)ctg (x)dx ln sen(x) C
2= − − +∫
17.35. 5 4 10 163 3 33 3 3 3sen (x) cos(x)dx cos (x) cos (x) cos (x) C
4 5 16= − + − +∫
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18. Compruebe los siguientes resultados de las integrales irracionales:
18.1.
1 43 4 7 12 1 2 5 12 1 3 1 4
1 2 1 3
1 6 1 12 1 2
x 1 4 12 12dx x x 2x x 3x 4x
3 7 5x x
6x 12x 12ln x 1 C
+ = + + + + + +−
+ + − +
∫
18.2.
tg(x) 2 tg(x) 12 2tg(x)dx ln arctg( 2 tg(x) 1)
4 2tg(x) 2 tg(x) 1
2arctg( 2 tg(x) 1) C
2
− += − + − + + +
+ +
∫
18.3. 5 2 3 22x x 9dx (x 9) 6(x 9) C
5+ = + − + +∫
18.4. dx x x
2ln x 4 2 x 2ln 1 2ln 1 C2 2x 2
= − − + − + + − ++∫
18.5. 3 23 3
3
dxln x ln x 1 2ln x 1 ln 1 x x C
x(1 x)= − − − − + + + +
−∫
18.6. 3 3
3 32 2
dx2arctg( x) arctg(2 x 3) arctg(x) C
x (1 x )= + + − +
+∫
18.7. 2
2
x 1dx 2arcsen(x 1) 2x x C
2x x
+ = − − − +−∫
18.8. 3
5 6 1 2 1 3 1 3 1 6x 2 1 6dx (x 2) 2(x 2) 3(x 2) 3ln (x 2) (x 2) 1
5x 2 1
+ − = + − + − + + + − + ++ +∫
1 632 3arctg (2(x 2) 1) C
3
+ + − +
18.8. 2
2
x 1dx 2arcsen(x 1) 2x x C
2x x
+ = − − − +−∫
18.9. 3 13 12 5 33
6 54
x x x xdx 12 C
13 20x x
− = − + + + ∫
18.10. 4
14 3 7 6
3
x x 3 6dx x x C
14 7x
− = − +∫
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19. Calcule las siguientes integrales y verifique el resultado:
19.1. 4 3 2
3 2
x 6x 12x 6dx
x 6x 12x 8
− + +− + −∫
19.2. 3 2
4 2
x x x 3dx
x 4x 3
+ + ++ +∫
19.3. 2
dx
x 7x 6+ +∫
19.4. 3
dx
x 1+∫
19.5. 2x x
dx
e e 2+ −∫
19.6. 2
sen(x)dx
cos(x)(1 cos (x))+∫
19.7. 2 2
3
(2 tg ( ))sec ( )d
1 tg ( )
+ θ θ θ+ θ∫
19.8. 1 xdx+∫
19.9. 3
dx
x 1 (x 1)+ + +∫
19.10. 2 3
dx
(4 x )−∫
2
2
x 8 11R : C
2 x 2 (x 2)− − +
− −
21R : ln x 3 arctg(x) C
2+ + +
1 x 1R : ln C
5 x 6
+ ++
3
6 2
x 1 3 2x 1R : ln arctg C
3 3x x 1
+ −+ + − +
x x 2
3x
1 (e 2)(e 1)R : ln C
6 e
+ − +
21 cos (x)R : ln C
cos(x)
++
2 (2tg( ) 1)R : ln 1 tg( ) arctg C
3 3
θ −+ θ + +
5 32 2
4 4R : (1 x) (1 x) C
5 3+ − + +
R :2arctg( x 1) C+ +
2
xR : C
4 a x+
−
20. Calcule las siguientes integrales:
20.1. 4
2
x x 1dx
x x 1
+ +− +∫
20.3. 4sen (x)cos(x)dx∫
20.5. 5 4 2 3x x (20x 10x)dx− −∫
20.7. x x
x x
3 ln(3) 2 ln(2)dx
3 2
++∫
20.9. ln(x 1) ln(x)
dxx(x 1)
+ −+∫
20.11. 3
2 14
4xdx
x x− +∫
20.13. x 1
dxx
+∫
20.2. ln(x) ln(5)
dx5x
+∫
20.4. 3
1dx
x(1 x)+∫
20.6. 2 2x sec (x )dx∫
20.8. 2
sen(2x)dx
1 cos (x)−∫
20.10. x x
23 3(e e ) dx−
−∫
20.12. 3x x 1dx+∫
20.14. 3sec (x)tg(x)dx∫
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20.15. 2
dx
2x x−∫
20.17. 2
dx
x 4 ln (x)+∫
20.19. 2x
dxx 1+∫
20.21. ln(ln(x))
dxx ln(x)∫
20.23. 2(arcsen(x)) dx∫
20.25. x ln(1 x)dx+∫
20.27. 3 2x x 4dx+∫
20.29. x3 cos(x)dx∫
20.31. sen x 2dx+∫
20.33. 2ln(x 1 x )dx+ +∫
20.35. 3
2 2
xdx
(x 4)+∫
20.37. ln(x)
dxx∫
20.39. 2
2x 5dx
4x x
−
−∫
20.41. 2
1dx
x ln (x) 3ln(x) 1+ −∫
20.43. 2
x 2dx
x 4x 3
+
+ +∫
20.45. 2
x 1dx
x 4x 3
+
+ +∫
20.47. x
dx(x 1)(x 2)+ +∫
20.49. 2
1dx
x 3x 2− +∫
20.16. x
dx
1 e−+∫
20.18. dx
1 1 x+ +∫
20.20. 3
2
xdx
x 1+∫
20.22. 3x x 1dx+∫
20.24. 2xtg (x)dx∫
20.26. 25x arctg(2x)dx∫
20.28. xsen(x)cos(x)dx∫
20.30. ln(x 1)
dxx 1
++∫
20.32. 2
x ln(x)dx
1 x−∫
20.34. 2
xarctg(x)dx
1 x+∫
20.36. x ln(x)dx∫
20.38. 2
dx
x 2x 3− +∫
20.40. 2
2x 6dx
x 6x 1
+
+ +∫
20.42. x
2x x
edx
e 3e 1+ +∫
20.44. x x
2x x 1 x 2x
2 ln(2) 3 ln(3)dx
2 2 3 3 1++
+ + +∫
20.46. 2
2x 3dx
2x 6x 1
−− +∫
20.48. 3 2
4 3 2
4x 4x x 1dx
x 2x x
− + +− +∫
20.50. 2
2 2
x x 1dx
(x x 1)
− ++ +∫
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20.51. 3
1dx
x x+∫
20.53. 2
xdx
12 4x x+ −∫
20.55. 2
dx
x 2 x+∫
20.57. 2
dx
2x 4x 1−∫
20.59. 2 3 2
xdx
(1 x )−∫
20.61. 1 x
dxx
−∫
20.63. 2 4
dx
4 4x x+ +∫
20.65. 3
2
xdx
25 x−∫
20.67. cos(x)cos(2x)cos(3x)dx∫
20.69. sen(x) 2cos(x)
dx1 cos(x)
++∫
20.71. dx
4cos(x) 3sen(x)+∫
20.73. cos(2x)
dx(1 cos(2x))tg(x)+∫
20.75. 4tg(x)sec (x)dx∫
20.77. dx
(x 1) x 2− +∫
20.79. x 1 1
dxx 1 1
− +− −∫
20.81. 3
3
x 1dx
x 1
−+∫
20.83. x
xe dx∫
20.85. 3x 1
dx2 3x
++∫
20.52. 3
1dx
x 1−∫
20.54. x
2x
edx
4 e−∫
20.56. x
2x x
edx
e e 2+ +∫
20.58. 2
2 3 2
xdx
(1 x )+∫
20.60. 2 3 2
dx
(x 2x 5)− +∫
20.62. 3
2
xdx
x 4−∫
20.64. 4 4tg (x)sec (x)dx∫
20.66. 5 2sen (x)cos (x)dx∫
20.68. sen(x)sen(2x)sen(3x)dx∫
20.70. sec(x)
dx2tg(x) sec(x) 1+ −∫
20.72. 2 2
sen(x)dx
cos (x) sen (x)−∫
20.74. 5cos(5x) cos(x)
dxsen(3x)cos(2x)
+∫
20.76. 2 1 3
xdx
(1 6x )+∫
20.78. (x 2) x 1dx+ −∫
20.80. 2 3 2x (1 3x) dx−+∫
20.82. x
x
1 edx
1 e
+−∫
20.84. 2x
x x
e 1dx
e e−+
−∫
20.86. dx
x 2 x 2− − +∫
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20.87. 3 2 3 2x (1 2x ) dx−+∫
20.89. 3 3
dx
x 4 x+∫
20.91. 6
4 26
x 1dx
x x
+
+∫
20.93. 1 x dx
1 x x
−+∫
20.95. dx
x 1 x 1+ + −∫
20.97. 3 1x arcsen dx
x
∫
20.99. 2(x 3x)sen(5x)dx−∫
20.88. 2
dx
x 1 x+∫
20.90. 2
1 x dx
1 x x
−+∫
20.92. 12
6 3
xdx
x x x+ +∫
20.94. 3
x 1 3dx
x 1 1
+ ++ −∫
20.96. 2
3
x x 1dx
x 1
+ ++∫
20.98. cos(ln(x))dx∫
20.100. xarctg(2x 3)dx+∫
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