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CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES
1 MÉTODO DE LA BISECCIÓN:
1 TEORÍA:
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raícesque trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo quetiene la raíz.
PROCEDIMIENTO:
• Elija valores Iniciales para a! y b! de "orma tal que lea "unción cambie designo sobre el intervalo. Esto se puede veri"icar asegurándose de que #
f (a)∗f (b)<0
• $a primera apro%imación a la raíz se determina con la "órmula#
xn=(a+b)/2
• &ealizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo
se encuentra la raíz#f (a)∗f ( xn) ' ( Entonces b= xn
f (a)∗f ( x n)>0 Entonces a= xn
f (a)∗f ( x n)=0 Entonces xn Es la &aíz
• )alcule la nueva apro%imación#
xn+1=(a+b)/2
• Evaluar la apro%imación relativa#
¿( xn+1− xn)/ xn+1∨¿ E
*o. +also- &epetir el paso , / y 0
1í. +2erdadero- Entonces xn+1 Es la &aíz
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ALGORITMO DE LA BISECCION
3.Inicio
4.5Introducir la "uncion en el casillero superior
.56gregar el limite in"erior de la "unción
/.5Establecer el limite superior de la "unción
0.5Introducir la tolerancia de error.
7.56nalizar que el producto del limite superior por el in"erior sea menor a cero.
8.59eterminar si la intervalo es correcto para esa "unción si si esta bien te dara
resultado y si no te marcara error
:.5 da clic en calcular y se Imprimira el resultado
;.5 in
2 9I6<&6=6 9E $>?@#
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3 CÓDIGO DE PROGRAMA:
%metodo de la biseccion
xai=input('Ingrese el intervalo inferior: ');
xbi=input('Ingrese el intervalo superior: ');
tol=input('Ingrese el error: ');
syms x;
f=input('Ingrese la funciòn: ');
i=1;
f1=subs(fxxai);
f!=subs(fxxbi);
r(i)=1"";
if f1#f! $ "
xa(i)=xai; f1=subs(fxxa(i));
xb(i)=xbi; f!=subs(fxxb(i));
xc(i)=(xa(i)xb(i))&!; f=subs(fxxc(i));
fprintf('It a c b
*rror aprox +n');
fprintf('%!d +t %11,f +t %11,f +t %11,f
+n'ixa(i)xc(i)xb(i));
-.ile abs(r(i)) /= tol
if f1#f$"
xa(i1)=xa(i);f1=subs(fxxa(i1));
xb(i1)=xc(i);f!=subs(fxxb(i1));
end
if f1#f/ "
xa(i1)=xc(i);f1=subs(fxxa(i1));
xb(i1)=xb(i);f!=subs(fxxb(i1));
end
xc(i1)=(xa(i1)xb(i1))&!; f=subs(fxxc(i1));
r(i1)=abs((xc(i1)0xc(i))&(xc(i1))#1"");
fprintf('%!d +t %11,f +t %11,f +t %11,f +t %,f +n'
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i1xa(i1)xc(i1)xb(i1)r(i1));
i=i1;
end
else
fprintf('o existe una ra23 en ese intervalo');
end
4 VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:
Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# Ingrese el error# (.((3Ingrese la "unciAn# B%54Ce%p+%-5%D4It. a c b Error apro%3 (.((((((( 3.0(((((( .(((((((4 (.((((((( (.80((((( 3.0(((((( 3((.((( (.((((((( (.80(((( (.80((((( 3((.(((/ (.((((((( (.3:80((( (.80(((( 3((.(((0 (.3:80((( (.4:340(( (.80(((( .7 (.3:80((( (.4/80( (.4:340(( 4(.(((8 (.4/80( (.408:340 (.4:340(( ;.(;3
: (.4/80( (.4/7(;: (.408:340 /.874; (.4/7(;: (.403;03 (.408:340 4.473( (.403;03 (.40/::4: (.408:340 3.3/;33 (.40/::4: (.407/88 (.408:340 (.08334 (.407/88 (.408(:(3 (.408:340 (.4:03 (.408(:(3 (.408//7 (.408:340 (.3/43/ (.408//7 (.40874;/ (.408:340 (.(8330 (.408//7 (.40808: (.40874;/ (.(737 (.408//7 (.408/;43 (.40808: (.(3:38 (.408/;43 (.408030( (.40808: (.((;3: (.408030( (.408047/ (.40808: (.((/
3; (.408047/ (.408043 (.40808: (.((44( (.408047/ (.40804; (.408043 (.((343 (.40804; (.4080(8 (.408043 (.((3
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Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# 4Ingrese el error# (.(((3Ingrese la "unciAn# %5(.:5(.4Bsin+%-It. a c b Error apro%3 (.((((((( 3.((((((( 4.(((((((4 (.((((((( (.0(((((( 3.((((((( 3((.((( (.0(((((( (.80((((( 3.((((((( ./ (.80((((( (.:80(((( 3.((((((( 3/.4:70 (.:80(((( (.;80((( 3.((((((( 7.7787 (.;80((( (.;7:80(( 3.((((((( .447
8 (.;80((( (.;0340( (.;7:80(( 3.7;: (.;0340( (.;7(;80 (.;7:80(( (.:3; (.;7(;80 (.;7/:/: (.;7:80(( (./(0
3( (.;7(;80 (.;74:;(7 (.;7/:/: (.4(33 (.;74:;(7 (.;7:784 (.;7/:/: (.3(334 (.;7:784 (.;7/000 (.;7/:/: (.(033 (.;7:784 (.;7/333 (.;7/000 (.(403/ (.;7/333 (.;7/4/ (.;7/000 (.(330 (.;7/4/ (.;7/4;// (.;7/000 (.((737 (.;7/4;// (.;7/40( (.;7/000 (.((38 (.;7/40( (.;7//(4 (.;7/000 (.((4
3: (.;7/40( (.;7/47 (.;7//(4 (.((33; (.;7/47 (.;7/7/ (.;7//(4 (.(((4( (.;7/47 (.;7//0 (.;7/7/ (.(((
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43 (.;7/47 (.;7/0 (.;7//0 (.(((
2 MÉTODO DEL PUNTO FIJO:
1 TEORÍA:
9ada la ecuación f ( x)=0 , el método de las apro%imaciones sucesivas
reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g( x ) , de"inida en la
"orma g( x)=f ( x)+ x . Fara encontrar la solución, partimos de un valor inicial
x0 y calculamos una nueva apro%imación x1=g ( x0) . &eemplazamos el
nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de
valores, { x0, x
1,… , xn} que si converge, tendrá como límite la solución del
problema.En la "igura se representa la interpretación geométrica del método. Fartimos de
un punto inicial %( y calculamos y=g( x 0) . $a intersección de esta solución
con la recta y= x nos dará un nuevo valor x1 más pró%imo a la solución
"inal.
1in embargo, el método puede divergir "ácilmente. Es "ácil comprobar que elmétodo sólo podrá converger si la derivada g ' ( x) es menor en valor
absoluto que la unidad +que es la pendiente de la recta de"inida por y= x .
>n ejemplo de este caso se muestra en la "igura. Esta condición, que a prioripuede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse
"ácilmente. Fara ello basta elegir la "unción g( x) del siguiente modo#
g ( x )= x+∝ f ( x )
9e "orma que tomando un valor de ∝ adecuado, siempre podemos Gacer
que g ( x ) cumpla la condición de la derivada.
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)@*2E&<E*)I6#
El método de apro%imaciones sucesivas converge si ¿g ' ( x)∨¿1
)onvergencia =onótona 9ivergencia =onótona0<g
' ( x )<1 g ' ( x )>1
2 9I 6 <& 6= 6
9E
$>?@#
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3 CÓDIGO DE PROGRAMA:
%metodo del punto fi4oxm(1)=input('Ingrese el valor inicial: ');
tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');
syms x;
fg=input('Ingrese la funci5n f(x): ');
f=input(' despe4ada g(f(x)): ');
i=1;
ea(1)=1"";
-.ile abs(ea(i))/=tol
xm(i1) = subs(fxxm(i));
ea(i1) = abs((xm(i1)0xm(i))&xm(i1))#1"";i=i1;
end
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fprintf('i xm(i) *rror aprox (i) +n');
for 4=1:i;
fprintf('%!d +t %11,f +t %,f +n'401xm(4)ea(4));
end
4 VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:
Ingrese el valor inicial# (Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción "+%-# B%54Ce%p+%-5%D4 despejada g+"+%--# +45e%p+%-C%D4-H
i %m+i- Error apro% +i-( (.((((((( 3((.(((3 (. 3((.(((4 (.4:/;;7 ;.87 (.47403( ;.3/:/ (.4074;; 4.//:0 (.408:70/ (.7(7 (.408// (.37/8 (.408004; (.(/: (.40804// (.(33; (.40803: (.((
3( (.40804;; (.((333 (.4080(/ (.(((34 (.4080( (.(((
Ingrese el valor inicial# (
Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción "+%-# %5(.:5(.4Bsin+%-despejada g+"+%--# (.:C(.4Bsin+%-
i %m+i- Error apro% +i-( (.((((((( 3((.(((3 (.:(((((( 3((.(((4 (.;//834 30.4(8 (.;73;4(3 3.;3:/ (.;7/(0: (.4440 (.;7/(40 (.(407 (.;7/( (.((
8 (.;7/0 (.(((: (.;7/: (.(((
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3 MÉTODO DE NETON RAP!SON:
1 TEORÍA:
Este método parte de una apro%imación inicial x0 y obtiene una apro%imación
mejor, x1 , dada por la "órmula#
x1= x
0−
f ( x0)f ' ( x
0)
Este método está de"inido por el denominador f ’ ( xi) Gace que
geométricamente se base en una apro%imación a una recta tangente a la curva
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y=f ( x) trazada en el punto correspondiente a la apro%imación presente, esto
puede observarse en la "igura#
3.5Inicio
4.5Introducir la "uncion deseada en el casillero superior
.56gregar el valor inicial del intervalo
/.5Establecer el error de tolerancia
0.51eleccionar el método deceado +*eton5&apsGon ó *eton5&apsGon
mejorado-
7.59endiendo de el que se Galla elegido, el programa tendrá la tarea de calcularla raíz de la "unción y gra"icarla
8.5Farar los calculos una ves que el error apro%imado sea menor al del requisito
3(.5in
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2 DIAGRAMA DE FLUJO CON LA DERIVADA:
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3 CÓDIGO DE PROGRAMA:
%metodo de ne-to raps.on
clc
disp('*67809<8')
x"=input('Ingrese el valor inicial: ');
tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');f=input('Ingrese la funci5n: ');
i=1;
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xm(i)=x";
syms x;
f1=subs(fxxm(i));
3=diff(f);
d=subs(3xxm(i)); ea(1)=1"";
-.ile abs(ea(i))/=tol;
xm(i1)=xm(i)0f1&d; f1=subs(fxxm(i1)); d=subs(3xxm(i1));
ea(i1)=abs((xm(i1)0xm(i))&xm(i1)#1"");
i=i1;
end
fprintf('i xm(i) *rror aprox (i) +n');
for 4=1:i;
fprintf('%!d +t %11,f +t %,f +n'401xm(4)ea(4));end
4 2E*J6*6 9E 9I1EK@ L 6F$I)6)IM*#
Ingrese el valor inicial# 4Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción# B%54Ce%p+%-5%D4i %m+i- Error apro% +i-( 4.((((((( 3((.(((3 (.://:4/ 38.3344 (.40/43;; 43.8;4
(.40804; 3.4:0/ (.4080( (.(((0 (.4080( (.(((
Ingrese el valor inicial# (
Ingrese el porcentaje de error# (.((((3Ingrese la "unción# %5(.:5(.4Bsin+%-i %m+i- Error apro% +i-
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( (.((((((( 3((.(((3 3.((((((( 3((.(((4 (.;7//0( .7:7 (.;7/; (.(34/ (.;7/; (.(((
4 MÉTODO DE LA SECANTE:
1 TEORÍA:
El principal inconveniente del método de *eton estriba en que requiereconocer el valor de la primera derivada de la "unción en el punto. 1in embargo,
la "orma "uncional de f ( x) di"iculta en ocasiones el cálculo de la derivada. En
estos casos es más útil emplear el método de la secante.El método de la secante parte de dos puntos +y no sólo uno como el método de*eton- y estima la tangente +es decir, la pendiente de la recta- por unaapro%imación de acuerdo con la e%presión#
x
f ( x i−1 )−f (¿¿ i)
x i+1= x i−f ( xi)( x i−1− xi)
¿
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitacionesque el método de *eton5&apGson e%plicado anteriormente.
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2 DIAGRAMA DE FLUJO:
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3 CÓDIGO DE PROGRAMA:
%metodo de la secante
xm(1)=input('Ingrese el intervalo inferior: ');
xm(!)=input('Ingrese el intervalo superior: ');
tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');
syms x;
f=input('Ingrese la funciòn: ');
f1=subs(fxxm(1));
f!=subs(fxxm(!));
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(.43733( 48.484 / (.408330 30.;/( 0 (.40804:7 (.373 7 (.4080( (.((3 8 (.4080( (.(((
Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# 4Ingrese el porcentaje de error# (.(((3
Ingrese la "unciAn# %5(.:5(.4Bsin+%-i %m+i- Error apro% +i-3 4.((((((( 3((.((( 4 (.::((4(( 5348.47: (.;07((; 8.;03 / (.;7/;8; (.:7: 0 (.;7/: 5(.((8 7 (.;7/; (.(((