Post on 17-Jan-2016
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Capítulo 2
Modelado Matemático de
Sistemas de control
Teoría de Sistemas Industriales
Cómo analizar y diseñar un sistema de control
2
Controller Actuator Plant
Sensor
-
r
Expected value
e
Error
Disturbance
Controlled variable
n y u
• Lo primero que tenemos que pensar es en
establecer el modelo del sistema
(Modelo matemático)
3
Modelado del sistema
Definición：
Expresión matemática de la relación dinámica entre la salida y la entrada en un sistema de control.
Modelo matemático es la base para analizar y diseñar sistemas de control automático
No hay un modelo matemático de un sistema físico que sea exacto. Generalmente nos esforzamos por desarrollar un modelo que es adecuado para el problema, pero sin hacer el modelo excesivamente complejo.
4 Transformada
de Laplace
Transformada
de Fourier
Tres Modelos Ecuación Diferencial
función de Transferencia
Característica de Frecuencia.
Función de
Transferencia
Ecuación
Diferencial
Frequency
characteristic
Sistema Linear Responde al Estudio del dominio del
tiempo
Responde al estudio Domanio de la
frequencia
5
Métodos de Modelado
Método Analítico
De acuerdo a A. Leyes de movimiento de Newton B. Ley de Kirchhoff C. Los parámetros y estructura del sistema la expresión matemática del sistema de entrada y salida puede ser derivada. Por lo tanto, construimos el modelo matemático (adecuado para sistemas simples).
Métodos de Modelado
6
Métodos de identificación de sistemas Construyendo el modelo del sistema basados en la
señal de entrada - salida del sistema
Este método suele aplicarse cuando hay poca información disponible para el sistema.
Caja Negra Entrada Salida
Caja Negra: El sistema es totalmente desconocido. Caja Gris: El sistema es parcialmente conocido
Redes Neuronales, Sistemas Difusos
7
¿Por qué centrarse en sistema lineales invariantes en el tiempo (LTI)? ¿Qué es un sistema lineal?
sistema 1( )u t 1( )y t
2( )u t 2( )y t1 1 2 2( ) ( )u t u t 1 1 2 2y y
sistema
sistema
¿Es y(t)=u(t)+2 un sistema lineal?
-Aun sistema se puede llamar linear si se aplica
el principio de superposición.
Ventajas de los sistemas lineales
La respuesta global de un sistema lineal puede obtenerse por
8
-- Descomponiendo la entrada en una suma de
elementos de señales
-- Encontrando cada respuesta en la salida con la
señal primaria correspondiente
-- Adicionando todas estas respuestas juntas
Por lo tanto, podemos utilizar la señal primaria típica (e.j.
Escalón unitario, impulso unitario, rampa unitaria) para
analizar el sistema en aras de la simplicidad.
9
• ¿Qué es un sistema invariante en el tiempo?
– Un sistema es llamado invariante en el tiempo si los parámetros son estacionarios con respecto al tiempo durante la operación del sistema
– Ejemplos？
10
2.2 Establecimiento de la ecuación diferencial y linealización
11
Ecuación Diferencial
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
( ) ( 1) (1)
0 1 1
( ) (1)
0 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n
n
m
m m
a c t a c t a c t c t
b r t b r t b r t
--- Una amplia gama de sistemas de ingeniería
están modeladas matemáticamente por
ecuaciones diferenciales.
--- En general, se escribe la ecuación
diferencial de un sistema de n-ésimo orden
Modelo en el dominio
del Tiempo
12
Como establecer la EDO de un sistema de control
--- Enumera las ecuaciones diferenciales de acuerdo
a las reglas físicas de cada componente;
--- Obtener el conjunto de ecuaciones diferenciales
eliminando variables intermedias;
--- Obtener la ecuación diferencial general de
entrada y salida del sistema de control.
13
Ejemplo-1 Circuito RLC
R L
C u(t) uc(t) i(t)
Entrada
u(t) sistema
Salida
uc(t)
Definir la entrada y salida según qué relación causa efecto les interesa.
14
)()()(
)(2
2
tudt
tudLC
dt
tduRCtu C
CC
De acuerdo con la ley de Kirchhoff en electricidad
( )( ) ( ) ( ) (1)c
di tu t Ri t L u t
dt
1( ) ( ) (2)Cu t i t dt
C
( )( ) Cdu t
i t Cdt
R L
C
u(t) uc(t) i(t)
Se reescribe en la forma estándar
15
En General •La salida en lado izquierdo de la ecuación •La entrada en el lado derecho •La entrada se coloca del orden mas alto al más bajo
( ) ( ) ( ) ( )C C CLCu t RCu t u t u t
16
Ejemplo-2 Sistema masa-resorte-fricción
m
k
F(t)
Desplazamiento x(t)
f
fricción
resorte
Estamos interesados en la
relación entre la fuerza
externa f (t) y x (t)
desplazamiento de la masa
1 ( )F kx t
2 ( )F fv t
Define: Entrada—F(t); Salida---x(t)
( ),
dx tv
dt
2 ( )d x ta
dt
No se toma en cuenta La Gravedad
F ma1 2ma F F F
17
( ) ( ) ( ) ( )mx t f x t kx t F t
Mediante la eliminación de variables intermedias, obtenemos la ecuación diferencial general de entrada y salida del sistema masa-resorte-fricción.
Recordemos el sistema de circuito RLC
( ) ( ) ( ) ( )c c cLCu t RCu t u t u t
Estas fórmulas son similares, es decir, podemos usar el mismo modelo matemático para describir una clases de sistemas que son físicamente diferentes pero comparten la misma ley de Movimiento.
18
Ejemplo-3 Sistema no lineal
En realidad, la mayoría de los sistemas en efecto no lineales, e.j. El sistema de péndulo, que es descrito por ecuaciones diferenciales no lineales.
L
Mg
2
2sin ( ) 0
dML Mg t
dt
• Es difícil de analizar los sistemas no lineales, sin embargo podemos linealisar el sistema no lineal cerca de su punto de equilibrio bajo ciertas condiciones
2
2( ) 0 (when is small
dML Mg t
dt
）
Linealización de ecuaciones diferenciales no lineales
Varias características no lineales en el sistema de control.
19
input
output
0
Saturation (Amplifier)
input
output
0
Dead-zone (Motor)
20
Métodos de linealización
（1）No linealidad débil, despreciable
（2）Pequeña perturbación/error de método Asumiendo: En el proceso del sistema de control, hay
pequeños cambios sobre el punto de equilibrio en la entrada y salida de cada componente.
Si la no linealidad del componente no está dentro de
su región de trabajo lineal, su efecto sobre el
sistema es débil y puede ser despreciable.
Esta suposición es razonable para muchos sistemas de
control práctico: en sistema de lazo cerrado, una vez que
se produce la desviación, el mecanismo de control
reduce o la elimina. En consecuencia, todos los
componentes pueden trabajar alrededor del punto de
equilibrio.
21
La entrada y salida sólo tengan variación pequeña alrededor del punto de equilibrio. 0( ), ( ) 0nx x x x
0
0 0( )x
dyy y x x
dx
xky Este es el modelo lineal del componente no-lineal.
Example
0 x
y
饱和（放大器）
y0
x0
y=f(x)
A(x0,y0)
A(x0,y0) es el punto de equilibrio. Expandiendo la función no lineal y=f(x) en una serie de Taylor sobre A(x0,y0) tenemos
Saturation (Amplifier) 2
02
2
00 )(!2
1)()(
00
xxdx
ydxx
dx
dyyxfy
xx
22
Nota：Este método solamente es aplicable para sistemas con una no linealidad débil.
0
继电特性
0
饱和特性Relay Saturation
Para sistemas con una no linealidad fuerte, no podemos usar este método de linealización.
23
• Inodoro
valve
piston
float
Water flow
H(t)
Q1
Q2
Ejemplo-4 El modelado de un sistema no lineal
Problema: Derive la ecuación diferencial
del tanque de agua (el área de sección
transversal del tanque de agua es C).
Q1: inflow por unidad de tiempo
Q2: outflow por unidad de tiempo
Nivel inicial de agua: H0
Q10=Q20=0
Defina: Entrada—Q1,Salida—H
24
Solución: El flujo de salida o el flujo entrante en función del tiempo dt debe ser igual a la cantidad total de agua（Q1-Q2）en un cambio de tiempo dt , es decir:
Según el ‘Teorema de Torricelli’, la producción de agua es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la altura del nivel del nivel del agua, así:
R
HQ
2
1 2( )CdH Q Q dt
' is a scale
coefficent.
R
Es obvio que esta formula no es lineal, Sobre la base de la
Expansión de la Serie de Taylor de funciones alrededor de
puntos de operación (Q10,H0 ), tenemos.
,2
1
0
2
R
HH
RHQ
Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales lineal del depósito de agua es:
25
1RQHdt
dHRC
Ejercicio
E1. Por favor, construir las ecuaciones diferenciales de los dos sistemas siguientes.
26
ix
ox
f
1K
2K
Output
Input
Output
Input 1R
2R
C
( )ru t ( )cu tx
A
B
27
1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2
1 1
1
( )c rc r
c
r c
R i i dtC
du dui i i R R C R R u R R C R u
dt dtu R i
u R i u
1
1 2 1 2 1
2
( ) ( )( )
( )
i o o io
o o
K x x f x x dx dxf K K K K x K f
K x f x x dt dt
Soluciones.
(1) RC circuit
(2) Mass-spring system
28
2-3 Función de Transferencia
29
Resolviendo las Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:
• Para encontrar la solución general (que implica resolver la ecuación característica)
• Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (involucrando la construcción de múltiples valores de la función)
30
¿Porqué necesitamos la Transformada de LAPLACE?
Problemas de algebra Dominio de “s”
Solución de Problemas de
algebra
Dominio del Tiempo Problemas EDO
Solución de Problemas en el
dominio del tiempo
Transformada
Laplace (TL)
Inversa
(ITL)
Difícil Fácil
31
Transformada de Laplace
Laplace, Pierre-Simon 1749-1827
0
( ) ( )
( ) st
F s f t
f t e dt
L
La Transformada de Laplace de una función f(t) está definida como
donde es una variable
compleja.
s j
32
Ejemplos
Señal Escalón: f(t)=A
0( ) ( ) stF s f t e dt
0
stAe dt
0
stAe
s
A
s
• Exponential signal f(t)= ate
( )F s 0
at ste e dt
1
s a
( )
0
1 a s tes a
33
Tabla de transformadas de Laplace
f(t) F(s) f(t) F(s)
δ(t) 1
1(t)
t
ate
2 2
w
s w
2 2
s
s w
wte at sin
wte at cos
22)( was
w
22)( was
as
1
s a
1
s
2
1
s
sin wt
cos wt
34
Propiedades de la Transformada de Laplace
(1) Linealidad
1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]af t bf t a f t b f t L L L
(2) Diferenciación
( )( ) (0)
df tsF s f
dtL
(1)1 2 ( 1)( )( ) (0) (0) (0)
nn n n n
n
d f ts F s s f s f f
dtL
Donde f(0) es el valor inicial de f(t).
Usando el método de Integración por Partes para
probar
35
(3) Integración
0( )
( )t F sf d
sL
1 2
1 2 1
( )( )
nt t t
n no o o
F sf d dt dt dt
sL
Usando el método de
Integración por
Partes para probar
(5) Teorema de Valor Inicial
36
（4） Teorema de Valor Final
)(lim)(lim0
ssFtfst
)(lim)(lim0
ssFtfst
The final-value theorem relates the steady-state behavior of f(t) to the behavior of sF(s) in the neighborhood of s=0
37
(6)Teorema de Cambio：
a. Cambio en el tiempo (Dominio real)
[ ( )]f t L
[ ( )]ate f t L
b. Cambio en el dominio complejo
(7) Teorema Convolución Real (Multiplicación Compleja)
1 2 1 2
0
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
t
f t f d F s F s L
( )se F s
( )F s a
38
Transformada Inversa de Laplace
Definición：la transformada Inversa de Laplace se escribe está dada por
donde C es una constante real。
1[ ( )]F sL
1 1( ) [ ( )] ( ) ( 0)
2
C j
st
C j
f t F s F s e ds tj
L
Nota: La operación de la Transformada inversa de Laplace involucra funciones racionales que pueden ser llevadas para utilizar las tablas de Transformadas de Laplace y la expansión de fracciones parciales
39
El método de Expansión de Fracciones Parciales para encontrar la transformada
Inversa de Laplace 1
0 1 1
1
1 1
( )( ) ( )
( )
m m
m m
n n
n n
b s b s b s bN sF s m n
D s s a s a s a
Si F(s) es descompuesto en sus componentes
1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s
Si la transformada inversa de Laplace de los componentes se puede realizar, entonces
1 1 1 1
1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s L L L L
1 2 ( ) ( ) ... ( )nf t f t f t
Polos y zeros
Polos Un número complejo s0 es llamado pole de una función
de Variable compleja F(s) si F(s0) =∞.
40
Ejemplos:
( 1)( 2)
( 3)( 4)
s ss s
zeros: 1, -2 polos: -3, -4;
2
1
2 2
s
s s
polos: -1+j, -1-j; zeros: -1
• Zeros
– Un número complejo s0 es llamado zero de una
función de Variable compleja F(s) si F(s0) = 0.
41
Caso 1: F(s) Tiene polos reales 1
0 1 1
1
1 1
( )( )
( )
m m
m m
n n
n n
b s b s b s bN sF s
D s s a s a s a
where ( 1,2, , ) are eigenvalues of ( ) 0, and
( )( )
( )
i
i
i i
s p
p i n D s
N sc s p
D s
( )f t 1 2
1 2 ... np tp t p t
nc e c e c e
Parámetros pk dan la forma y los números ck dan las magnitudes.
1 2
1 2
n
n
cc c
s p s p s p
Partial-Fraction Expansion
Inverse LT
2 31 1 1( )
6 15 10
t t tf t e e e
1 1 1 1 1 1( )
6 1 15 2 10 3
F s
s s s
42
1( )
( 1)( 2)( 3)F s
s s s
Ejemplo 1 31 2
1 2 3
cc c
s s s
2
2 ( 21 1
( 1)( 2)( 3) 5)
1
s
cs s s
s
3
3
1 1
( 1)( 2) 03)
( )(
3 1
s
cs s
ss
1
1
1 1
( 1)( 2)1)
( 3) 6(
s
cs s
ss
Partial-Fraction Expansion
43
Caso 2: F(s) tiene polos complejos conjugados
Ejemplo 2
2 2cos 3 si( ) n tte ety t t
2
5( )
4 5
sY s
s s 2
5
( 2) 1
s
s
2
2 3
( 2) 1
s
s
2 2
2
( 2) 1
3
( 2) 1
s
s
s
Transformada de Laplace
Expación de Fracciones Parciales
Transformada Inversa de Laplace
Aplicando condiciones iniciales
1
1
11 1
( ) ( )
n l l l
n l i i
l l
i
c b bc b
s p s p s p s p s p
44
Caso 3: F(s) tiene polos de múltiple-orden
1 2
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ) )( (
l
in r
N s N sF s
D s s s sp pp p s
1
1 ( ) ( ,) ( ) ( ), ,
l l
i is p
s pi
l l
ds p s p
dF s
sb F s b
1
1
1( ) ( ),
( ) (
1 1( ) ( )
! ( 1)! )
i
m ll l
i i
s p s
l m
p
N s N sb b
D s D
d ds p s p
m d ds ss l
Los coeficientes 𝑐1, … , 𝑐𝑛−1 de polos simples pueden ser calculados como en el
en el Caso 1;
Los coeficientes correspondientes a polos de múltiples orden son determinados
Polos Simples Polos de Múltiple-orden
45
Ejemplo 3
3
1( )
( 1)
Y s
s s
31 2 1
3 2( )
( 1) ( 1) 1
bc b bY s
s s s s
Transformada de Laplace: 3 2 2( ) (0) ( 3 ( ) 3 (0) 3 (0
3 ( )
)
3
0
1
) (0
0
)
( ) ( )
s Y s s y sy
sY s y Y s
sy Y s sy y
s
Aplicando condiciones iniciales:
Expanción de Fraciones Parciales
s= -1 es un
polo de orden 3
Resuelva la siguiente ecuación diferencial
46
1 3
0
11
( 1)
s
c ss s
3 2
2 13 11
1 1[ ( 1) ] [ ( )] ( ) 1
( 1)
s s
s
d db s s
ds s s ds s
3
3 13
1[ ( 1) ] 1
( 1)sb s
s s
3
1
1
1(2 ) 1
2! s
b s
Determinando coeficientes:
3 2
1 1 1 1( )
( 1) ( 1) 1
Y s
s s s s
Transformada Inversa de Laplace:
21( ) 1
2
t t ty t t e te e
47
Con la ayuda de MATLAB
1. Transformada de Laplace L=laplace(f)
2. Transformada Inversa de Laplace
F=ilaplace(L)
>> syms t
>> L=laplace(t)
L=
1/s^2
>> L=laplace(sin(t))
L=
1/(s^2+1)
>> F=ilaplace(L)
F=
sin(t)
48
Función de Transferencia
LTI
system Entrada
u(t)
Salida
y(t)
Considere un sistema linear descrito por la ecuación diferencial
1
1 1 0
1 0
1
1
( )( )
( )
...( )
( ) ...
zero initial conditio
m m
m m
n n
n
n
output y tTF G s
input u t
b s b s b s bY s
U s s a s a s a
L
L
( ) ( 1) ( ) ( 1) (1)
1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n m m
n m my t a y t a y t b u t b u t bu t b u t
Asuma todas las condiciones iniciales son zero, obtenemos
la función de transferencia (FT) de el sistema
49
Ejemplo 1. Encuentre la función de transferencia RLC
1) Escriba la ecuación diferencial del sistema de acuerdo con las
leyes físicas:
R L
C u(t) uc(t) i(t) Entrada Salida
2) Asumiendo todas las condiciones iniciales son zero y
aplicando la transformada de Laplace
3) Calculando la función de transferencia ( )G s
2
( ) 1( )
( ) 1
cU sG s
U s LCs RCs
( ) ( ) ( ) ( )C C CLCu t RCu t u t u t
2 ( ) ( ) ( ) ( )c c cLCs U s RCsU s U s U s
Solución:
Ejercicio
Encuentre la función de transferencia del siguiente sistema:
50
2
2
( ) ( )5 4 ( ) ( )
d y t dy ty t u t
dt dt
51 51
Función de Transferencia de componentes típicos
Componentes EDO FT
( )v t ( )i t
R ( ) ( )v t Ri t( )
( )( )
V sG s R
I s
( )v t( )i t
L
( )( )
di tv t L
dt
( )( )
( )
V sG s sL
I s
( )v t ( )i t
C 0
1( ) ( )
t
v t i dC
( ) 1
( )( )
V sG s
I s sC
Propiedades de la función de transferencia
La función de transferencia está definida solamente para un sistema lineal invariante en el tiempo, no para sistemas noliniales.
Todas las condiciones iniciales del sistema se ajustan a zero.
La función de transferencia es independiente de la entrada del sistema.
La función de transferencia G(s) es la transformada de Laplace del respuesta de impulso unitario g(t).
52
53 53
¿Como los polos y los ceros se refieren a la respuesta del sistema?
• ¿Por qué nos esforzamos por obtener modelos
de FT?
• ¿Por qué los ingenieros en control prefieren
usar modelos de FT?
• ¿Cómo se usa los modelos de FT para analizar
y diseñar los sistemas de control?
• Partimos de la relación entre las localidades de
ceros y polos de FT y las respuestas de la salida
de un sistema.
Control System Engineering-2008
54 54
Posición de Polos y Ceros
-a
j
i 0
( )A
X ss a
Función de Transferencia
( ) atx t Ae
Respuesta impulso en el
dominio del Tiempo
0
Control System Engineering-2008
55 55
1 1
2 2( )
( )
A s BX s
s a b
( ) sin( )atx t Ae bt
-a
j
i
b
0
0
Posición de Polos y Ceros
Función de Transferencia Respuesta impulso en el
dominio del Tiempo
Control System Engineering-2008
56 56
1 1
2 2( )
A s BX s
s b
( ) sin( )x t A bt
j
i
b
0
0
Posición de Polos y Ceros
Función de Transferencia Respuesta impulso en el
dominio del Tiempo
Control System Engineering-2008
57 57
-a
j
i 0
( )A
X ss a
( ) atx t Ae
Posición de Polos y Ceros
Función de Transferencia Respuesta impulso en el
dominio del Tiempo
Control System Engineering-2008
58 58
1 1
2 2( )
( )
A s BX s
s a b
( ) sin( )atx t Ae bt
-a
j
i
b
0
0
Posición de Polos y Ceros
Función de Transferencia Respuesta impulso en el
dominio del Tiempo
59 59
Resumen de la posición de los polos y la dinámica del sistema
60
Nota: la estabilidad de sistemas lineales de entrada única, una sola salida completamente se rige por las raíces de la ecuación característica.
Ecuación Característica
1
1 1 0 0n n
ns a s a s a
-Se obtienen mediante el establecimiento del denominador
del polinomio de la función de transferencia a cero
61
Transfer function(TF) models in MATLAB
Suppose a linear SISO system with input u(t), output y(t), the transfer function of the system is
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sU
SYsG
n
n
n
m
m
m
m
01,...,, bbbnum mm
01,...,,1 aaden n
Descending power of s
TF in polynomial form
>> Sys = tf（num，den）
>> [num, den] = tfdata (sys)
62
TF in zero-pole form
>> sys = zpk（z, p, k）
>> [z, p,k] = tfdata (sys)
Transform TS from zero-pole form into polynomial form
>> [z, p, k] = tf2zp(num, den)
Preguntas de Repaso
What is the definition of “transfer function”?
When defining the transfer function, what happens to initial conditions of the system?
Does a nonlinear system have a transfer function?
How does a transfer function of a LTI system relate to its impulse response?
Define the characteristic equation of a linear system in terms of the transfer function.
63
64
2-4 Diagrama de Bloque y grafica de Flujo de Señal (SFG)
Diagrama de Bloque
Relación de la función de transferencia
65
( ) ( ) ( )Y s G s U s
Puede ser graficada en un diagrama bloque.
G(s) U(s) Y(s)
66
Transformada Equivalente de un diagrama de bloque 1 Conección en series
G(s) U(s) Y(s)
( ) ?G s
X(s) G1(s) G2(s)
U(s) Y(s)
1 2
( )( ) ( ) ( )
( )
Y sG s G s G s
U s
67
2.Conección en paralelo
G(s) U(s) Y(s)
1 2
( )( ) ( ) ( )
( )
Y sG s G s G s
U s
U(s)
G2(s)
G1(s) Y1(s)
Y2(s)
Y(S)
( ) ?G s
68
3. Retroalimentación Negativa
M(s) R(s) Y(s)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Y s U s G s
U s R s Y s H s
the for( w) again of ( )
1
rd path
( ) ( ) 1 gai the loopn of
G sM s
G s H s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s Y s H s G s
Y(s) G(s)
H(s)
U(s) R(s) _
Función de transferencia de un sistema con retroalimentación
negativa
69
Grafica de Flujo de Señal (SFG)
SFG fue introducida por S.J. Mason para la representación causa y efecto de sistemas lineales 1. Cada señal esta representada por un nodo.
2. Cada funcion de transferencia esta representada por una rama.
G(s) U(s) Y(s)
G(s)
H(s)
U(s) R(s) _
Y(s)
G(s)
U(s) Y(s)
G(s) U(s) Y(s) R(s)
-H(s)
1
Diagrama de bloques y su gráfico de flujo de señal
equivalente
70
( )rU s1( )I s
2 ( )I s
( )cU s1( )U s
－ 1
1
R 1
1
sC
－
2
1
R－ 2
1
sC
( )rU s 1( )I s 1( )U s 2 ( )I s ( )cU s
1
1
R 1
1
sC2
1
R 2
1
sC
－1 －1
－1
1 1 1
Nota
71
Un gráfico de flujo de señal y un diagrama de bloques contienen exactamente la misma información (no hay ninguna ventaja de uno sobre el otro, hay sólo preferencias personales)
Regla de Mason
72
1
( ) 1( )
( )
N
k k
k
Y sM s M
U s
kM ganancia del sendero del camino adelante kth.
1 ( all individual loop gains)
( gain products of all possible three loops that do not touch)
( gain products of all possible two loops that do not touch)
k valor de ∆ para esa parte del diagrama de bloque que no
toque el camino adelante kth.
N número total de trayectorias delanteras entre Y(s) de salida y
entrada de U(s)
73
Ejemplo 1 Encontrar la función de transferencia para el siguiente diagrama de bloques
Solution.
Forward path Path gain and the determinates are
1 1
11 ( )(1)M b
s
2 2
1 11 ( )(1)M b
s s
3 3
1 1 11 ( )(1)M b
s s s
31 2
2 31 0
aa a
s s s
1
2
3
1 0
1 0
1 0
1236
12346
123456
b1
1/s
a3
b2
b3
a2
a1
1/s 1/s +
_
_ _
+
+ + Y(s)
U(s) ① ② ③ ④ ⑤
⑥
74
b1
1/s
a3
b2
b3
a2
a1
1/s 1/s +
_
_ _
+
+ + Y(s)
U(s) ① ② ③ ④ ⑤
⑥
Encontrar la función de transferencia para el siguiente diagrama de bloques
Solution.
1
2
1 2 3
3 2
1 2 3
( )( )
( )
Nk k
k
MY sM s
U s
b s b s b
s a s a s a
Applying Mason’s rule, we find the transfer function to be
Ejemplo 1
75
Ejemplo 2 Encontrar la función de transferencia para el siguiente SFG
Solution.
Forward path Path gainand the determinates are
1 1 2 3 123456 M H H H
2 4 1256 M H
Loop path Path gain
1 1 5 232 l H H
2 2 6 343 l H H
3 3 7 454 l H H
4 4 7 6 5 25432 l H H H H
1 2 3 4 1 31 ( )l l l l l l
1
2 2 6
1 0
1 H H
( )U s ( )Y s
5H
1 1H
4H
6H
7H
2H
3H 1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
76
1
1 2 3 4 4 2 6
1 5 2 6 3 7 4 7 6 5 1 5 3
( )( )
( )
1
Nk k
k
MY sM s
U s
H H H H H H H
H H H H H H H H H H H H H H
Solution.
Applying Mason’s rule, we find the transfer function to be
Ejemplo 2 Encontrar la función de transferencia para el siguiente SFG
( )U s ( )Y s
5H
1 1H
4H
6H
7H
2H
3H 1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥