Universidad Técnica de Loja Escuela de Ingeniería Química

Mecánica de Fluidos

Resumen de Cálculo Vectorial

Productos triples

( ) ( ) ( )BA · CAC · BCB · A ×=×=× ( ) ( ) ( )B · ACC · ABCBA −=××

Reglas de Producto

( ) f gg fg f ∇+∇=∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A · BB · AABBAB · A ∇+∇+×∇×+×∇×=∇

( ) ( ) ( )f · f f · ∇+∇=∇ A A· A Los siguientes resultados se aplican a cualquier campo escalar φ y a cualquier campo vectorial zzyyxx

ˆvˆvˆv iiiv ++= o zzyyxxˆˆˆ iiiΩ Ω+Ω+Ω=

Derivadas de un campo vectorial:

xv

xv

xv div zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇= v·v es un escalar.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇=y

vx

vˆxv

zvˆ

zv

yvˆ rot xy

zzx

yyz

x iiivv es un vector.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

=φ∇=φz

ˆy

ˆx

ˆ grad zyx iii es un vector.

Dos identidades:

0=φ∇×∇ ( ) 0 · =×∇∇ v

Dos productos vectoriales triples:

( ) ( ) ( )v·vv·vvv ∇−∇=×∇× 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v · ΩΩ · vΩ · vv · ΩΩv ∇−∇+∇−∇=××∇ Teorema de la divergencia (Gauss): Sea V un dominio simplemente conexo, acotado por la superficie S, con vector normal unitario n , entonces

( )∫∫∫ ∫∫=∇V S

dSˆdV n · vv ·

( )∫∫∫ ∫∫φ=φ∇V S

dSˆdV n

Teorema de Stokes: Sea Γ una curva cerrada, limitando la superficie S, entonces

( )∫∫∫ ×∇=Γ S

dSn · vdl · v