Dr Patricia de la Presa

Despacho: 213 Telf: 91 394 4386Departamento de Física de MaterialesFac. Ciencias Físicas (2da planta)

Instituto de Magnetismo Aplicado, UCM-ADIF-CSIC28260 Las Rozas, Madrid

email: pmpresa@pdi.ucm.es

Dr Patricia de la Presa

Despacho: 213 Telf: 91 394 4386Departamento de Física de MaterialesFac. Ciencias Físicas (2da planta)

Instituto de Magnetismo Aplicado, UCM-ADIF-CSIC28260 Las Rozas, Madrid

email: pmpresa@pdi.ucm.es

TEMA 1. CINEMÁTICA

Física clásica y moderna. Unidades. Sistema de referencia. Posición, velocidad y aceleración. Movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Movimiento circular. Composición de movimientos.

Cinemática del sólido.

Índ

ice

Magnitudes Físicas

Conceptos referidos a cantidades observables y medibles directa o indirectamente en fenómenos o experimentos físicos.

•Se representan por símbolos en las ecuaciones– Ej:

E = m c2 Lleva asociada una unidad de medida

Ejemplo•Masa: “Cantidad de materia que es atraída por la Tierra con una cierta fuerza”. Se mide en kilogramos, libras, etc.

Dimensiones de las magnitudes

• Es la combinación de unidades básicas que determinan la unidad de cualquier magnitud física

• Se representa con corchetes cuadrados• Se consideran como magnitudes básicas

– Longitud [l]=L– Masa [m]=M– Tiempo [t]=T– Temperatura [T]=– Cantidad de sustancia [n]=N– Intensidad de corriente [I]=I

• Ejemplo: – Densidad: ρ=masa/volumen

• Unidad de la Densidad=kg/m3. • Dimensión: []=ML-3

– Fuerza: F = m· a => [F]=M L T-2

Mag

nit

ud

es

En una ecuación todos los términos tienen que tener las mismas dimensiones.

•Ej:

Ecuaciones dimensionales• Sirven para relacionar y verificar la consistencia de

unidades derivadas con unidades básicas.• Reglas:

212

2

TMLL

MLTP

20 0

22

1

2

[ ]

s s v t a t

L Ls L T T L

T T

Si se multiplican/dividen magnitudes físicas, se multiplican/dividen sus dimensiones

•Ej: Presión=Fuerza/superficie

Sólo se pueden sumar/restar magnitudes con las mismas dimensiones

Mag

nit

ud

es

Leyes Físicas

Generalizaciones que proceden de las observaciones de los resultados experimentales

•Se expresan como ecuaciones matemáticas

•Relacionan magnitudes físicas

•Se utilizan para hacer predicciones y obtener otras relaciones derivadas

Mag

nit

ud

es

Cantidades físicas. La medida

Los valores que toma una magnitud física

• Se caracterizan por un valor numérico y una unidad.– Ej: 65 cm

• El valor numérico es el resultado de la comparación de la cantidad con la unidad de la magnitud.

• Al operar con cantidades físicas se hace tanto con su valor numérico y como con sus unidades.– Ej: 400 km / 5 h =80 km/h = 22.2 m/s

Mag

nit

ud

es

Unidades Básicas del Sistema Internacional

• Longitud (l): metro (m)

• Tiempo (t): segundo (s)

• Masa (m): kilogramo (kg)

• Temperatura (T): kelvin (K)

• Cantidad de sustancia (n): mol (mol)

• Intensidad de corriente eléctrica (I): amperio (A)

Sistema MKS: Mecánica

Termodinámica

Electricidad

Mag

nit

ud

es

Unidades derivadas

Se obtienen por combinación de alguna/s de las unidades básicas.•Son todas las demás•Algunas tienen nombre propio

– Ejemplo: Fuerza (F): Newton (N)

2/ smkgN Medidas angulares

Radian (rad): Ángulo cuyo arco es igual al valor del radio

Estereoradian (sr):Ángulo sólido cuya superficie esférica es igual al radio^2

Mag

nit

ud

es

Múltiplos y submúltiplos

Sistema decimal: Potencias de 10

• Múltiplos más comunes– Kilo (k) 103 (1 km = 103 m)– Mega (M) 106 (Ej: MW=106 W)– Giga (G) 109 (1 GHz = 109 Hz)

• Submúltiplos más comunes– Mili (m) 10-3 (1 ml = 10-3 l)– Micro () 10-6 (1 m también se le llama micra)– Nano (n) 10-9 (1 ns = 10-9 s)

Mag

nit

ud

es

Conversión de unidades

• Debe tratarse de la misma magnitud física• Se debe conocer la relación entre ambas unidades• Las unidades se operan algebraicamente, como las

magnitudes.

Procedimiento:Se escribe la inversa de la unidad de partida divida por su valor en la nueva unidadEjemplo: Pasar 90km/h a m/s (unidades de velocidad)

smhkm

smhkm

s

h

km

m

h

km25

3600

100090

3600

1

1

100090

sh

mkm

36001

10001

Factor de

conversión

Mag

nit

ud

es

Vec

tore

sMagnitudes físicas escalares y vectoriales

Magnitudes escalares Magnitudes vectoriales

Longitud (l)

Masa (m)

Densidad (m/l)

Tiempo (t)

Temperatura (T)

Trayectoria

Peso Aceleración

Fuerza

Momento angular

r

P

a

F

L

Vector de posición

2 2 2

ˆˆ ˆ, ,pr x y z xi yj zk

r x y z

Operaciones con vectores

Suma

22

ˆ ˆ ˆ ˆ;

ˆ ˆ

tan

x y x y

x x y y

x x y y

y y

x x

A A i A j B B i B j

R A B i A B j

R A B A B

A B

A B

Operaciones con vectores

Producto escalar

ˆ ˆ ˆ ˆ;

cos

ˆ ˆ ˆ ˆ

x y x y

x y x y x x y y

A A i A j B B i B j

A B AB

A B A i A j B i B j A B A B

Ej: 1)obtenga el producto escalar de dos vectores de módulo 4 y 5 que forman un ángulo de 60º

2)Obtenga el producto escalar de los vectoresy calcule el ángulo entre ellos

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ; 4 2A i j k B i j k

Operaciones con vectores

Producto vectorial

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ;

sin

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ =

x y z x y z

x y z

x y z

y z z y x z z x x y y x

A A i A j A k B B i B j B k

C A B

C AB

i j k

A B A A A

B B B

A B A B i A B A B j A B A B k

A

B

C

Trayectoria y desplazamiento

Trayectoria: conjunto de puntos del espacio por los que pasa el móvil

Cuando un punto se está moviendo sus coordenadas (vector de posición) están cambiando con el tiempo.

)(trr )(

)(

)(

tzz

tyy

txx

)(,),(),( 21 ntrtrtr

Distancia recorrida por el móvil medida sobre la trayectoria (escalar)

t

t

drts0

)(

Desplazamiento: distancia final que se recorrió de un punto a otro

0fr r r

Definición de velocidad:Velocidad media

La velocidad media se define como el cociente entre el incremento de desplazamiento entre el incremento de tiempoGráficamente viene dada por la pendiente de la línea recta que conecta los dos puntos de estudio (puntos 1 y 2).La velocidad media es un vector, tiene dirección y sentido

m

rv

t

Definición de velocidad:Velocidad instantanea

La velocidad instantanea se define como el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de un incremento de desplazamiento por incremento de tiempo. Matemáticamente se calcula como la derivada y gráficamente se trata de la pendiente de la curva trayectoria para un tiempo dado o línea tangente a la curva.También es un vector, con dirección y sentido

0limt

r drv

t dt

dt

tdzv

dt

tdyv

dt

tdxv

z

y

x

)(

)(

)(

ˆˆ ˆx y zv v i v j v k

AceleraciónEs la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo. Análogamente a la velodidad se pueden definir:

• Aceleración media

•Aceleración instantanea

m

va

t

2

20limt

v dv d ra

t dt dt

2

2

2

2

2

2

)()(

)()(

)()(

dt

tzd

dt

tdva

dt

tyd

dt

tdva

dt

txd

dt

tdva

zz

yy

xx

ˆˆ ˆx y za a i a j a k

Problema propuesto:

1.Por la A-6 viaja un Porche que tiene incorporado GPS con aviso de radares fijos. El primer radar se encuentra situado en el Km 20 a la altura de Las Rozas, pasando por allí a la velocidad máxima permitida en autovía. El segundo radar se encuentra situado en el Km 40, en Villalba, donde el conductor también frena para pasar a 120 Km/h. Sin embargo, poco después la Guardia Civil le para y comunica que habiendo tardado 6 minutos en el trayecto Las Rozas-Villalba procedían a la retirada de carné. Explica la deducción de los agentes.

2. Un nadador nada una calle de una piscina olímpica (50 m de longitud) ida y vuelta en un tiempo de 50 s alcanzando un record olímpico. Calcule la velocidad media y compare con la rapidez del nadador. Con qué describiría su record, con la velocidad media o con la rapidez?

Siempre que se localiza un punto (coordenadas) lleva implícito un sistema de referencia.Cuando se trata de un movimiento, además del sistema de coordenadas espacial hay que añadir también un origen de tiempos.

Un sistema de referencia se puede estar movimiento, a su vez, respecto a otro sistema de referencia (“Sistema inercial de Galileo”).

Sistema de referencia

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)(en una dimensión)

El caso más sencillo de movimento rectilíneo es aquel con velocidad constante (a=0)

dxv dx v dt

dt

Integrando la expresión anterior

f o

dx v dt

x x vt

f ox vt x

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

El ejemplo más conocido de MRUA es la caida de objetos dentro del campo de gravedad de la Tierra. La aceleración de la gravedad es constante (despreciando el rozamiento del aire):

dva dv a dt

dt

Integrando la expresión anterior,

f odv a dt v v at f ov at v

Sustituyendo velodidad por su expresión en función del desplazamiento,

t

dttavxx0

00

20 0

1

2x x v t a t

MRUA. Caída libre

20 0

1·

2y y v t g t

g

ytcaída

2

MRUA Tiro vertical

20 0

1·

2y y v t g t

“ En un medio totalmente desprovisto de resistencia, todos los cuerpos caerán a la misma velocidad ... y ... durante intervalos iguales de tiempo un cuerpo que cae recibe incrementos iguales de velocidad”

Ideas de Galileo

La ley de Galileo asevera que la velocidad aumenta con el tiempo de caída

http://www.youtube.com/watch?v=0NXMt9svyAE&feature=related

Ejercicio propuesto

Se deja caer una piedra a un pozo y 3 s. después se oye el sonido del chapoteo. Si el sonido se propaga en el aire a un velocidad de 344 m/s ¿Cúal es la profundidad del pozo?

Un tren que viaja a 108 Km/h frena con una aceleración constante en 50 s. a) ¿Cuál es su aceleración? B) ¿Qué distancia recorre hasta pararse?

Ejemplo de movimiento a velocidad constanteP

rob

lem

a

Ejemplo de movimiento a velocidad constante

PROBLEMA: Ejemplo de movimiento a velocidad constante

Teniendo en cuenta el siguiente mapa, calcula la velocidad media de desplazamiento (en cm/año) de la Placa Pacífica sobre el Hotspot de Hawai. Dato: la edad de la isla de Niihau es 4.89 Ma

Movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniforme

Trayectoria es una circunferencia Vector posición varía en dirección

pero NO en módulo

rs dt

dr

dt

dsv

Se define velocidad angular como la derivada con respecto al tiempo del ángulo descrito por el móvil

dt

d rv

vP(x,y)

O

r s

P0(x,0)

Movimiento circular uniforme

Se define aceleración radial o centrípeta como la derivada con respecto al tiempo de la variación de velocidad tangencial

22; c c

v va a r

t r

Se define aceleración tangencial a la variación con el tiempo del módulo de la velocidad

rdt

d

dt

vdaT

||

Se define aceleración angular a la variación con el tiempo de la velocidad angular

2

2

dt

d

dt

d raT

Movimiento circular no uniforme:

Movimiento circular uniforme (=cte)

Movimiento circular uniformemente acelerado (=cte)

t 0

200 2

1tt

t 0

Movimiento circular: ecuaciones de movimiento

Movimiento circular. Resumen

Movimiento Uniforme

Movimiento Movimiento rectilíneorectilíneo

(v=cte)(v=cte)

Movimiento Movimiento circularcircular(=cte)

Desplazamiento

Movimiento Uniformemente acelerado

Movimiento Movimiento rectilíneorectilíneo Movimiento circularMovimiento circular

Velocidad

Desplazamiento

t 0

t 0

200 2

1tt

00 ttvxx

20 2

1tatvxx

tavv 0

Ejercicio propuesto

Un automóvil deportivo Aston Martin V8 Vantage tiene una “aceleración lateral” de 0.96g, que es (0.96)(9.8 m/s2) = 9.4 m/s2. Esta es la aceleración centrípeta máxima que puede lograr el auto sin salirse de la trayectoria circular derrapando. Si el auto viaja a 40 m/s (cerca 144 km>h). Cuál es el radio mínimo de curva que puede describir? En cuánto disminuye este radio si la velicidad disminuye un 10%?

2 2

1

2 1

170 m

138 m 80%

cc

v va R

R a

R

R R

Composición de movimientos

Cuando un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultáneos e independientes realiza un movimiento, llamado compuesto, combinación de aquellos. La velocidad será la suma vectorial de las velocidades Casos:

• Composición de movimientos rectilíneos uniformes

22|| yx vvv

Composición de movimientos• Composición de rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado

perpendiculares: Tiro parabólico

v

Composición de movimientos

• Composición de rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado perpendiculares: Tiro parabólico

0

20

cos

1

2

x v t

y v sen t gt

Para un punto P podemos despejar el tiempo t en y y sustituirlo en x, o viceversa. Ejemplo:

-El máximo alcance ocurre cuando y=0.

g

senvtA

02 0 cosA Ax v t

Problema: tiro parabólico

Un futbolista lanza un balón con una componente horizontal de la velocidad de 25 m/s y una componente vertical de 15 m/s. Determinar:

a) La velocidad y la posición al cabo de 1s y 2s.

b) El tiempo necesario para alcanzar el punto más elevado de la trayectoria

c) El tiempo que tarda en volver a la altura inicial

d) La distancia horizontal recorrida en este tiempo.

Resumen fórmulas tiro oblicuo ó parabólico

Eje horizontal, xMovimiento rectilineo

uniforme

a=0

V=vxo=constante

X=vxot

Eje vertical, yMovimiento rectilineo

uniformemente acelerado

a=-g

V=vyo-gt

Y=vyot-gt2/2

Problema2 propuesto: tiro parabólico

¿Cuál es la velocidad de despegue de una rana si su ángulo de salto es de 55º y su alcance es de 0.8 m?

Cinemática del sólido

Sólido: conjunto partículas sin movimiento relativo

Movimiento Translación. Todos los vectores son paralelos Rotación. Los vectores velocidad describen arcos respecto a

puntos fijos (eje de rotacion).

General: Combinación de translación (centro de masas) y rotación.

Centro de masasEl centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. Normalmente se abrevia como CM.

1

1

n

i ii

CM n

ii

r mR

m

ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

Ejercicio propuesto

El hacha de piedra de la figura, en donde se muestras sus dimensiones, está formada por una piedra simétrica de 8 Kg. atada al extemo de un

palo homogéneo de 2.5 Kg. ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su CM?