Transcript of Calculo de una variable 1
- 1. STEWART JAMES STEWART Sexta edicin Sexta edicin El contenido
de la obra que tiene usted en sus manos,Clculo de una variable:
Trascendentes tempranas,se ha reorganizado de manera tal que los
profesores puedan ensear las funciones trascendentes (ms que
simples funciones trigonomtricas) antes de pasar a la
integral.Adems,el autor desarrolla el texto basndose en lo que l
llama regla de tres,es decir,plantea quelos temas deben presentarse
de manera geomtrica,numrica y algebraica.El nfasis en la solucin de
problemas,la meticulosa exactitud,las pacientes explicaciones y los
conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que
identifican este texto clsico de clculo. Caractersticas La obra
tiene una presentacin clara y selectiva.El autor conduce al
estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma
sencilla,correcta y analtica. Se han incorporado nuevos ejercicios
que van desde un nivel bsico hasta los muy complicados,para obligar
la prctica y adquisicin de habilidades (incluyendo problemas para
software y calculadora graficadora). En el texto se enfatiza la
importancia de la solucin de problemas,en el apartado Principios
para la resolucin de problemas,adems de las conocidas y aumentadas
secciones deProblemas adicionales. Estamos seguros de que esta
excelente obra ser para usted una herramienta fundamental en la
enseanza y/o aprendizaje del Clculo. EDICIN REVISADA EDICIN
REVISADA
- 2. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv
- 3. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes
tempranas SEXTA EDICIN (Edicin revisada) JAMES STEWART McMASTER
UNIVERSITY Traduccin: Jorge Humberto Romo M. Traductor Profesional
Revisin tcnica: Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto
Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior
de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional Australia
Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur
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- 4. Clculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta
edicin James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamrica:
Javier Arellano Gutirrez Director general Mxico y Centroamrica:
Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamrica: Jos Toms Prez
Bonilla Director de produccin: Ral D. Zendejas Espejel Coordinadora
editorial: Mara Rosas Lpez Editor de desarrollo: Sergio R.
Cervantes Gonzlez Editor de produccin: Timoteo Eliosa Garca
Ilustrador: Brian Betsill Composicin tipogrca: Servicios
Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. D.R. 2008 por Cengage Learning
Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.
Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, nm. 505, piso 12 Col. Cruz
Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una
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de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del
Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la
Editorial. Traducido del libro Single Variable Calculus: Early
Trascendentals, Sixth Edition Publicado en ingls por
Thomson/Brooks/Cole 2008 ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogacin
bibliogrca: Stewart, James Clculo de una variable: Trascendentes
tempranas Sexta edicin ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10:
607-481-317-5 Visite nuestro sitio en:
http://latinoamerica.cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38
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- 5. PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM
PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iii
- 6. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv
- 7. v Prefacio xi Al estudiante xix Exmenes de diagnstico xx
PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO 2 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1
Cuatro maneras de representar una funcin 11 1.2 Modelos matemticos:
un catlogo de funciones bsicas 24 1.3 Funciones nuevas a partir de
funciones antiguas 37 1.4 Calculadoras gracadoras y computadoras 46
1.5 Funciones exponenciales 52 1.6 Funciones inversas y logaritmos
59 Repaso 73 Principios para la resolucin de problemas 76 LMITES Y
DERIVADAS 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 83 2.2
Lmite de una funcin 88 2.3 Clculo de lmites utilizando las leyes de
los lmites 99 2.4 Denicin exacta de lmite 109 2.5 Continuidad 119
2.6 Lmites al innito, asntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y
razones de cambio 143 Redaccin de proyecto & Mtodos anticipados
para la bsqueda de tangentes 153 2.8 La derivada como una funcin
154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 2 1 CONTENIDO
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- 8. REGLAS DE DERIVACIN 172 3.1 Derivadas de polinomios y de
funciones exponenciales 173 Proyecto de aplicacin & Construccin
de una montaa rusa 182 3.2 Las reglas del producto y el cociente
183 3.3 Derivadas de las funciones trigonomtricas 189 3.4 La regla
de la cadena 197 Proyecto de aplicacin & Dnde debe un piloto
iniciar un descenso? 206 3.5 Derivacin implcita 207 3.6 Derivadas
de funciones logartmicas 215 3.7 Razones de cambio en las ciencias
naturales y sociales 221 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial
233 3.9 Relaciones afines 241 3.10 Aproximaciones lineales y
diferenciales 247 Proyecto de laboratorio & Polinomios de
Taylor 253 3.11 Funciones hiperblicas 254 Repaso 261 Problemas
adicionales 265 APLICACIONES DE LA DERIVACIN 270 4.1 Valores mximos
y mnimos 271 Proyecto de aplicacin & El clculo de los arcoris
279 4.2 Teorema del valor medio 280 4.3 Manera en que las derivadas
afectan la forma de una grca 287 4.4 Formas indeterminadas y la
regla de lHospital 298 Redaccin de proyecto & Los orgenes de la
regla de lHospital 307 4.5 Resumen de trazo de curvas 307 4.6
Trazado de grcas con clculo y calculadoras 315 4.7 Problemas de
optimizacin 322 Proyecto de aplicacin & La forma de una lata
333 4.8 Mtodo de Newton 334 4.9 Antiderivadas 340 Repaso 347
Problemas adicionales 351 4 3 vi |||| CONTENIDO y 0 y 0 2 m=1 m=_1
m=0 2 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page vi
- 9. CONTENIDO |||| vii INTEGRALES 354 5.1 reas y distancias 355
5.2 La integral denida 366 Proyecto para un descubrimiento &
Funciones de rea 379 5.3 El teorema fundamental del clculo 379 5.4
Integrales indenidas y el teorema del cambio total 391 Redaccin de
proyecto & Newton, Leibniz y la invencin del clculo 399 5.5 La
regla de la sustitucin 400 Repaso 408 Problemas adicionales 412
APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 414 6.1 reas entre curvas 415 6.2
Volmenes 422 6.3 Volmenes mediante cascarones cilndricos 433 6.4
Trabajo 438 6.5 Valor promedio de una funcin 442 Proyecto de
aplicacin & Dnde sentarse en las salas cinematogrficas? 446
Repaso 446 Problemas adicionales 448 TCNICAS DE INTEGRACIN 452 7.1
Integracin por partes 453 7.2 Integrales trigonomtricas 460 7.3
Sustitucin trigonomtrica 467 7.4 Integracin de funciones racionales
por fracciones parciales 473 7.5 Estrategia para integracin 483 7.6
Integracin por medio de tablas y sistemas algebraicos 489 Proyecto
para un descubrimiento & Patrones de integrales 494 7 6 5
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- 10. viii |||| CONTENIDO 7.7 Integracin aproximada 495 7.8
Integrales impropias 508 Repaso 518 Problemas adicionales 521 MS
APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 524 8.1 Longitud de arco 525 Proyecto
para un descubrimiento & Concurso de la longitud de arco 532
8.2 rea de una supercie de revolucin 532 Proyecto para un
descubrimiento & Rotacin sobre una pendiente 538 8.3
Aplicaciones a la fsica y a la ingeniera 539 Proyecto para un
descubrimiento & Tazas de caf complementarias 550 8.4
Aplicaciones a la economa y a la biologa 550 8.5 Probabilidad 555
Repaso 562 Problemas adicionales 564 ECUACIONES DIFERENCIALES 566
9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567 9.2 Campos
direccionales y mtodo de Euler 572 9.3 Ecuaciones separables 580
Proyecto de aplicacin & Qu tan rpido drena un tanque? 588
Proyecto de aplicacin & Qu es ms rpido, subir o bajar? 590 9.4
Modelos de crecimiento poblacional 591 Proyecto de aplicacin &
Clculo y bisbol 601 9.5 Ecuaciones lineales 602 9.6 Sistemas
depredador-presa 608 Repaso 614 Problemas adicionales 618 9 8
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- 11. ECUACIONES PARAMTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620 10.1
Curvas denidas por ecuaciones paramtricas 621 Proyecto de
laboratorio & Crculos que corren alrededor de crculos 629 10.2
Clculo con curvas paramtricas 630 Proyecto de laboratorio &
Curvas de Bzier 639 10.3 Coordenadas polares 639 10.4 reas y
longitudes en coordenadas polares 650 10.5 Secciones cnicas 654
10.6 Secciones cnicas en coordenadas polares 662 Repaso 669
Problemas adicionales 672 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674 11.1
Sucesiones 675 Proyecto de laboratorio & Sucesiones logsticas
687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de
las sumas 697 11.4 Pruebas por comparacin 705 11.5 Series
alternantes 710 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razn
y la raz 714 11.7 Estrategia para probar series 721 11.8 Series de
potencias 723 11.9 Representaciones de las funciones como series de
potencias 728 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734 Proyecto de
laboratorio & Un lmite escurridizo 748 Redaccin de proyecto
& Cmo descubri Newton la serie binomial 748 11.11 Aplicaciones
de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicacin &
Radiacin proveniente de las estrellas 757 Repaso 758 Problemas
adicionales 761 11 10 CONTENIDO |||| ix Preliminares.qk 06/04/2009
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- 12. APNDICES A1 A Nmeros, desigualdades y valores absolutos A2
B Geometra de coordenadas y rectas A10 C Grcas de ecuaciones de
segundo grado A16 D Trigonometra A24 E Notacin sigma A34 F Pruebas
de teoremas A39 G El logaritmo denido como una integral A48 H
Nmeros complejos A55 I Respuestas a ejercicios de nmero impar A63
NDICE A113 x |||| CONTENIDO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page
x
- 13. xi Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero
hay un grano de descu- brimiento en la solucin de cualquier
problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafa su
curiosidad y pone en juego sus facultades inventi- vas; si lo
resuelve por s solo puede experimentar la tensin y disfrutar el
triunfo del descubrimiento. GEORGE POLYA PREFACIO El arte de
ensear, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un
descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a
estudiantes a descubrir el clculo, por su poder prctico y
sorprendente belleza. En esta edicin, al igual que en las primeras
cinco edicio- nes, mi meta es expresar al estudiante un sentido de
la utilidad del clculo y desarrollar competencia tcnica en l, pero
tambin me esfuerzo en dar alguna apreciacin de la be- lleza
intrnseca de esta materia. Es indudable que Newton experiment una
sensacin de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi
deseo es que el estudiante com- parta en algo esa emocin. El nfasis
est en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo
en que sta debe ser el objetivo principal de aprender clculo. De
hecho, el mpetu para el actual movimiento de reforma del clculo
provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formul como su
primera recomendacin: Concentrarse en entender conceptos He tratado
de poner en prctica esta meta a travs de la Regla de Tres: Los
temas deben presentarse de manera geomtrica, numrica y algebraica.
La visualizacin, la experimen- tacin numrica y grca, y otros
mtodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseamos
el razonamiento conceptual. Ms recientemente, la Regla de Tres se
ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar
tambin el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la
sexta edicin, mi promesa ha sido que es posible lograr la
comprensin de conceptos y retener todava las mejores tradiciones
del clculo tradicional. El libro con- tiene elementos de reforma,
pero dentro del contexto de un currculo tradicional. VERSIONES
ALTERNATIVAS He escrito otros libros de clculo diversos que podran
ser preferidos por algunos profeso- res. Casi todos ellos vienen en
versiones de una variable y de varias variables. & Clculo,
Sexta edicin, es semejante al presente libro con excepcin de que
las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas
se tratan en el segundo semestre. & Clculo esencial es un libro
mucho ms breve (800 pginas), aun cuando contiene casi todos los
temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio
de expo- siciones ms breves de algunos temas y poniendo algunos
elementos en el sitio web. & Clculo esencial: Primeras
trascendentales se asemeja al Clculo esencial, pero las funciones
exponenciales, logartmicas y trigonomtricas inversas se tratan en
el Ca- ptulo 3. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xi
- 14. xii |||| PREFACIO & Clculo: conceptos y contextos,
Tercera edicin, destaca la comprensin de conceptos con ms
vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es
enciclop- dico, y el material sobre funciones trascendentales y
sobre ecuaciones paramtricas se entrelaza en todo el libro, en
lugar de tratarlo en captulos separados. & Clculo: primeros
vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer
se- mestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para
estudiantes que toman cursos de ingeniera y fsica de modo
concurrente con clculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIN Veamos a
continuacin algunos de los cambios para la sexta edicin de Clculo
de una variable: Trascendentes tempranas: & Al principio del
libro hay cuatro exmenes de diagnstico, en lgebra bsica, geome- tra
analtica, funciones y trigonometra. Se dan las respuestas y el
estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda
(Apndices, secciones de repaso del Captulo 1, y la web). & En
respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que
motiva la derivada es ms breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan
en una sola seccin llamada Deri- vadas y Magnitudes de Rapidez de
Cambio. & La seccin de Derivadas de Orden Superior del Captulo
3 ha desaparecido y ese material est integrado en varias secciones
de los Captulos 2 y 3. & Los profesores que no cubren el
captulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta- do que la
seccin sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada
en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al
principio del libro, al Captulo 3. Este movimiento precipita una
reorganizacin de los Captulos 3 y 9. & Las Secciones 4.7 y 4.8
se unen en una sola seccin, con un tratamiento ms breve de
problemas de optimizacin en nanzas y economa. & Las Secciones
11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo haba descrito la
serie del binomio en su propia seccin para destacar su importancia
pero me enter que algunos profesores estaban omitiendo esta seccin,
de modo que decid incorpo- rar la serie del binomio en la 11.10.
& Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar
la exposicin. & Se han vuelto a dibujar nuevas guras. & Los
datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser ms
oportunos. & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por
mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la pgina 185 se cambi porque era
frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes
arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el
que se presentan. & Se han incluido pasos adicionales en
algunos de los problemas existentes. & Ms del 25% de los
ejercicios de cada uno de los captulos es nuevo. He aqu algunos de
mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. &
Tambin hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de
Problemas Adi- cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y
13 de la pgina 413, el Problema 13 de la pgina 450, y el Problema
24 de la pgina 763. & El nuevo proyecto de la pgina 550, Tazas
de caf complementarias, proviene de un artculo de Thomas Banchoff
en el que l se preguntaba cul de dos tazas de caf, cuyos perles
convexo y cncavo ajustaban perfectamente, contendra ms caf.
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- 15. PREFACIO |||| xiii & El captulo de Herramientas para
Enriquecer el Clculo (TEC, por sus siglas en in- gls) se ha
rediseado por completo y est accesible en el Internet en
www.stewart- calculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales,
que son breves animaciones de diversas guras del texto. Vea la
descripcin en la pgina 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La
forma ms importante de favorecer la comprensin de conceptos es por
medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo n hemos
ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios
empiezan con peticiones para que el estudiante explique los
signicados de los conceptos bsicos de la seccin. (Vea, por ejemplo,
los primeros ejer- cicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del
mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisin
de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios
someten a prueba la comprensin de conceptos mediante grficas o
tablas (vea Ejerci- cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12,
10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripcin
verbal para probar la comprensin de conceptos (Vea Ejercicios
2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los
problemas que combinan y comparan mtodos grcos, numricos y
algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE
EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se calica
cuidadosamente, avanzando desde ejerci- CALIFICADOS cios bsicos de
conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta
problemas de mayor grado de dicultad que comprenden aplicaciones y
pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo
en bibliotecas, en empresas y ocinas gubernamentales, y buscando
informacin real en Internet para presentar, motivar e ilus- trar
los conceptos de clculo. Como resultado de esto, muchos de los
problemas y ejerci- cios hablan de funciones denidas por esta
informacin numrica o grcas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la
Seccin 1.1 (sismgrafos del terremoto en Northridge), el Ejer- cicio
2.8.34 (porcentaje de poblacin de menos de 18 aos), el Ejercicio
5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la
Figura 4 de la Seccin 5.4 (consumo de ener- ga elctrica en San
Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos
lectores activos es hacerlos trabajar (quiz en grupos) en proyectos
prolongados que den la sensacin de un logro importante cuan- do se
terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de
Aplicacin que com- prenden aplicaciones diseadas para apelar a la
imaginacin de estudiantes. El proyecto despus de la Seccin 9.3
pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda ms en alcan- zar
su altura mxima o en caer a su altura original. (La respuesta podra
sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se reeren a tecnologa;
el que sigue de la Seccin 10.2 muestra cmo usar curvas de Bzier
para disear formas que representan letras para una impresora lser.
Los Redaccin de Proyectos piden a estudiantes comparar mtodos ac-
tuales con los de los fundadores del clculo: el mtodo de Fermat
para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los
Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se
discuten ms adelante o estimulan el descubrimiento por medio del
re- conocimiento de guras (vea la que sigue a la Seccin 7.6). Se
pueden hallar proyectos adicionales en la Gua del Profesor (vea,
por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posicin desde muestras).
RESOLUCIN DE PROBLEMAS Es comn que los estudiantes tengan
dicultades con problemas para los que no hay un so- lo
procedimiento bien denido para obtener una respuesta. Pienso que no
hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya
para la resolucin de problemas en cuatro etapas y, de conformidad
con esto, he incluido una versin de sus principios para la
resolucin de problemas despus del Captulo 1. Se aplican, tanto
implcita como Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiii
- 16. xiv |||| PREFACIO explcitamente, en todo el libro. Despus
de los otros captulos he puesto secciones llamadas Problemas
Adicionales, que presentan ejemplos de cmo atacar los desaantes
problemas de clculo. Al seleccionar los diversos problemas para
estas secciones, siempre tuve presen- te el consejo de David
Hilbert: Un problema matemtico debe ser difcil para convencernos,
pero no inaccesible como para frustrarnos. Cuando pongo estos
desaantes problemas en tareas y exmenes los calico de forma
diferente. Aqu recompenso muy bien a un estu- diante por sus ideas
hacia una solucin y por reconocer cules principios de resolucin de
problemas son relevantes. TECNOLOGA La disponibilidad de tecnologa
no hace menos importante sino ms importante entender claramente los
conceptos que son las bases de las imgenes que aparecen en
pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de
grcas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir
y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin
tecnologa y aqu uso dos smbolos especiales para indicar con
claridad cundo se requiere un tipo particular de mquina. El icono ;
indica un ejercicio que en forma denitiva requiere el uso de esta
tecnologa, pero no es para indicar que no se puede usar tambin en
los otros ejemplos. El smbolo se reserva para problemas en los que
se re- quieren todos los recursos de un sistema computarizado de
lgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la
tecnologa no deja obsoletos al lpiz y papel. A veces son
preferibles los clculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar
y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes
necesitan desarrollar la capacidad de deci- dir cundo es apropiada
la mano o una mquina. El TEC es un compaero de este libro de texto
y est pensado para enriquecer y comple- mentar su contenido. (Ahora
est accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por
Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por m, el TEC utiliza un
mtodo de descubrimiento y exploracin. En algunas secciones de este
libro en donde la tecnolo- ga es particularmente apropiada, los
iconos situados a los mrgenes dirigen a estudiantes a mdulos del
TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el
tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son
animaciones de guras del texto; Module son actividades ms
elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es- coger
participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente
estimular al estu- diante a usar Visual y Module para exploracin
independiente, hasta asignar ejercicios especcos de los incluidos
en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato- rios
y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC tambin incluye
Homework Hints para ejercicios representativos (por lo gene- ral de
nmeros impares) en cada una de las secciones de este libro,
indicados al imprimir en rojo el nmero del ejercicio. Estas
sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de
imitar un asistente efectivo de enseanza al funcionar como profesor
particular silencioso. Los ejercicios estn construidos para no
revelar ms de la solucin real de lo que es el mnimo necesario para
avanzar ms. WEBASSIGN MEJORADO La tecnologa est teniendo impacto en
la forma en que se asignan tareas a estudiantes, so- bre todo en
grupos numerosos. El uso de tareas en lnea es creciente y su inters
depende de la facilidad de uso, precisin en calicacin y
conabilidad. Con la sexta edicin hemos estado trabajando con la
comunidad de clculo y WebAssign para crear un sistema de ta- reas
en lnea. Hasta 70% de los ejercicios de cada seccin son asignables
a tareas en lnea, incluyendo formatos de respuesta libre, opcin
mltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de
partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El
sistema tambin incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes
son guiados en el material didctico paso a paso por ejemplos del
texto, con vnculos al libro de texto y soluciones en video. TOOLS
FOR ENRICHING CALCULUS CAS Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page
xiv
- 17. PREFACIO |||| xv Este sitio se ha renovado y ahora incluye
lo siguiente: & Repaso de lgebra & Miente mi Calculadora y
la Computadora me Dijo & Historia de las matemticas, con
vnculos a los mejores sitios web histricos & Temas adicionales
(completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, frmu-
las para el resto del semestre en series de Taylor, rotacin de ejes
& Problemas archivados (ejercicios de prctica que aparecieron
en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) & Problemas
de desafo (algunos de las secciones de Problemas especiales de
ediciones anteriores) & Vnculos, para temas en particular, a
fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus
(TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exmenes de
diagnstico El libro empieza con cuatro exmenes de diagnstico, en
lgebra bsica, geometra anal- tica, funciones y trigonometra.
Presentacin preliminar del clculo ste es un repaso del tema e
incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del clculo.
Desde el principio, se destacan representaciones mltiples de
funciones: verbales, num- ricas, visuales y algebraicas. Un estudio
de los modelos matemticos lleva a un repaso de las funciones
estndar, incluyendo funciones exponenciales y logartmicas, desde
estos cuatro puntos de vista. 2 & Lmites y derivadas El
material sobre lmites est motivado por un examen ya anterior de
problemas de la tan- gente y velocidad. Los lmites se tratan aqu
desde puntos de vista descriptivos, grcos, numricos y algebraicos.
La Seccin 2.4, que trata de la denicin precisa de e-d de un lmi-
te, es una seccin opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se reeren a
derivadas (en especial con funciones denidas grca y numricamente)
antes de tratar las reglas de derivacin en el Captulo 3. Aqu los
ejemplos y ejercicios exploran los signicados de derivadas en
varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen
ahora en la Seccin 2.8. Todas las funciones bsicas, incluyendo
funciones exponenciales, logartmicas y trigono- mtricas inversas se
derivan aqu. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de
apli- cacin, a los estudiantes se les pide explicar sus signicados.
El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este
captulo. Los datos bsicos referentes a valores extremos y formas de
curvas se deducen del Teore- ma del Valor Medio. Gracar con
tecnologa destaca la interaccin entre clculo y calcu- ladoras y el
anlisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de
optimizacin importante, incluyendo una explicacin de por qu es
necesario levantar la cabeza 42 para ver la parte superior de un
arcoris. 5 & Integrales El problema del rea y el problema de la
distancia sirven para motivar la integral denida, con la notacin
sigma introducida segn sea necesario. (Un tratamiento completo de
la no- tacin sigma se da en el Apndice E). Se hace nfasis en
explicar los signicados de inte- grales en diversos contextos y en
estimar sus valores a partir de grcas y tablas. 4 &
Aplicaciones de la derivacin 3 & Reglas de derivacin 1 &
Funciones y modelos PGINA WEB www.stewartcalculus.com
Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xv
- 18. 6 & Aplicaciones de la integracin Aqu presento las
aplicaciones de integracin, es decir, rea, volumen, trabajo, valor
pro- medio, que razonablemente se pueden hacer sin tcnicas
especializadas de integracin. Se destacan mtodos generales. La meta
es que los estudiantes puedan dividir una can- tidad en partes
pequeas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el lmite como una
integral. 7 & Tcnicas de integracin Se tratan todos los mtodos
estndar pero, por supuesto, el desafo real es ser capaz de re-
conocer cul tcnica se usa mejor en una situacin dada. De
conformidad con esto, en la Seccin 7.5 presento una estrategia para
integracin. El uso de un sistema computarizado de lgebra se ve en
la Seccin 7.6. Aqu estn las aplicaciones de integracin la longitud
de arco y el rea supercial pa- ra las que es til tener disponibles
todas las tcnicas de integracin, as como aplicaciones a la biologa,
economa y fsica (fuerza hidrosttica y centros de masa). Tambin he
inclui- do una seccin sobre probabilidad. Hay aqu ms aplicaciones
de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado.
Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus
estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. 9 &
Ecuaciones diferenciales La creacin de modelos es el tema que unica
este tratamiento de introduccin a las ecua- ciones diferenciales.
Los campos de direccin y el mtodo de Euler se estudian antes que
las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma
explcita, de manera que los mtodos cualitativo, numrico y analtico
reciben igual consideracin. Estos mtodos se aplican a los modelos
experimental, logstico y otros para crecimiento poblacional. Las
primeras cuatro de cinco secciones de este captulo sirven como una
buena introduccin a ecuaciones diferenciales de primer orden. Una
seccin nal opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar
sistemas de ecuaciones diferenciales. Este captulo introduce curvas
paramtricas y polares y aplica los mtodos del clculo a ellas. Las
curvas paramtricas son bien apropiadas para proyectos de
laboratorio; las dos que aqu se presentan comprenden familias de
curvas y curvas de Bzier. Un breve trata- miento de secciones
cnicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de
Kepler en el Captulo 13. Las pruebas de convergencia tienen
justicaciones intuitivas (vea pgina 697) as como pruebas formales.
Las estimaciones numricas de sumas de series estn basadas en cul
prueba se us para demostrar una convergencia. El nfasis est en la
serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la fsica. Las
estimaciones de error incluyen los de aparatos de grcas. MATERIAL
AUXILIAR Clculo: Trascendentes tempranas, Sexta edicin, est apoyado
por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi
direccin. Cada parte se ha diseado para mejo- rar la comprensin del
estudiante y para facilitar una enseanza creativa. MATERIAL DE
APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos
para el profesor, los cuales estn disponibles en ingls y slo se
proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus
cursos. Para mayor informacin, pngase en contacto con el rea de
servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo
electrnico: Cengage Learning Mxico y Centroamrica
clientes.mexicoca@cengage.com Cengage Learning Caribe
clientes.caribe@cengage.com 11 & Sucesiones y series infinitas
10 & Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 8 & Ms
aplicaciones de la integracin xvi |||| PREFACIO Preliminares.qk
06/04/2009 17:38 Page xvi
- 19. Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com
Cengage Learning Pacto Andino clientes.pactoandino@cengage.com Los
recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del
libro: http://latinoamerica.cengage.com/stewart6 Las direcciones de
los sitios web referidas en el texto no son administradas por
Cengage Learning Latinoamrica, por lo que sta no es responsable de
los cambios o actualizacio- nes de las mismas. REVISIN DE LA SEXTA
EDICIN He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de
los mejores editores de matemticas en el negocio por ms de dos
dcadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst,
Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob contina en esta tradicin de
editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia
ayuda, confan en mis instintos y me permiten escribir los libros
que deseo escribir. JAMES STEWART AGRADECIMIENTOS Asimismo,
deseamos agradecer la valiosa colaboracin de los profesores: Dr.
Manuel lvarez Blanco, MSc. Jos Ignacio Cuevas Gonzles y MSc.
Eduardo Fernandini Capurro, Profesores Principales del rea de
Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli- cadas (UPC)
miembro del grupo Laureate International Universities, en la
revisin de esta sexta edicin en espaol. ATENTAMENTE, LOS EDITORES.
Marilyn Belkin, Villanova University Philip L. Bowers, Florida
State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in
Huntsville M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage
Frederick Gass, Miami University Nets Katz, Indiana University
Bloomington James McKinney, California State Polytechnic
University, Pomona Martin Nakashima, California State Polytechnic
University, Pomona Lila Roberts, Georgia College and State
University Paul Triantalos Hadavas, Armstrong Atlantic State
University PREFACIO |||| xvii Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page
xvii
- 20. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii
- 21. AL ESTUDIANTE xix Leer un libro de clculo es diferente a
leer un peridico o una novela, o incluso un libro de fsica. No se
desanime si tiene que leer un pasaje ms de una vez para entenderlo.
Debe tener lpiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un
diagra- ma o hacer un clculo. Algunos estudiantes empiezan por
tratar sus problemas de tarea y leen el texto slo si se atoran en
un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y entender
una seccin del texto antes de abordar los ejercicios. En
particular, el estudian- te debe leer las deniciones para ver los
signicados exactos de los trminos.Y antes de leer cada ejemplo,
sugiero que llegue hasta la solucin y trate de resolver el problema
por s mismo. Obtendr mucho ms de ver la solucin si lo hace as.
Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para
pensar de una manera lgica. Aprenda a escribir las soluciones de
los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con fra- ses
explicativas, no slo una hilera de ecuaciones o frmulas
desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de nmeros impares
apare- cen al nal de este libro, en el apndice I. Algunos
ejercicios piden una explicacin verbal o interpretacin o
descripcin. En estos casos no una sola forma correcta de expresar
la respuesta, de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta
deniti- va. Adems, a veces hay varias formas diferentes en las
cuales se expresa una respuesta numrica o algebraica, de modo que
si su respuesta difiere de la ma no suponga de inmediato que est en
un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte nal de este
libro es y usted obtiene , en- tonces tiene razn y racionalizar el
denominador demostrar que las respuestas son equivalentes. El icono
; indica un ejercicio que denitivamente requiere el uso ya sea de
una calculadora de grcas o una computadora con software de grcas.
Con todo, esto no significa que los aparatos de grficas no se
puedan usar para comprobar el trabajo en los otros ejercicios. El
smbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los
recursos de un sis- tema computarizado de lgebra (como el Derive,
Maple, Ma- thematica, o la TI-89/92). Tambin encontrar el smbolo |
que advierte para no cometer un error. He puesto este smbolo en
mrgenes en situaciones donde he observado que una gran parte de mis
estudiantes tienden a cometer el mismo error. Al Tools for
Enriching Calculus, que es compaero de este libro, se hace
referencia mediante el smbolo y se pue- de tener acceso al mismo en
www.stewartcalculus.com. Dirige al estudiante a mdulos en los que
puede explorar aspectos de clculo para los que la computadora es
particularmente til. El TEC tambin da Homework Hints para
ejercicios representa- tivos que estn indicados con un nmero de
ejercicio impreso en rojo: . Estas sugerencias de tarea hacen
preguntas al es- tudiante que le permiten avanzar hacia una solucin
sin dar en realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada
una de las sugerencias de una manera activa con papel y lpiz para
trabajar los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace
capaz de resolver un problema, puede hacer clic para ver la
siguiente sugerencia. Recomiendo que conserve este libro como
referencia despus que termine el curso. Debido a que es probable
que el lector olvide algunos de los detalles especcos del clculo,
el libro ser- vir como un til recordatorio cuando necesite usar
clculo en cursos subsiguientes. Tambin, como este libro contiene ms
ma- terial del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir
como un valioso recurso para cualquier cientco o ingeniero. El
clculo es una materia extraordinaria, justamente consi- derada como
uno de los mayores logros de la mente humana. Espero que el lector
descubra que no es slo til sino tambin intrnsecamente hermoso.
JAMES STEWART 15. TEC CAS 11 s2s2 1 Preliminares.qk 06/04/2009
17:38 Page xix
- 22. xx EXMENES DE DIAGNSTICO El xito en clculo depende en gran
medida del conocimiento de las matemticas que prece- den al clculo:
lgebra, geometra analtica, funciones y trigonometra. Los exmenes
que siguen tienen el propsito de diagnosticar los puntos dbiles que
el lector pudiera tener en estos campos del conocimiento y, despus
de tomar cada uno de estos exmenes, puede vericar sus respuestas
contra las respuestas dadas. Adems, si es necesario, puede recordar
o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso
que tambin se dan aqu. EXAMEN DE DIAGNSTICO: LGEBRAA 1. Sin usar
calculadora, evale cada una de estas expresiones. (a) (3)4 (b) 34
(c) 34 (d) (e) (f) 163/4 2. Simplique estas expresiones. Escriba su
respuesta sin exponentes negativos. (a) (b) (3a3 b3 )(4ab2 )2 (c)
3. Expanda y simplique. (a) 3(x 6) 4(2x 5) (b) (x 3)(4x 5) (c) (d)
(2x 3)2 (e) (x 2)3 4. Factorice estas expresiones. (a) 4x2 25 (b)
2x2 5x 12 (c) x3 3x2 4x 12 (d) x4 27x (e) 3x3/2 9x1/2 6x1/2 (f) x3
y 4xy 5. Simplique la expresin racional. (a) (b) (c) (d) y x x y 1
y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 2x2 x 1 x2 9 x 3 2x 1 x2 3x 2 x2 x 2 sa sbsa
sb 3x32 y3 x2 y12 2 s200 s32 2 3 2 523 521 Examen de diagnstico
06/04/2009 17:41 Page xx
- 23. 6. Racionalice la expresin y simplique. (a) (b) 7. Complete
el cuadrado de lo siguiente. (a) x2 x 1 (b) 2x2 12x 11 8. Resuelva
la ecuacin. (Encuentre slo las soluciones reales.) (a) (b) (c) x2 x
2 0 (d) 2x2 4x 1 0 (e) x4 3x2 2 0 (f) (g) 9. Resuelva estas
desigualdades, use notacin de intervalo. (a) 4 5 3x 17 (b) x2 2x 8
(c) x(x 1)(x 2) 0 (d) (e) 10. Exprese si cada una de estas
ecuaciones es verdadera o falsa. (a) (p q)2 p2 q2 (b) (c) (d) (e)
(f) 1x ax bx 1 a b 1 x y 1 x 1 y 1 TC C 1 Tsa2 b2 a b sab sa sb 2x
3 x 1 1 x 4 3 2x4 x12 3s4 x 0 3x 4 10 2x x 1 2x 1 x x 5 14 1 2x s4
h 2 h s10 s5 2 EXMENES DE DIAGNSTICO |||| xxi 6. (a) (b) 7. (a) (b)
2(x 3)2 7 8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4 (d) (e) (f) (g) 9. (a) [4, 3) (b)
(2, 4) (c) (2, 0) (1, ) (d) (1, 7) (e) (1, 4] 10. (a) Falsa (b)
Verdadera (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera 12 5 2 3, 22
31 s21 1 2 s2 x 1 22 3 4 1 s4 h 2 5s2 2s101. (a) 81 (b) 81 (c) (d)
25 (e) (f) 2. (a) (b) 48a5 b7 (c) 3. (a) 11x 2 (b) 4x2 7x 15 (c) a
b (d) 4x2 12x 9 (e) x3 6x2 12x 8 4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x
4) (c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2 3x 9) (e) 3x1/2 (x 1)(x 2) (f)
xy(x 2)(x 2) 5. (a) (b) (c) (d) (x y) 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 9y7
6s2 1 8 9 4 1 81 RESPUESTAS AL EXAMEN DE PRUEBA A: LGEBRA Si el
lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web
www.stewartcalculus.com. Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41 Page
xxi
- 24. xxii |||| EXMENES DE DIAGNSTICO EXAMEN DE DIAGNSTICO:
GOMETRA ANALTICAB 1. Encuentre una ecuacin para la recta que pasa
por el punto (2, 5) y (a) tiene pendiente 3 (b) es paralela al eje
x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x 4y 3 2.
Encuentre una ecuacin para el crculo que tiene centro en (1, 4) y
pasa por el punto (3, 2). 3. Encuentre el centro y radio del crculo
con ecuacin x2 y2 6x 10y 9 0. 4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en
el plano. (a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y
B. (b) Encuentre una ecuacin de la recta que pasa por A y B. Cules
son los puntos de interseccin con los ejes? (c) Encuentre el punto
medio del segmento AB. (d) Encuentre la longitud del segmento AB.
(e) Encuentre una ecuacin de la perpendicular que biseca a AB. (f)
Encuentre una ecuacin del crculo para el cual AB es un dimetro. 5.
Trace la regin en el plano xy denida por la ecuacin o
desigualdades. (a) 1 y 3 (b) y (c) (d) y x2 1 (e) x2 y2 4 (f) 9x2
16y2 144 y 1 1 2 x y 2x 4 5. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1. (a) y 3x 1
(b) y 5 (c) x 2 (d) 2. (a) 3. Centro (3, 5), radio 5 4. (b) 4x 3y
16 0; cruce con eje x 4, cruce con eje y (c) (1, 4) (d) 20 (e) 3x
4y 13 (f) (x 1)2 (y 4)2 100 16 3 4 3 x 12 y 42 52 y 1 2 x 6
RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNSTICO B: GEOMETRA ANALTICA Si el
lector tiene dicultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (repaso de lgebra) en el sitio web
www.stewartcalculus.com. y x 0 y x0 4_4 y x0 2 1 _1 3 2 _2 y=1- x 1
2 y x1 2 0 y x0 y x0 4 3 _1 2 y=-1 +=4 Examen de diagnstico
06/04/2009 17:41 Page xxii
- 25. EXMENES DE DIAGNSTICO |||| xxiii EXAMEN DE DIAGNSTICO:
FUNCIONESC 1. La grca de una funcin f se da a la izquierda. (a)
Exprese el valor de f(1). (b) Estime el valor de f(2). (c) Para qu
valores de x es f(x) 2? (d) Estime los valores de x tales que f(x)
0. (e) Exprese el dominio y rango de f. 2. Si f(x) x3 , evale el
cociente de diferencia y simplique su respuesta. 3. Encuentre el
dominio de la funcin. (a) (b) (c) 4. Cmo se obtienen las grcas de
las funciones a partir de la grca de f? (a) y f(x) (b) y 2f(x) 1
(c) y (x 3) 2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado
de la grca. (a) y x3 (b) y (x 1)3 (c) y (x 2)3 3 (d) y 4 x2 (e) (f)
(g) y 2x (h) y 1 x1 6. Sea (a) Evaluacin f(2) y f(1) (b) Dibuje la
grca de f. 7. Si f(x) x2 2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de
las siguientes funciones. (a) f t (b) t f (c) t t t fx 1 x2 si x 0
2x 1 si x 0 y 2sxy sx hx s4 x sx2 1gx 3 sx x2 1 fx 2x 1 x2 x 2 f2 h
f2 h (d) (e) (f) (g) (h) 6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2 8x 2 (b)
(b) (t f)(x) 2x2 4x 5 (c) (t t t)(x) 8x 21 1. (a) 2 (b) 2.8 (c) 3,
1 (d) 2.5, 03 (e) [3, 3], [2, 3] 2. 12 6h h2 3. (a) (, 2) (2, 1)
(1, ) (b) (, ) (c) (, 1] [1, 4] 4. (a) Reeje alrededor del eje x
(b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuacin
desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha
y 2 unidades hacia arriba 5. (a) (b) (c) RESPUESTAS AL EXAMEN DE
DIAGNSTICO C: FUNCIONES Si el lector tiene dicultad con estos
problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de lgebra) en
el sitio web www.stewartcalculus.com. y 0 x 1 1 FIGURA PARA
PROBLEMA 1 y x0 y 1 1 x0 1 _1 y x0 (2,3) y x0 4 2 y x0 y 1 x0 1 y
x0 1 y x 0 1 1 _1 y x0_1 1 Examen de diagnstico 06/04/2009 17:41
Page xxiii
- 26. xxiv |||| EXMENES DE DIAGNSTICO EXAMEN DE DIAGNSTICO:
TRIGONOMETRAD 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300 (b) 18 2.
Convierta de radianes a grados. (a) 5p/6 (b) 2 3. Encuentre la
longitud de un arco de crculo con radio de 12 cm si el arco
subtiende un ngulo central de 30. 4. Encuentre los valores exactos.
(a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3) 5. Exprese las longitudes
a y b de la gura en trminos de u. 6. Si sen y sec , donde x y y
estn entre 0 y p/2, evale sen(x y). 7. Demuestre las identidades.
(a) tan u sen u cos u sec u (b) 8. Encuentre todos los valores de x
tales que sen 2x sen x y 0 x 2p. 9. Trace la grca de la funcin y 1
sen 2x sin usar calculadora. 2 tan x 1 tan2 x sen 2x y 5 4x 1 3a b
24 FIGURA PARA PROBLEMA 5 6. 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p 8. 1 15 4 6s21.
(a) 5p/3 (b) p/10 2. (a) 150 (b) 360/p L 114.6 3. 2p cm 4. (a) (b)
(c) 2 5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u 1 2s3 RESPUESTA AL EXAMEN DE
DIAGNSTICO D: TRIGONOMETRA _ x0 2 y Si el lector tiene dicultad con
estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de
lgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de
diagnstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv
- 27. C L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes
tempranas Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1
- 28. PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO El clculo es
fundamentalmente diferente de las matemticas que el lector ha
estudiado con anterioridad. El clculo es menos esttico y ms
dinmico. Se interesa en el cam- bio y en el movimiento; trata
cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razn, puede
resultar til tener un panorama general de la materia antes de
empezar su estudio intensivo. En las pginas siguientes se le
presentan algunas de las ideas principales del clculo, al mostrar
cmo surgen los lmites cuando intentamos resolver diversos
problemas. 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2
- 29. EL PROBLEMA DEL REA Los orgenes del clculo se remontan a
unos 2500 aos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron reas
aplicando el mtodo del agotamiento. Saban cmo hallar el rea A de
cualquier polgono al dividirlo en tringulos como en la gura 1, y
sumar las reas de estos tringulos. Hallar el rea de una gura curva
es un problema mucho ms difcil. El mtodo griego del agotamiento
consista en inscribir polgonos en la gura y circunscribir otros
polgonos en torno a la misma gura y, a continuacin, hacer que el
nmero de lados de los polgo- nos aumentara. En la gura 2 se ilustra
este proceso para el caso especial de un crculo con polgonos
regulares inscritos. Sea An el rea del polgono inscrito con n
lados. Al aumentar n, parece que An se aproxi- ma cada vez ms al
rea del crculo. El rea del crculo es el lmite de las reas de los
po- lgonos inscritos y Los griegos no aplicaron explcitamente los
lmites. Sin embargo, por razonamiento indi- recto Eudoxo (siglo v
a. C.) utiliz el agotamiento para probar la conocida frmula del rea
de un crculo: El captulo 5 expone una idea semejante para hallar
las reas de regiones del tipo que se muestra en la gura 3. Se da
una aproximacin del rea deseada A por medio de reas de rec- tngulos
(como en la gura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectngulos
y, en seguida, se calcula A como el lmite de estas sumas de reas de
rectngulos. El problema del rea es el problema central de la rama
del clculo que se conoce co- mo clculo integral. Las tcnicas
desarrolladas en el captulo 5 para hallar reas tambin permiten
calcular el volumen de un slido, la longitud de una curva, la
fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro
de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al
bombear agua hacia afuera de un tanque. A r2 . A lm n l An
PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 3 3 A A AAAA FIGURA 2 FIGURA
3 1 n 10 x y (1, 1) 10 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA
4 10 x y y= A (1, 1) FIGURA 1 A=A+A+A+A+A A A A A A El Preview
Visual es una investiga- cin numrica y grca de la aproximacin del
rea de un crculo mediante polgonos inscritos y circunscritos. TEC
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3
- 30. EL PROBLEMA DE LA TANGENTE Considere el problema de tratar
de hallar la ecuacin de la recta tangente t a una curva, con
ecuacin y f(x), en un punto dado P. (En el captulo 2, aparece una
definicin precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla
como una recta que toca la curva en P, como en la figura 5.) Como
saber que el punto P est en la recta tangente, puede hallar la
ecuacin de t si conoce su pendiente m. El problema est en que
necesita dos puntos para calcular la pendiente y slo conoce un
punto, P, de t. Para darle vuelta al pro- blema, primero halle una
aproximacin para m al tomar un punto cercano Q de la curva y
calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6
Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como
en la gura 7. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima a
la recta tangente como su posicin lmite. Esto significa que la
pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez ms a la
pendiente m de la recta tangente. Escriba donde m es el lmite de
mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se
acerca a a cuando Q lo hace a P, podra usar tambin la ecuacin 1
para escribir En el captulo 2 se darn ejemplos especcos de este
procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama
del clculo llamada clculo dife- rencial, el cual se invent ms de 2
000 aos despus que el clculo integral. Las ideas principales que se
encuentran detrs del clculo diferencial se deben al matemtico fran-
cs Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los
matemticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow
(1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), as como por el matemtico
alemn Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas del clculo y sus
problemas principales, el problema del rea y el de la tangente,
parecen muy diferentes, pero existe una conexin muy ntima entre
ellas. El problema de la tangente y el del rea son problemas
inversos, en un sentido que se descu- brir en el captulo 5.
VELOCIDAD Cuando mire el velocmetro de un automvil y lea que viaja
a 48 mih, qu informa- cin se le indica? Sabe que la velocidad del
automvil puede variar, qu signica decir que la velocidad en un
instante dado es de 48 mih? Para analizar esta cuestin analice el
movimiento de un automvil que viaja a lo largo de un camino recto y
suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automvil (en
pies) a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente. m lm x
l a f x f a x a 2 m lm Q lP mPQ mPQ f x fa x a 1 4 |||| PRESENTACIN
PRELIMINAR DEL CLCULO t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d
Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 0 y x P y= t P Q t 0 x y y 0 xa x
-f(a)P{a,f(a)} x-a t Q{x, } FIGURA 5 La recta tangente en P FIGURA
6 La recta secante PQ FIGURA 7 Rectas secantes aproximndose a la
recta tangente Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 4
- 31. Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han
transcurrido 2 segundos, encuentre la velocidad durante el
intervalo : De manera anloga, la velocidad promedio en el intervalo
de tiempo es Tiene la sensacin de que la velocidad en el instante t
2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un
intervalo corto que se inicie en t 2. De modo que imagine que se ha
medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en
la tabla siguiente: Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad
promedio sobre el intervalo 2, 2.5: En la tabla siguiente se
muestran los resultados de esos clculos: Las velocidades promedio
sobre intervalos sucesivamente ms pequeos parecen apro- ximarse
cada vez ms a un nmero cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la
velocidad en exactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el
captulo 2, se dene la velocidad instan- tnea de un objeto en
movimiento como el valor lmite de las velocidades promedio sobre
intervalos cada vez ms pequeos. En la gura 8 se muestra una
representacin grca del movimiento del automvil al gracar los puntos
correspondientes a la distancia recorrida como funcin del tiempo.
Si escribe d f(t), entonces f(t) es el nmero de pies recorridos
despus de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo 2, t es
lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la
gura 8. La velocidad v cuando t 2 es el valor lmite de esta
velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir y reconoce, a
partir de la ecuacin 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la
recta tan- gente a la curva en P. v lm t l 2 f t f 2 t 2 velocidad
promedio distancia recorrida tiempo transcurrido f t f2 t 2
velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6 piess velocidad promedio
24 9 3 2 15 piess 2 t 3 16.5 piess 42 9 4 2 velocidad promedio
distancia recorrida tiempo transcurrido 2 t 4 PRESENTACIN
PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 5 t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02
11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2
2, 2.1 Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2
FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2,f(2)} Q{t,f(t)} Presentacion de
calculo 06/04/2009 17:42 Page 5
- 32. Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el
clculo diferencial, tambin est resolviendo problemas referentes a
velocidades. Las mismas tcnicas permiten re- solver problemas en
que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y
sociales. LMITE DE UNA SUCESIN En el siglo v a. C., el lsofo griego
Zenn de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como
las paradojas de Zenn, las cuales desaaban algunas de las ideas
con- cernientes al espacio y al tiempo que sostenan en sus das. La
segunda paradoja de Zenn se reere a una carrera entre el hroe
griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja
inicial. Zenn argumentaba, como se hace ver a continuacin, que
Aquiles nunca podra rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la
posicin a1 y la tortuga en la posicin t1 (vase la figura 9). Cuando
Aquiles llega a a3 t2, la tortuga est en t3. Este proceso contina
indenidamente y, de este modo, parece que la tortuga siempre estar
adelante! Pero esto contraviene el sentido comn. Una manera de
explicar esta paradoja es con la idea de sucesin. Las posiciones
suce- sivas deAquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga
forman lo que se conoce como una sucesin. En general, una sucesin
es un conjunto de nmeros escritos en un orden denido. Por ejemplo,
la sucesin se puede describir al dar la frmula siguiente para el
n-simo trmino Puede visualizar esta sucesin situando sus trminos en
una recta numrica como en la figura 10(a) o trazando su grfica como
en la figura 10(b). Observe, a partir de cual- quiera de las dos
figuras, que los trminos de la sucesin se aproximan cada vez ms a 0
al aumentar . De hecho, es posible hallar trminos tan pequeos como
lo desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el lmite de la
sucesin es 0 y se in- dica al escribir En general, se usa la
notacin si los trminos an se aproximan al nmero L, cuando n se hace
sucientemente grande. Esto signica que se puede aproximar los
nmeros an al nmero L tanto como quiera si se toma una n lo
sucientemente grande. lm n l an L lm n l 1 n 0 n an 1n an 1 n {1, 1
2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} an t1, t2, t3, . . .a1, a2, a3, . . .
6 |||| PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO Aquiles tortuga a a a a a
t t t t . . . . . .FIGURA 9 1 n1 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 10 aaaa
(a) (b) Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 6
- 33. El concepto de lmite de una sucesin se presenta siempre que
usa la representacin de- cimal de un nmero real. Por ejemplo, si
entonces Los trminos de esta sucesin son aproximaciones racionales
a p. De nuevo la paradoja de Zenn. Las posiciones sucesivas de
Aquiles y la tortuga for- man las sucesiones y , en donde para toda
n. Se puede demostrar que las dos sucesiones tienen el mismo lmite
Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la
tortuga. SUMA DE UNA SERIE Otra de las paradojas de Zenn, segn.
Aristteles, es: Un hombre parado en un cuarto no puede caminar
hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzara la mitad de
la dis- tancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a
continuacin, una vez ms la mitad de la que todava queda. Siempre se
puede continuar este proceso y nunca se termina. (Vase la gura 11.)
Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto
sugiere que quiz se pueda expresar la distancia total como la suma
de una innidad de distancias ms pe- queas, como sigue 1 1 2 1 4 1 8
1 16 1 2n 3 lm n l an p lm n l tn an tntnan lm n l an a7 3.1415926
a6 3.141592 a5 3.14159 a4 3.1415 a3 3.141 a2 3.14 a1 3.1
PRESENTACIN PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 7 1 2 1 4 1 8 1 16FIGURA 11
Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7
- 34. Zenn argumentaba que no tiene sentido sumar una innidad de
nmeros. Pero existen otras situaciones en que, implcitamente, se
usan sumas innitas. Por ejemplo, en notacin decimal, el smbolo
signica y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que De
modo ms general, si denota el n-simo dgito en la representacin
decimal de un nmero, entonces Por lo tanto, algunas sumas innitas,
o series innitas como se les llama, tienen un signi- cado. Pero
debe denir con cuidado lo que es la suma de una serie innita.
Considere de nuevo la serie de la ecuacin 3 y denote con la suma de
los primeros n trminos de la serie. De este modo Observe que
conforme agrega ms y ms trminos, las sumas parciales se aproximan
ca- da vez ms a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es
sucientemente grande (es de- cir, si se suman un nmero suciente de
trminos de la serie), es posible aproximar la suma parcial tanto
como desee al nmero 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la
serie innita es 1 y escribir 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1
216 0.99998474 s10 1 2 1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1
32 1 64 1 128 0.9921875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1
2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1
8 0.875 s2 1 2 1 4 0.75 s1 1 2 0.5 sn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2
102 d3 103 dn 10n dn 3 10 3 100 3 1000 3 10 000 1 3 3 10 3 100 3
1000 3 10 000 0.3 0.3333 . . . 8 |||| PRESENTACIN PRELIMINAR DEL
CLCULO Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 8
- 35. En otras palabras, la razn de que la suma de la serie sea 1
es que En el captulo 11 se analizan con ms detalle estas ideas.
Entonces usar la idea de Newton de combinar las series innitas con
el clculo diferencial e integral. RESUMEN El concepto de lmite
surge al tratar de hallar el rea de una regin, la pendiente de una
tangente a una curva, la velocidad de un automvil o la suma de una
serie infinita. En ca- da caso, el tema comn es el clculo de una
cantidad como el lmite de otras cantidades calculadas con
facilidad. Esta idea bsica de lmite separa al clculo de las otras
reas de las matemticas. De hecho, podra denirlo como la parte de
las matemticas que trata con lmites. Despus que sir Isaac Newton
invent su versin del clculo, la utiliz para explicar el movimiento
de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para
calcular las rbitas de los satlites y de las naves espaciales,
predecir los tamaos de poblaciones, estimar la rapidez con que se
elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car-
diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de
otras reas. En este libro encontrar algunos de estos usos. Para dar
una idea del poder de la materia, nalice este panorama preliminar
con una lis- ta de algunas de las preguntas que podra usted
responder al aplicar el clculo: 1. Cmo explica el hecho que se
ilustra en la gura 12 de que el ngulo de eleva- cin desde un
observador hasta el punto ms alto de un arcoris es 42. (Vase pgina
279.) 2. Cmo explica las formas de las latas en los anaqueles de
los supermercados? (Vase pgina 333.) 3. Dnde es el mejor lugar para
sentarse en un cine? (Vase pgina 446.) 4. Qu tan lejos del
aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Vase p- gina 206.)
5. Cmo usar las curvas y el diseo de formas para reprsentar letras
en una impresora lser? (Vase pgina 639). 6. Cul ser la posicin del
parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el jardinero y
lanzarla a la base? (Vase pgina 601). 7. Una bola lanzada hacia
arriba tarda ms tiempo en llegar a su altura mxima o en volver al
sitio del lanzamiento? (Vase pgina 590.) lm n l sn 1 PRESENTACIN
PRELIMINAR DEL CLCULO |||| 9 rayos del Sol observador rayos del Sol
42 FIGURA 12 138 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page
9
- 36. 10 Representacin grca de una funcin. Aqu el nmero de horas
de luz solar en diferentes periodos del ao y diferentes latitudes,
es la manera ms natural y conveniente de ilustrar la funcin.
FUNCIONES Y MODELOS 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Mar. Abr. May.
Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Horas 60N 50N 40N 30N 20N El
propsito fundamental del clculo son las funciones. En este captulo
se prepara el camino para el clculo al analizar las ideas bsicas
referentes a las funciones, sus grcas y las maneras para
transformarlas y combinarlas. Se har hincapi en que una funcin se
puede representar de diferentes modos: mediante una ecuacin, en una
tabla, con una grfica o con palabras. Se considerarn los tipos
principales de funciones que se presentan en el clculo y se
describir el proceso de usarlas como modelos matemticos de fenmenos
del mundo real. Tambin se expondr el uso de las calculadoras
gracado- ras y del software para trazar grcas. CAPITULO-01-A
06/04/2009 17:46 Page 10
- 37. CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN Las funciones
surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las
siguientes cuatro situaciones: A. El rea A de un crculo depende de
su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la
ecuacin A pr 2 . Con cada nmero positivo r existe asociado un valor
de A, por lo que A es funcin de r. B. La poblacin humana del mundo,
P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima- ciones de la
poblacin del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos aos. Por
ejemplo, P1950 2 560 000 000 Pero para cada valor de tiempo t
existe un valor de P correspondiente, por lo que P es una funcin de
t. C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase
depende de su peso w. Aun cuando no existe una frmula sencilla que
relacione w con C, la ocina de correos tiene una regla parta
determinar C cuando se conoce w. D. La aceleracin vertical a del
suelo, segn la mide un sismgrafo durante un terremo- to, es una
funcin del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una
grca generada por la actividad ssmica durante el terremoto de
Northridge que sacudi Los ngeles en 1994. Para un valor dado de t,
la grca proporciona un valor correspon- diente de a. En cada uno de
estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un nmero r,
t, w o t), se asigna otro nmero A, P, C o a). En cada caso, el
segundo nmero es funcin del primero. Una funcin f es una regla que
asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta- mente un
elemento, llamado fx), de un conjunto E. A menudo, se consideran
funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de
nmeros reales. El conjunto D se llama dominio de la funcin. El
nmero fx) es el valor de f en x y se lee f de x. El rango de f es
el conjunto de todos los valores posibles de fx), conforme x vara
en todo el dominio. Un smbolo que representa un nmero arbitrario en
el dominio de una funcin f se llama variable independiente. Un
smbolo que representa un nmero en el rango de f se llama variable
dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente y A es
la dependiente. FIGURA 1 Aceleracin vertical del suelo durante el
terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos) Calif. Dept. of Mines
and Geology 5 50 10 15 20 25 a t 100 30 _50 1.1 11 Poblacin Ao (en
millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950
2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11
- 38. Resulta til concebir una funcin como una mquina vase la
gura 2). Si x est en el dominio de la funcin f, entonces cuando x
entra en la mquina, se acepta como una en- trada y la mquina
produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la funcin. De
este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las
entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas
posibles. Las funciones preprogramadas de una calculadora son
buenos ejemplos de una funcin co- mo una mquina. Por ejemplo, la
tecla de raz cuadrada en su calculadora calcula una de esas
funciones. Usted oprime la tecla marcada como o y registra la
entrada x. Si x 0, en tal caso x no est en el dominio de esta
funcin; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora
indicar un error. Si x 0, en tal caso aparecer una aproximacin a en
la pantalla. As, la tecla de su calculadora no es la misma
exactamente que la funcin ma- temtica f denida por . Otra manera de
representar una funcin es un diagrama de echas como en la gura 3.
Cada echa une un elemento de D con un elemento de E. La echa indica
que fx) est asociada con x, fa) con a, y as sucesivamente. El mtodo
ms comn para visualizar una funcin es su grca. Si f es una funcin
con dominio D, su grca es el conjunto de las parejas ordenadas
Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la grca
de f consta de todos los puntos x, y) en el plano coordenado, tales
que y fx) y x est en el dominio de f. La grca de una funcin f da
una imagen til del comportamiento, o la historia de la vida, de una
funcin. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la grfica
es y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la grca como
la altura de esta ltima arriba del punto x vase la gura 4). La grca
de f tambin permite tener una imagen del dominio de f sobre el eje
x y su rango en el eje y como en la gura 5. EJEMPLO 1 En la gura 6
se muestra la grca de una funcin f. (a) Encuentre los valores de
f1) y f5). (b) Cules son el dominio y el intervalo de f? SOLUCIN
(a) En la gura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la
grca de f, de modo que el valor de f en 1 es . En otras palabras,
el punto de la grca que se encuen- tra arriba de x 1 est tres
unidades arriba del eje x.) Cuando x 5, la grca se encuentra
alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x por tanto, (b) fx) est
denida cuando , de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado
[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de
manera que el interva- lo de f es y2 y 4 2, 4 0 x 7 f5 0.7 f 1 3 0
y (x) dominio intervalo FIGURA 4 {x, } f(1) f(2) 0 1 2 x FIGURA 5 x
y x y x, fxx D fx sx sx sx sxs 12 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y
MODELOS FIGURA 2 Diagrama de una mquina para una funcin x (entrada)
(salida) f f D E f(a)a x FIGURA 3 Diagrama de flechas para FIGURA 6
x y 0 1 1 & La notacin para intervalos aparece en el apndice A.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12
- 39. EJEMPLO 2 Trace una grca y encuentre el dominio y el
intervalo de cada funcin. a) b) SOLUCIN a) La ecuacin de la grca es
y esto se reconoce como la ecuacin de la recta con pendiente 2 y
ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada al
origen de la ecuacin de una recta: . Vase apndice B.) Esto permite
trazar la grca de f. Ver la gura 7. La expresin est denida para
todos los nmeros reales, de modo que el dominio de f es el conjunto
de todos los nmeros reales, el cual se denota con . En la grca se
muestra que el rango tambin es . b) Como y , podra dibujar los
puntos 2, 4) y 1, 1) junto con unos cuantos puntos ms de la grca y
unirlos para producir la gr- ca gura 8). La ecuacin de la grca es ,
la cual representa una parbola vase el apndice C). El dominio de t
es . El rango de t consta de todos los valores de tx); es decir,
todos los nmeros de la forma x2 . Pero para todos los nmeros x y
cualquier nmero positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango
de t es . Esto tambin se ve en la gura 8. EJEMPLO 3 Si fx 2x2 5x 1
y h 0, evaluar SOLUCIN Primero evale fa h sustituyendo x mediante a
h en la expresin para fx: fa h 2(a h)2 5(a h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5(a
h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5a 5h 1 Por lo tanto al sustituir en la expresin
que se proporciona y simplicando: REPRESENTACIN DE LAS FUNCIONES Se
tienen cuatro maneras posibles para representar una funcin: &
Verbalmente (mediante una descripcin en palabras) &
Numricamente (con una tabla de valores) & Visualmente (mediante
una grca) & Algebraicamente (por medio de una frmula explcita)
Si la funcin se puede representar de las cuatro maneras, con
frecuencia resulta til pasar de una representacin a otra, para
adquirir un conocimiento adicional de la funcin. (En el ejemplo 2
se empieza con frmulas algebraicas y, a continuacin, se obtuvieron
las grcas.) Pero ciertas funciones se describen de manera ms
natural con uno de los mtodos 4ah 2h2 5h h 4a 2h 5 2a2 4ah 2h2 5a
5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h
y y 0 0, x2 0 y x2 t1 12 1t2 22 4 2x 1 y mx b y 2x 1 tx x2 fx 2x 1
SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 13 &
La expresin en el ejemplo 3 se le denomina un cociente de
diferencia y habitualmente sucede en clculo. Como se ver en el
captulo 2, repre- senta la razn promedio de cambio f(x) entre x a y
x a h f(a h) f(a) h FIGURA 7 x y=2x-1 0 -1 y 1 2 (_1,1) (2,4) 0 y 1
x1 y= FIGURA 8 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13
- 40. que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las
cuatro situaciones consideradas al principio de esta seccin. A.
Quiz la representacin ms til del rea de un crculo como funcin de su
radio sea la frmula algebraica , aunque es posible compilar una
tabla de valores o trazar una grca (la mitad de una parbola). Como
un crculo debe tener un radio positivo, el dominio es , y el rango
tambin es . B. Se ha descrito verbalmente la funcin: Pt es la
poblacin humana del mundo en el tiempo t. La tabla de valores de la
poblacin mundial da una representacin conve- niente de esta funcin.
Si coloca estos valores en una grca, obtendr la grca (lla- mada
grca de dispersin) de la gura 9. Tambin es una representacin til;
pues nos permite absorber todos los datos a la vez. Qu hay acerca
de una frmula? Por supuesto, es imposible idear una frmula explcita
que d la poblacin humana exacta Pt en cualquier tiempo t. Pero es
posible hallar una expresin para una funcin que proporcione una
aproximacin de Pt). De hecho, con la aplicacin de los mtodos que se
explican en la seccin 1.2, se obtiene la aproximacin y en la gura
10 se ilustra que es un ajuste razonablemente bueno. La funcin f se
llama modelo matemtico para el crecimiento de la poblacin. En otras
palabras, es una funcin con una frmula explcita que da una
aproximacin para el comportamiento de la funcin dada. Sin embargo,
ver que las ideas del clculo se pueden aplicar a una tabla de
valores; no se necesita una frmula explcita. La funcin P es tpica
entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar el
clculo al mundo real. Empieza con una descripcin verbal de la
funcin. En se- guida, es posible que sea capaz de construir una
tabla de valores de la funcin, quiz a partir de lecturas de
instrumentos en un experimento cientfico. Aun cuando no tenga el
conocimiento completo de los valores de la funcin, a lo largo del
libro ver que todava es posible realizar las operaciones del clculo
en una funcin de ese tipo. C. Una vez ms, la funcin est descrita en
palabras: Cw) es el costo de enviar por correo una carta de primera
clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal
Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el
costo es de 39 centavos de dlar hasta por una onza, ms 24 centavos
por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas. La tabla de valores que se
muestra en el margen es la representacin ms conveniente para esta
funcin, aunque es posible trazar una grca (vase el ejemplo 10). D.
La grca que se muestra en la gura 1 es la representacin ms natural
de la funcin aceleracin vertical at). Es cierto que se podra
compilar una tabla de valores e incluso FIGURA 10FIGURA 9 1900
6x10' P t1920 1940 1960 1980 2000 1900 6x10' P t1920 1940 1960 1980
2000 Pt ft 0.008079266 1.013731t 0, rr 0 0, Ar r2 14 |||| CAPTULO 1
FUNCIONES Y MODELOS Poblacin Ao (en millones) 1900 1650 1910 1750
1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980
4450 1990 5280 2000 6080 (onzas) (dlares) 0.39 0.63 0.87 1.11 1.35
3.2712 w 13 4 w 5 3 w 4 2 w 3 1 w 2 0 w 1 Cww & Una funcin
denida por una tabla de valores se conoce como funcin tabular.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 14
- 41. es posible idear una frmula aproximada. Pero todo lo que
necesita saber un gelogo, amplitudes y patrones, puede observarse
con facilidad a partir de la grca. (Lo mismo se cumple para los
patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes
car- diacos y en los polgrafos para la deteccin de mentiras.) En el
ejemplo siguiente, se graca una funcin denida verbalmente. EJEMPLO
4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua
depende de cunto tiempo ha estado corriendo. Trace una grfica
aproximada de T como funcin del tiempo t que ha transcurrido desde
que se abri el grifo. SOLUCIN La temperatura inicial del agua
corriente est cercana a la temperatura ambiente, debido al agua que
ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra
en el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase
siguiente, T es constante a la temperatura del agua calentada del
tanque. Cuando ste se drena, T decrece hasta la temperatura de la
fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de grca de T como
una funcin de t en la gura 11. El ejemplo que sigue, parte de una
descripcin verbal de una funcin, en una situacin fsica, y se
obtiene una frmula algebraica explcita. La capacidad para llevar a
cabo esto constituye una habilidad til en los problemas de clculo
en los que se piden los valores mximo y mnimo de cantidades.
EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su
parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3 . La longitud de
su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10
dlares por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta 6
dlares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como
funcin del ancho de la base. SOLUCIN Dibuje un diagrama como el de
la figura 12 e introduzca la notacin to- mando w y 2w como el ancho
y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura. El
rea de la base es , de modo que el costo, en dlares, del material
para la base es . Dos de los lados tienen el rea y el rea de los
otros dos es , as el costo del material para los lados es . En
consecuencia el costo total es Para expresar C como funcin slo de
w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el
volumen es 10 m3 . De este modo, lo cual da Si se sustituye esto en
la expresin para C Por lo tanto, la ecuacin expresa C como funcin
de w. w 0Cw 20w2 180 w C 20w2 36w5 w2 20w2 180 w h 10 2w2 5 w2 w2wh
10 C 102w2 62wh 22wh 20w2 36wh 62wh 22wh2wh wh102w2 2ww 2w2 V
SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 15 t T 0
FIGURA 11 w 2w h FIGURA 12 & Al establecer funciones de
aplicacin, como en el ejemplo 5, puede resultar til repasar los
principios para la resolucin de problemas como se plantean en la
pgina 76, en particular el paso 1: comprender el problema.
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- 42. EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada funcin. (a) (b)
SOLUCIN (a) Ya que la raz cuadrada de un nmero negativo no est
denida (como nmero real), el dominio de f consta de todos los
valores de x tales que . Esto es equivalente a , de modo que el
dominio es el intervalo . (b) Dado que y la divisin entre 0 no est
permitida, tx no est denida cuando x 0 o x 1. Por lo tanto, el
dominio de t es lo cual tambin podra escribirse, con la notacin de
intervalos, como La grca de una funcin es una curva en el plano xy.
Pero surge la pregunta: cules curvas en el plano xy son grcas de
funciones? La siguiente prueba responde lo anterior. PRUEBA DE LA
LNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la grfica de una funcin
de x si y slo si ninguna lnea vertical se interseca con la curva ms
de una vez. En la gura 13 se puede ver la razn de la veracidad de
la prueba de la lnea vertical. Si cada lnea vertical x a interseca
una curva slo una vez, en a, b, por lo tanto se dene exactamente un
valor funcional mediante . Pero si una lnea x a se in- terseca con
la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede
representar una funcin, porque una funcin no puede asignar dos
valores diferentes a a. Por ejemplo, la parbola que aparece en la
gura 14(a) en la pgina que sigue no es la grca de una funcin de x
porque, como el lector puede ver, existen lneas vertica- les que
intersecan dos veces esa parbola. Sin embargo, la parbola en
realidad contiene las grcas de dos funciones de x. Observe que
significa , por lo que Por esto, las mitades superior e inferior de
la parbola son las grcas de las funciones [del ejemplo 6(a)] y
[vase las figu- ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los
papeles de x y y, en tal caso la ecuacin dene x como funcin de y
(con y como la variable independiente y x como dependiente) y la
parbola aparece ahora como la grca de la funcin h. x hy y2 2 tx sx
2fx sx 2 y sx 2. y2 x 2x y2 2 x y2 2 FIGURA 13 a x=a (a,b) 0 a
(a,c) (a,b) x=a 0 x y x y fa b , 0 0, 1 1, xx 0, x 1 tx 1 x2 x 1 xx
1 2, x 2 x 2 0 tx 1 x2 x fx sx 2 16 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y
MODELOS & Si se da una funcin mediante una frmula y no se da el
dominio explcitamente, la con- vencin es que el dominio es el
conjunto de todos los nmeros para los que la frmula tiene sentido y
dene un nmero real. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 16
- 43. FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS Las funciones de los
cuatro ejemplos siguientes estn denidas por frmulas diferentes en
diferentes partes de sus dominios. EJEMPLO 7 Una funcin f se dene
por Evale f0), f1) y f2) y trace la grca. SOLUCIN Recuerde que una
funcin es una regla. Para esta funcin en particular, la regla es:
primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x 1,
entonces el valor de fx) es 1 x. Por otra parte, si x 1, entonces
el valor de fx) es x2 . Cmo dibujar la grca de f? Observe que, si x
1, entonces fx) 1 x de modo que la parte de la grca de f que se
encuentra a la izquierda de la lnea vertical x 1 debe coincidir con
la lnea y 1 x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como ordenada al
origen. Si x 1, entonces fx) x2 , por lo que la parte de la grca de
f que est a la derecha de la lnea x 1 tiene que coincidir con la
grca de y x2 , la cual es una parbola. Esto permite trazar la grca
de la gura 15. El punto relleno indica que el punto 1, 0) est
incluido en la grca; el punto hueco indica que el punto 1, 1) est
fuera de la grca. El ejemplo siguiente de una funcin seccionalmente
denida es la funcin valor abso- luto. Recuerde que el valor
absoluto de un nmero a, denotado con , es la distancia de a hasta
0, sobre la recta de los nmeros reales. Las distancias siempre son
positivas o 0; de tal manera para todo nmero a Por ejemplo, En
general, (Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.)
si a 0a a si a 0a a 3 3s2 1 s2 10 03 33 3 a 0 a Como 2 1, tenemos
f2 22 4. Como 1 1, tenemos f1 1 1 0. Como 0 1, tenemos f0 1 0 1. f
x 1 x x2 si x 1 si x 1 V FIGURA 14 (b) y=x+2 _2 0 x y (_2,0) (a)
x=-2 0 x y (c) y=_x+2 _2 0 y x SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE
REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 17 1 x y 1 FIGURA 15 & Para un
repaso ms extenso de los valores absolutos, vase el apndice A.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17
- 44. EJEMPLO 8 Trace la grca de la funcin valor absoluto, .
SOLUCIN Con base en el anlisis precedente, sabe que Al aplicar el
mtodo del ejemplo 7, la grfica de f coincide con la lnea y x, a la
derecha del eje y, y coincide con la lnea y x, a la izquierda del
eje y (vase la gura 16). EJEMPLO 9 Encuentre una frmula para la
funcin f que se dibuja en la gura 17. SOLUCIN La lnea que pasa por
0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m 1 y su ordenada al ori- gen es b 0,
de forma que su ecuacin es y x. As, para la parte de la grfica de f
que une 0, 0) con 1, 1), si La lnea que pasa por 1, 1) y 2, 0)
tiene pendiente m 1, de suerte que su forma punto-pendiente es De
tal manera que si Observe tambin que, para x 2, la grca de f
coincide con el eje x. Si rene esta in- formacin, tiene la frmula
siguiente para f, en tres secciones: EJEMPLO 10 En el ejemplo C del
principio de esta seccin, se consider el costo Cw de enviar por
correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, sta es
una funcin seccionalmente denida porque, a partir de la tabla de
valores, se tiene La grca se muestra en la gura 18. Usted puede ver
por qu a las funciones semejantes a sta se les llama funcin escaln:
saltan de un valor al siguiente. En el captulo 2 se estudiarn esas
funciones. 0.39 0.63 0.87 1.11 si 0 w 1 si 1 w 2 si 2 w 3 si 3 w 4
Cw f x x 2 x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si x 2 1 x 2fx 2 x y 2 xoy 0 1x 2
0 x 1f x x FIGURA 17 x y 0 1 1 x x x si x 0 si x 0 f x x 18 ||||
CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS x y=|x| 0 y FIGURA 16 & Forma
punto-pendiente de la ecuacin de una recta: vase el apndice B. y y1
mx x1 FIGURA 18 C 1 1 0 2 3 4 5 w CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46
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- 45. SIMETRA Si una funcin f satisface para todo nmero x en su
dominio, entonces f se denomina funcin par. Por ejemplo, la funcin
es par porque El signicado geomtrico de una funcin par es que su
grca es simtrica con respecto al eje y (vase la gura 19). Esto
signica que si traza la grca de f para x 0, obtiene toda la grca
con slo reejar esta porcin con respecto al eje y. Si f satisface
para todo nmero x en su dominio, entonces f se conoce como funcin
impar. Por ejemplo, la funcin es impar porque La grca de una funcin
impar es simtrica respecto al origen (vase la gura 20). Si ya tiene
la grca de f para x 0, puede obtener la grca entera al hacerla
girar 180 alrede- dor del origen. EJEMPLO 11 Determine si cada una
de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos. (a)
(b) (c) SOLUCIN (a) En consecuencia, f es una funcin impar. (b) De
modo que t es par. (c) Dado que y , se concluye que h no es par ni
impar. En la gura 21 se muestran las grcas de las funciones del
ejemplo 11. Observe que la grca de h no es simtrica respecto al eje
y ni respecto al origen. 1 1 x y h1 1 y x g1 _1 1 y x f _1 (a) (b)
(c)FIGURA 21 hx hxhx hx hx 2x x2 2x x2 tx 1 x4 1 x4 tx f x x5 x x5
x fx x5 x 15 x5 x hx 2x x2 tx 1 x4 fx x5 x V fx x3 x3 f x fx x3 fx
fx, fx x2 x2 f x fx x2 fx fx, SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE
REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 19 0 x_x f(_x) FIGURA 19 Una funcin par
x y 0 x _x FIGURA 20 Una funcin impar x y CAPITULO-01-A 06/04/2009
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- 46. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES La grca que se muestra
en la gura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C, y
vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la funcin f est
creciendo sobre el intervalo a, b, decreciendo sobre b, c, y
creciendo de nuevo sobre c, d. Observe que si x1 y x2 son dos
nmeros cualesquiera entre a y b, con , entonces . Use esto como la
propiedad que dene una funcin creciente. Se dice que una funcin f
es creciente sobre un intervalo I si Se dice que es decreciente
sobre I si En la denicin de funcin creciente es importante darse
cuenta que se debe satisfacer la desigualdad para toda pareja de
nmeros x1 y x2 en I con . A partir de la gura 23 es posible
observar que la funcin es decreciente sobre el intervalo y
creciente sobre el intervalo .0, , 0 f x x2 x1 x2fx1 fx2 siempre
que x1 x2 en If x1 fx2 siempre que x1 x2 en If x1 fx2 A B C D y=
f(x) f(x) a y 0 xx x b c d FIGURA 22 fx1 fx2 x1 x2 20 |||| CAPTULO
1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 23 0 y x y= y 0 x 1 1 1. Se da la grca
de una funcin f. (a) Establezca el valor de . (b) Estime el valor
de . (c) Para cules valores de x se tiene ? (d) Estime los valores
de x tales que . (e) Establezca el dominio y el rango de f. (f) En
qu intervalo es f creciente? f x 0 f x 2 f 2 f 1 EJERCICIOS1.1
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 20
- 47. SECCIN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIN |||| 21
el peso de esta persona a lo largo del tiempo. Qu piensa el lec-
tor que sucedi cuando esta persona tena 30 aos? 10. La grca que se
muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su
casa como funcin del tiempo en cierto da. Describa con palabras lo
que la grca indica con respecto al recorrido del vendedor en este
da. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua
fra y lo deja sobre una mesa. Describa cmo cambia la temperatura
del agua a medida que pasa el tiempo. Despus, trace una grca
aproximada de la temperatura del agua como funcin del tiempo
transcurrido. 12. Trace una grca aproximada del nmero de horas de
luz del da como funcin de la poca del ao. Trace una grca aproximada
de la temperatura exterior como funcin del tiempo durante un da
tpico de primavera. 14. Dibuje una grca aproximada del valor en el
mercado, por un periodo de 20 aos de un automvil nuevo. Considere
que se le da buen mantenimiento. 15. Dibuje la grca de la cantidad
de una marca particular de caf vendida por una tienda como una
funcin del precio del caf. 16. Usted coloca un pastel congelado en
un horno y lo hornea duran- te una hora. Luego, lo saca y lo deja
enfriar, antes de comerlo. Describa cmo cambia la temperatura del
pastel conforme pasa el tiempo. Despus, trace una grca aproximada
de la temperatura del pastel como funcin del tiempo. 17. El
propietario de una casa corta el csped cada mircoles por la tarde.
Trace una grca aproximada de la altura del csped como funcin del
tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 18. Un avin sale de un
aeropuerto y aterriza, una hora ms tarde, en otro aeropuerto que se
encuentra a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en
minutos desde que el avin ha dejado 13. 11. 8 A.M. 10 MEDIODA 2 4 6
P.M. Tiempo (horas) Distancia hasta la casa (millas) Edad (aos)
Peso (libras) 0 150 100 50 10 200 20 30 40 50 60 70 Se proporcionan
las grcas de f y t. (a) D los valores de y . (b) Para cules valores
de x se tiene ? (c) Estime la solucin de la ecuacin . (d) En qu
intervalo f es decreciente? (e) D el dominio y el rango de f. (f) D
el dominio y el rango de t. 3. Un instrumento operado por el
Departamento de Minas y Geo- loga en el Hospital Universitario de
la Universidad del Sur de California (USC) en Los ngeles, registr
la figura 1. sela para estimar el intervalo de la funcion
aceleracin vertical del suelo, en la USC durante el terremoto de
Northridge. 4. En esta seccin se analizaron ejemplos de funciones,
cotidia- nas: la poblacin es una funcin del tiempo, el costo del
porte de correos es una funcin del peso, la temperatura del agua es
una funcin del tiempo. D otros tres ejemplos de funcio- nes de la
vida cotidiana que se describan verbalmente. Qu puede decir acerca
del dominio y del rango de cada una de sus funciones? Si es
posible, trace una grfica aproximada de cada funcin. 58 Determine
si la curva es la grca de una funcin de x. Si lo es, d el dominio y
el rango de la funcin. 5. 6. 7. 8. La grca que se muestra da el
peso de cierta persona como una funcin de la edad. Describa con
palabras la manera en que vara 9. y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1 1 y x0 1
1 g x y 0 f 2 2 f x 1 f x tx t3f 4 2. CAPITULO-01-A 06/04/2009
17:46 Page 21
- 48. 22 |||| CAPTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 28. Encuentre el
dominio, el rango y trace la grca de la funcin . 3344 Encuentre el
dominio y trace la grca de la funcin. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 40.
41. 42. 44. 4550 Encuentre una expresin para la funcin cuya grca es
la curva dada. 45. El segmento rectilneo que une los puntos y 46.
El segmento rectilneo que une los puntos y La mitad inferior de la
parbola 48. La mitad superior del crculo 49. 50. 5155 Encuentre una
frmula para la funcin descrita y d su dominio. 51. Un rectngulo
tiene un permetro de 20 m. Exprese el rea del rectngulo como funcin
de la longitud de uno de sus lados. y 0 x 1 1 y 0 x 1 1 x2 (y 22 4
x y 12 047. 7, 105, 10 5, 71, 3 f x x 9 2x 6 si x 3 si x 3 si x 3 f
x x 2 x2 si x 1 si x 1 43. f x 3 1 2x 2x 5 si x 2 si x 2 f x x 2 1
x si x 0 si x 0 tx x x2 Gx 3x x x 39. Fx 2x 1 tx sx 5 Ht 4 t2 2 t f
t t2 6t Fx 1 2 x 3f x 5 hx s4 x2 hx 1 s4 x2 5x 31. la terminal, sea
la distancia horizontal recorrida y la altitud del avin. Trace. (a)
Una grca posible de . (b) Una grca posible de . (c) Una grca
posible de la rapidez con respecto al suelo. (d) Una grca posible
de la velocidad vertical. 19. En la tabla se exhibe el nmero N (en
millones) de usuarios de telefonos celulares en el mundo. (Se
proporcionan estimaciones semestrales). (a) Mediante los datos
trace una grca de N en funcin de t. (b) Utilice la grca para
estimar la cantidad de usuarios de telfono celular a mediados de ao
en 1995 y 1999. 20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de
temperatura T (en F) cada dos horas desde la medianoche hasta las
2:00 P.M. El tiempo t se midi en horas a partir de la medianoche.
(a) Utilice las lecturas para trazar una grca aproximada de T como
una funcin de t. (b) Utilice la grca que traz para estimar la
temperatura a las 11:00 A.M. 21. Si , encuentre , , , , , , , , y .
22. Un globo esfrico con radio de r pulgadas tiene el volumen .
Encuentre una funcin que represente la cantidad de aire que se
requiere para inarlo desde un radio de r pulga- das hasta otro de r
1 pulgadas. 2326 Valorar el cociente de diferencia para la funcin
que se pro- porciona. Simplique su respuesta. f(x) 4 3x x2 , 24.
f(x) x3 , 25. , 26. , 2731 Encuentre el dominio de la funcin. 27.
28. 29. 30. tu su s4 uf t st s3 t f x 5x 4 x2 3x 2 f x x 3x 1 f(x)
f(1) x 1 fx