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Clculo Integral, Sucesiones y Series
Bernardo Acevedo Frias.
Departamento de Matemticas y EstadsticaUniversidad Nacional de Colombia, Sede Manizales
Manizales, Febrero 2014
ii
Contenido
Prlogo vii
1 Integrales 11.1 Sumas nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Algunas propiedades de las sumas nitas . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Particin de un intervalo cerrado [a; b] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Un problema de masa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Espacio recorrido por un mvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Area bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Integral indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 Propiedades de la integral denida e indenida . . . . . . . . . . . . 201.7.2 Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.3 Primer Teorema fundamentales del clculo . . . . . . . . . . . . . . 231.7.4 Segundo teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Mtodos de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.1 Mtodo de sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.2 Mtodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8.3 Extensin de la frmula de integracin por partes. . . . . . . . . . . 541.8.4 Sustituciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.8.5 Integrales por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.8.6 Integrales de funciones racionales de sin x y cosx: . . . . . . . . . . 791.8.7 Integral de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.9 Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.9.1 Integral impropia de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.9.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.9.3 Funcin gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.9.4 Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . 95
iii
iv CONTENIDO
1.9.5 Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Aplicaciones de las Integrales 1032.1 reas entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2 Areas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.2.1 Coordenadas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2.2 Pasar un punto de coordenadas polares a cartesianas. . . . . . . 1222.2.3 Pasar un punto de coordenadas cartesianas a polares: . . . . . . . . 1232.2.4 Areas en coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.3.1 Volmenes de slidos con una seccin de rea conocida . . . . . . 149
2.3.2 Mtodo del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3.3 Capas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.4 Longitud de curvas en cartesianas y paramtricas . . . . . . . . . . . . . . 1712.4.1 Longitud de curvas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.5 Area de una supercie dada por rotacin de una curva . . . . . . . . . . . 185
3 Sucesiones 1933.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.2 Denicion de sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.2.1 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.2.2 Grca de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.2.3 Sucesion decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.2.4 Sucesin montona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.2.5 Sucesin acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.2.6 Progresin Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.2.7 Progresin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.8 Sucesin de Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.9 Sucesion de Padovan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.10 Sucesin de Fibonaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.11 Sucesin convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.12 Sucesin de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.3 Lmite de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.3.1 Denicion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.3.2 Subsucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.3.3 Sucesin divergente a mas innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.3.4 Sucesin divergente a menos innito . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.3.5 Reglas para operar con los smbolos 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2063.3.6 Propiedades de los lmites de sucesiones Reales . . . . . . . . . . . . 207
CONTENIDO v
3.3.7 Teorema de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.3.8 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.3.9 Clculo de algunos lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4 Series 2354.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.2 Denicin de Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.3 Convergencia y divergencia de una Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.3.1 Serie Telescpica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.3.2 Serie Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.3.3 Algunas propiedades de las Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.4 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.4.1 Criterio del Trmino n-simo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.4.2 Criterio de Comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.4.3 Criterio del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484.4.4 Criterio de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.4.5 Criterio Asinttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.4.6 Criterio de paso al lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.4.7 Criterio de la Razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.4.8 Criterio de la Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.4.9 Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584.4.10 Criterio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.4.11 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.4.12 Criterio de Leibniz para las series alternadas . . . . . . . . . . . . . 2634.4.13 Estimacion del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.4.14 Convergencia Absoluta y convergencia Condicional . . . . . . . . . 2654.4.15 Criterio de Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664.4.16 Criterio del Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2694.4.17 Criterio de la Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
4.5 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.5.1 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.5.2 Suma de Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754.5.3 Producto de Series de Potencias ( producto de Cauchy) . . . . . . . 2764.5.4 Divisin de dos Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.6 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.7 Algunos mtodos Numricos para el clculo de integrales denidas . . . . . 287
4.7.1 Mtodo de los rectngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884.7.2 Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.7.3 Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
vi CONTENIDO
4.7.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Prlogo
El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingeniera, laasimilacin clara de los conceptos matemticos tratados, pues es el fruto de un cuidadosoanlisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas,basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Manizales.
Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, todavez que es una recopilacin organizada y analizada de diferntes textos y de mi experienciapersonal.
En este texto se har un estudio de las integrales en una variable, sus mtodos deintegracion, sus aplicaciones, sucesiones y series.
vii
viii PRLOGO
Captulo 1
Integrales
Antes de iniciar con el concepto de lo que signica una integral, vamos a recordar variosconceptos previos vistos en cursos anteriores de clculo y muy necesarios para entendereste tema.
1.1 Sumas nitas
Recordemos que
1Xk=1
ak = a1;2Xk=1
ak = a1+a2 ynXk=1
ak = a1+a2+a3+a4+:::+an
Ejemplo 1.1
3Xk=1
k = 1+2+3 = 6;2Xk=1
cos k = cos 1+cos 2;6Xk=3
k2 + 2k
= (9+6)+(16+8)+(25+10)+(36+12)
1.1.1 Algunas propiedades de las sumas nitas
LinealidadnXk=1
(ak bk) =nXk=1
ak nXk=1
bk n 2 N
a)4Xk=1
(k + 2) =4Xk=1
k +4Xk=1
2 b)6Xk=3
k2 2k = 6X
k=3
k2 6Xk=3
2k
1
2 CAPTULO 1. INTEGRALES
HomogneanXk=1
cak = c
nXk=1
ak c 2 R
En efecto,
nXk=1
cak = ca1 + ca2 + ca3 + ca4 + :::+ can = c(a1 + a2 + a3 + a4 + :::+ an) = c
nXk=1
ak
por lo tantonXk=1
cak = cnXk=1
ak
Ejemplo 1.2
a)nXk=1
5k = 5nXk=1
k b)nXk=1
3 sin k = 3nXk=1
sin k c)nXk=1
8eik3 = 8einXk=1
k3
Propiedad telescpicanXk=1
(ak ak1) = an a0
Observemos el caso para n=5
5Xk=1
(ak ak1) = (a1 a0) + (a2 a1) + (a3 a2) + (a4 a3) + (a5 a4) = a5 a0
Ejemplo 1.3 luego5Xk=1
(ak ak1) = a5 a0
asi que
nXk=1
(ak ak1) = (a1 a0)+ (a2 a1)+ (a3 a2)+ (a4 a3)+ ::::+(an an1) = an a0
por lo tantonXk=1
(ak ak1) = an a0
1.1. SUMAS FINITAS 3
a)
32Xk=1
1
k + 2 1k + 1
=1
32 + 2 11 + 1
b)32Xk=5
1
k4 1(k 1)4 =
1
(32)4 1(5 1)4
c)
32Xk=3
1
2k + 1 12k 1 =
1
2 32 + 11
2 3 1 d)10Xk=2
1
2k 12k 2 =
1
2 101
2 2 2
e)
10Xk=3
(k + 1)3k3 = 11333 f)100Xk=3
sin(k+2)sin(k+1) = sin(100+2)sin(3+1)
g)nXk=1
1
k(k + 1)=
nXk=1
1
k 1k + 1
= nXk=1
1
k + 1 1k
=
1
n+ 1 1
h)nXk=1
ln
1 +
1
k
=
nXk=1
ln
k + 1
k
=
nXk=1
ln (k + 1)ln k = ln (n+ 1)ln 1
i)10Xk=1
k2(k1)2 = 102(1 1)2 = 100 j)20Xk=3
ek+2ek+1 = e20+2e3+1
k)nXk=1
1 =nXk=1
(k+1)k = n+11 = n l)n+3Xk=5
1 =n+3Xk=5
(k+1)k = (n+3+1)5 = n1
Ejemplo 1.4 Recordemos que
(k 1)2 = k2 2k + 1, por tanto, 2k 1 = k2 (k 1)2
y asi
nXk=1
(2k 1) =nXk=1
k2 (k 1)2 = n2
luegonXk=1
(2k 1) = n2
4 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.5 Demostremos quenXk=1
k =n(n+ 1)
2
En efecto, recuerde que2k 1 = k2 (k 1)2
y despejando k tenemos que
k =k2 (k 1)2 + 1
2
por lo tantonXk=1
k =nXk=1
k2 (k 1)2 + 12
=1
2
nXk=1
k2 (k 1)2 + 12
nXk=1
1 =n2
2+n
2=n(n+ 1)
2
y asinXk=1
k =n(n+ 1)
2
Recordemos tambin que
(k 1)3 = k3 3k2 + 3k 1 despejando k2 se tiene que
k2 =k3 (k 1)3
3+ k 1
3
Ejemplo 1.6 Demostremos quenXk=1
k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
En efecto, como k2 = k3(k1)3
3+ k 1
3entonces
nXk=1
k2 =1
3
nXk=1
k3 (k 1)3+ nX
k=1
k13
nXk=1
1 =n3
3+n(n+ 1)
2n3=1
6n (n+ 1) (2n+ 1)
Ejemplo 1.7 Verique quenXk=1
k3 =n2(n+ 1)2
4
ejercicio.
1.1. SUMAS FINITAS 5
Propiedad Geomtrica
A una suma de la formanXk=0
ak con a 6= 1
se llama suma geomtrica y se puede demostrar que :
nXk=0
ak =1 an+11 a a 6= 1
En efecto,
nXk=0
ak = 1 + a1 + a2 + a3 + ::::+ an =(1 a)(1 a)(1 + a
1 + a2 + a3 + ::::+ an) =1 an+11 a
Pero la suma geomtrica, se puede calcular de una forma ms sencilla, transformandosta en una suma telescpica asi :
nXk=0
ak =nXk=0
ak(a 1)a 1 =
nXk=0
ak+1 aka 1 =
1
a 1nXk=0
(ak+1ak) = an+1 a0a 1
=an+1 1a 1 =
1 an+11 a
por tantonXk=0
ak =1 an+11 a si a 6= 1
Ejemplo 1.8
a)nXk=0
2k =1 2n+11 2 b)
nXk=0
23
k=1 2
3
n+11 2
3
c) nXk=0
2
3
k=1 2
3
n+11 2
3
d)nXk=3
3k =nXk=3
3k(3 1)3 1 =
1
2
nXk=3
3k+1 3k = 12
3n+1 33 o tambin
nXk=3
3k =nXk=0
3k 30 + 3 + 32 = 1 3n+11 3 13 =
3n+1 12
13 = 12
3n+1 33
6 CAPTULO 1. INTEGRALES
y por ltimo se tiene la propiedad
nXk=0
f(k) =
n+pXk=0+p
f(k p) p 2 R
Ejemplo 1.9
nXk=0
k2 + 2 =n+5Xk=0+5
(k 5)2 + 2 =n+4Xk=0+4
(k 4)2 + 2 =n6Xk=6
(k + 6)2 + 2
Ejemplo 1.10
10Xk=0
2 =14Xk=4
2 =12Xk=2
2 =7X
k=32 =
20Xk=10
2
1.2 Particin de un intervalo cerrado [a; b] :
Una particin de un intervalo cerrado [a; b], es un subconjunto nito de puntos de [a; b], quecontiene los puntos a y b con algunas caractersticas, por ejemplo los conjuntos siguientesf0; 1g,f0; 1=2; 1g,f0; 1=4; 2=4; 3=4; 1g,f0; 1=5; 2=5; 3=5; 4=5; 1g,f0; 1=4; 3=4; 1g son todas par-ticiones del intervalo cerrado [0; 1], pero f0; 3=4; 2=4; 1g no es una particin del intervalo[0; 1], es decir, diremos que P = fx0; x1; x2; :::xng es particin de un intervalo cerrado [a; b],si a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b y que la particin divide a [a; b] en un nmero nitode subintervalos [x0; x1],[x1; x2],[x2; x3],::: [xn1; xn], con longitudes x1;x2;x3; :::xn,gura 1.1.
gura 1.1
Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin f0; 1; 2g, gura 1.2.Obseve que aqui, los subintervalos tienen la misma longitud xk = 202 = 1 y asi x0 =0; x1 = 1; x2 = 1 + 1 = 2
gura 1.2
1.2. PARTICIN DE UN INTERVALO CERRADO [A;B] : 7
Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin0; 2
3; 43; 63
=0; 2
3; 43; 2,
observe que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervaloen tres subintervalos de igual longitud xk = 203 =
23asi que x0 = 0, x1 = 23 , x2 =
23+ 2
3= 4
3, x3 = 23 +
23+ 2
3= 2 gura 1.3
gura 1.3
Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin0; 2
4; 44; 64; 84
=0; 2
4; 44; 64; 2,
observe que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervaloen cuatro subintervalos de igual longitud xk = 204 =
24, asi que x0 = 0, x1 = 24 ,
x2 =24+ 2
4= 4
4, x3 = 44 +
24= 6
4, x4 = 64 +
24= 8
4= 2, gura 1.4
gura 1.4
Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin0; 2
n; 4n; ::; 2n
n
, observe
que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervalo en nsubintervalos de igual longitud xk = 20n =
2nasi que x0 = 0; x1 = 1:2n ; x2 =
2:2n; x3 =
2:3n= 6
n; :::::xn =
2nn= 2 y en forma general considere el intervalo [a; b] y dividmolo en n
subintervalos de igual longitud, xk = ban y asi x0 = a, x1 = a+ban, x2 = a+ 2
ban
;
x3 = a + 3ban
.....xk1 = a + (k 1)
ban
, xk = a + k
ban
...xn = a + n
ban
= b:
gura 1.5
gura 1.5
En el presente escrito, se tomarn los subintervalos de igual longitud, salvo que se digalo contrario.
8 CAPTULO 1. INTEGRALES
1.3 Un problema de masa total
Suponga que se tiene un alambre tan delgado, que su grosor se puede considerar des-preciable, con longitud L. Si su densidad es constante, es decir, en cada punto toma elmismo valor D, entonces su masa M se calcular haciendo el producto de su longitud porsu densidad, es decir, M = D:L Ahora surge la pregunta como calcular la masa si sudensidad es variable?.Evidentemente el clculo no se puede hacer con el producto de sulongitud por su densidad, pues al ser la densidad una funcin f(x) con 0 x L, elproducto L:f(x) ser tambien una funcion, lo cual es absurdo, pues la masa total delalambre debe ser un nmero real jo.Para solucionar este inconveniente, particionemos el alambre en n pedazos pequeos,
L1; L2:::Ln con longitudes xk = L0n as : x0 = 0; x1 =L0n; x2 = 2
L0n
, x3 = 3Ln
...xk1 = (k 1)Ln
, xk = k
Ln
...xn = n
Ln
= L respectivamente gura 1.6
gura 1.6
En cada pedazo Lk; tmese un punto cualquiera tk y asuma que para cada k, ladensidad del alambre en todo el pedazo Lk es constante y es la densidad en el punto tk,o sea f(tk) y asi la masa total mk en cada pedazo es aproximadamente mk = f(tk)xkya que se est considerando la densidad en cada pedazo Lk como constante, cuando enrealidad es variable, siendo por tanto ms exacta la aproximacin, cuanto ms pequeossean los pedazos, por lo tanto la masa total del del alambre es aproximadamente
M hnXk=1
mk =nXk=1
f(tk)xk
Esta aproximacin ser mejor a medida que todos los tamaos de todos los xk sean maspequeos, lo cual implica que el nmero de pedazos n sea mayor o sea cuando n tienda a1 o cuando los tamaos xk de todos los pedazos tiendan a cero, es decir,
M = limxk!0
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f(tk)xk
y a la expresion
limn!1
nXk=1
f(tk)xk
1.3. UN PROBLEMA DE MASA TOTAL 9
es la que se dene como la integralLR0
f(x)dx; como se ver mas adelante, es decir,
limxk!0
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =LR0
f(x)dx
donde f(x) es la funcin a integrar, dx indica cual es la variable, 0 el lmte inferior y L el
lmite superior yZel smbolo de la integral.
Ejemplo 1.11 La densidad en cualquier punto de un alambre de 4 metros de largo vienedado por f(x) = x+ 3, Kg/m, hallar la masa del alambre.
En efecto, se particiona el intevalo [0; 4] en n subintervalos de igual longitud [x0; x1][x1; x2] ...[xn1; xn], con longitud de cada subintervalo xk = 40n =
4n, k=1,2,..n y asi
x0 = 0, x1 = 0+x1 = 0+ 4n =4n; x2 = 0+2x1 = 0+
2:4n= 2:4
n; xk1 = 0+(k1)x1 =
(k 1) 4n; xk = 0 + kxk =
4kn; .::xn = 0 + 4nn = 4 gura 1.7
gura 1.7
y tomaremos por ejemplo tk = xk = 4kn , pero tk pueden ser cualquier punto en[xk1; xk] y como f(x) = x+ 3, entonces
M = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f
4k
n
4
n= lim
n!14
n
nXk=1
4k
n+ 3
= lim
n!14
n
nXk=1
4k
n+
nXk=1
3
!=
= limn!1
16
n2
nXk=1
k+ limn!1
12
n
nXk=1
1 = limn!1
16
n2n(n+ 1)
2+12n
n
= 8+12 = 20 y asi
M = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =4R0
f(x)dx =4R0
(x+ 3) dx = 20Kg
10 CAPTULO 1. INTEGRALES
1.4 Espacio recorrido por un mvil
Suponga que se tiene un segmento de recta que va de un punto A a un punto B y que unmvil parte de A en el tiempo t = 0, y se dirige a B con una velocidad que varia con eltiempo, es decir, su velocidad es una funcin v(t) conocida. Se trata de hallar el espaciorecorrido por el mvil en un tiempo t.Es evidente que si la velocidad hubiese sido constante en todo el recorrido, en este caso
el espacio recorrido ser igual al producto de la velocidad por el tiempo es decir, E = V:tPara el caso de la velocidad variable v(t), se trata de hallar un modo de reducirlo al casovelocidad constante y para ello se particiona el intervalo de tiempo [0; T ], en pequeossubintervalos de longitud tk = tk tk1, para k=1,2,....n. gura 1.8
gura 1.8
En cada uno de estos subintervalos se toma un punto sk, y se asume que para cada k,la velocidad en ese subintervalo es constante;de tal forma que con un margen de error elespacio Ek recorrido en ese intervalo de tiempo es aproximadamente Ek = v(sk)tk y portanto el espacio total recorrido ser aproximadamente
E hnXk=1
Ek =nXk=1
v(sk)tk
siendo ms reducido el error a medida que todos los subintervalos de tiempo tk son cadavez mas pequeos, lo que necesariamente implica que el nmero n de subintervalos debe sermayor,obteniendose el caso ideal cuando todos los tk tienden a cero y consecuentementeel nmero n de subintervalos tiende a 1;caso en el cual se obtiene el espacio buscado, esdecir,
E = limxk!0
nXk=1
v(sk)tk = limn!1
nXk=1
v(sk)tk
Ejemplo 1.12 Hallar el espacio recorrido por un mvil que lleva una velocidad de 2tmetros por segundo, durante el intervalo de tiempo transcurrido entre t=2 y t= 6 segundos.
gura 1.9
1.5. AREA BAJO UNA CURVA 11
En efecto, se particiona el intervalo [2; 6] en los subintervalos [t0; t1] ; [t1; t2] ; [t2; t3] ; ::: [tn1; tn],con longitudes t1;t2;t3; :::tn todos de igual longitud, es decir, tk = 62n gura1.9 asi
t0 = 2, t1 = 2+t1 = 2+4
n, t2 = 2+2t1 = 2+2:
4
n, t3 = 2+3t1 = 2+3:
4
n,
tk1 = 2+(k 1)t1 = 2+(k 1) 4n, tk = 2+kt1 = 2+k
4
n, tn = 2+nt1 = 2+n
4
n= 6
Como sk, es cualquier punto en [tk1; tk], se tomar en este caso sk = tk = 2 + k 4n ycomo v(t) = 2t entonces
E = limn!1
nXk=1
v(sk)tk = limn!1
nXk=1
v(tk)tk = limn!1
nXk=1
v
2 +
4k
n
4
n=
= limn!1
nXk=1
2
2 +
4k
n
4
n= lim
n!18
n
nXk=1
(2 +4k
n) = lim
n!116
n
nXk=1
1 +32
n2
nXk=1
k =
= limn!1
16:n
n+ limn!1
32
n2
n(n+ 1)
2
= 16+
32
2= 32
y asi el espacio recorrido por el movil es de 32 metros, es decir,
E = limn!1
nXk=1
v(sk)tk =
6Z2
2tdt = 32:
1.5 Area bajo una curva
El propsito, es calcular el rea de la regin encerrada por las grcas de y = f(x) 0;x = a; x = b y el eje x, gura 1.10
x
y
Y = f (x)
a b
rea
gura 1.10
12 CAPTULO 1. INTEGRALES
y para ello consideremos una particin P = fx0; x1; x2; :::xng de [a; b] y tomaremos lalongitud de cada subintervalo igual, es decir, xk =
b an, k=1,2 ...,n y calcularemos
el rea del rectngulo Ak = f(tk)xk con tk cualquier punto en [xk1; xk] y formamosnPk=1
f(tk)xk, que es la suma de las reas de cada rectngulo, el cual va a ser una aprox-
imacin del rea A gura 1.11
gura 1.11
Para obtener el rea A, haremos muchas ms particiones, de tal forma que los rec-tngulos queden bien pequeos de base, y esto se logra haciendo tender n a innito, esdecir,
Area = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =
bZa
f(x)dx
y sta expresin, es la que dene labRa
f(x)dx; si el lmite existe, en otras palabras,
Area = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =
bZa
f(x)dx si f(x) 0
Casi siempre que se calcula una integral usando la denicion es conveniente hacer laparticion inicial de tal forma que todos los xk sean iguales y asi da lo mismo calcular ellimite haciendo que xk ! 0; que haciendo que n!1
Ejemplo 1.13 Calcular el rea de la regin limitada por las grcas de y = 2x + 1,x = 0, x = 3 y el eje x, gura 1.12
1.5. AREA BAJO UNA CURVA 13
x
y
y = 2x + 1
rea
gura 1.12
En efecto, sea P = fx0; x1; x2; :::xng, una particin de [0; 3], con xk = 3 0n
=3
n;
x0 = 0, x1 =3
n; x2 =
2 3n, x3 =
3 3n
, x4 =4 3n
; ::; xk1 = (k 1) 3n, xk =
3 kn,..y
as si tk = xk1 entonces
A = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f
3
n(k 1)
3
n= lim
n!1
nXk=1
2 3
n(k 1) + 1
3
n=
= limn!1
nXk=1
6
n(k 1) + 1
3
n= lim
n!1
nXk=1
6 kn
6n+ 1
3
n= lim
n!13
n
nXk=1
6 kn
6n+ 1
=
= limn!1
3
n
nXk=1
6 kn
nXk=1
6
n+
nXk=1
1
!= lim
n!1
18
n2
nXk=1
k 18n2
nXk=1
1 +3
n
nXk=1
1
!=
= limn!1
18
n2 n(n+ 1)
2 18n2 n+ 3
n n= 90+3 = 12 luego
Area = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =
3Z0
(2x+ 1) dx = 12:
Ejemplo 1.14 Calcular el rea encerrada por las grcas de y = 10, x = 1, x = 4 y eleje x, gura 1.13
En efecto, sea P = fx0; x1; x2; :::xng una particin de [1; 4] con
xk =4 (1)
n=5
n; x0 = 1; x1 = 1 + 5
n; x2 = 1 + 2 5
n; x3 = 1 + 3 5
n;
14 CAPTULO 1. INTEGRALES
x4 = 1 + 4 5n
; :::; xk1 = 1 + (k 1) 5n; xk = 1 + 5 k
n
y as, si tomamos tk = xk entonces
A = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f
1 + 5 k
n
5
n= lim
n!1
nXk=1
10 5n=
= limn!1
50
n
nXk=1
1 = limn!1
50
n n = 50 =
4Z1
10dx
luego
Area = limn!1
nXk=1
f(tk)xk =
4Z1
10dx = 50:
gura 1.13
Ejemplo 1.15 Calcular el rea encerrada por las grcas de f(x) = x2; x = a; x = b y eleje x, gura 1.14
x
y
a b
f(x)=x 2
gura 1.14
1.5. AREA BAJO UNA CURVA 15
En efecto, se particiona el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud
xk =b an
; k = 1; 2; :::::n y asi
x0 = a; x1 = a+x1 = a+
b an
; x2 = a+ 2x1 = a+ 2
b an
::::
xk = a+ kx1 = a+ k
b an
:::xn = a+ nx1 = a+ n
b an
= b
Si tomamos tk = xk = a+ kb an
y como f (x) = x2, entonces
f (tk) = f
a+ k
b an
=
a+ k
b an
2= a2 +
2ak (b a)n
+k2 (b a)2
n2
y as
A =
bZa
x2dx = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
b an
nXk=1
a2 +
2ak (b a)n
+k2 (b a)2
n2
!=
= limn!1
"(b a)a2
n
nXk=1
1 +(b a)2a
n
b an
nXk=1
k +
b an
b an
2 nXk=1
k2
#=
= limn!1
(b a) a2 + (b a)2 2an
n2
n+ 1
2
+(b a)3n3
n3
3+n2
2+n
6
!=
= (b a) a2 + (b a)2 2a
2+(b a)33
= (b a)a2 + ab a2 + b
2
3 2ab
3+a2
3
=
= (b a)a2
3+ab
3+b2
3
=(b a)3
b2 + ba+ a2
=b3
3 a
3
3luego
bZa
x2 dx =b3
3 a
3
3
16 CAPTULO 1. INTEGRALES
1.6 Integral denida
Sea f(x) una funcin denida en un intervalo cerrado [a; b] : Sean fx0; x1; :::xng puntos delintervalo [a; b], con a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b que determinan una particin delintervalo [a; b] en n subintervalos [xk1; xk], k=1,2,...n, con longitudes xk = xk xk1:Sea tk 2 [xk1; xk], un punto cualquiera, se dene la integral denida de f(x) entre a y bcomo el nmero real dado por
bRa
f(x)dx = limxk!0
nXk=1
f(tk)xk
y si los subintervalos tienen todos la misma longitud, entonces
bRa
f(x)dx = limxk!0
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f(tk)xk
Ejemplo 1.16 Calcular la integralbRa
mdx
Se particiona el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud xk = ban ,k=1,2,..n y como f(x) =m, entonces f(tk) = m cualquier sea tk 2 [xk1; xk] y asibRa
mdx = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
mxk = limn!1
mnXk=1
b an
= limn!1
m
b an
n = m(ba)
luegobRa
mdx = m(b a)
Ejemplo 1.17 Calcular la integral2R0
pxdx
Aqui en este ejemplo, no particionamos el intervalo [0; 2] en subintervalos de igual longi-tud, sino que se tomar tk = 2k
2
n2= xk y asi
xk = xk xk1 = 2k2
n2 2(k 1)
2
n2=2 (k2 (k 1)2)
n2
=2 (k2 k2 + 2k 1)
n2=2 (2k 1)
n2y asi
1.6. INTEGRAL DEFINIDA 17
x0 = 0; x1 =2
n2; x2 =
2:22
n2; x3 =
2:32
n2; x4 =
2:42
n2; xk =
2:k2
n2; ::xn =
2:n2
n2= 2
y como f(x) =px entonces
f(tk) = f(2k2
n2) =
r2k2
n2=
p2k
ny as
2R0
pxdx = lim
n!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
p2k
n
2 (2k 1)n2
= limn!1
2p2
nXk=1
k
n
(2k 1)n2
=
= 2p2 limn!1
nXk=1
k
n
(2k 1)n2
= 2p2 limn!1
nXk=1
2k2
n3
nXk=1
k
n3
!=
= 2p2 limn!1
1
n3
nXk=1
2k2 nXk=1
k
!= 2
p2 limn!1
1
n3
2
n3
3+n2
2+n
6
n(n+ 1)
2
=4p2
3
por tanto2R0
pxdx =
4p2
3
Ejemplo 1.18 Calcular la integral
bR0
sin xdx
Para calcular la integral, recordemos que
2 sin x sin y = cos(x y) cos(x+ y)
y asi
2 sin x sin(x
2) = cos(
x
2) cos(3x
2)
2 sin 2x sin(x
2) = cos(
3x
2) cos(5x
2)
2 sin 3x sin(x
2) = cos(
5x
2) cos(7x
2)
:
:
2 sin(n 1)x sin(x2) = cos(
(2n 3)x2
) cos((2n 1)x2
)
18 CAPTULO 1. INTEGRALES
2 sin(nx) sin(x
2) = cos(
(2n 1)x2
) cos((2n+ 1)x2
)
y sumando estas ecuaciones obtenemos que
2 sin x sin(x
2)+2 sin 2x sin(
x
2)+2 sin 3x sin(
x
2)+::+2 sin(n1)x sin(x
2)+2 sin(nx) sin(
x
2) =
= 2 sinx
2(sinx+ sin 2x+ sin 3x+ :::+ sinnx) = cos(
x
2)cos
(2n+ 1)x
2
, es decir,
2 sinx
2(sinx+ sin 2x+ sin 3x+ ::::+ sinnx) = cos(
x
2)cos
(2n+ 1)x
2
por tanto
sin x+sin 2x+sin 3x+:::+sinnx =cos(x
2) cos
(2n+1)x
2
2 sin x
2
asi si
x0 = 0; x1 =b
n; x2 =
2:b
n; x3 =
3b
n; x4 =
4b
n; xk =
kb
n; ::: xn =
nb
n= b
entonces tomando tk = xk = kbn (xk =b0n= b
n) se tiene que :
bR0
sin xdx = limn!1
nXk=1
f(tk)xk = limn!1
nXk=1
f
kb
n
b
n= lim
n!1b
n
nXk=1
sin
kb
n
=
= limn!1
b
n
sin(
b
n) + sin(
2b
n) + :::+ sin(b)
= lim
n!1b
n
cos( b2n) cos
(2n+1)b2n
2 sin b
2n
=
= limn!1
cos( b2n) cos
(2n+1)b2n
2nbsin b
2n
= limn!1
cos( b2n) cos
(2n+1)b2n
sin b
2nb2n
=
=limn!1
cos( b
2n) cos
(2n+1)b2n
limn!1
sin b2nb2n
=cos 0 cos b
1= cos 0cos b
por tantobR0
sin xdx = cos 0 cos b
y en general,se puede vericar que
bRa
sin xdx = cos a cos b
1.6. INTEGRAL DEFINIDA 19
Funcin seccionalmente continua
Una funcin se dice seccionalmente continua en un intervalo [a; b], si en l existe a loms un nmero nito de discontinuidades y la funcin es acotada alli, lo cual implica laexistencia de limites laterales en cualquier punto del intervalo.1. f(x) = x es seccionalmente continua en cualquier intervalo cerrado2. f(x) = lnx es seccionalmente continua por ejemplo en [1; 4]3. f(x) = ex es seccionalmente continua en cualquier intervalo cerrado4. f(x) = 1 si x es racional y cero si x es irracional, no es seccionalmente continua, el
nmero de discontinuidades es innito5. f(x) = 1
xno es seccionalmente continua en [1; 4], f no es acotada en [1; 4]
Lema 1 Si f(x) es seccionalmente continua en [a; b], entonces es integrable en [a; b], lo
que signica que existe el limite limn!1
nPk=1
f(tk)xk y asi la integralbRa
f(x)dx tambin existe
y adems
limn!1
nXk=1
f(tk)xk =bRa
f(x)dx
La condicion de ser seccionalmente continua en [a; b] es condicion suciente para laexistencia de la integral, ms no es necesaria. Ver algunas integrales impropias.Nota. Si f(x) es continua en [a; b], entonces f(x) es seccionalmente continua en [a; b] :
Ejercicio 1
I) Utilizando la denicin de integral denida vericar los resultados siguientes
a) limn!1
1
n
nXk=1
k
n
2=1
3, calcular
1Z0
x2 dx b) limn!1
1
n
nXk=1
sin
k
n
=2
, calcular
1Z0
sin x dx
c) limn!1
1
n
nXk=1
sin2k
n
=1
2, calcular
1Z0
sin2 x dx d) limn!1
nXk=1
1
n+ k= ln 2,calcular
1Z0
dx
1 + x
e) limn!1
Xk=1
n
n2 + k2=
4, calcular
1Z0
dx
1 + x2f) lim
n!1
nXk=1
1pn2 + k2
= ln1 +
p2, calcular
1Z0
dxp1 + x2
20 CAPTULO 1. INTEGRALES
g) limn!1
nXk=1
"2k
n
2 2
2k
n
#2
n= 4
3indicacin calcular
2Z0
x2 2x dx
II) Vericar por medio de la denicin de integral que
a)
5Z2
(x+ 1) dx =27
2b)
4Z4
xdx = 0 c)
5Z3
(2x+ 3)dx = 40 d)
4Z4
5dx = 40
1.7 Integral indenida
Si F(x) es una funcin tal que F(x) = f(x) para todo x en un intervalo I, entonces F(x) sedenomina una primitiva de f(x) en I y en general si F(x) es una primitiva de f(x) entoncestodas las funciones del tipo F(x)+C donde C es una constante, son primitivas de f(x) ya la familia de funciones F(x)+C, se llama la integral indenida de f(x) y se designa
mediante el simboloZf(x)dx, es decir,Zf(x)dx = F (x) + C si y solo si F(x) = f(x)
1.7.1 Propiedades de la integral denida e indenida
En la mayoria de los casos, las propiedades de las integrales denidas, no sern demostradasrigurosamente a partir de su denicin, sino que sern ilustradas.1.
bRa
(f(x) g(x)) dx =bRa
f(x)dxbRa
g(x)dx
En efecto,
bRa
f(x)dxbRa
g(x)dx = limxk!0
nXk=1
f(tk)xk limxk!0
nXk=1
g(tk)xk = limxk!0
nXk=1
f(tk)xk nXk=1
g(tk)xk
!=
= limxk!0
nXk=1
(f(tk) g(tk))xk!= lim
xk!0
nXk=1
f g)(tk)xk!=
bRa
(f g)(x)) dx
1.7. INTEGRAL INDEFINIDA 21
y por tanto Z(f(x) g(x)) dx =
Zf(x)dx
Zg(x)dx
Ejemplo 1.19
6R0
sin x+ x2 + 2
dx =
6R0
sin xdx +6R0
x2 dx+6R0
2dx y
R sin x+ x2 + 2
dx =
Rsin xdx+
Rx2 dx+
R2dx
2.bRa
f(x)dx =cRa
f(x)dx+bRc
f(x)dx a < c < b
10R2
(5x+ 4)dx =6R2
(5x+ 4)dx+10R6
(5x+ 4)dx
20R4
(x+ 3)dx =8R4
(x+ 3)dx+16R8
(x+ 3)dx+20R16
(x+ 3)dx
Ejemplo 1.20
f(x) =
8
22 CAPTULO 1. INTEGRALES
5.bRa
f(x)dx = aRb
f(x)dx yaRa
f(x)dx = 0
6.bRa
f(x)dx =b+cRa+c
f(x c)dx c 2 R
6R0
4 sin xdx =8R2
4 sin(x 2)dx =4R24 sin(x+ 2)dx
10R3
x2 + 2x+ 4
dx =
7R0
x+ 3)2 + 2(x+ 3) + 4
dx
7.bRa
f(x)dx =1
c
bcRac
fxc
dx c 2 R; c 6= 0
Ejemplo 1.21
6R0
sin xdx =1
2
12R0
sinx2
dx = 2
3R0
sin 2xdx = 61R0
sin 6xdx
9R3
x2 + 2x+ 4
dx =
1
3
27R9
x3
2+ 2
x3
+ 4
dx
8.
si f(x) g(x) para todo x 2 [a; b] entoncesbRa
f(x)dx bRa
g(x)dx
1.7.2 Funciones pares e impares
Una funcin f(x) se dice par en [a; a], si f(x) = f(x) para todo x 2 [a; a] y unafuncin f(x) se dice impar en [a; a], si f(x) = f(x) para todo x 2 [a; a]Son funciones pares en [a; a] ; f(x) = x2; g(x) = jxj ; h(x) = cosx; l(x) = sin2 x y son
impares f(x) = x; g(x) = x3; h(x) = x cosx; l(x) = sinx, adems
aRaf(x)dx =
8
1.7. INTEGRAL INDEFINIDA 23
5R5sinxdx = 0;
5R5x5dx = 0;
5R5x5 jxj dx = 0;
5R5cosx sin99 xdx = 0
5R5jxj dx = 2
5R0
xdx;Rcosxdx = 2
R0
cosxdx
9.bRa
f(x)dx =bRa
f(t)dt =bRa
f(u)du
Ejemplo 1.23
4R0
sin xdx =4R0
sin tdt =4R0
sin zdz =4R0
sinudu
11. Zf 0(x)dx = f(x) + C
a)
Zd
dx(sinx) dx = sinx+ c b)
Zd
dx
x3dx = x3 + c
12. Zf(x)dx
0= (F (x) + C)0 = f(x)
a)d
dx
Zsin xdx
= sinx b)
d
dx
Zx3dx
= x3 c)
d
dx
Zexdx
= ex
1.7.3 Primer Teorema fundamentales del clculo
Si F(x) es una primitiva de f(x) en [a; b] entonces
bRa
f(x)dx = F (x) + Cba = F (b) F (a) y
Rf(x)dx = F (x) + C
y si f(x) es continua en [a; b] y F(x) es una primitiva de f(x) en [a; b], entonces
bRa
f(x)dx = F (b) F (a)
24 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.24
2Z0
exdx = ex20 = e
2e0 yZexdx = ex+c
Ejemplo 1.25
4Z2
x2dx =x2+1
2 + 1e42 =
x3
3e42 =
43
32
3
3=56
3y
Zx2dx =
x2+1
2 + 1+c =
x3
3+c
Zxndx =
xn+1
n+ 1+c si n 6= 1 y si n = 1 entonces
Zdx
x= ln x+c
Ejemplo 1.26
4Z0
pxdx =
4Z0
x12dx =
x12+1
12+1
40 =
x32
32
40 =
16
3
Z pxdx =
Zx12dx =
x12+1
12+1+ c =
x32
32
+ c =2x
32
3+ c
Ejemplo 1.27
4Z1
dx
x= ln x
41 = ln 4ln 1 = ln 4
Ejemplo 1.28
4Z1
dx
x3=
4Z1
x3dx =x3+1
3 + 141 =
x2
241 =
1
2x241 =
15
32
Ejemplo 1.292Z0
sin xdx = cosxm20 =
cos
2 cos 0
= 1;
Zsin xdx = cosx+c
1.7. INTEGRAL INDEFINIDA 25
Ejemplo 1.302Z0
cosxdx = sinx20 = sin 2sin 0 = 0;
Zcosxdx = sinx+c
Ejemplo 1.31
a)
Zsec2 xdx = tanx+c b)
Zsec x tan xdx = secx+c c)
Zdx
1 + x2= arctan x+c
d)
Zdxp1 x2 = arcsin x+c e)
Zdx
a2 + x2=1
aarctan(
x
a)+c f)
Ztan xdx = ln(cosx)+c = ln(secx)+c
g)
Zsec xdx = ln(sec x+tanx)+c h)
Zcsc dx = ln(cscxcotx)+c i)
Zcsc2 dx = cotx+c
j)
Zsec x tan xdx = secx+c k)
Zcsc x cotxdx = csc x+c
Ejemplo 1.32Z(1x)pxdx =
Zx12dx
Zx32dx =
2x32
32x
52
5+c
Z(2x25x+3)dx =
Z2x2dx
Z5xdx+
Z3dx =
2x3
35x
2
2+3x+c
Ejercicio 2 Vericar que
1:
Z(2x35x23x+4)dx = 1
2x45
3x33
2x2+4x+c
2: a)
2Z0
x (x+ 1) (x+ 2) dx = 16 b)
2Z1
px+ 1
xpx+ 1 dx = 8
5
p2+3
5
3: a)
2Z1
1 + x3
2dx =
373
14b)
1Z0
x (2x+ 1)2 dx =17
6c)
2Z1
x3 6x+ 5
x
dx = 5 ln 211
3
4: a)
1Z0
tdtp1 + t
=4
323
p2 b)
4Z2
zdz
z + 2= 4 ln 22 ln 6+2
26 CAPTULO 1. INTEGRALES
1.7.4 Segundo teorema fundamental del clculo
Si f es continua en [a; b] y F (x) =xRa
f(t)dt continua en [a; b], con a < x < b y derivable
en (a; b) entoncesF 0(x) = f(x)
y en general
si F (x) =g(x)Ra
f(t)dt entonces F 0(x) = f(g(x))g0(x)
Ejemplo 1.33 Si F (x) =x3R3
etdt entonces F 0(x) = 3x2ex3
Ejemplo 1.34 Si F (x) =x4R3
dt1+t6
entonces F 0(x) = 4x3
1+x24
Ejemplo 1.35 Si F (x) =x3R3
et2dt entonces F 0(x) = 3x2ex
6
Ejemplo 1.36 Si F (x) =x3R3
sin t2dt entonces F 0(x) = 3x2 sin (x6)
Ejemplo 1.37 Si F (x) =x3+2x+4R
3
sin ttdt entonces F 0(x) = (3x2 + 2) sin(x
3+2x+4)x3+2x+4
Ejemplo 1.38
sea F (x) =
x3R2
ecos tdtR3
sin(t2 + 1)
t4 + 3dt =
G(x)R3
sin(t2 + 1)
t4 + 3dt
entonces
F 0(x) =sin((G(x))2 + 1)
(G(x))4 + 3G0(x) =
sin
0@ x3R2
ecos tdt
!2+ 1
1A x3R2
ecos tdt
!4+ 3
3x2ecosx3
1.7. INTEGRAL INDEFINIDA 27
Ejemplo 1.39 Hallar una funcin f(t) y la contante c tal que
xRc
f(t)dt = cos x 12
En efecto, sea
F (x) =xRc
f(t)dt = cos x 12entonces F 0(x) = f(x) = sin x por tanto
xRc
sin tdt = cos x cos c = cos x 12entonces c =
3y f(t) = sin t
Ejemplo 1.40 Hallar una funcin f(x) talque
xRc
tf(t)dt = sinx x cosx x2
2
En efecto, sea
F (x) =xRc
tf(t)dt = sinx x cosx x2
2entonces
F 0(x) = xf(x) = cosx (cosx x sin x) x = x sin x x
por lo tanto f(x) =x sin x x
x= sinx 1
Ejercicio 3 I) Vericar que si f es continua y satisface la ecuacion, para todo x 0entonces si
a)xR0
f(t)dt = x2(1 + x) se tiene que f(2) = 16
b)x2R0
f(t)dt = x2(1 + x) se tiene que f(2) = 1 + 3p2=2
c)x2(1+x)R0
f(t)dt = x se tiene que f(2) =1
5
28 CAPTULO 1. INTEGRALES
d) F (x) =x2Rx3
t6
1 + t4dt entonces verique que F 0(x) =
2x13
1 + x8 3x
20
1 + x12
e)xRc
f(t)dt = x2 + x sin 2x+cos 2x
2 12entonces f(
4) = =2
II) Calcular F(x) si
a)F (x) =xR0
p1 + t3dt b)F (x) =
x3R0
et2
dt c) F (x) =x3 sinxR0
cos t2dt
d)F (x) =x3Rx
ecos tdt e) F (x) =x3 cosxRx
2
2 + t8dt f)
x3 lnxRx
p2 + cos4 tdt
III) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva
a) y(x) =xR2
cos(t3)dt en el punto x=2. Resp 1 b) y(x) =xR0
sinpt2 + 2dt en el punto x=0. Resp 0
IV) Indicar la integral que representa el rea de las guras siguientes
V) Hallar f(x) si
a)f(x) = 3e2t; f(0) = 0; f(0) = 4 b)f(x) = 3x2+1; f(0) = 2
VI) Hallar la curva que pasa por el punto (42; 1) y cuya paendiente en cada punto(x,y) con x > 0 es cos
pxp
xRespuesta f(x)=2sin
px+ 1
VII) Hallar el valor de k que cumple2R0
f(x)dx = 2k si f(x)=3 si 0 x < 15 si 1 x 2
Respuesta k=4
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 29
1.8 Mtodos de integracin
El propsito de aqu en adelante, es de buscar mecanismos ms sencillos para el clculode integrales y para ello empezaremos con los mtodos de integracin
1.8.1 Mtodo de sustitucinbZa
f(g(x))g0(x)dx =
g(b)Zg(a)
f(u)du = [F (u) + C]g(b)g(a) = F (g(b))+C(F (g(a)) + C) = F (g(b))F (g(a))
siendo f(g(x))g0(x) integrable en [a; b] y si la integral es indenida, entonces
Zf(g(x))g0(x))dx =
Zf(u)du = F (u)+C = F (g(x))+C
Observacion. El cambio de variable ser un exito, siempre y cuando la integralZf(u)du
sea ms sencilla de calcular, que la integralZf(g(x))g0(x))dx y si esto no ocurre hacer
otro cambio de variable hasta lograr este objetivo y esto se ilustrar con los siguientesejemplos.
Ejemplo 1.41 Si u = x2 entonces du = 2xdx. Ahora si x = 1 entonces u = 1 y si x = 2entonces u = 4; luego
2Z1
ex2
2xdx =
4Z1
eudu = eue41 = e4 e1
Ejemplo 1.42 Si u = x4 entonces du = 4x3dx. Ahora si x = 0 entonces u = 0 y si x = 3entonces u = 81, luego
3Z0
ex4
4x3dx =
81Z0
eudu = eue810 = e81 e0
Ejemplo 1.43 Si u = sinx entonces du = cos xdx y as
30 CAPTULO 1. INTEGRALES
Zesinx cosxdx =
Zeudu = eu + c = esinx + c
Ejemplo 1.44 Si u = ax entonces du = adx y asi
Zeaxdx =
1
a
Zeudu =
1
aeu + c =
eax
a+ c a 6= 0Z
e5xdx =e5x
5+ c
Ejemplo 1.45 Si u = ax entonces du = adx y asZsin axdx =
1
a
Zsinudu = cosu
a+ c = cos ax
a+ c a 6= 0
Ejemplo 1.46 Si u = ax entonces du = adx y asZcos axdx =
1
a
Zcos udu =
sinu
a+ c =
sin ax
a+ c a 6= 0
Ejemplo 1.47
a)
Zsin 3xdx = cos 3x
3+ c b)
Zcos 3xdx =
sin 3x
3+ c
Ejemplo 1.48 Si u = x+ a entonces du = dx y asZdx
x+ a=
Zdu
u= lnu+ c = ln(x+ a) + c
Ejemplo 1.49 Si u=2x-3 entonces du=2dx y as
Zdx
2x 3 =1
2
Zdu
u=ln(2x 3)
2+ c
Ejemplo 1.50 Si u=x+3 entonces du=dx y as
Zdxpx+ 3
=
Zdupu= 2
pu+ c = 2
px+ 3 + c;
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 31
Ejemplo 1.51 Si u = 3x 1 entonces du = 3dx y asZ p3x 1dx = 1
3
Z pudu =
2
9(3x 1) 32 + c
Ejemplo 1.52 Si u = 2 y entonces du = dy y as
Zdy
(2 y)3 =Z du
u3=
1
2(2 y)2 + c
Ejemplo 1.53 Si u = arctan x;entonces du = dx1+x2
y asZearctanx
1 + x2dx =
Zeudu = eu + c = earctanx + c
Ejemplo 1.54 Si u = x4 + x2 + 1 entonces du = (4x3 + 2x) dx y asi
Z x4 + x2 + 1
10 4x3 + 2x
dx =
Zu10du =
u11
11+ c =
(x4 + x2 + 1)11
11+ c
Ejemplo 1.55 Si u = x3 + 1 entonces du = 3x2dx y asZ p1 + x3x2dx =
Z pudu
3=1
3
Z pudu =
1
3
u12+1
12+1
+ c =2
9
1 + x3
32 + c
Ejemplo 1.56 Si u =px entonces du = dx
2pxy as
Zepx
pxdx = 2
Zeudu = 2eu + 2c = 2eu + 2c = 2e
px + k
Ejemplo 1.57 Si u = x3 + 1 entonces du = 3x2dx y as
Z3x2 cos
x3 + 1
dx =
Zcosudu = sinu+ c = sin
x3 + 1
+ c
32 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.58 Si u = 1 + x; du = dx; x = 1 u entoncesZ p1 + xxdx =
Z pu (u 1) du =
Z u32 u 12
du =
u32+1
32+ 1
u12+1
12+ 1
+ c
=u52
52
u32
32
+ c =2
5(1 + x)
52 2
3(1 + x)
32 + c
Ejemplo 1.59 Si u = x2 + 2x+ 5 entonces du = (2x+ 2)dx y as
Z(x+ 1) dxpx2 + 2x+ 5
=1
2
Zdupu=1
2
Zu
12du =
1
2
u12+1
12+1
+ c =px2 + 2x+ 5 + c
Ejemplo 1.60 Si u = arcsinx entonces du = dxp1x2 y as
Z(arcsinx)4 dxp
1 x2 =Zu4du =
u5
5+ c =
(arcsinx)5
5+ c
Ejemplo 1.61 Si u = 1xentonces du = dx
x2y asZ
sin 1xcos 1
xdx
x2=
Zsinu cosudu =
Zzdz = z
2
2+c = (sinu)
2
2+c = (sin
1x)2
2+c
Ejemplo 1.62Z2 sin x cosxdx =
Zsin 2xdx =
1
2
Zsinudu = cosu
2+c = cos 2x
2+c
Ejemplo 1.63 Siu = sinx entonces du = cosxdx y asZsin7 x cosxdx =
Zu7du =
u8
8+c =
(sinx)8
8+c =
sin8 x
8+c
Ejemplo 1.64 Como
sin(x+y)+sin(xy) = 2 sin x cos yentonces
sin x cos y =sin(x+ y) + sin(x y)
2
luego
sin 5x cos 10x =sin 15x+ sin(5x)
2=sin 15x sin 5x
2
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 33
por lo tanto
Zsin 5x cos 10xdx =
Zsin 15x sin 5x
2dx = cos 15x
30+cos 5x
10+ c
Ejemplo 1.65Zcos2 xdx =
Z(1 + cos 2x)dx
2=
Zdx
2+
Zcos 2xdx
2=1
2
x+
sin 2x
2
+ c
Ejemplo 1.66Zcos2 3xdx =
Z(1 + cos 6x)dx
2=1
2
x+
sin 6x
6
+c
Ejemplo 1.67Z(x+ 2)19 dx =
Zu19dx =
u20
20+c =
(x+ 2)20
20+c
Ejemplo 1.68Zxdx
x+ 1=
Z(x+ 1 1)dx
x+ 1=
Zdx
Zdx
x+ 1= x ln(x+ 1) + c
Ejemplo 1.69 Vericar queZdx
ex + 1=
Z(ex ex + 1)dx
ex + 1=
Z(ex + 1 ex)dx
ex + 1=
Zdx
Zexdx
ex + 1= xln(ex+1)+c
Ejemplo 1.70 Vericar que
Zdxp
28 12x x2 =Z
dxp64 (x2 + 12x+ 36) =
Zdxp
64 (x+ 6)2 = arcsinx+ 6
8
+c
Ejemplo 1.71 Vericar que
34 CAPTULO 1. INTEGRALES
Z(x+ 3)dxp5 4x x2 =
1
2
Z(2x 6)dxp5 4x x2 =
1
2
Z((2x 4) 2)dxp
5 4x x2 =
= 12
Z(2x 4)dxp5 4x x2 +
Zdxp
5 4x x2 = 1
2
Z(2x 4)dxp5 4x x2 +
Zdxp
9 (x+ 2)2 =
= 12
Zdupu+
Zdxp
9 (x+ 2)2 = p5 4x x2+arcsin
x+ 2
3
+c
Ejemplo 1.72 Si u = 1 +px entonces du = dx
2pxy as
Z(1 +
px)2dxpx
= 2
Zu2du =
2u3
3+ c =
2
3(1 +
px)3 + c
Ejemplo 1.73
Zx sec2 x2dx =
1
2
Zsec2 udu =
tanu
2+c =
tan x2
2+c; u = x2
Ejemplo 1.74 Si u = sin2 4x entonces du = 2 sin 4x cos 4xdx = 4 sin 8xdx y asi
Zsin 8xdx
9 + sin4 4x=1
4
Z4 sin 8xdx
9 + sin4 4x=1
4
Zdu
9 + u2=1
12arctan
u3
+c =
1
12arctan
sin2 4x
3
+c
Ejemplo 1.75 u = x2 + 5; du = 2xdx; entoncesZxdx
x2 + 5=1
2
Zdu
u=1
2lnu+
k
2=1
2lnx2 + 5
+c
Ejemplo 1.76 Si u = 1xentonces du = dx
x2Ze1xdx
x2=
Zeudu = eu + c = e 1x + c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 35
Ejemplo 1.77 u = x2; du = 2xdx entoncesZxdxp9 x4 =
1
2
Zdup9 u2 =
1
6arcsinu+c =
1
6arcsinx2+c
Ejemplo 1.78 Si u = arcsinx entonces du = dxp1x2 y asZ p
arcsinxdxp1 x2 =
Z pudu =
u32
32
+ c =2
3(arcsinx)
32 + c
Ejemplo 1.79 Si u = arctan(x2); du =
12dx
1+x2
4
= 2dx4+x2
entonces
Zarctan(x
2)dx
4 + x2=1
2
Zudu =
u2
4+ c =
arctan(x
2)2
4+ c
Ejemplo 1.80 Calcular la integralZ(xparctan(2x))dx
1 + 4x2=
Zxdx
1 + 4x2Z p
arctan 2xdx
1 + 4x2ejercicio
Ejemplo 1.81 Vericar queZdxq
(1 + x2) ln(x+p1 + x2)
=
Zdupu= 2
pu+c = 2
qln(x+
p1 + x2) + c, u = ln(x+
p1 + x2)
Ejemplo 1.82 Calcular la integralZexp4 2ex =
Z p4 2udu hacer u = ex; z = 42u ejercicio
Ejemplo 1.83 Vericar que
Zexdx
1 + e2x=
Zdu
1 + u2= arctanu+ c = arctan ex + c , u = ex
Ejemplo 1.84 Vericar queZsin(3x+ 6)dx =
Zsinudu
3=cos(3x+ 6)
3+ c; u = 3x+ 6
36 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.85 Vericar queZsin2 3xdx =
Z(1 cos 6x)dx
2=1
2x 1
12sin 6x +c
Ejemplo 1.86 Vericar queZcos4 2xdx =
Z(cos2 2x)2dx =
Z 1 + cos 4x
2
2dx =
Z1 + 2 cos 4x+ cos2 4x
4dx =
=
Z 1 + 2 cos 4x
4+1 + cos 8x
8
dx =
3
8x+
1
8sin 4x+
1
64sin 8x+ c
Ejemplo 1.87 Vericar queZcos3 xdx =
Zcos2 x cosxdx =
Z 1 sin2 x cosxdx = Z 1 u2 du = u1
3u3 +c =
= sinx sin3 x
3+ c
Ejemplo 1.88 Vericar queZsin3 xdx =
Zsin2 x sin xdx =
Z 1 cos2 x sin xdx = Z 1 u2 du =
=1
3cos3 x cosx+ c
Ejemplo 1.89 Vericar que
Zsin4 xdx =
Z(sin2 x)2dx =
Z(1 cos 2x)2
4dx =
1
4
Z 1 2 cos 2x+ 1 + cos 4x
2
dx =
=3
8x 1
4sin 2x+
1
32sin 4x+ c
Ejemplo 1.90 Vericar que
Z(1 sin x)dxx+ cosx
=
Zdu
u= lnu+c = ln(x+cos x)+c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 37
Ejemplo 1.91 Vericar que
Z qln(x+px2 + 1dxpx2 + 1
=
Z pudu =
2
3
lnx+
px2 + 1
32+c; u =
ln(x+
px2 + 1
Ejemplo 1.92 Vericar que
Zsin x cosxdxp1 sin4 x
=1
2
Zdup1 u2 =
1
2arcsinu+c =
1
2arcsin
sin2 x
+c , u = sin2 x
Ejemplo 1.93 Vericar queZsin(lnx)dx
x=
Zsinudu = cosu+c = cos(lnx)+c; u = lnx
Ejemplo 1.94 Ilustre con ejemplos las integrales siguientes
Zsinmx cosnxdx =
1
2
Z(sin(m+ n)x+ sin(m n)x) dx = 1
2
cos(m+ n)x
m+ n cos(m n)x
m n+c
Zsinmx sinnxdx =
1
2
Z(cos(m n)x cos(m+ n)x) dx = 1
2
sin(m n)xm n
sin(m+ n)x
m+ n
+c
Zcosmx cosnxdx =
1
2
Z(cos(m n)x+ cos(m+ n)x) dx = 1
2
sin(m n)xm n +
sin(m+ n)x
m+ n
+c
Ejemplo 1.95 Si u = sinx; du = cosxdx entoncesZesinx cosxdx =
Zeudu = eu + c = esinx + c
38 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.96 Si u = tanx; du = sec2 xdx entoncesZetanx sec2 xdx =
Zezdz = ez + c = etanx + c
Ejemplo 1.97 Si u = ex; du = exdx entonces
Zee
x
exdx =
Zezdz = ez + c = ee
x
+ c
Z2lnx
xdx =
Z2udu =
Zeu ln 2 =
eu ln 2
ln 2+ c =
2u
ln 2+ c =
2lnx
ln 2+ c
Ejemplo 1.98 Si u = lnx; du = dxxentonces
Zcos(lnx)dx
x=
Zcosudu = sinu+ c = sin(ln x) + c
Ejemplo 1.99 Si u =px; du = dx
2px
Zcos(
px)dxpx
= 2
Zcosudu = 2 sinu+ c = 2 sin(
px) + c
Ejemplo 1.100 Si u=sinx, du=cosxdx entonces
Zcosxdx
1 + sinx=
Zdu
1 + u= ln(1 + u) + c = ln(1 + sinx) + c
Ejemplo 1.101 Si u = arc sin x; du = dxp1x2 entonces
Zdxp
1 x2p1 arcsin2 x
=
Zdup1 u2 = arcsinu+ c = arcsin(arcsinx) + c
Ejemplo 1.102 Si u=lnx, du = dxxentonces
Zdx
xq4 ln2 x =
Zdup4 u2 = arcsin
u
2+ c = arcsin
lnx
2
+ c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 39
Ejemplo 1.103 Calcular Zdxp
1 +p1 + x
En efecto, si u =p1 +
p1 + x; despejando x se tiene que x = (u2 1)2 1; dx =
4u (u2 1) du entonces
Zdxp
1 +p1 + x
=
Z4u (u2 1) du
u=
Z4u2 1 du = 4u3
3 4u+ c =
=4p
1 +p1 + x
33
4q1 +
p1 + x+ c
por lo tanto
Zdxp
1 +p1 + x
=4p
1 +p1 + x
33
4q1 +
p1 + x+ c
Ejercicio 4 Vericar que
1: a)
Zxn1
pa+ bxndx =
2
3bn(a+ bxn)
32+c b)
Zdy
(a+ by)3= 1
2b (a+ by)2+c
2: a)
Z(2x+ 3)dxpx2 + 3x
= 2px (x+ 3)+c b)
Z(x2 + 1)dxpx3 + 3x
=2
3
px3 + 3x+c
3: a)
Z(2 + ln x) dx
x=1
2(lnx+ 2)2+c b)
Zcosxdxp1 + sinx
= 2psin x+ 1
4: a)
Z(x+ 4)dx
2x+ 3=1
2x+5
4ln
x+
3
2
+c b)
1Z0
ed
1 + e= ln (e+ 1)ln 2
40 CAPTULO 1. INTEGRALES
5: a)
Zxdxr
1 + x2 +q(1 + x2)3
= 2
q1 + x2 +
p1 + x2 + c b)
4Z0
cos 2xp4 sin 2xdx = 8
3p3
6: a)
13Z
23
xdxp2 3x =
2
27b)
8Z3
sin(px+ 1)dxpx+ 1
= 2 (cos 2 cos 3)
7)
Zsinh xdx = cosh x+c 8)
Zcoshxdx = sinhx+c 9)
Ztanh2 xdx = xtanh x+c
10)
Zsinh2 xdx =
sinh 2x
4 x2+ c
1.8.2 Mtodo de integracion por partes
Recordemos que la derivada de un producto de funciones viene dada por
(fg)0 = fg0 + f 0g entonces f 0g = (fg)0 fg0
asi, si integramos a ambos lados de la igualdad se tiene que :Zf 0(x)g(x)dx =
Z(f(x)g(x))0 dx
Zf(x)g0(x)dx = f(x)g(x)
Zf(x)g0(x)dx y
bZa
f 0(x)g(x)dx =
bZa
(f(x)g(x))0 dxbZa
f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)eba bZa
f(x)g0(x)dx
o
Zudv = uv
Zvdu siendo u = g(x) y dv = f 0(x)dx
conocida como frmula de integracin por partes.Observaciones. Para tener xito en el manejo de la frmula de integracin por partes,
hay que tener en cuenta que la funcin escogida como dv debe ser fcil de integrar y que
la integralZvdu debe ser ms fcil de calcular que la intgral
Zudv y esto se aprender
con los ejemplos que se presentarn a continuacin y para empezar aprendamos a calcularu y dv con un ejemplo
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 41
Ejemplo 1.104 Calcular la integralZx sin xdx
Para calcular esta integral se tienen tres posibilidades de u y dv asi:
a)u = x; dv = sinxdx b)u = sinx; dv = xdx c) u = xsinx; dv = dx:
Observe que en los tres casos udv = x sin xdx y ahora veamos cuales nos permitenel clculo de la integral
En el caso a) u = x; dv = sin xdx entonces du = dx y v = cosx =Zsin xdx, y la
constante la vamos a tomar ac siempre como 0 y asiZx sin xdx =
Zudv = uv
Zvdu = x cosx+
Zcosxdx = x cosx+ sinx+ c
En el caso b) Como u = sinx; dv = xdx entonces du = cosxdx; v = x2
2y asiZ
x sin xdx =
Zudv = uv
Zvdu =
x2
2sin x
Zx2
2cosxdx
y la integralZ
x2
2cosxdx es ms complicada de calcular, que la integral
Zx sin xdx por
lo tanto la escogencia de u y dv no es adecuada y en el caso c) tampoco es adecuadapues, como u = xsinx; dv = dx entonces du = sinx+ xcosx y v=x entoncesZ
x sin xdx =
Zudv = uv
Zvdu = x2 sin x
Zx (sinx+ xcosx) du
y sta integral es ms compleja queZx sin xdx, luego como conclusion para calcular las
integrales siguientes
a)
Zxn sinxdx se hace u = xn; dv = sinxdx b)
Zxn cosxdx se hace u = xn; dv = cos xdx
c)
Zxnexdx se hace u = xn; dv = exdx d)
Zxn lnm xdx se hace dv = xndx; u = lnm x
Ejemplo 1.105 Calcular la integral Zxp1 + xdx
42 CAPTULO 1. INTEGRALES
En efecto, las posibilidades son
a)u = x; dv =p1 + xdx b)u = x
p1 + x; dv = dx c) u =
p1 + x; dv = xdx
y la haremos con
u = x; dv =p1 + xdx; du = dx; v =
2
3(1 + x)
32
entonces Zxp1 + xdx =
2x
3(1 + x)
32 2
3
Z(1 + x)
32 dx =
=2x
3(1 + x)
32
4q(1 + x)5
15+ c
por lo tanto Zxp1 + xdx =
2x
3
q(1 + x)3
4q(1 + x)5
15+ c
Ejemplo 1.106 Vericar queZarcsinxdx = x arcsinx+
p1 x2 + c
En efecto, sea u = arcsinx y dv = dx entonces du = dxp1x2 ; v = x, por lo tantoZ
arcsinxdx = x arcsinxZ
xdxp1 x2 = x arcsinx
1
2
Z2xdxp1 x2 =
= x arcsinx+1
2
Zdupu= x arcsinx+
1
2
Zu
12du =
= x arcsinx+1
2
u12+1
12+1
+ c = x arcsinx+ u12 + c = x arcsinx+
p1 x2 + c
por lo tanto Zarcsinxdx = x arcsinx+
p1 x2 + c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 43
Ejemplo 1.107 Vericar queZarc tan xdx = x arctanx 1
2ln1 + x2
+ c
En efecto, sea u = arctan x y dv = dx entonces du = dx1+x2
; v = x, por lo tantoZarctanxdx = x arctanx
Zxdx
1 + x2= x arctanx 1
2
Z2xdx
1 + x2=
= x arctanx 12
Zdu
u= x arctanx 1
2lnu+ c =
= x arctanx 12ln1 + x2
+ c luegoZ
arctanxdx = x arctanx 12ln1 + x2
+ c
Ejemplo 1.108 Calcular la integralZx2 arcsinxdx
En efecto, las posibilidades
a)u = x2; dv = arcsin x b) u = arcsinx; dv = x2dx c)u = x2 arcsinx; dv = dx d) u = x arcsinx; dv = xdx
y tomaremos ahora otro cambio de variable diferente a los anteriores para eliminar lainversa, por ejemplo x = sint; dx = cos tdt y arcsinx = arcsin(sint) = t entoncesZ
x2 arcsinxdx =
Zt sin2 t cos tdt
y para calcular la integralZt sin2 t cos tdt de har u = t; dv = sin2 t cos tdt; entonces
du = dt, v =Zsin2 t cos tdt =
Zu2dt = u
3
3= sin
3 t3
entoncesZt sin2 t cos tdt =
t sin3 t
3Zsin3 tdt
3=t sin3 t
313
Zsin2 t sin tdt =
t sin3 t
313
Z 1 cos2 t sin tdt =
=t sin3 t
3+1
3
Z 1 z2 dz = t sin3 t
3+z
3z
3
9+c =
t sin3 t
3+cos t
3cos
3
9t+c = (gura 1.15)
=x3 arcsinx
3+
p1 x23
p1 x239
+ c; x = sint; cos t =p1 x2
44 CAPTULO 1. INTEGRALES
gura 1.15
Ejemplo 1.109 Vericar queZxnexdx = xnex n
Zxn1exdx
En efecto, sea u = xn y dv = exdx entonces du = nxn1dx; v = ex por lo tantoZxnexdx = xnex n
Zxn1exdx conocida como una frmula de reduccin
a) Aplicando la frmula de reduccin con n=3, se tieneZx3exdx = x3ex 3
Zx2exdx = x3ex 3
x2ex 2
Zxexdx
=
= x3ex 3x2ex + 6Zxexdx = x3ex 3x2ex + 6
xex
Zexdx
=
= x3ex 3x2ex + 6xex 6Zexdx = x3ex 3x2ex + 6xex 6ex + c
Ejemplo 1.110 Vericar queZxn cosxdx = xn sin x+ nxn1 cosx n (n 1)
Zxn2 cosxdx
En efecto, sea u = xn y dv = cos xdx entonces du = nxn1dx; v = sinx por lo tanto
Zxn cosxdx = xn sin xn
Zxn1 sin xdx
ahora hagamos u = xn1; dv = sinxdx; du = (n 1)xn2dx; v = cosx y asiZxn1 sin dx = xn1 cosx+(n 1)
Zxn2 cosxdx por lo tanto
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 45Zxn cosxdx = xn sin xn
Zxn1 sin xdx = xn sin xn
xn1 cosx+ (n 1)
Zxn2 cosxdx
=
= xn sinx+nxn1 cosxn (n 1)Zxn2 cosxdx entoncesZ
xn cosxdx = xn sin x+ nxn1 cosx n (n 1)Zxn2 cosxdx
Ejemplo 1.111Zx2 cosxdx = x2 sin x+ 2x cosx 2
Zcosxdx = x2 sin x+ 2x cosx 2 sin x+ c
En forma anloga verique que la integralZxn sin xdx = xn cosx+ nxn1 sin x n (n 1)
Zxn2 sin xdx
Ejemplo 1.112 Verique queZlnn xdx = x lnn x n
Zlnn1 xdx
En efecto, sea u = lnn x y dv = dx entonces du = n lnn1 xdxx
; v = x por lo tanto
Zlnn xdx = x lnn x n
Zx lnn1 xdx
x= x lnn x n
Zlnn1 xdx y asiZ
lnn xdx = x lnn x nZlnn1 xdx
Ejemplo 1.113Zln3 xdx = x ln3 x 3
Zln2 xdx = x ln3 x 3
x ln2 x 2
Zlnxdx
=
= x ln3 x 3x ln2 x+ 6x lnx
Zdx
= x ln3 x 3x ln2 x+ 6x lnx 6x+ c
Ejemplo 1.114 Verique queZxm lnn xdx =
xm+1
m+ 1lnn x n
m+ 1
Zxm lnn1 xdx
En efecto, sea u = lnn x y dv = xmdx entonces du = n lnn1 xdxx
; v = xm+1
m+1por lo tanto
46 CAPTULO 1. INTEGRALES
Zxm lnn xdx =
xm+1
m+ 1lnn x n
m+ 1
Zxm lnn1 xdx
Ejemplo 1.115 Verique queZex cosxdx =
ex sin x+ ex cosx
2+ k
En efecto, sea u = ex y dv = cos xdx entonces du = exdx; v = sinx (y luego u = ex ydv=sinxdx), por lo tantoZ
ex cosxdx = ex sin xZex sin xdx = ex sin x
ex cosx+
Zex cosxdx
=
= ex sin x+ ex cosxZex cosxdx luegoZ
ex cosxdx = ex sin x+ ex cosxZex cosxdx por tantoZ
ex cosxdx+
Zex cosxdx = 2
Zex cosxdx = ex sin x+ ex cosx+ c entoncesZ
ex cosxdx =ex sin x+ ex cosx
2+ k
Anlogamente verique queZeax cos bxdx =
eaxb sin bx+ aeax cos bx
a2 + b2Zeax sin bxdx =
eaxa sin bx beax cos bxa2 + b2
Ejemplo 1.116 Verique queZsinn xdx = cosx sin
n1 xn
+(n 1)n
Zsinn2 xdx
En efecto, sea u = sinn1 x y dv = sinxdx entonces du = (n 1) sinn2 x cosxdx;v = cosx; por lo tantoZsinn xdx = cosx sinn1 x+(n1)
Zsinn2 x cos2 xdx =
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 47
= cosx sinn1 x+(n1)Zsinn2 x
1 sin2 x dx =
= cosx sinn1 x+ (n 1)Zsinn2 xdx (n 1)
Zsinn xdx entoncesZ
sinn xdx = cosx sinn1 x+(n1)Zsinn2 xdx (n1)
Zsinn xdx
asi queZsinn xdx+ (n 1)
Zsinn xdx = n
Zsinn xdx = cosx sinn1 x+ (n 1)
Zsinn2 xdx
por lo tanto Zsinn xdx = cosx sin
n1 xn
+(n 1)n
Zsinn2 xdx
Ejemplo 1.117Zsin3 xdx = cosx sin
2 x
3+2
3
Zsin xdx = cosx sin
2 x
3 23cosx+ c
En forma anloga verique queZcosn xdx =
Zcosn1 x cosxdx =
sin x cosn1 xn
+(n 1)n
Zcosn2 xdx
Ejemplo 1.118 Verique queZtann xdx =
tann1 xn 1
Ztann2 xdx
En efecto,Ztann xdx =
Ztann2 x tan2 xdx =
Ztann2 x
sec2 x 1 dx =
=
Ztann2 x sec2 xdx
Ztann2 xdx =
Zun2du
Ztann2 xdx =
=un2+1
n 2 + 1 Ztann2 xdx =
tann1 xn 1
Ztann2 xdx luegoZ
tann xdx =tann1 xn 1
Ztann2 xdx n 6= 1
48 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ztan2 xdx =
tan x
1Ztan22 xdx = tanx x+ c
En forma anloga vericar queZcotn xdx =
Zcotn2 x cot2 xdx = cot
n1 xn 1
Zcotn2 xdx n 6= 1
Ejemplo 1.119 Vericar queZsecn xdx =
secn2 x tan xn 1 +
n 2n 1
Zsecn2 xdx n 6= 1
En efecto sea u = secn2 x y dv = sec2 xdx entonces du = (n 2) secn3 x sec x tan xdx;v = tanx por lo tanto
Zsecn xdx =
Zsecn2 x sec2 xdx = secn2 x tan x(n2)
Zsecn3 x sec x tan x tan xdx =
= secn2 x tan x(n2)Zsecn2 x tan2 xdx = secn2 x tan x(n2)
Zsecn2 x
sec21 dx =
= secn2 x tan x(n2)Zsecn xdx+(n2)
Zsecn2 xdx entonces
Zsecn xdx = secn2 x tan x(n2)
Zsecn xdx+(n2)
Zsecn2 xdx y asi
Zsecn xdx+(n2)
Zsecn xdx = (n1)
Zsecn xdx = secn2 x tan x+(n2)
Zsecn2 xdx
por lo tantoZsecn xdx =
secn2 x tan xn 1 +
n 2n 1
Zsecn2 xdx n 6= 1
Ejemplo 1.120
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 49
Zsec3 xdx =
sec x tan x
2+1
2
Zsec xdx =
sec x tan x
2+1
2
Z sec x+ tanx
sec x+ tanx
sec xdx =
=sec x tan x
2+1
2
Z sec2 x+ tanx sec x
sec x+ tanx
dx =
sec x tan x
2+1
2
Zdu
u=
=sec x tan x
2+1
2lnu+ c =
sec x tan x
2+1
2ln (secx+ tanx) + c por lo tantoZ
sec3 xdx =sec x tan x
2+1
2ln (secx+ tanx) + c
En forma anloga vericar queZcscn xdx = csc
n2 x cotxn 1 +
n 2n 1
Zcscn2 xdx n 6= 1
Ejemplo 1.121 Vericar queZsinn x cosm xdx = sin
n1 x cosm+1 xm+ 1
+n 1m+ 1
Zsinn2 x cosm+2 x
En efecto, sea
u = sinn1 x cosm x y dv = sinxdx ,v = cosx,du = ((n 1) sinn2 x cosx cosm xm cosm1 x sin x sinn1 x)dx, por lo tantoZ
sinn x cosm xdx =
Zsinn1 x sin x cosm xdx =
= sinn1 x cosm x cosxZ((n 1) sinn2 x cosm+1 xm cosm1 x sinn x ( cosx))dx =
= sinn1 x cosm+1 x+(n1)Zsinn2 x cosm+2 xdxm
Zcosm x sinn xdx por tantoZ
sinn x cosm xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)Zsinn2 x cosm+2 xdxm
Zcosm x sinn xdx
y asiZsinn x cosm xdx+m
Zcosm x sinn xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)
Zsinn2 x cosm+2 xdx
50 CAPTULO 1. INTEGRALES
por tanto
(m+1)
Zcosm x sinn xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)
Zsinn2 x cosm+2 xdx
y asi Zcosm x sinn xdx = sin
n1 x cosm+1 xm+ 1
+n 1m+ 1
Zsinn2 x cosm+2 xdx
Ejemplo 1.122 Vericar queZsinn x
cosm xdx =
sinn1 x(m 1) cosm1 x
n 1m 1
Z sinn2 xcosm2 x
dx
En efecto, sea u = sinn1 x
cosm xy dv = sinxdx; v = cosx, y
du =(cosm x)(n 1) sinn2 x cosx sinn1 x (m cosm1 x)( sin x)
cos2m xdx =
;
=(n 1) cosm+1 x sinn2 x+m sinn x cosm1 x
cos2m xdx
por lo tantoZsinn x
cosm xdx = sin
n1 x cosxcosm x
Z
(n 1) cosm+1 x sinn2 x+m sinn x cosm1 xcos2m x
( cosx) dx =
= sinn1 x cosxcosm x
+
Z (n 1) cosm+2 x sinn2 x+m sinn x cosm x
cos2m x
dx =
= sinn1 x
cosm1 x+(n1)
Zsinn2 xcosm2 x
dx+m
Zsinn x
cosm xdx entoncesZ
sinn x
cosm xm
Zsinn x
cosm x
dx = (1m)
Zsinn x
cosm xdx = sin
n1 xcosm1 x
+(n1)Zsinn2 xcosm2 x
dx
entonces Zsinn x
cosm xdx =
sinn1 x(m 1) cosm1 x
n 1m 1
Zsinn2 xcosm2 x
dx
En forma anloga vericar queZcosm+1 x
sinn+1 xdx = cos
m x
n sinn x mn
Zcosm1 xsinn1 x
dx
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 51
Ejemplo 1.123 Vericar queZ(x2 a2)ndx = x(x
2 a2)n1 + 2n
2na2
1 + 2n
Z(x2 a2)n1dx
En efecto sea u = (x2 a2)n dv = dx, du = 2n(x2 a2)n1xdx; v = x luegoZ(x2a2)ndx = x(x2a2)n2n
Z(x2a2)n1xxdx =
= x(x2a2)n2nZ(x2a2)n1x2dx = x(x2a2)n2n
Z(x2a2)n1(x2a2+a2)dx =
= x(x2a2)n2nZ(x2a2)n2na2
Z(x2a2)n1dx por tantoZ
(x2a2)ndx = x(x2a2)n2nZ(x2a2)n2na2
Z(x2a2)n1dx asi queZ
(x2 a2)ndx+ 2nZ(x2 a2)ndx = x(x2 a2)n 2na2
Z(x2 a2)n1dx
por tanto
(1 + 2n)
Z(x2 a2)ndx = x(x2 a2)n 2na2
Z(x2 a2)n1dx
entonces Z(x2 a2)ndx = x(x
2 a2)n1 + 2n
2na2
1 + 2n
Z(x2 a2)n1dx
Ejemplo 1.124 Vericar queZdx
(x2 a2)n =1
2a2(1 n)(x2 a2)n1x1
a2
3 2n(2 2n)
Zdx
(x2 a2)n1En efecto,Z
dx
(x2 a2)n = 1
a2
Z a2dx(x2 a2)n =
1
a2
Z(x2 + x2 a2)dx
(x2 a2)n =
=1
a2
Zx2dx
(x2 a2)n 1
a2
Zdx
(x2 a2)n1ahora veriquemos que :Z
x2dx
(x2 a2)n =1
2(1 n)(x2 a2)n1x1
2(1 n)Z
dx
(x2 a2)n1
52 CAPTULO 1. INTEGRALES
hagamos u = x, dv =xdx
(x2 a2)n ; du = dx; v =1
2(1 n)(x2 a2)n1por tantoZ
x2dx
(x2 a2)n =x
2(1 n)(x2 a2)n1 1
2(1 n)Z
dx
(x2 a2)n1
entonces volviendo a la integral inicial tenemosZdx
(x2 a2)n =1
a2
Zx2dx
(x2 a2)n 1
a2
Zdx
(x2 a2)n1 =
=x
2a2(1 n)(x2 a2)n1 1
2a2(1 n)Z
dx
(x2 a2)n1 1
a2
Zdx
(x2 a2)n1 =
=x
2a2(1 n)(x2 a2)n1 1
a2
1
2(1 n) + 1Z
dx
(x2 a2)n1 =
=x
2a2(1 n)(x2 a2)n1 1
a2
3 2n2 2n
Zdx
(x2 a2)n1por tantoZ
dx
(x2 a2)n =x
2a2(1 n)(x2 a2)n1 1
a2
3 2n(2 2n)
Zdx
(x2 a2)n1
En forma anloga vericar queZ(a2 x2)ndx = x(a
2 x2)n1 + 2n
+2na2
1 + 2n
Z(a2 x2)n1dx
Ejemplo 1.125 Calcular la integralZarc tan
pxdx, hacer x = z2 y por partes, ejercicio
Ejemplo 1.126 Calcular la integral
Zarc sin
pxdx; hacer x = z2 y por partes,ejercicio
Ejemplo 1.127 Calcular la integral
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 53
Zepxdx hacer x = z2 y por partes,ejercicio
Ejercicio 5 I) Vericar que
1:
Zlnx2 + 2
dx = 2
p2 arctan
1
2
p2x2x+x ln x2 + 2+c
2:
Zxpx+ 1dx =
2
15(3x 2) (x+ 1) 32+c
3:
Zx arcsinxdx =
(2x2 1) arcsinx4
+xp1 x24
+c
4:
Zx arctanxdx =
1
2arctanx1
2x+1
2x2 arctanx+c
5:
Zxn arctanxdx =
xn+1 arctanx
n+ 1 1n+ 1
Zxn+1dx
x2 + 1si n 6= 1
6:
Zxnp2ax x2dx = x
n1(2axx2)32
n+ 2+(2n+ 1) a
n+ 2
Zxn1
p2ax x2dx
7:
Zxnp2ax+ bdx =
2
a(2n+ 3)
xn (2ax+ b)
32 nb
Zxn1
pax+ bdx
8:
Zxn arcsinxdx =
xn+1 arcsinx
n+ 1 1n+ 1
Zxn+1dxp1 x2 si n 6= 1
9:
Zsinhn xdx =
sinhn1 x coshxn
n 1n
Zsinhn2 xdx si n > 0
10:
Zsinhm xdx
coshn x= sinh
m1
(n 1) coshn1+m 1n 1
Zsinhm2 xcoshn2 x
dx
II) Hallar una formula de reduccin para calcula la integral
54 CAPTULO 1. INTEGRALES
1)
Zsinn xdx
cosx2)Z
dx
cosm x sin x3)
Zarcsinn xdx 4)
Zxdx
cosm x5)Zcosxdx
xn
III) Calcular las integrales
6)
Zarctan
pxdx 7)
Zx (arc tan x)2 dx 8)
Zln2 xdx
x29)Zarcsinxdx
x2
1.8.3 Extensin de la frmula de integracin por partes.
Recordemos queZf(x)g(x)dx = f(x)g(x)
Zf(x)g(x)dx y si notamos por D1 =
Zy g = D1F
entoncesD1 (f (x)F (x)) = f(x)D1F (x)D1 Df(x)D1F (x) =
= f(x)D1F (x) Df(x)D2F (x)D1 D2f(x)D2F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D1 D2f(x)D2F (x) =
= f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D2f(x)D3F (x)D1 D3f(x)D3F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)D1 D4f(x)D4F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)+D1 D4f(x)D4F (x) =
nXk=0
(1)kDkf(x)D(k+1)F (x) (1)nD1 Dn+1f(x)D(n+1)F (x)Frmula que se demuestra por induccin matemtica y si quiere profundizar ms, mirarMathemtical Associatin of America, James W Brown y se aplica para calcular algunas
integrales fcilmente,como por ejemplo,ZP (x)eaxdx,
ZP (x) sin axdx,
ZP (x)e cosxdx,
donde P(x) es un polinomio.
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 55
Ejemplo 1.128 Calcular la integral Zx3e3xdx
En efecto, Zx3e3xdx = D1
x3e3x
=
= f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)+D1 D4f(x)D4F (x) ==x3e3x
3 3x
2e3x
9+6xe3x
27 6e
3x
81+K
Ejemplo 1.129Z x3 + x2 + x+ 1
e3xdx =
(x3 + x2 + x+ 1) e3x
3(3x
2 + 2x+ 1)e3x
9+(6x+ 2)e3x
276e
3x
81+K
Ejemplo 1.130 La integralZx4 sin xdx = x4 ( cosx) 4x3 ( sin x) + 12x2 cosx 24x sin x+ 24 ( cosx) +K =
= x4 cosx+ 4x3 sin x+ 12x2 cosx 24x sin x 24 cosx+K
Ejemplo 1.131 Z(x4 + x2 + 3) sinxdx =
= (x4+x2+3) ( cosx)(4x3+2x) ( sin x)+12x2 + 2 cosx24x sin x+24 ( cosx)+K == 11x2 cosx 25 cosx x4 cosx+ 4x3 sin x 22x sin x+K
Ejemplo 1.132 Calcular la integral Zarctanxdx
En efecto, f(x)=arctanx y F(x)=1, entoncesZarctanxdx = D1 (f (x)F (x)) = f(x)D1F (x)D1 Df(x)D1F (x) = (arctanx)xZ 1:xdx
1 + x2=
= (arctanx)xZ1:xdx
1 + x2= x arctanx 1
2ln1 + x2
+ k
56 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.133 Calcular la integral Zex sin xdx
En efecto, f(x)=sinx y F(x)=ex entoncesZex sin xdx = f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D1 D2f(x)D2F (x) == sinxex cosxex +
Z sin xexdx = sinxex cosxex
Zsin xexdx
entoncesZex sinxdx+
Zex sinxdx = sinxex cosxex luego
Zex sin xdx =
sin xex cosxex2
+K
1.8.4 Sustituciones trigonomtricas
Funcion Racional en la variable x, es una expresin de la forma Pn(x)Qm(x)
donde Qm y Pn sonpolinomios en x
Ejemplo 1.134
f(x) =x4 + x3 + x2 + 5
x5 x3 + x2 6 ; g(x) =x4 + 5x3 + x+ 5
x6 x3 7x2 45 ; h(x) =5
x3 + x2 6son funciones racionales en la variable x.
Ejemplo 1.135 Funciones Racionales en las variables x ypa bx2
R(x;pa bx2)
son por ejemplo
a) f(x) =x2p4 2x2 ; b) g(x) =
5p3 x22 +p3 x2 + 5 ; c) h(x) = 5xp9 x22 +p9 x2 + 5
Para calcular integrales de la formaZR(x;
pa bx2)dx con a; b > 0
se puede hacer la sustitucinpbx =
pa sin t o
pbx =
pa cos t, es decir,
x =pa sin tpb
gura 1.16 o x =pa cos tpb
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 57
gura 1.16
Ejemplo 1.136 Vericar que Zdxp1 x2 = arcsin x+ c
En efecto, sea x =p1 sin tp1= sin t; gura 1.17, dx = cos tdt y
p1 x2 =
p1 sin2 t =p
cos2 t = jcos tj entoncesZdxp1 x2 =
Zcos tdt
cos t=
Zdt = t+c = arcsinx+c; ( ya que como x = sin t entonces t = arcsinx)
gura 1.17
Ejemplo 1.137 Vericar queZx2dxp2 3x2 =
1
3p3
arcsin
p3xp2
!p3xp2
p2 3x2p2
!+ c
En efecto; si x =
p2 sin tp3
; gura 1.18, dx =
p2p3cos tdt y
p2 3x2 =
vuut2 3 p2 sin tp3
!2=
=p2 2 sin2 t =
q21 sin2 t = p2 cos2 t = p2 jcos tj entonces
58 CAPTULO 1. INTEGRALES
Zx2dxp2 3x2 =
Z p2 sin tp3
2 p2p3cos tdt
p2 cos t
=2
3p3
Zsin2 tdt =
2
3p3
Z(1 cos 2t)
2dt =
=1
3p3(tsin 2t
2)+c =
1
3p3(tsin t cos t)+c = 1
3p3
arcsin
p3xp2
!p3xp2
p2 3x2p2
!+c
por lo tantoZx2dxp2 3x2 =
1
3p3
arcsin
p3xp2
!p3xp2
p2 3x2p2
!+ c
gura 1.18
Ejemplo 1.138 Vericar queZx2dx
1 x2 = ln
1p1 x2 +
xp1 x2
x+ c
En efecto, x =p1 sin tp1
= sin t gura 1.19, dx = cos tdt y 1 x2 = 1 sin2 t = cos2 tentoncesZ
x2dx
1 x2 =Zsin2 t cos tdt
cos2 t=
Zsin2 tdt
cos t=
Z(1 cos2 t)dt
cos t=
Zsec tdt
Zcos tdt =
= ln(sec t+tan t)sin t+c = ln
1p1 x2 +
xp1 x2
x+c por tantoZ
x2dx
1 x2 = ln
1p1 x2 +
xp1 x2
x+ c
gura 1.19
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 59
Ejemplo 1.139 Calcular Z p4 x2dx
En efecto, x = 2 sin t; gura 1.20, dx = 2 cos tdt;p4 x2 =
q4 (2 sin t)2 =
q41 sin2 t = 2 cos t
entoncesZ p
4 x2dx =Z2 cos t:2 cos tdt = 4
Zcos2 tdt = 4
Z(1 + cos 2t)dt
2=
= 2
Zdt+ 2
Zcos 2tdt = 2t+ sin 2t+ c = 2t+ 2 sin t cos t+ c =
= 2arcsinx
2+xp4 x22
+ c
por lo tanto Z p4 x2dx = 2arcsin x
2+xp4 x22
+ c
gura 1.20
Ejemplo 1.140 Calcular Z px2 + 6x 5dx
En efecto,Z p
x2 + 6x 5dx =Z p
(x2 6x+ 5)dx =Z p
(x2 6x) 5dx =
=
Z p(x2 6x+ 9 9) 5dx =
Z q (x 3)2 + 9 5dx =
Z q4 (x 3)2dx =
=
Z p4 u2dx = 2arcsin u
2+up4 u22
+c = 2arcsinx 32+(x 3)p4 (x 3)2
2+c; luegoZ p
x2 + 6x 5dx = 2arcsin (x 3)2
+ :(x 3)p4 (x 3)2
2+ c
60 CAPTULO 1. INTEGRALES
gura 1.21
Ejemplo 1.141 Vericar queZx2dxp2x x2 =
3arcsin(x 1)2
2p2x x2 (x 1)
p2x x22
+ c
En efecto, organizamos el cuadrado perfecto y hacemos x 1 = sint; gura 1.22,dx = cos tdt y asZ
x2dxp2x x2 =
Zx2dxp(2x+ x2) =
Zx2dxp(x2 2x+ 1 1) =
Zx2dxp
1 (x 1)2 =
=
Z(1 + sin t)2 cos tdt
cos t=
Z(1+sin t)2dt =
Z(1+2 sin t+sin2 t)dt =
=
Z 1 + 2 sin t+
1 cos 2t2
dt =
Z 3
2+ 2 sin t cos 2t
2
dt =
3t
22 cos tsin 2t
4+c =
=3t
22 cos t 2 sin t cos t
4+c =
3t
22 cos t sin t cos t
2+c =
=3arcsin(x 1)
22p2x x2(x 1)
p2x x22
+c
por lo tantoZx2dxp2x x2 =
3arcsin(x 1)2
2p2x x2 (x 1)
p2x x22
+ c
gura 1.22
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 61
Ejemplo 1.142 Vericar queZxdxp
1 + 6x 3x2 = 1
3
p1 + 6x 3x2 + 1p
3arcsin
p3 (x 1)2
!+ c
En efecto;Z
xdxp1 + 6x 3x2 =
Zxdxp
1 (3x2 6x) =Z
xdxp1 3(x2 2x) =
=
Zxdxp
1 3(x2 2x+ 1 1) =Z
xdxp4 3(x 1)2 por tanto
p3(x1) = 2 sin t; gura 1.23, luego x = 2 sin t+
p3p
3; dx =
2 cos tdtp3
;p4 3(x 1)2 = 2 cos t
por tantoZxdxp
1 + 6x 3x2 =Z
xdxp4 3(x 1)2 =
2p3
Z 2 sin tp3+ 1
cos t
2 cos tdt =
=1p3
Z 2 sin tp3+1
1
dt = 2
3cos t+
tp3+c = 1
3
p1 + 6x 3x2+ 1p
3arcsin
p3 (x 1)2
!+c
asi queZxdxp
1 + 6x 3x2 = 1
3
p1 + 6x 3x2 + 1p
3arcsin
p3 (x 1)2
!+ c
gura 1.23
Ejemplo 1.143 Calcular Zdxp
4 + 3x 9x2
62 CAPTULO 1. INTEGRALES
En efecto,Z
dxp4 + 3x 9x2 =
Zdxp
4 (9x2 3x) =Z
dxp4 9(x2 x
3)=
=
Zdxq
4 9(x2 x3+ 1
36 1
36)=
Zdxq
174 9(x 1
6)2=1
3
Zdxq
1736 (x 1
6)2=
=1
3
Zdxq1736 u2
=1
3arcsin
up176
!+ c =
1
3arcsin
x 1
6p176
!+ c por tanto
Zdxp
4 + 3x 9x2 =1
3arcsin
x 1
6p176
!+ c
Para calcular integrales de la formaZR(x;
pa+ bx2)dx con a; b > 0; se puede hacer
la sustitucionpbx =
pa tan t o
pbx =
pa cot t, es decir,
x =
pa tan tpb
gura 1.24 o x =pa cot tpb
gura 1.24
Ejemplo 1.144 Vericar queZdx
x2 + a2=1
aarctan
xa
+ c
En efect, si x = a tan t; gura 1.25, dx = a sec2 t; x2+a2 = (a tan t)2+a2 = a2(tan2 t+1) =a2 sec2 t, entonces
Zdx
x2 + a2=
Za sec2 tdt
a2(tan2 t+ 1)=
Za sec2 tdt
a2 sec2=1
a
Zdt =
t
a+ c =
1
aarctan
xa
+ c
por lo tantoZ
dx
x2 + a2=1
aarctan
xa
+ c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 63
gura 1.25
Ejemplo 1.145 Vericar queZdx
x2px2 + 4
= px2 + 4
4x+ c
En efecto, si x = 2 tan t; gura 1.26, dx = 2 sec2 t;px2 + 4 =
p(2 tan t)2 + 4 =
p4(tan2 t+ 1) =p
4 sec2 t = 2 sec t, entoncesZdx
x2px2 + 4
=
Z2 sec2 tdt
(4 tan2 t)(2 sec t)=1
4
Zsec t
tan2 tdt =
1
4
Zdt
cos t sin2 tcos2 t
=1
4
Zcos t
sin2 tdt
=1
4
Zdu
u2=1
4
Zu2du = 1
4u+ c = 1
4 sin t+ c =
px2 + 4
4x+ c por tantoZ
dx
x2px2 + 4
= px2 + 4
4x+ c
gura 1.26
Ejemplo 1.146 Vericar queZdx
xp4x2 + 9
=1
3ln
p4x2 + 9 3
x
!+ c
En efecto, sea x =3
2tan t; gura 1.27, dx =
3
2sec2 t;
p4x2 + 9 =
s4
3
2tan t
2+ 9 =
=q9(tan2 t+ 1) =
p9 sec2 t = 3 sec t entonces
64 CAPTULO 1. INTEGRALES
Zdx
xp4x2 + 9
=
Z 32sec2 tdt
(32tan t)(3 sec t)
=1
3
Zsec tdt
tan t=1
4
Z1
sin tdt =
1
3
Zcsc tdt =
=1
3
Zcsc t (csc t cot t)(csc t cot t) dt =
1
3
Z(csc2 t csc t cot t)(csc t cot t) dt =
1
3
Zdu
u=lnu
3+ c=
=ln (csc t cot t)
3+ c =
1
3ln
p4x2 + 9 32x
!+ c por lo tanto
Zdx
xp4x2 + 9
=1
3ln
p4x2 + 9 32x
!+ c
gura 1.27
Ejemplo 1.147 Vericar que Zxdx
1 + x4=1
2arctanx2 + c
En efecto, sea, x2 = tant; 2xdx = sec2 tdt; 1 + x4 = 1 + tan2 t = sec2 t por lo tanto
Zxdx
1 + x4=1
2
Z2xdx
1 + x4=1
2
Zsec2 tdt
sec2 t=1
2
Zdt =
1
2t+ c =
1
2
arctanx2
t+ c entoncesZ
xdx
1 + x4=1
2
arctanx2
t+ c
Ejemplo 1.148 Calcular la integralZxdx
(7 + 4x+ x2)32
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 65
En efecto, organizamos el cuadrado perfecto y hacemos el cambio de variable x + 2 =p3 tan t gura 1.28, entoncesZ
xdx
(7 + 4x+ x2)32
=
Zxdx
3 + (x+ 2)2 32
=p3
Z(p3 tan t 2) sec2 t(3 + 3 tan2 t)
32
dt =1
3
Z(p3 tan t 2)dtsec t
=
=1
3
Z(p3 sin t2 cos t)dt =
p3
3cos t2
3sin t+k =
p3
3
p3p
7 + 4x+ x223
x+ 2p7 + 4x+ x2
+k
luegoZ
xdx
(7 + 4x+ x2)32
= p3
3
p3p
7 + 4x+ x2 23
x+ 2p7 + 4x+ x2
+ k
gura 1.28
Para calcular integrales de la formaZR(x;
pbx2 a)dx con a; b > 0
se puede hacer la sustitucionpbx =
pa sec t o
pbx =
pa csc t; es decir,
x =
pa sec tpb
gura 1.29 o x =pa csc tpb
gura 1.29
66 CAPTULO 1. INTEGRALES
Ejemplo 1.149 Vericar queZ px2 9x
=px2 9 3 arcsec x
3+ c
En efecto, sea
x = 3 sec t; gura 1.30, dx = (3 sec t tan t)dt;px2 9 =
p9 sec2 t 9 = 3 tan t
entoncesZ p
x2 9x
=
Z(3 tan t)(3 sec t tan t)dt
3 sec t= 3
Ztan2 tdt =
= 3
Z(sec2 t 1)dt = 3 tan t 3t+ c =
px2 9 3 arcsec x
3+ c por lo tantoZ p
x2 9x
=px2 9 3 arcsec x
3+ c
gura 1.30
Ejemplo 1.150 Calcular Zx3dxpx2 1
En efecto, hacemos la sustitucin x = sec t; gura 1.31, dx = sec t tan tdt;px2 1 = tan t;
entonces
Zx3dxpx2 1 =
Z(sec3 t)(sec t tan t)dt
tan t=
Zsec4 tdt =
Zsec2 t sec2 tdt =
=
Z(sec2 t)(1 + tan2 t)dt =
Z(sec2 t)dt+
Z(sec2 t tan2 t)dt = tan t+
tan3 t
3+ c =
=px2 1 +
px2 133
+ c por lo tantoZx3dxpx2 1 =
px2 1 +
px2 133
+ c
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 67
gura 1.31
Ejemplo 1.151 Calcular la integral Zdx
x3px2 4
En efecto, x = 2 sec t; gura 1.32, dx = 2 sec t tan tdt;px2 4 = 2 tan t; y asZ
dx
x3px2 4 =
Z2 sec t tan tdt
(8 sec3 t)(2 tan t)=1
8
Zdt
sec2 t=1
8
Zcos2 tdt =
=1
16
Z(1 + cos 2t) dt =
t
16+sin 2t
32+ c =
t
16+cos t sin t
16+ c =
=arcsec
x2
16
+
px2 48x2
+ c
por lo tanto Zdx
x3px2 4 =
arcsecx2
16
+
px2 48x2
+ c
gura 1.32
Ejemplo 1.152 Calcular la integralZ(x 1)
px2 2x 8dx =
Z(x 1)
p(x 1)2 9dx
68 CAPTULO 1. INTEGRALES
En efecto; x 1 = 3 sec t;gura 1.33, dx = 3 sec t tan tdt;p(x 1)2 9 =
=p(3 sec t)2 9 = 3
psec2 t 1 = 3 tan t entoncesZ
(x1)px2 2x 8dx =
Z(x1)
p(x 1)2 9dx = 27
Zsec t tan t sec t tan tdt = 27
Zsec2 t tan2 tdt =
= 27
Zu2du =
27u3
3+ c = 9 tan3 t+ c =
1
3
p(x 1)2 9
3+ c, por lo tantoZ
(x 1)px2 2x 8dx = 1
3
p(x 1)2 9
3+ c
gura 1.33
Ejemplo 1.153 Calcular la integral5Z3
px2 9dxx2
En efecto, si hacemos el cambio de variable x = 3 sec t; gura 1.34, dx = 3 sec t tan tdt;px2 9 =
3 tan t; tenemos que
5Z3
px2 9dxx2
=
Z3 tan t3 sec t tan tdt
9 sec2 t=
Ztan2 tdt
sec t==
Z(sec2 t 1)dt
sec t=
=
Z(sec t cos t)dt = ln(sec t+ tan t) sin t+ c = ln
x
3+
px2 93
px2 9x
5
3=
= ln
5
3+4
3
45
por lo tanto
5Z3
px2 9dxx2
= ln
5
3+4
3
45
1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 69
gura 1.34
Ejercicio 6 Vericar que
1)
1p2Z
0
dxp1 x2 =
1
4 2)
1Z1
dx
1 + x2=1
2 3)
2p3Z
p2
dx
xpx2 1 =
1
12
4)
Z(x+ 2) dxp4x x2 = 4arcsin
x 22
p4x x2+c 5)
Zdxp4x+ x2
= lnx+
px (x+ 4) + 2
+c
6)
Z p3 2x x2dx =
Z q4 (x+ 1)2dx = (x+ 1)
p3 2x x22
+2 arcsin
x+ 1
2
+c
1.8.5 Integrales por fracciones parciales
Dados dos polinomios con coecientes reales con grado de Pn(x) menor que el grado delpolinomio Qm(x); es posible demostrar que
Pn(x)Qm(x)
se puede exprezar como
Pn(x)
Qm(x)= F1(x) + F2(x) + F3(x):::+ Fn(x)
donde cada Fn(x) tiene una de las formas siguientes Am(ax+b)n oAx+B
(a1x2+b1x+c1)m y a la
representacinPn(x)
Qm(x)= F1(x) + F2(x) + F3(x):::+ Fn(x)
se llama descomposicion en fraciones parciales y para el clculo de las integrales porfracciones parciales, se estudiar caso por caso asi :I) Cuando el grado del polinomio Pn(x) es menor que el grado del polinomio Qm(x)
a) Cuando Qm(x) tiene ceros reales todos diferentes, es decir
Qm(x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2)+::::+(amx+bm) con ai 6= aj para todo i,j, es decir,
70 CA