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Cálculo Integral Agosto 2016
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Laboratorio #1 Antiderivadas
I.- Realice la antidiferenciación indicada
1) ∫(𝑥 − 2𝑥
3+ 7𝑥2/3)𝑑𝑥
10)∫ 4𝑤3 (√√𝑤4 + 13
) 𝑑𝑤
2)∫(𝑧1/2 + 2𝑧1/5 + 3)𝑑𝑧
11)∫𝑥3
√𝑥4+2𝑑𝑥
3)∫(𝑤3 + 𝑤)(2𝑤 + 1) 𝑑𝑤
12)∫𝑘3
(𝑘2+2)3/2𝑑𝑘
4)∫(𝑦3/2 + 2𝑦5/4)(𝑦 + 3)𝑑𝑦
13)∫ 𝑦
3
2 √𝑦4 (𝑦 − 1)𝑑𝑦
5)∫(3𝑥2 + 5𝑥)2(𝑥 + 1) 𝑑𝑥
14)∫(cos(5𝑥 − 3))𝑑𝑥
6)∫(5𝑤3/2 + 3𝑤1/3)√𝑤𝑑𝑤
15)∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 (
𝑥2
3− 4) 𝑑𝑥
7)∫(3𝑧+2)(4𝑧2+9)
𝑧6 𝑑𝑧
16)∫ tan(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
8)∫𝑥5/3+3𝑥4/5
𝑥1/2 𝑑𝑥
17)∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑤
3) cos (
𝑤
3) 𝑑𝑤
9)∫ √(7𝑦 + 5)𝑑𝑦
18)∫ sec(𝑥)2 tan(𝑥)𝑑𝑥
II.-Realice las siguientes operaciones
1) 𝑑
𝑑𝑥(∫(𝑥−2 + 3𝑥 − 4)𝑑𝑥)
2) ∫ 𝐷𝑥(3 + √𝑥)𝑑𝑥
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Laboratorio #2 Aplicaciones de Antiderivadas
I.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) 𝑑𝑦
𝑑𝑥= sen(𝑥) cot(𝑥)
2) 3𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= csc(𝑥) ctg (𝑥)
3) 𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥2/5 + 3𝑥1/2
4) 𝑦2
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
3
5cot (
𝑋
2)
5) 3𝑦4 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
csc(𝑥
4)
2
II.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el
punto P.
1) 𝑓(𝑥) = √𝑥3
+ 2 𝑃(−8,0)
2) 𝑦 = 3
𝑥−1 𝑃(0, −3)
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Laboratorio#3 Integral definida
I.- Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y formulas.
1) ∑ (5𝑖 − 1)17 𝑖=1
2) ∑ (4𝑖2 + 3𝑖)12𝑖=1
3) ∑ (𝑖2 + 1)(2𝑖 − 1)25𝑖=1
4) ∑ (11 + 2𝑖 − 3𝑖3)100𝑖=1
5) ∑ (𝑖 + 5)2𝑖210𝑖=2
II.- Calcule el límite indicado
1) lim𝑛→∞
∑ 3
𝑛[(
𝑖
2𝑛)
2
− 3 (𝑖
𝑛)]𝑛
𝑖=1
2) lim𝑛→∞
∑ 18𝑖
3𝑛2𝑛𝑖=1
III.- Halle el área por definición de la región acotada por la gráfica de las
ecuaciones dadas.
1) 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 = 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑥
2) 𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑥 = −2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥
3) 𝑦 + 𝑥2 = 5𝑥, 𝑒𝑗𝑒𝑥
4) 𝑦 = 𝑥3 − 1, 𝑥 = 2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥
5) 𝑦 = |3𝑥 − 1|, 𝑥 = −2, 𝑥 = −4, 𝑒𝑗𝑒 𝑥
IV.- Calcule la integral indicada, utilizando definición.
1) ∫ (2𝑥 − 5)𝑑𝑥1
−2
2) ∫ (3𝑥2 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥0
−2
3) ∫ (𝑥3 − 1)𝑑𝑥2
0
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Laboratorio #4 Propiedades de la integral definida
I.- Dado que:
∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 203
−1 , ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
28
3
3
−1, ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 4
3
−1, ∫ 𝑠𝑒𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
30
, ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =√3
2
𝜋
30
Calcule:
1) ∫ (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥3
−6
2) ∫ 2𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥3
1
3) ∫ csc(𝑥) cot(𝑥) 𝑑𝑥𝜋
4−𝜋
4
4) ∫ (1
0𝑥2 − 9)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) 𝑑𝑥
5) ∫ 2(𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)) 𝑑𝑥𝜋
40
II.- Sin calcular las integrales, pruebe que:
1) ∫ sec(2𝑥) 𝑑𝑥 > ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥𝜋
2𝜋
4
𝜋
2𝜋
4
2) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 > ∫ (𝑥2 − 6𝑥 + 7)𝑑𝑥4
2
4
2
III.- Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.
1) ∫ (−𝑥2 + 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥4
1
2) ∫ (𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 8)6
2𝑑𝑥
3) ∫ ( |𝑥 − 9| − 5 )𝑑𝑥12
8
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Laboratorio #5 Teorema Fundamental del Cálculo
I.-Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integran definida
dada.
1) ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)𝑑𝑥2
−1 8) ∫
𝑥
𝑥2+7𝑑𝑥
√7
0
2) ∫ (5𝑦 − 2)𝑑𝑦3
0 9) ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥
3
−2
3) ∫ (𝑥1
2 + 𝑥3
2) 𝑑𝑥4
1 10) ∫ |𝑥2 − 1|𝑑𝑥
3
−2
4) ∫ (𝑥 + 1)(𝑥 + 6)𝑑𝑥1
−3 11) ∫ (|𝑥2 − 4| + 3)𝑑𝑥
3
−3
5) ∫ 𝑥2√𝑥3 + 8𝑑𝑥1
0 12) ∫ cos(𝑥)(𝑠𝑒𝑛(𝑥))2𝑑𝑥
𝜋
20
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝜋
−𝜋
2
𝑑𝑥 13) ∫ 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)𝜋
2𝜋
4
𝑑𝑥
7 )∫𝑥3+6𝑥2+3
𝑥2
2
1 14) ∫
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
cot (𝑥)𝑑𝑥
𝜋
30
II.-Halle
1)𝑑
𝑑𝑥(∫ (2𝑡 + 3)𝑑𝑡 )
𝑥
4 3)
𝑑
𝑑𝑥(∫ √4 − 𝑡𝑑𝑡)
𝑥+1
𝑥
2)𝑑
𝑑𝑥(∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤)
𝑡
0
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Laboratorio # 6 Área y Volumen
I.-Determine el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas.
1) 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4, 𝑥 = 4
2) 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 2
3) 𝑦 = |𝑥 − 1| + 1, 𝑒𝑗𝑒𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 4
4) 𝑦 = 𝑥3 + 5, 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑥 = −1, 𝑥 = 0
5) 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑦 = −𝑥3 − 4, 𝑒𝑗𝑒 𝑦
6) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑦
7) 𝑦 =1
𝑥2 , 𝑦 = 4 − 𝑥2
II.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada
por las curvas y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método del
“disco”.
1) 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 + 2, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑒𝑗𝑒 𝑥
2) 𝑦 = √𝑥 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑏) 𝑦 = −2
3) 𝑦 = 𝑥2 − 1, 𝑦 = 2 − 2𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = 2 𝑏) 𝑥 = 1
4) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = 1 𝑏) 𝑥 = 0
5) 𝑦 = (𝑥 − 1)2, 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = −2 𝑏) 𝑥 = 3
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Laboratorio # 7 Volumen y Longitud de arco
I.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada por
la curva y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método de la
corteza.
1) 4𝑥 + 5 − 𝑦 = 0, 𝑦 + 2𝑥 − 10 = 0; 𝑖) 𝑥 = 0; 𝑖𝑖) 𝑥 = 2
2) 𝑦 = −𝑥2 + 3, 𝑦 = 𝑥2 + 1; 𝑖) 𝑥 = −1; 𝑖𝑖) 𝑥 = 3
3) 𝑦 = 𝑥2(2 − 𝑥), 𝑦 = 0; 𝑖)𝑥 = 3; 𝑖𝑖)𝑥 = 0
4) 𝑦 = −𝑥3, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0; 𝑖)𝑦 = 1; 𝑖𝑖) 𝑦 = 0
5) 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 + 𝑦 = 10, 𝑦 = 0: 𝑖) 𝑦 = 9; 𝑖𝑖)𝑦 = −2
II.- Halle la longitud del arco de una curva representada por la ecuación dada,
entre los puntos indicados.
1) 𝑦 =2𝑥3/2
3; 𝐴 (0,
19
17) ; 𝐵 (8,
34
19)
2) 𝑦 = ln|sec(𝑥)| ; 𝐴(0,7𝜋); 𝐵 (𝜋
3,
11𝜋
7)
3) 𝑥 = 19 − 2𝑦2
3; 𝐴(0,8); 𝐵(3,0)
4) 𝑥 =𝑦3
3+
1
4𝑦; 𝐴(7,2); 𝐵 (
37
15, 3)
5) 1
3(𝑥2 + 2)3/2; 𝐴 (5,
19
70) ; 𝐵 (2,
√17
5)
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Laboratorio # 8 Función inversa
I.-Demostrar que las funciones f y g son inversas. Trazar sus gráficas en el mismo
sistema de coordenadas.
1)𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3; 𝑔(𝑥) =1
2(𝑥 − 3)
2)𝑓(𝑥) =1
1+𝑥; 𝑔(𝑥) =
1−𝑥
𝑥; 𝑥 = 0
3)𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥5
3⁄ ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 5)3
2⁄
II.-Sin obtener la inversa de f, encontrar su dominio y rango (contradominio).
1)𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥+1 3)𝑓(𝑥) = 𝑥2 −
1
𝑥; 𝑥 = 0
2)𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 4)𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥+1
III.- Encontrar la inversa de la función dada señalando su dominio y rango.
1)𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 3)𝑓(𝑥) =1
𝑥3+1
2)𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3 + 2 4)𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥+1
IV.- Calcular (𝑓−1)′(𝑑) 𝑆𝑖:
1)𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1; 𝑑 = 9 4)𝑓(𝑥) =𝑥+3
𝑥−1;x>1;d=3
2)𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥 − 𝑥3; 𝑑 = 4 5)𝑓(𝑥) = tan(𝑥) , −𝜋2⁄ < 𝑥 < 𝜋
2⁄ ; 𝑑 = √3
3)𝑓(𝑥) = 1 + 2√𝑥; 𝑥 > 0; 𝑑 = 8 6)𝑓(𝑋) = 3𝑥 −1
𝑥3 ; 𝑥 > 0; 𝑑 = 2
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Laboratorio # 9 Funciones trigonométricas inversas
I.-Obtener y simplificar la derivada de la función dada.
1) 𝑦 = 2𝑥3/2 tan−1(𝑥3/2)
2) 𝑦 = 𝑥 + 4 tan−1 (𝑥
2)
3) 𝑦 = sin−1(𝑥) cos(𝑥)
4) 𝑦 =cos(𝑥)
cos−1(𝑥)
II. Resolver las siguientes integrales
1) ∫𝑑𝑥
𝑥√𝑥10−9
2) ∫ 𝑦2−1
1+𝑦2 𝑑𝑦
3) ∫ 2 cos(𝑥) 𝑑𝑥
6𝑠𝑒𝑛2(𝑥)−24𝑠𝑒𝑛(𝑥)+35
4) ∫ 𝑥4−16
𝑥2+6 𝑑𝑥
√6
0
III.-Resuelva los siguientes problemas
1) Halle el área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 =1
√12𝑥−𝑥2 , x=1, x=4,
eje x.
2) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = cos−1(𝑥
3) en el punto
cuya abscisa es 1.
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Laboratorio # 10 Función Logaritmo natural
I.- Halle Dxy y simplifique.
1) 𝑦 = 𝑙𝑛(3𝑥2 + 6)11 4 )𝑦 = 𝑙𝑛(4𝑥 + 2) 𝑙𝑛 (5𝑥)
2) 𝑦 = 𝑙𝑛2(2𝑥 − 5) 5) 𝑦2 = ln (3𝑥5)
3) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑙𝑛(𝑥 + 1)) 6) 𝑦 = 6𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛−1(𝑥))
II.- Utilice diferenciación logarítmica para calcular 𝑑𝑦
𝑑𝑥
1)𝑦 = (3𝑥+1)
6𝑥(2−𝑥) 2)𝑦 =
√7𝑥+2
𝑥−3
III.- Resuelva los siguientes problemas.
1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = ln(2𝑥2 − 3) en
el punto cuya abscisa es 2
2) Grafique las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 + 4|
b) 𝑓(𝑥) = −ln (3𝑥)
IV.- Calcule las siguientes integrales.
1) ∫(6𝑥 − 1)−1𝑑𝑥 5) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
2) ∫(𝑥+3)
𝑥2+7𝑥+12𝑑𝑥
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
3) ∫√𝑥
7+𝑥√𝑥𝑑𝑥
7) ∫(1 + csc(𝑥))2𝑑𝑥
4) ∫√32+ln (𝑥)
5
𝑥𝑑𝑥
8) ∫ 𝑥(1 − cot(𝑥2))𝑑𝑥
V. Resuelva.
1) Halle el área de la región acotada po 𝑦 =1
𝑥+2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 4
2) Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada alrededor del eje indicado.
𝑦 =1
𝑥2+4, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 0
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Laboratorio # 11 Función exponencial natural
I.- Halle Dxy, simplifique.
1) 𝑦 = sen(𝑒2𝑥 + 1) 3) 𝑦 = ln(𝑒2𝑥+2
𝑒2𝑥−2)
2) 𝑦 = 𝑒−3𝑥tan (𝑒𝑥 + 1) 4) 𝑦 =𝑒5𝑥+3
𝑒5𝑥−3
II.- Calcule las siguientes integrales.
1) ∫(𝑒5𝑥 + 1)𝑑𝑥 6) ∫𝑒tan (𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥
2) ∫𝑒𝑥
𝑒𝑥+3 𝑑𝑥 7) ∫(1 − 𝑒2𝑦)2𝑑𝑦
3) ∫ 𝑒3𝑧√𝑒3𝑧 + 4 𝑑𝑧 8) ∫ (2𝑒𝑦 + 2)𝑑𝑦2
−2
4) ∫𝑒4𝑦
𝑒2𝑦+1𝑑𝑦 9) ∫ 𝑢2𝑒𝑢3
𝑑𝑢√2
3
0
5) ∫ 𝑒3𝑢+3𝑑𝑢2
0 10) ∫
𝑒2𝑦+𝑒3𝑦
𝑒𝑦+1 𝑑𝑦
III.-
1) Trace la gráfica de las funciones siguientes.
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑒3𝑥 − 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥
2) Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥, en el punto
cuya abscisa es: ln(4)
3) Halle el área de la región limitada por 𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑦 = 2𝑒−𝑥, 𝑥 = ln (1
3) , 𝑥 =
ln(3) y el eje x
4) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por 𝑦 = 𝑒−2𝑥,
y el eje y alrededor del eje x.
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Laboratorio #12 Funciones Exponenciales de otras bases
I.- Halle 𝐷𝑥𝑦 , simplifique
1. 𝑦 = 32𝑥
2. 𝑦 = 23𝑥 3ln(𝑥)
3. 𝑦 = 7𝑠𝑒𝑛(𝑥2)
4. 𝑦 = √𝑙𝑜𝑔3𝑥
II.- Calcule las siguientes integrales
1) ∫ 3𝑥𝑑𝑥
2) ∫(𝑥3 + 3−𝑥)𝑑𝑥
3) ∫𝑙𝑜𝑔2𝑥3
𝑥 𝑑𝑥
4) ∫ 2−𝑥 𝑑𝑥
5) ∫ 𝑥 10−𝑥2𝑑𝑥
6) ∫𝑙𝑜𝑔5𝑥
𝑥 𝑑𝑥
7) 𝑙𝑜𝑔5(𝑥) ln(𝑥) 𝑑𝑥
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Laboratorio # 13 Funciones hiperbólicas
I.-Halle y simplifique la derivada de las siguientes funciones
1- 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥2)
2- 𝑦 = cosh (𝑥 + 𝑎)
3- 𝑦 =𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑥
4- 𝑦 = 𝑒𝑥[cosh(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)]
5- 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑥)
6- 𝑦 =sech (𝑥)
1+cosh (𝑥)
7- 𝑦 = tanh[ln(𝑥)]
8- 𝑦 = ln [sech (𝑥)]
II.-Evaluar la integral dada
1-∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)𝑑𝑦
2-∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥2 + 3)𝑑𝑥
3-∫cosh(𝑥)
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
4-∫𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)𝑑𝑥
5-∫ sech (𝑥)ln [cosh (𝑥)]𝑑𝑥
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Laboratorio # 14 Métodos de Integración
I.-Calcula las siguientes integrales
1) ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
2) ∫ 𝑒𝑥𝑥2 𝑑𝑥
3) ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑠𝑒𝑛 4(𝑥) 𝑑𝑥
4) ∫ 𝑐𝑜𝑠5(2 + 3𝑥)𝑑𝑥
5) ∫ 𝑥2𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
6) ∫ 𝑥𝑡𝑔−1(𝑥) 𝑑𝑥
7) ∫ 𝑐𝑡𝑔6(3 − 𝑥)𝑐𝑠𝑐4(3 − 𝑥) 𝑑𝑥
8) ∫6𝑑𝑥
(2−𝑥)√𝑥2−4𝑥+3
9) ∫𝑑𝑥
3𝑥2−2𝑥+5
10) 𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥
11) ∫ 𝑡𝑔5(5𝑥)𝑠𝑒𝑐3(5𝑥)𝑑𝑥
12) ∫(2𝑥+7)
𝑥2+2𝑥+5 𝑑𝑥
13) ∫𝑥
√12−𝑥4 𝑑𝑥
14) ∫𝑠𝑒𝑛5(1−𝑥) 𝑑𝑥
[𝑐𝑜𝑠(1−𝑥)]1/3
15) ∫𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥
1+9 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)