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ESCUELA:
PONENTE:
BIMESTRE:
CÁLCULO II
CICLO:
CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
I BIMESTRE
Ing. Pablo Ramón
ABRIL – AGOSTO 2007
OBJETIVO GENERAL
Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el Cálculo Integral, las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Series Infinitas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Caracterizar las primitivas de una fucnión• Resolver EDOs básicas• Conocer e Interpretar geométricamente la integral definida• Aplicar la regla de sustitución para resolver integrales
compuestas• Aproximar integrales mediante métodos numéricos• Caracterizar las principales funciones trascendentes: log.,
exp. y trigonométricas
…
• Realizar integración de funciones trascendentes• Aplicar las integrales en el cálculo de áreas entre dos
curvas• Calcular volúmenes de sólidos de revolución• Utilizar las integrales para el cálculo de áreas de
superficies y longitudes de curvas• Relacionar conocimientos entre el Cálculo y la Física
METODOLOGÍA
-Lectura de los temas desarrollados en la guía didáctica y en el texto básico.-EVA (www.utpl.edu.ec/ )
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CONTENIDOS
1. ANTIDERIVADAS E INTEGRALES INDEFINIDAS1.1 Primitivas 1.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias1.3 Áreas mediante sumas
2. INTEGRAL DEFINIDA2.1 Teorema fundamental del Cálculo2.2 Integración Numérica
3. FUNCIONES TRASCENDENTES3.1 Características3.2 Derivación e integración
4. APLICACIONES4.1 Área entre dos funciones4.2 Volúmenes de sólidos de revolución4.3 Longitud de una curva4.4 Trabajo, momentos y centro de masa4.5 Presión y Fuerza
Cap. 1ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA
Resolver el problema:Determinar una función a partir de su razón de cambio conocida.F es antiderivada de f si: F’(x) = f(x)
ANTIDERIVADA = PRIMITIVA
∫ = )x(Fdx)x(f
C)x(Fdx)x(f +=∫
Si F es primitiva de f, entonces G también es primitiva si y sólo sí tiene la forma:G(x) = F(x) + C FAMILIA DE PRIMITIVAS
C > 0C > 0
C < 0C < 0
INTEGRAL INDEFINIDA
Integración: Operación inversa a la derivación
∫ dx)x(fSigno de integral
Signo de integral
IntegrandoIntegrando
Variable de integración
Variable de integración
∫ += C)x(Fdx)x('F [ ] )x(fC)x(Fdx
d=+
Proceso de Integración
Integral Original
Reescribir
Integrar
Simplificar
C2/3
x
dxx
dxx
2/3
2/1
+
=
=
∫∫
Cx3
2 2/3 +
Ecuaciones Diferenciales
)x(fdx
dy=
dx)x(fdy =
∫ +== C)x(Fdx)x(fy
Infinitas soluciones(infinitas Primitivas)Infinitas soluciones(infinitas Primitivas)
Ecuación diferencial ordinaria(primer orden)
Ecuación diferencial ordinaria(primer orden)
Separación de variablesSeparación de variables
2xCey:Ejm =
Problema de Valor Inicial
Gráficamente:Gráficamente:
Método de solución: Variables Separables
EDO admite separación de variables si tiene la forma:
Dividiendo por h(y): Dividiendo por h(y): p(y)=1/h(y)p(y)=1/h(y)
Ejemplo 1
€
Re solver :dy
dx= −x
y,y(4) = 3
Ecuación de la forma:Ecuación de la forma:
Ejemplo 2xy'y)4x(:solverRe 2 =+
Solución generalSolución general
Modelamiento con EDEjemplo 1: Crecimiento
poblacional
Modelo de MalthusModelo de Malthus
Modelamiento con EDEjemplo 2: Ley de Newton
Modelamiento con EDEjemplo 3: Vaciado de un
estanque
Modelamiento con EDEjemplo 4: Caída Libre
REGLA DE SUSTITUCIÓN
Permite resolver integrales de la forma:
Ejemplos:
∫ += c))x(g(Fdx)x('g))x(g(f
MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 1
MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 2
MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 3
MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSolución Ejemplo 4
Cap. 2 INTEGRAL DEFINIDA (Limitada)
NOCIÓN INTUITIVA E HISTÓRICA
AREA REGIÓN R AREA REGIÓN R’
INTEGRACIÓN ∫
00
AREA BAJO LA CURVAAREA BAJO LA CURVA AREA BAJO LA CURVAAREA BAJO LA CURVA 1x)x(f 2 +=
Suma del área de los rectángulos = Área total + Error Suma del área de los rectángulos = Área total + Error
EJEMPLO
DEFINICIÓN DE INTEGRAL
∫=→
b
a
0dx dx)x(f)x(flim dx base de cada rectángulo
dx base de cada rectángulo
OBSERVACIONES:
•Si f es positiva, el área es positiva•Si f es negativa, el área es negativa
A1A1
A2A2
A3A3
AREA TOTAL= A1 – A2 + A3 AREA TOTAL= A1 – A2 + A3
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
)a(F)b(Fdx)x(fb
a
−=∫F es primitiva de fF es primitiva de f
Propiedades (2) y (3) Transf. LinealF es primitiva (integral) de f, si: F’(x) = f(x)
PROPIEDADES
∫ ∫−=b
a
a
b
dx)x(fdx)x(f
[ ] ∫ ∫∫ ±=±b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
∫ ∫ ∈=b
a
b
a
RK.,.........dx)x(fKdx)x(Kf
∫ ∫ ∫ ∈+=b
a
c
a
b
c
]b,a[c.,.........dx)x(fdx)x(fdx)x(f
1
2
3
4
1
2
3
4
Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva
en el intervalo [0, 2].
1x)x(f 2 +=
Aplicando el Teo. Fundamental del cálculo:
3
1402
3
2
x3
xdxdxxdx)1x(
3
2
0
2
0
2
0
2
0
322
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=+=+∫ ∫ ∫
INTEGRACIÓN NUMÉRICAAproxima el valor de una integral definida (área limitada)
-Regla del Trapecio-Regla de Simpson
REGLA DEL TRAPECIO
Ecuación de la rectaEcuación de la recta
REGLA DEL TRAPECIO MÚLTIPLE
REGLA DE SIMPSON
REGLA DE SIMPSON (1/3): # par de intervalos
REGLA DE SIMPSON 3/8: 3 intervalos, es complemento de la regla 1/3
Utiliza un polinomio de
3er grado
Utiliza un polinomio de
3er grado
OBSERVACIONES:
•Son métodos de aproximación•El error es inversamente proporcional al número de subintervalos•El método de simpson da una solución más aproximada•Permiten elaboración de un algoritmo y codificar un programa
CAP. 3: FUNCIONES TRASCENDENTES
Aquellas que no pueden expresarse en forma polinomial. Son:•Logarítmicas
•Exponenciales
•Trigonométricas
•Hiperbólicas
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
5
10
xy cosh=
Exponenciales Vs Logarítmicas
Exponencial de base aExponencial de base a
Trigonométricas Inversas
122 =+ yx)1sincos( 22 =+ xx 1sinhcosh 22 =− xx
122 =−yx
)sin,(cos xx )sinh,(cosh xx
Trigonométricas Integrales con (1-x2)1/2
Hiperbólicas Integrales con (1+x2)1/2.
Trigonométricas Vs Hiperbólicas
Hiperbólicas
Integrales TrascendentesEjemplo 1
Integrales TrascendentesEjemplo 2
Integrales TrascendentesEjemplo 3
CAP. 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Cálculo de:
•Áreas•Volúmenes de revolución•Longitud de arco•Superficies de revolución•Aplicaciones físicas (Trabajo, presión, etc.)
Cálculo de ÁreasEjemplo 1
Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva.
Puntos de corte:Puntos de corte:
Cálculo de ÁreasEjemplo 2
Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva.
Puntos de corte:Puntos de corte:
Puntos Intersección
Puntos Intersección
Volumen de RevoluciónEjemplo
Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje.
1x)x(f 2 +=
La región R en el plano xy puede ser aproximada con rectángulos
dxrdisco_Volumen 2π=
)x(fr = ∫π=2
0
2 dx)x(fV
Volumen de Revolución.- Eje X
Volumen de Revolución.- Eje Y
dyrdisco_Volumen 2π=
∫π=5
1
2 dy)y(fV