CALCULO MECANICO DE VANOS DESNIVELADOS

En la mayoría de los casos, las líneas de transmisión recorren por terrenos

ondulados o accidentados; por tanto, los vanos que forman parte de estas líneas,

son también desnivelados y en ocasiones de gran longitud.

Continuación se expone el cálculo mecánico de estos vanos partiendo de la ecuación

de la catenaria:

…(1)

La longitud L del arco comprendido entre los puntos I y D, en función de la abscisa XI del punto I y de la distancia horizontal entre I y D es:

…(2)

De otro lado, el desnivel entre los puntos I y D es:

En vista que: Entonces:

…(3)

La Tensión en un punto cualquiera de la curva de abscisa x, es:

…(4)

Sumando y restando miembro a miembro las ecuaciones 2 y 3 para relacionar la longitud y el desnivel, se tiene:

Teniendo en cuenta las relaciones hiperbólicas siguientes:

Y sustituyendo estos valores en las expresiones correspondientes a L+h y L-h, se obtiene:

…(5)

…(6)

Multiplicando miembro a miembro las igualdades 5 y 6, se obtiene:

De otro lado:

, y

Por tanto:

Por tanto

…(7)

donde:

= Longitud del conductor en un vano sin desniveles

= Desnivel

Geométricamente, se puede representar de la siguiente forma:

Las fórmulas aproximadas, considerando la curva de la parábola son:

DETERMINACION DE XI Y XD

Conocida la tensión To y el parámetro C, la posición de la catenaria queda determinada calculando la abscisa XI del punto I. Entonces, a partir de la ecuación 3, se tiene:

Desarrollando el primer término del segundo miembro, se tiene:

…(8)

De donde:

…(9)

Haciendo:

La ecuación 9 se convierte en:

…(10)

Para resolver la ecuación, se hace:

…(11)

Aplicando las propiedades de la trigonometría a las funciones hiperbólicas, se tiene:

Sustituyendo valores y haciendo operaciones:

Dividiendo los términos de la ecuación 10 por , se tiene:

Esta última ecuación es equivalente a:

…(12)

El primer miembro de la ecuación 12 es el desarrollo de la expresión:

; Por lo tanto:

Sustituyendo estos valores en la ecuación 12, se tiene:

…(13)

Despejando :

Según la ecuación 11:

Sustituyendo este valor de en la ecuación precedente, se tiene:

De donde:

Despejando :

…(14)

Por tanto:

En consecuencia, las tensiones en los puntos de apoyo serán:

En el extremo izquierdo: …(15)

En el extremo derecho: …(16)

DETERMINACION DE LAS FLECHAS

El cálculo de la abscisa (figura 1) del apoyo izquierdo determinará si el punto más bajo

de la catenaria será real o virtual, ya que podrá ocupar cualquier de las tres posiciones siguientes respecto a los apoyos del vano:

ABSCISA DEL APOYO

INFERIOR

FIGURA POSICION DEL PUNTO MAS BAJO

POSICION DEL PUNTO MAS BAJO

Negativa 2 Entre apoyo I y D RealNula 3 Coincidente con apoyo Real

inferiorPositiva 4 Fuera del vano ID Virtual

FIG. 2 FIG. 3

La flecha se define como la distancia máxima vertical entre la recta que une los puntos de apoyo del vano y el conductor. En la figura 5, la flecha es la distancia Mm.El cálculo de la flecha se hace aplicando la expresión siguiente:

…(17)

Con la denominación utilizada en las figuras 2; 3; 4 y 5, se convierte en:

…(18)

Siendo a’, el vano virtual de longitud igual al doble de la distancia horizontal entre el apoyo derecho y el punto más bajo de la catenaria.

Como , la ecuación 18 se podrá escribir de la siguiente forma:

Las coordenadas del punto m se determinan a partir de la figura 5:

Luego, la abscisa valdrá

…(22)

Y la ordenada será:

…(23)

Las ordenadas de los puntos D e I de la figura 5 serán:

Por tanto, la ordenada del punto M de la recta ID será:

…(24)

Desarrollando la suma incluida entre corchetes, se tiene que:

Es decir:

…(25)

Y teniendo en cuenta las ecuaciones 20 y 21, se tiene:

Es decir:

…(26)

La flecha de la figura 5 será, entonces:

…(27)

La fórmula aproximada tomando en cuenta la curva de la parábola es la siguiente:

ANGULOS DE SALIDA DEL CONDUCTOR CON RESPECTO A LA HORIZONTAL

De acuerdo con la figura 1, se tiene:

; luego

…(28)

De manera similar:

…(29)

DETERMINACION DE LA SAETA (figura 1)

Si , el valor de la saeta está determinada por: pero como ,

;es decir,

…(30)

Si

…(31)