MATEMÁTICAMATEMÁTICA

ClaseResolución de ecuaciones de primer grado

APRENDIZAJES ESPERADOS

Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Utilizar el metalenguaje para plantear ecuaciones y resolverlas.

Aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas de planteo.

Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene una solución, infinitas soluciones o cuándo no tiene solución.

Reconocer los métodos resolución de sistemas de ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro.

Contenidos1. Ecuación de primer grado

• Identidades• Resolución de ecuaciones• Tipos de ecuaciones• Planteo de ecuaciones

2. Sistemas de ecuaciones

3. Métodos de resolución•Igualación•Sustitución•Reducción

4. Problemas de planteo

Se llama igualdad algebraica a una expresión matemática de números y letras separados por un signo igual.

1. Ecuación de primer grado

Dada una igualdad, si es cierta para cualquier valor de las letras, la llamaremos identidad y si es falsa para cualquier valor de las letras, la llamaremos contradicción.

Identidades y contradicciones

Identidad Contradicción

Igualdad algebraica

Ecuación

3x + x = 4x

El triple de un número, más el número siempre es igual al cuádruplo del número

x + 1 = x

Un número más uno nunca es igual al mismo número

2x + x = 6

El doble de un número, más el número es igual a 6 sólo si x = 2(solución)

1. Ecuación de primer grado

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella en que el mayor exponente de la incógnita es 1 y, por lo tanto, tiene una solución.

Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad. A estos valores los llamaremos soluciones de la ecuación.

Resolución de ecuaciones

1. Ecuación de primer grado

Al resolver una ecuación, se puede utilizar el concepto de una balanza.

Para mantener el equilibrio se deben sacar las mismas cantidades de ambos platos, la idea es dejar lo desconocido a un lado y lo conocido al otro…

1. Ecuación de primer grado

Ejemplo:La ecuación 3x + 2 = x + 8 se puede representar como:

Extrayendo lo mismo de cada plato…resulta:

3x + 2 = x +8

1. Ecuación de primer grado

2x = 6

Al dividir por dos, en ambos lados resulta:

2x = 6

x = 3

1. Ecuación de primer grado

a) 8x + 4 = 2x + 288x – 2x + 4 = 2x + 28 – 2x

6x + 4 = 286x + 4 – 4 = 28 – 4

6x = 246x = 246 6

x = 4

/ Restando 2x

/ Restando 4

/ Dividiendo por 6

Ejemplos:

4 es solución de la ecuación, es decir, al reemplazar 4 en la incógnita de la ecuación, se cumple la igualdad.

1. Ecuación de primer grado

b) 7x + 9 – 5x + 8 = 2x + 17 / Reduciendo términos semejantes

2x + 17 = 2x + 17 / Restando 17

2x + 17 – 17 = 2x + 17 – 17

2x = 2x / Restando 2x

2x – 2x = 2x – 2x

0 = 0

Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y se llega a una igualdad, la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES, es decir, para cualquier valor de x se cumple la igualdad, por lo tanto estamos frente a una identidad.

1. Ecuación de primer grado

Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y NO se llega a una igualdad, la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN, es decir, no existe un valor para x que cumpla la igualdad, por lo tanto estamos frente a una contradicción.

c) 5x + 8 + 2x = 4x + 14 + 3x / Al reducir términos semejantes

7x + 8 = 7x + 14 / Restando 8

7x = 7x + 6 / Restando 7x

0 = 6

7x + 8 – 8 = 7x + 14 – 8

7x – 7x = 7x + 6 – 7x

1. Ecuación de primer grado

Ejemplo:

3x + 6 =– 60

3x = – 66

33x = – 66 3

6x – 3x + 6 = 3x – 3x – 60/ Restando 6

3x + 6 – 6 = – 60 – 6/ Dividiendo por 3

6x + 6 = 3x – 60 / Restando 3x

x = – 22

1. Ecuación de primer grado

Ejemplo:

Con coeficientes enteros

5x + 9 = 2x 5x – 2x + 9 = 2x – 2x

3x + 9 – 9 = – 9

3x = – 9

3x = – 9 3 3x = – 3

/ Restando 2x

/ Restando 9

/ Dividiendo por 3

3x + 9 = 0

/ Reduciendo términos semejantes

1. Ecuación de primer grado

Ejemplo:Con coeficientes fraccionarios

. 35

x + 915

= 310

x – 6

35

x + 3 5

310

x – 6=

35

x + 3 5 = 3

10x – 10∙610

∙10∙

10∙

2∙3x + 2∙3 = 1∙3x – 60

6x + 6 = 3x – 60

/ Simplificando

/ Multiplicando por 10

/ Simplificando

Un método muy útil para resolverlas es eliminar los denominadores amplificando por el m.c.m. y dejarlas lineales.

1. Ecuación de primer grado

Ejemplo:

Con coeficientes literales

px + 3 = p / – 3 px + 3 – 3 = p – 3px = p – 3

/ Dividiendo por p, con p ≠ 0

p p – 3 x =

ppx p – 3

p =

1. Ecuación de primer grado

Planteo de ecuacionesEjemplos:

Sea x el número, entonces:

3x + 4 = 25

3x + 4 – 4 = 25 – 4

3x 21 3 3

x = 7

/ Restando 4

3x = 21

a) El triple de un número aumentado en 4 unidades es igual a 25. ¿Cuál es el número?

/ Dividiendo por 3

=

Por lo tanto, el número es 7.

1. Ecuación de primer grado

Sea x el número, entonces:

2(x + 7) = 19 2x + 14 = 19

2x 5 2 2

/ Distribuyendo

2x = 5

b) El doble, de un número aumentado en 7 unidades es igual a 19. ¿Cuál es el número?

/ Dividiendo por 2

=

/ Restando 142x + 14 – 14 = 19 – 14

5 2

x =

Por lo tanto, el número es 5 2

1. Ecuación de primer grado

Un sistema de Ecuaciones es un conjunto de ecuaciones donde existe más de una incógnita.

2. Sistemas de ecuaciones

Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, es decir, si hay 2 incógnitas, debe haber 2 ecuaciones distintas…

5x + 7y = 3

2x + 9y = -1

Por Ejemplo:

2x + 5y - z = -1

x + y + 2z = 5

4x - 3y + 2z = 28

…Si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.

Al resolver este tipo de sistema, puede ocurrir que este tenga:

-una solución y que la intersección de las 2 rectas sea el punto (x, y).

-infinitas soluciones. Esto significa que las rectas son “coincidentes”.

- ninguna solución. Esto significa que las rectas son “paralelas”.

Una ecuación de dos variables, como ax + by = c, es la ecuación de una recta.

Al resolver un sistema de la forma:

se encontrará el punto de intersección (si se intersectan) entre las dos rectas representadas por sus ecuaciones.

2. Sistemas de ecuaciones

ax + by = c

dx + ey = f

3. Métodos de resolución

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados.

El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo: 1) 2x + 5y = 122) x – 3y =– 5

Despejando x en 1):2x + 5y = 12

2x = 12 – 5y 12 – 5y

2x =

x – 3y = – 5x = – 5 + 3y

Despejando x en 2):

• Igualación

Igualando ambas ecuaciones:

12 – 5y2 = – 5 + 3y

12 – 5y = – 10 + 6y12 – 5y + 5y = – 10 + 6y + 5y

12 = – 10 + 11y

12 + 10= – 10 + 11y + 10

22 = 11y

2 = y

/ Multiplicando por 2

/ + 5y

/ + 10

/ :11

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, se determina el valor de x.

• Igualación3. Métodos de resolución

3. Métodos de resolución• Igualación

x = – 5 + 3y

Reemplazando y = 2 en la ecuación 2) se obtiene:

x = – 5 + 3 · (2)x = – 5 + 6x = 1

Por lo tanto, la solución del sistema es (1, 2).

3. Métodos de resolución

Consiste en despejar una incógnita, de una de las ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, calculando la única variable que queda. El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

Ejemplo: 1) 2x + 5y = 122) x – 3y =– 5

Despejando x en 2):

x = – 5 + 3yx – 3y = – 5

• Sustitución

3. Métodos de resoluciónReemplazando x = – 5 + 3yen la ecuación 1) resulta:

2x + 5y = 122(– 5 + 3y) + 5y = 12

– 10 + 6y + 5y = 1211y = 12 + 1011y = 22

y = 2

Como x = – 5 + 3y x = – 5 + 3 · (2) x = 1

/ Multiplicando

/ Sumando 10

/ Dividiendo por 11

Por lo tanto, la solución del sistema es (1, 2).

• Sustitución

3. Métodos de resolución

Consiste en multiplicar y/o dividir una o ambas ecuaciones, de modo que los coeficientes de una de las incógnitas sean uno el opuesto del otro. Luego, se suman ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.Ejemplo:

1) 2x + 5y = 122) x – 3y =– 5

1) 2x + 5y = 122) x – 3y =– 5

Para eliminar x, multiplicaremos la ecuación 2) por – 2

/ ·(– 2)

• Reducción

3. Métodos de resolución

1) 2x + 5y = 122)– 2x + 6y = 10 / Sumando ambas ecuaciones(+)

11y = 22y = 2 / Reemplazando y=2 en la ecuación 2)

2) x – 3y = – 5x – 3 · (2) = – 5

x = 1x = 6 – 5

/ Dividiendo por 11

Por lo tanto, la solución del sistema es (1, 2).

• Reducción

3. Métodos de resoluciónEjemplo: 3x + y = 5

9x + 3y = 15

3x + y = 59x + 3y = 15

/·(– 3)

– 9x – 3y = –15 9x + 3y = 15

/ Sumando ambas ecuaciones(+)

0 = 0

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una igualdad, por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.

• Reducción

3. Métodos de resolución

Ejemplo: 2x + 3y = 5

4x + 6y = 15

2x + 3y = 54x + 6y = 15

/·(– 2)

– 4x – 6y = – 10 4x + 6y = 15

/ Sumando ambas ecuaciones

0 = 5

Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una afirmación falsa, por lo tanto el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.

• Reducción

4. Problemas de planteo

Si entre avestruces y guanacos se tienen 50 cabezas y 160 patas, ¿cuántas avestruces y guanacos hay?

Sea a: N° de avestruces y g: N° de guanacos

Como las avestruces tienen 2 patas y los guanacos 4, la cantidad total de patas de avestruz será 2a y el total de patas de guanacos 4g.

1) a + g = 50

2) 2a + 4g = 160

Ejemplo:

4. Problemas de planteoCon estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

1) a + g = 502) 2a + 4g = 160

/·(– 2)

1) – 2a – 2g = –1002) 2a + 4g = 160

/ Sumando ambas ecuaciones(+)

2g = 60

g = 30

1) a + g = 50a + 30 = 50

a = 50 – 30 a = 20

Por lo tanto, hay 20 avestruces y 30 guanacos.

Por otro lado:

Síntesis de la claseEcuaciones de primer

gradoIdentidades y

contradicciones

Con coeficientes enteros

Con coeficientes racionales

Resolución de ecuaciones

Tipos de ecuaciones

Con coeficientes literales

Planteo de ecuaciones

Síntesis de la clase

Sistemas de ecuaciones lineales

Métodos de resolución

Igualación Sustitución Reducción

Problemas de planteo

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