Cálculo vectorial. Coordenadas rectangulares.

Universidad Técnica de Loja Escuela de Ingeniería Química Mecánica de Fluidos Resumen de Cálculo Vectorial Productos triples ( ) ( ) ( ) B A · C A C · B C B · A × = × = × ( ) ( ) ( ) B · A C C · A B C B A − = × × Reglas de Producto ( ) f g g f g f ∇ + ∇ = ∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A · B B · A A B B A B · A ∇ + ∇ + × ∇ × + × ∇ × = ∇ ( ) ( ) ( ) f · f f · ∇ + ∇ = ∇ A A · A Los siguientes resultados se aplican a cualquier campo escalar φ y a cualquier campo vectorial z z y y x x ˆ v ˆ v ˆ v i i i v + + = o z z y y x x ˆ ˆ ˆ i i i Ω Ω + Ω + Ω = Derivadas de un campo vectorial: x v x v x v div z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = v · v es un escalar. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = × ∇ = y v x v ˆ x v z v ˆ z v y v ˆ rot x y z z x y y z x i i i v v es un vector. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ φ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ φ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ φ ∂ = φ ∇ = φ z ˆ y ˆ x ˆ grad z y x i i i es un vector. Dos identidades: 0 = φ ∇ × ∇ ( ) 0 · = × ∇ ∇ v Dos productos vectoriales triples: ( ) ( ) ( )v · v v · v v v ∇ − ∇ = × ∇ × 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v · Ω Ω · v Ω · v v · Ω Ω v ∇ − ∇ + ∇ − ∇ = × × ∇ Teorema de la divergencia (Gauss): Sea V un dominio simplemente conexo, acotado por la superficie S, con vector normal unitario n ˆ , entonces ( ) ∫∫∫ ∫∫ = ∇ V S dS ˆ dV n · v v · ( ) ∫∫∫ ∫∫ φ = φ ∇ V S dS ˆ dV n Teorema de Stokes: Sea Γ una curva cerrada, limitando la superficie S, entonces ( ) ∫∫ ∫ × ∇ = Γ S dS ˆ n · v dl · v

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Universidad Técnica de Loja Escuela de Ingeniería Química

Mecánica de Fluidos

Resumen de Cálculo Vectorial

Productos triples

( ) ( ) ( )BA · CAC · BCB · A ×=×=× ( ) ( ) ( )B · ACC · ABCBA −=××

Reglas de Producto

( ) f gg fg f ∇+∇=∇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A · BB · AABBAB · A ∇+∇+×∇×+×∇×=∇

( ) ( ) ( )f · f f · ∇+∇=∇ A A· A Los siguientes resultados se aplican a cualquier campo escalar φ y a cualquier campo vectorial zzyyxx

ˆvˆvˆv iiiv ++= o zzyyxxˆˆˆ iiiΩ Ω+Ω+Ω=

Derivadas de un campo vectorial:

xv div zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇= v·v es un escalar.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇=y

vˆxv

zvˆ

yvˆ rot xy

zzx

yyz

x iiivv es un vector.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂φ∂

=φ∇=φz

ˆy

ˆx

ˆ grad zyx iii es un vector.

Dos identidades:

0=φ∇×∇ ( ) 0 · =×∇∇ v

Dos productos vectoriales triples:

( ) ( ) ( )v·vv·vvv ∇−∇=×∇× 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v · ΩΩ · vΩ · vv · ΩΩv ∇−∇+∇−∇=××∇ Teorema de la divergencia (Gauss): Sea V un dominio simplemente conexo, acotado por la superficie S, con vector normal unitario n , entonces

( )∫∫∫ ∫∫=∇V S

dSˆdV n · vv ·

( )∫∫∫ ∫∫φ=φ∇V S

dSˆdV n

Teorema de Stokes: Sea Γ una curva cerrada, limitando la superficie S, entonces

( )∫∫∫ ×∇=Γ S

dSn · vdl · v