Post on 29-Jun-2022
Colisiones elásticas
Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzCuadrivectores
Cuadrivector espacio-tiempo
Se utiliza la velocidad de la luz para transformar el tiempo en espacio. Y viceversa.
~ri = (xi, yi, zi) ti
r
µi =
8>><
>>:
xi
yi
zi
cti
9>>=
>>;;
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz¿Cómo caracterizar el estado de una partícula en
reposo?
Utilizando cuadrivectores de Minkowski
Estando de acuerdo con otro observadorTransformación de Lorentz entre observadores
Conjetura de Einstein. Inercia de la energía
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
¿Energía en reposo de una partícula?
Masa de una partículam
8>><
>>:
000?‘?
9>>=
>>;
8>><
>>:
c�vmv00?‘?
9>>=
>>;
En reposo En movimientop = �vmv
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
¿Energía en reposo de una partícula?
Masa de una partículam
Para convertir una masa en energía, hay que multiplicarla por una velocidad al cuadrado.
La única velocidad con sentido físico universal para hacer eso es la velocidad de la luz.
E0 = mc2Conjetura de Einstein
Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzMasa de una partícula
m
8>><
>>:
c�vmv00?‘?
9>>=
>>;= Lµ
⌫ (�v)
8>><
>>:
000?‘?
9>>=
>>;
Los respectivos cuadrivectores se relacionan mediante la transformación de Lorentz.
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Energía en reposo de una partículaE0 = mc2
Los respectivos cuadrivectores se relacionan mediante la transformación de Lorentz.
8>><
>>:
�v 0 0 �v�v0 1 0 00 0 1 0
�v�v 0 0 �v
9>>=
>>;
8>><
>>:
000
mc2
9>>=
>>;=
8>><
>>:
c�vmv00
�vmc2
9>>=
>>;
Energía en movimiento de una partículaE = �vmc2
Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzMasa de una partícula
m8>><
>>:
c�vmv00
�vmc2
9>>=
>>;= Lµ
⌫ (v)
8>><
>>:
000
mc2
9>>=
>>;
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Energía en reposo de una partículaE0 = mc2
Energía total de una partículaE = �vmc2
Energía cinética de una partícula
8>><
>>:
�v 0 0 �v�v0 1 0 00 0 1 0
�v�v 0 0 �v
9>>=
>>;
8>><
>>:
000
mc2
9>>=
>>;=
8>><
>>:
c�vmv00
�vmc2
9>>=
>>;
K = (�v � 1)mc2 ) (v/c ⌧ 1) ) 1
2mv2
La ecuación de EinsteinCuerpo extenso
CN A
p
n
e
Un cuerpo extenso se forma ensamblando partículas elementales -- en núcleos, átomos, cristales --, que aportan sus masas a la inercia total, mientras se emite energía en forma de fotones que disminuye la energía de enlace (defecto de masa), que contribuyen negativamente a dicha inercia, respecto de la inercia
de las partículas elementales por separado.
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Energía interna de un cuerpo en reposo
Energía en reposo de una partícula
E0(T ) =X
i
mic2 �
��U
��+X
k
1
2knx
2n +
w T
0ncpdT + · · ·
E0 = mc2
Conjetura de Einstein
Einstein sobre masa-energía
E0(He) = 2 (mp +mn +me) c2 �
hUN ;He + UA ;He
i;
M(He) = E0(He)c�2 ,
E0(D) = 2 (mp +mn +me) c2 �
h2UN ;D + UM;D
i;
M(D) = E0(D)c�2.
Einstein sobre Masa-Energía
Átomo de Helio y molécula de Deuterio. A pesar de estar formados por las mismas partículas
elementales, las inercias del átomo de He y la molécula de Deuterio son ligeramente diferentes.
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Principio de inercia de la energía
M(T ) = c�2E0(T )
Conjetura de Einstein
E0(T ) =X
i
mic2 �
��U
��+X
k
1
2knx
2n +
w T
0ncpdT + · · ·
¡Un ladrillo caliente tiene más inercia que el mismo ladrillo frío.
�M(T ) = c�2�E0(T )
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
v
µ =drµ
d⌧=
1
d⌧
8>><
>>:
dxdydzc dt
9>>=
>>;.
v
µ =
8>><
>>:
�(v)vx
�(v)vy
�(v)vz
�(v)c
9>>=
>>;,
Cuadrivector velocidad
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
pµ = Mvµ =
8>><
>>:
�(v)Mvx
�(v)Mvy
�(v)Mvz
c�1�(v)Mc2
9>>=
>>;
Cuadrivector momento lineal-energía total
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Eµ = cpµ =
8>><
>>:
c�(v)Mvx
c�(v)Mvy
c�(v)Mvz
�(v)Mc2
9>>=
>>;
Cuadrivector momento lineal-energía total
pµ =
8>><
>>:
�(v)Mvx
�(v)Mvy
�(v)Mvz
c�1�(v)Mc2
9>>=
>>;
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Fµ =
8>>><
>>>:
�(v)Fx
�(v)Fy
�(v)Fz
c�1�(v)h~F · ~v
i
9>>>=
>>>;.
Cuadrivector fuerza-potencia de Minkowski
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
W
µ =
8>><
>>:
cF
x
dtcF
y
dtcF
z
dt~
F · d~x
9>>=
>>;.
Cuadrivector impulso lineal-trabajo
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Lµ⌫ (V ) =
8>><
>>:
�(V ) 0 0 ��(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0
��(V )�(V ) 0 0 �(V )
9>>=
>>;
�(V ) = V/c
�(V ) = [1� �2(V )]�1/2
Transformación de Lorentz
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Eµf � Eµ
i =X
k
Wµk
Ecuación fundamental mecánica. Forma energía
pµf � pµi =X
k
Fµk dtk
Ecuación fundamental mecánica. Forma ley de Newton
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Eµf � Eµ
i = 0
Eµf = Eµ
i
8>><
>>:
c�v1M1v100
�v1M1c2
9>>=
>>;+
8>><
>>:
c�v2M2v200
�v2M2c2
9>>=
>>;=
8>><
>>:
c�u1M1u1
00
�u1M1c2
9>>=
>>;+
8>><
>>:
c�u2M2u2
00
�u2M2c2
9>>=
>>;
Choque elástico
Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzChoque elástico
Conservación de la energía cinética
�v1M1v1 + �v2M2v2 = �u1M1u1 + �u2M2u2 ,
�v1M1c2 + �v2M2c
2 = �u1M1c2 + �u2M2c
2
+(�v1 � 1)M1c
2 + (�v2 � 1)M2c2 = (�u1 � 1)M1c
2 + (�u2 � 1)M2c2 .
Principio de relatividad de Einstein�(v) = (1� v2/c2)�1/2
Momento lineal p = �(v)mv
Relatividad de Einstein
�(v1)m1c2 + �(v2)m2c
2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c
2
�(v) = (1� v2/c2)�1/2
Conservación de la energía total
Conservación del momento lineal�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
Factor de Lorentz
Transformación de velocidades de Einstein
Principio de relatividad de Einstein�(v1)m1c
2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c
2 + �(u2)m2c2
v =v � V
1� vV/c2
�(v) = �(v)�(V )(1� vV/c2)
�(v1)m1c2 + �(v2)m2c
2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c
2
#��(V )V
⇣�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
⌘
+�(V )
⇣�(v1)m1c
2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c
2 + �(u2)m2c2⌘
Principio de relatividad de EinsteinConservación de la energía en
La ecuación de la conservación de la energía en es igual a la suma ponderada de las dos ecuaciones de
conservación en S
S
S
Transformación de velocidades de Einstein
Principio de relatividad de Einstein
v =v � V
1� vV/c2
�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
�(v)v = �(v)�(V )(v � V )
Conservación del momento lineal en Sbar
#
+
�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
�(V )⇣�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
⌘
��(V )V
c2
⇣�(v1)m1c
2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c
2 + �(u2)m2c2⌘
Conservación del momento lineal en
La ecuación de la conservación del momento lineal en es igual a la suma ponderada de las dos
ecuaciones de conservación en S
S
S
��(V )V
c2
⇣�(v1)m1c
2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c
2 + �(u2)m2c2⌘
��(V )V⇣�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2
⌘
�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2
�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2
Conservación de la energía total
Conservación de la inercia
Principio de relatividad de Einstein
Si se conserva la energía total durante un proceso, se conserva el momento lineal durante el mismo.
Si se conserva el momento lineal durante un proceso, se conserva la energía total durante el
mismo.
�(v1)m1c2 + �(v2)m2c
2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c
2
�(v) = (1� v2/c2)�1/2
�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2
�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2
Movimiento de un cuerpo con rozamiento
Ecuación del centro de masas
v
FLcm
f
G
N ✓
µ
Segunda ley de Newton
Primer principio de la termodinámicaCambio de referencial
Cuadrivector calor. Fotones
Para la misma energía intercambiada, el momento lineal total nulo equivale al máximo aumento de la
entropía del univrrso.
Qµ=
X
n
8>><
>>:
h⌫n cos ✓nh⌫n sin ✓n
0
h⌫n
9>>=
>>;=
8>><
>>:
0
0
0
Q
9>>=
>>;
Cuadrivector calor. Fonones
Para la misma energía intercambiada, el momento lineal total nulo equivale al máximo aumento de la
entropía del universo.
Qµ =
8>><
>>:
000
�N~!B
9>>=
>>;
Ecuaciones
Eµf � Eµ
i =X
k
Wµk +Qµ
Ecuación fundamental con procesos térmicos.Forma de la energía
pµf � pµi =X
k
Fµk dtk + pµQ
Ecuación fundamental con procesos térmicos.Forma de la ley de Newton
Cuadrivectores estado. Inicial y final
Eµi =
8>><
>>:
000
Mc2
9>>=
>>;Eµ
f =
8>><
>>:
c�vfMvf00
�vfMc2
9>>=
>>;
Cuadrivectores impulso-trabajo
Wµ
F
=
8>><
>>:
cFx
t0cF
y
t00Fx
L
9>>=
>>;
Fx
= F cos ✓
Fy = F sin ✓
W = F · L = FL cos ✓ = Fx
L
L ⌘ Lcm
Cuadrivectores impulso-trabajo
WµG =
8>><
>>:
0�cMgt0
00
9>>=
>>;, Wµ
N =
8>><
>>:
0cNt000
9>>=
>>;
Fuerza de rozamiento
WµR =
8>><
>>:
�cµ(Mg � Fy)t0000
9>>=
>>;
FR = µN = µ(Mg � Fy)
Cuadrivector calor. Foco térmico
Qµ =
8>><
>>:
000
�Npn~!B
9>>=
>>;= Wµ
D
Fuerza de rozamiento
8>><
>>:
c�vfMv
f
00
�vfMc2
9>>=
>>;�
8>><
>>:
000
Mc2
9>>=
>>;=
8>><
>>:
cFx
t0cF
y
t00
Fx
L
9>>=
>>;+
8>><
>>:
�cµ(Mg � Fy
)t0000
9>>=
>>;+
+
8>><
>>:
0�cGt0
00
9>>=
>>;+
8>><
>>:
0cNt000
9>>=
>>;+
8>><
>>:
000Q
9>>=
>>;
Eµf � Eµ
i = WµF +Wµ
R +WµG +Wµ
N +Qµ
Fuerza de rozamiento
8>><
>>:
c�vfM(T
f
)vf
00
�vfM(T
f
)c2
9>>=
>>;�
8>><
>>:
000
M(Ti
)c2
9>>=
>>;=
8>><
>>:
cFx
t0cF
y
t00
Fx
L
9>>=
>>;+
8>><
>>:
�cµ(Mg � Fy
)t0000
9>>=
>>;
+
8>><
>>:
0�cGt0
00
9>>=
>>;+
8>><
>>:
0cNt000
9>>=
>>;+
Eµf � Eµ
i = WµF +Wµ
R +WµG +Wµ
N
Ecuaciones
�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0
�vfMc2 �Mc2 = F
x
L+Q
Segunda ley de Newton
Ecuación de la energía
Fuerza de rozamiento�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0
�vfMc2 �Mc2 = F
x
L+Q
vd(�vv) = d(�vc2)
�vfMc2 �Mc2 = [F
x
� µ(Mg � Fy
)]L
Relación
Ecuación del pseudo-trabajo
Ecuación de la energía
Calor. Entropía
�vfMc2 �Mc2 = F
x
L+Q
�vfMc2 �Mc2 = [F
x
� µ(Mg � Fy
)]L
Q = �µ(Mg � Fy)L
�SU =µ(Mg � Fy)L
T
Ecuación de los efectos térmicos
Irreversibilidad
Segunda ley de Newton en
�vf vf = �V �vf (vf � V )
t0 = �V (t0 � V c�2L)
�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0 + �V
(c�2Q)V
S
M(Q) = c�2Q
�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0
�vfMc2 �Mc2 = F
x
L+Q
�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0 + �V
(c�2Q)V
�V [
�V V c�2[
+
+
Segunda ley de Newton en S
La ecuación del momento lineal en es combinación lineal de las ecuaciones del momento lineal y de la
energía en S.
S
�vfMc2 � �
V
Mc2 = Fx
L+ Q
�vf = �V �vf (1� V vf/c2)
L = �V (L� V t0)
Q = �V Q
Energía en S
Fuerza de rozamiento
�vfMc2 � �
V
Mc2 = Fx
L+ Q
�vfMv
f
= [Fx
� µ(Mg � Fy
)] t0
�vfMc2 �Mc2 = F
x
L+Q�V [+
�V V [
+
La ecuación de la energía en es combinación lineal de las ecuaciones del momento lineal y de la energía
en S.
S
Cambio de referencial
Lµ⌫ (V )
hE⌫
f � E⌫i = W ⌫
F +W ⌫R +W ⌫
G +W ⌫N +Q⌫
i)
) Eµf � Eµ
i = WµF + Wµ
R + WµG + Wµ
N + Qµ
Transformaciones de Lorentz
Lµ⌫ (�V )
hE⌫
f � E⌫i = W ⌫
F + W ⌫R + W ⌫
G + W ⌫N + Q⌫
i)
) Eµf � Eµ
i = WµF +Wµ
R +WµG +Wµ
N +Qµ
S ) S
S ) S
Principio de relatividadTransformaciones de Lorentz
B
µ =
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;,
B
µ =
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;.
Cambio de referencialTransformaciones de Lorentz
8>><
>>:
�(V ) 0 0 ��(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0
��(V )�(V ) 0 0 �(V )
9>>=
>>;
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;=
=
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;
Principio de relatividad
Cambio de referencialTransformaciones de Lorentz
cM(�v
v
x
) = cF
x
t0
#�
V
⇥cM�
v
v
x
= cF
x
t0
⇤
+
��
V
�
V
⇥Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
⇤.
Principio de relatividad
Cambio de referencialTransformaciones de Lorentz
�
v
Mc
2 = F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
#��
V
�
V
⇥c�
v
Mv
x
= cF
x
t0
⇤
+
�
V
⇥�
v
Mc
2 = F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
⇤.
Principio de relatividad
Cambio de referencialTransformaciones de Lorentz
8>><
>>:
�(V ) 0 0 +�(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0
+�(V )�(V ) 0 0 �(V )
9>>=
>>;
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;=
=
8>><
>>:
cM�
v
v
x
= cF
x
t0
cM�
v
v
y
= cF
y
t0
cM�
v
v
z
= cF
z
t0
Mc
2�
v
= F
x
x0 + F
y
y0 + F
z
z0
9>>=
>>;
Las leyes de la física son independientes del referencial
Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz
Simetría en transformaciones de espacio y tiempo. Tiempo y espacio son relativos
Simetría en transformaciones de momento lineal y energía.
Simetría en conservación del momento lineal y de la energía.
Fuerza de rozamiento
Fuerza de rozamiento
FINProf. J Güémez
Departamento de Física AplicadaUniversidad de CantabriaSantander, enero 2019
Ideas que dan forma a la físicaLas leyes de la física son independientes del
referencial(Teoría especial de la relatividad)