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Calculo Integral
Tema: Unidad 4 Series
03/12/2014
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INDICIE
Tabla de contenido4.1 Definición de serie.................................................................................................................4
4.1.1 Finita..................................................................................................................................4
4.1.2 Infinita................................................................................................................................5
Teorema.....................................................................................................................................5
4.2 Serie numérica y convergencia...............................................................................................7
4.3 Series de potencias..............................................................................................................10
4.4 Radio de convergencia.........................................................................................................12
4.5 Representación de funciones mediante la serie de Taylor....................................................14
4.6 Serie de Taylor.....................................................................................................................15
4.7 Calculo de integrales expresadas como serie de Taylor........................................................16
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Introducción
En el siglo V A.C el filósofo Zenón propuso la siguiente paradoja: para que un
corredor recorra una distancia dada es preciso que primero recorra la mitad,
después de la mitad de la distancia restante, después de la mitad de la distancia
que todavía queda y así ad infitum. Pero, arquia Zenón es claramente imposible
que el corredor realice este número infinito de paso en un periodo finito de tiempo,
por lo cual el movimiento de un puto a otro es imposible.
La paradoja de Zenón sugiere la subdivisión infinita, hay un intervalo de longitud
para cada entero n= 1, 2,3,…
Si la longitud del intervalo es la suma de los sus intervalos en que esta dividido,
resultaría que:
1= ½+ ¼+ 1/8 + 1/16 +….+ 1/2*n +…
Con un número infinito determinamos que se acerca a 1. Por otra parte la suma
formal infinita.
1+2+3…+n+….
De todos los enteros positivos, parece sin significado – no parece que se acerquen
a ningún valor (finito).
La cuestión es esta ¿Cuál es el el significado si es que lo hay, de la suma de un
conjunto infinito de números? Este capítulo explora las condiciones en las cuales
una suma infinita.
A1+a2+a3+…..+an+….
Conocida como serie infinita, tiene significado. Las series más importantes en las
ciencias y en las matemáticas porque muchas funciones surgen con la mayor
naturalidad en forma de serie o tienen representaciones en serie (como la serie de
Taylor) que son útiles en muchos cálculos numéricos.
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4.1 Definición de serieEn matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se
representa una serie con términos an. En terminología matemática se incluye
sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se
excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el
concepto de sucesión que se muestra a continuación:
El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva
cuando se asocia a un número natural un número real.
Termino de una sucesión: S: NàR
Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los
primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante
observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón
que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el
alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción
matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el
bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de
sucesiones de diversas entidades matemáticas.
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4.1.1 Finita
∑I=1
n
aiLas series tienen una características fundamental con respecto a su límite y
esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes
rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas
son objeto de análisis.
∑I=1
n
aiObservando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un
análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”,
esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural,
y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un
numero finito de elementos acotados por "N".
4.1.2 InfinitaUna parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de
funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación
familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad
de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de limite en el que
se consideran sucesiones.
Suponga que asociada a la sucesión
U1, U2, U3,…, Un,…
Se tiene una “suma infinita” denotada por
U1+ U2 + U3 +…+ Un+…
Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto es, ¿Qué debe entenderse
por la “suma” de n número infinito de términos, y en qué circunstancias dicha
suma existe?
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Teorema
Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de
cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de
longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos
resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad
obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los
trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en
forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos
apartados puede considerarse como la suma infinita
1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/(2˄(N-1))
Como se inicio con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos
indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.
A partir de la sucesión
U1, U1, U3,…, Un,…
Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):
S1=U1
S2=U1+U2
S3=U1+U2+U3
S4=U1+U2´+U3+U
…
Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un
L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una
secesión de sumas parciales llamada serie infinita.
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L ɛ R limn→∞
∑i=1
n
ai=L
Definición de serie infinita
Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un
Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se
denota por
∑n=1
∞
an
Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita.
4.2 Serie numérica y convergencia
∑n=0
∞
aza1−Z
La serie armónica es la serie
1+ 12+ 13+ 14+ 15…=∑
n=0
∞1n
La serie armónica es divergente
Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
1+ 12+ 13+ 14+ 15…= ∑
n=(−1)n+1
∞1n
Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la
siguiente manera:
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∑n=0
N
(bn−bn+1)
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
Sn=(b0−b1)+(b1−b2 )+…+(bN−1b N )+(bN−bN+1 )=b0−bN +1
Una serie hipergeometrica es una serie de la forma
∑n=0
∞
an
que cumple que
an+Ban+r
=an+Ban+r
Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u
oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en
cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).
Condición del resto
∑n=0
∞
an
Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que
limk→∞
ak≠0 Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios
cuando el límite es distinto de cero.
Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
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∑k=1
∞
ak
tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
Lϵ ¿ el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
limk→∞ ( ak+1ak )=L
❑
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma
infinita’ tiene sentido:
La serie converge si lo hace su sucesión de sumas parciales; otra cosa distinta es
que converja su término general.
De la definición y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se
deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero
finito de términos al principio de una serie, no se altera su carácter de
convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque
las nuevas sumas parciales diferirán de la inicial solo en un constante. Por eso,
cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n
en que empezamos a sumar; incluso escribiremos solo “sigma” (no olvidando que
son infinitos términos).
Algunos tipos de series
Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene
multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante
1/2):
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1+12+ 14+ 18+ 116
+…=∑n=0
∞12n
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:
Criterio de Raabe
En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos
permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces
recurrimos al criterio de Raabe.
∑k=1
∞
akSea una serie como la mostrada tal que ak > 0 (serie de términos positivos).
Y supongamos que existe
limn→∞
k (1+ ak+1ak )❑
=L
Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es
divergente
Tiene cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de
D'Alembert y de la raíz.
Convergencia absoluta
Una serie alternada an converge absolutamente sí.
∑n=1
∞
¿an∨¿¿
4.3 Series de potenciasLas series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de
términos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de términos
variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como
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una generalización de de una función polinomial. En las secciones restantes de
este capítulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para
calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)˄1/2, las cuales no se
pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para
determinar valores de funciones racionales.
Definición de una serie de potencias:
Una serie de potencias en x-a es una serie de la forma
Co+C1(x-c)+C2(x-c)˄2+…+Cn(x-c)˄n+…
∑n=0
∞
an(×−c)n
Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x=
x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los
valores de x para los cuales [x]<[x1]
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
∑n=0
∞
an(×)n
Teorema
SI la serie de potencias expuesta con anterioridad es divergente para x=x2,
entonces es divergente para todos los valores de x para los que [x]>[x2]
Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de
potencias x-a
1. Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para
determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen
absolutamente para todos los valores de x.
2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R)
y diverge para
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[x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R),
por supuesto, ninguna conclusión acerca de la convergencia en los extremos
puede inferirse del criterio de la razón o del criterio de la raíz.
4.4 Radio de convergenciaEn matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de
convergencia de una serie de la forma
∑n=0
∞
an(×−x0)n
an , x , x0∈RConviene dado por la expresión:
R=
1
limn→∞
¿an+1an
∨¿❑¿
Definición
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma
∑n=0
∞
an(×−x0)n
Con an , x , x0∈R, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie
converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0
| < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta
converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r,
x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte,
por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o
cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de
x, r = \infty \,\!
Ejemplos
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Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de
potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio
de convergencia es el dado.
Radio de convergencia finito
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x
− x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
11−x
=∑n=0
∞
xn=1+x+x2+x3+…
(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r =
1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0
es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el
resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de
hecho
∑n=0
∞
0.25n=1+0.25+0.252+0.253+…=43
(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
11−0.25
= 1
1−14
=43
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x =
2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el
nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
∑n=0
∞
2n=1+2+22+23+…=∞
Distancia a la singularidad
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El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos
desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de
convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene
la forma:
11−x
=−12
+ x−34
−(x−3)2
8+(x−3)3
16−…
Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1
− x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de
convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y |
3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede
generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
11−x2
=12+ x−12
−( x−1)2
4−
(x−1)4
8+(x−1)5
8…
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin
embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso
pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo,
existe una singularidad en el denominador. La serie
Radio de convergencia infinito
Por ejemplo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x,
de hecho ex∑n=0
∞x2
n!=1+x+ x
2
2 !+ x
3
3 !+…
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.
4.5 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
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Sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de
grado 1, 3, 5,7, 9, 11 y 13
La función exponencial, y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de
Taylor en torno a cero.
La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un
polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).
Puedes observar el comportamiento de aproximación usando algún polinomio de
Taylor por y = sin x.
El valor en x = π en cada función se despliegan al lado derecho.
4.6 Serie de TaylorEn matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable
(real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la
siguiente suma:
f ( x )=∑n=0
∞ f (n ) (a )n!
( x−a)n
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es
igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie
converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de
potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en
la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
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La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a
término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una
serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen
alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un
desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent.
Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es
infinitamente diferenciable en un entrono de números reales o complejos a, es la
serie de potencias:
f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\
cdots
Que puede ser escrito de una manera más compacta como
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto
a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos
definidos como uno.
Series de Taylor en el siglo XVIII.
4.7 Calculo de integrales expresadas como serie de Taylor
16
Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada
de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x)
en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que
f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto
a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' '
(a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también
iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará
a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un
polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo
punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así
obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n
El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para
cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los
valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.
Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta
fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña
cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único
polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende
a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada
anterior es una verdadera igualdad.
Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo
miembro un término más, llamado resto:
f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)
(c)(x-a)n+1
El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse
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en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido,
desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.
La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en
esencia.
Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena
aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello
pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la
precisión deseada.
La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el
análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico.
La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como
suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo
en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la
aproximación de funciones.
En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se
va "tapando" con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del
polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor
del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia
es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.
La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un
polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).
CONCLUSION
En este tema aprendimos a identificar series finitas e infinitas en distintos contextos, a que también pudimos comprender como determinar la convergencia de una serie infinita, usar el teorema de Taylor para representar una función en
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serie de potencias y aplicar esta representación para calcular la integral de la función.
BIBLIOGRAFIAS
Cálculo y geometría analítica segunda edición Edwadrs y Penney
19