Post on 10-Feb-2015
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Derivadas de una función en un punto.
Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Habilidades
1. Describe el concepto de derivada.2. Interpreta geométricamente la derivada.3. Define la derivada de una función en un punto.4. Interpreta la derivada como una razón de cambio.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
¿y cuál es esta recta?
Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva.
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
El problema de la recta tangente
x
yy = f(x)
a
P
Q
x
Pendiente de la recta secante:
a-xafxf
mPQ
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a x
yy = f(x)
P
Q
x
Pendiente de la recta secante:
a-xafxf
mPQ
El problema de la recta tangente
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a x
yy = f(x)
P
Q
x
Pendiente de la recta secante:
a-xafxf
mPQ
El problema de la recta tangente
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a x
yy = f(x)
P
Q
x
El problema de la recta tangente
Pendiente de la recta secante:
a-xafxf
mPQ
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a x
yy = f(x)
P
Q
x
El problema de la recta tangente
Pendiente de la recta secante:
a-xafxf
mPQ
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
El problema de la recta tangente
a x
yy = f(x)
P
Pendiente de la recta tangente:
a-x
afxfm
axP
lim
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
La recta tangente
a-x
afxfm
ax
lím
Definición:La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente:
siempre que exista este límite.
Haciendo h=x-a, luego h tiende hacia 0, cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente de la recta tangente también se puede calcular como:
Observación:
h
afhafm
0h
lím
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
El problema de la velocidad instantánea
so
Velocidad media en (a, a + h):h
ashasv
)()(media
s(a)
t = a
s(a + h)
t = a + h
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
s(a) so s(a + h)
t = a t = a + h
Velocidad media en (a, a + h):h
ashasv
)()(media
El problema de la velocidad instantánea
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
s(a) so s(a + h)
t = a t = a + h
Velocidad media en (a, a + h):h
ashasv
)()(media
El problema de la velocidad instantánea
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
s(a) so s(a + h)
t = a t = a + h
El problema de la velocidad instantánea
Velocidad media en (a, a + h):h
ashasv
)()(media
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
s(a) so s(a + h)
t = a t = a + h
Velocidad media en (a, a + h):h
ashasv
)()(media
El problema de la velocidad instantánea
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
s(a) so
Velocidad instantánea en t = a:
hashas
avh
)()(lim)(
0
t = a
El problema de la velocidad instantánea
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de la torre de Eiffel, a 300 m arriba del suelo.
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?
b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?
Ejemplo
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
La velocidad instantánea
Definición:
La velocidad instantánea v(a) en el instante t = a se define como el límite de las velocidades medias:
siempre que exista este límite.
hashas
avh
)()(lim)(
0
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
La posición de una partícula se da con la ecuación del movimiento ,
donde t se mide en segundos y s en metros. Encuentre la velocidad y la rapidez después de 2 segundos.
1
1
t
tfs
Ejemplo
Nota:
• Desplazamiento de una partícula = Posición Final- Posición Inicial.
•Recorrido = Distancia recorrida.
•Velocidad =
•Rapidez =
ts
ts
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Definición:
La derivada de f en el número a, denotada como f ’(a) se define como:
si el límite existe.
hafhaf
a' f0h
lim
1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es derivable en a.2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no es derivable en a.3. La derivada de una función es un límite.4. Para hallar el límite se requiere que la función sea continua en el punto.
Observación:
Pag. 156
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Derivadas laterales
a x
y y = f(x)
(a)'fm (a)'fm -
Derivada por la derecha de a h
afhaf
0hlima' f
Derivada por la izquierda de a h
afhaf
0ha
-' f
lim
f ’(a) existe si y solo si
(a)' f(a)' f -
Teorema:
Pag. 168
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Cálculo de derivadas por la definición
Si , obtenga f´(1)
Ejemplo :
1 1 1
2 1
x , xf x
x , x
Considere la función definida por tramos
¿Existe f´(1)?
Ejemplo :
1 xxf
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Interpretaciones de la derivada
Geométrica:
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto de abscisa a.
)(af
Mecánica:
Velocidad de una partícula cuya posición viene dada por y = s(t) en el instante t = a.
v(a)
General:
Razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x cuando x = a.
)(af
xaf
a' f0Δx
lím
Pag. 157
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Sección 2.7. Ejercicios Pág. 154: 2-14, 17-20.Sección 2.8. Ejercicios Pág. 161: 1-26, 33, 34.
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