LIMITESSesión 02:Limite de una función. Propiedades de los limites. Cálculo de limites

Docente: Ing Saúl Matías Caro

Una vista preliminar¿Qué es el cálculo?

Los dos problemas fundamentales

El área del conocimiento que llamamos “Cálculo” gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 2000 años.

Cada problema está relacionado con la gráfica y = f(x) de una función dada.

El primer problema es el dela tangente:

Dado un punto P(x, f(x)) sobre la curva y = f(x), ¿cómo calcular la pendiente de la recta tangente en P?

El problema de la tangente es un problema geométrico, pero su respuesta (en la forma de derivadas) es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas.

El segundo problema es eldel área:

Si f(x) = 0 para x en el intervalo [a,b], ¿cómo calcular el área A de la región plana que está bajo la curva y = f(x) y sobre este intervalo?.El primer problema lo resolveremos con el concepto de derivada pero previo a eso necesitamos estudiar un concepto fundamental, el de la convergencia o del límite de una función.

El límite de una función

Definición:

Se escribe

y se dice que “el límite de f(x) es igual a L cuando x tiende a c” si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”.

Tres funciones para las que

existe

Dos funciones para las que

no existe

Ejercicio Propuesto:

Respuesta

Ejercicio Propuesto:

Respuesta

Ejercicio Propuesto:

Ejercicio Propuesto:

Veamos su gráfica.

Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero.

Determinación Algebraica de límites

EjemploCalcular:

SOLUCIÓN:Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

TEOREMA DE SUSTITUCIÓNDe principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución.

CALCULO DE LÍMITES1. FORMAS DETERMINADAS

Cuando su cálculo puede ser posible directa (reemplazo directo) o indirectamente (mediante transformaciones) entre ellos, tenemos:

También :

Ejemplo: Evalué los límites siguientes.

En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma:

Ejemplos

Ejercicio Propuesto: