Colisiones elásticas

Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzCuadrivectores

Cuadrivector espacio-tiempo

Se utiliza la velocidad de la luz para transformar el tiempo en espacio. Y viceversa.

~ri = (xi, yi, zi) ti

r

µi =

8>><

>>:

xi

yi

zi

cti

9>>=

>>;;

Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz¿Cómo caracterizar el estado de una partícula en

reposo?

Utilizando cuadrivectores de Minkowski

Estando de acuerdo con otro observadorTransformación de Lorentz entre observadores

Conjetura de Einstein. Inercia de la energía

Formalismo Einstein-Minkowski-Lorentz

¿Energía en reposo de una partícula?

Masa de una partículam

8>><

>>:

000?‘?

9>>=

>>;

8>><

>>:

c�vmv00?‘?

9>>=

>>;

En reposo En movimientop = �vmv


¿Energía en reposo de una partícula?

Masa de una partículam

Para convertir una masa en energía, hay que multiplicarla por una velocidad al cuadrado.

La única velocidad con sentido físico universal para hacer eso es la velocidad de la luz.

E0 = mc2Conjetura de Einstein

Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzMasa de una partícula

m

8>><

>>:

c�vmv00?‘?

9>>=

>>;= Lµ

⌫ (�v)

8>><

>>:

000?‘?

9>>=

>>;

Los respectivos cuadrivectores se relacionan mediante la transformación de Lorentz.


Energía en reposo de una partículaE0 = mc2

Los respectivos cuadrivectores se relacionan mediante la transformación de Lorentz.

8>><

>>:

�v 0 0 �v�v0 1 0 00 0 1 0

�v�v 0 0 �v

9>>=

>>;

8>><

>>:

000

mc2

9>>=

>>;=

8>><

>>:

c�vmv00

�vmc2

9>>=

>>;

Energía en movimiento de una partículaE = �vmc2

Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzMasa de una partícula

m8>><

>>:

c�vmv00

�vmc2

9>>=

>>;= Lµ

⌫ (v)

8>><

>>:

000

mc2

9>>=

>>;


Energía en reposo de una partículaE0 = mc2

Energía total de una partículaE = �vmc2

Energía cinética de una partícula

8>><

>>:

�v 0 0 �v�v0 1 0 00 0 1 0

�v�v 0 0 �v

9>>=

>>;

8>><

>>:

000

mc2

9>>=

>>;=

8>><

>>:

c�vmv00

�vmc2

9>>=

>>;

K = (�v � 1)mc2 ) (v/c ⌧ 1) ) 1

2mv2

La ecuación de EinsteinCuerpo extenso

CN A

p

n

e

Un cuerpo extenso se forma ensamblando partículas elementales -- en núcleos, átomos, cristales --, que aportan sus masas a la inercia total, mientras se emite energía en forma de fotones que disminuye la energía de enlace (defecto de masa), que contribuyen negativamente a dicha inercia, respecto de la inercia

de las partículas elementales por separado.


Energía interna de un cuerpo en reposo

Energía en reposo de una partícula

E0(T ) =X

i

mic2 �

��U

��+X

k

1

2knx

2n +

w T

0ncpdT + · · ·

E0 = mc2

Conjetura de Einstein

Einstein sobre masa-energía

E0(He) = 2 (mp +mn +me) c2 �

hUN ;He + UA ;He

i;

M(He) = E0(He)c�2 ,

E0(D) = 2 (mp +mn +me) c2 �

h2UN ;D + UM;D

i;

M(D) = E0(D)c�2.

Einstein sobre Masa-Energía

Átomo de Helio y molécula de Deuterio. A pesar de estar formados por las mismas partículas

elementales, las inercias del átomo de He y la molécula de Deuterio son ligeramente diferentes.


Principio de inercia de la energía

M(T ) = c�2E0(T )

Conjetura de Einstein

E0(T ) =X

i

mic2 �

��U

��+X

k

1

2knx

2n +

w T

0ncpdT + · · ·

¡Un ladrillo caliente tiene más inercia que el mismo ladrillo frío.

�M(T ) = c�2�E0(T )


v

µ =drµ

d⌧=

1

d⌧

8>><

>>:

dxdydzc dt

9>>=

>>;.

v

µ =

8>><

>>:

�(v)vx

�(v)vy

�(v)vz

�(v)c

9>>=

>>;,

Cuadrivector velocidad


pµ = Mvµ =

8>><

>>:

�(v)Mvx

�(v)Mvy

�(v)Mvz

c�1�(v)Mc2

9>>=

>>;

Cuadrivector momento lineal-energía total


Eµ = cpµ =

8>><

>>:

c�(v)Mvx

c�(v)Mvy

c�(v)Mvz

�(v)Mc2

9>>=

>>;

Cuadrivector momento lineal-energía total

pµ =

8>><

>>:

�(v)Mvx

�(v)Mvy

�(v)Mvz

c�1�(v)Mc2

9>>=

>>;


Fµ =

8>>><

>>>:

�(v)Fx

�(v)Fy

�(v)Fz

c�1�(v)h~F · ~v

i

9>>>=

>>>;.

Cuadrivector fuerza-potencia de Minkowski


W

µ =

8>><

>>:

cF

x

dtcF

y

dtcF

z

dt~

F · d~x

9>>=

>>;.

Cuadrivector impulso lineal-trabajo


Lµ⌫ (V ) =

8>><

>>:

�(V ) 0 0 ��(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0

��(V )�(V ) 0 0 �(V )

9>>=

>>;

�(V ) = V/c

�(V ) = [1� �2(V )]�1/2

Transformación de Lorentz


Eµf � Eµ

i =X

k

Wµk

Ecuación fundamental mecánica. Forma energía

pµf � pµi =X

k

Fµk dtk

Ecuación fundamental mecánica. Forma ley de Newton


Eµf � Eµ

i = 0

Eµf = Eµ

i

8>><

>>:

c�v1M1v100

�v1M1c2

9>>=

>>;+

8>><

>>:

c�v2M2v200

�v2M2c2

9>>=

>>;=

8>><

>>:

c�u1M1u1

00

�u1M1c2

9>>=

>>;+

8>><

>>:

c�u2M2u2

00

�u2M2c2

9>>=

>>;

Choque elástico

Formalismo Einstein-Minkowski-LorentzChoque elástico

Conservación de la energía cinética

�v1M1v1 + �v2M2v2 = �u1M1u1 + �u2M2u2 ,

�v1M1c2 + �v2M2c

2 = �u1M1c2 + �u2M2c

2

+(�v1 � 1)M1c

2 + (�v2 � 1)M2c2 = (�u1 � 1)M1c

2 + (�u2 � 1)M2c2 .

Principio de relatividad de Einstein�(v) = (1� v2/c2)�1/2

Momento lineal p = �(v)mv

Relatividad de Einstein

�(v1)m1c2 + �(v2)m2c

2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c

2

�(v) = (1� v2/c2)�1/2

Conservación de la energía total

Conservación del momento lineal�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

Factor de Lorentz

Transformación de velocidades de Einstein

Principio de relatividad de Einstein�(v1)m1c

2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c

2 + �(u2)m2c2

v =v � V

1� vV/c2

�(v) = �(v)�(V )(1� vV/c2)

�(v1)m1c2 + �(v2)m2c

2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c

2

#��(V )V

⇣�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

⌘

+�(V )

⇣�(v1)m1c

2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c

2 + �(u2)m2c2⌘

Principio de relatividad de EinsteinConservación de la energía en

La ecuación de la conservación de la energía en es igual a la suma ponderada de las dos ecuaciones de

conservación en S

S

S

Transformación de velocidades de Einstein

Principio de relatividad de Einstein

v =v � V

1� vV/c2

�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

�(v)v = �(v)�(V )(v � V )

Conservación del momento lineal en Sbar

#

+

�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

�(V )⇣�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

⌘

��(V )V

c2

⇣�(v1)m1c

2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c

2 + �(u2)m2c2⌘

Conservación del momento lineal en

La ecuación de la conservación del momento lineal en es igual a la suma ponderada de las dos

ecuaciones de conservación en S

S

S

��(V )V

c2

⇣�(v1)m1c

2 + �(v2)m2c2 = �(u1)m1c

2 + �(u2)m2c2⌘

��(V )V⇣�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2

⌘

�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2

�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2

Conservación de la energía total

Conservación de la inercia

Principio de relatividad de Einstein

Si se conserva la energía total durante un proceso, se conserva el momento lineal durante el mismo.

Si se conserva el momento lineal durante un proceso, se conserva la energía total durante el

mismo.

�(v1)m1c2 + �(v2)m2c

2 = �(u1)m1c2 + �(u2)m2c

2

�(v) = (1� v2/c2)�1/2

�(v1)m1v1 + �(v2)m2v2 = �(u1)m1u1 + �(u2)m2u2

�(v1)m1 + �(v2)m2 = �(u1)m1 + �(u2)m2

Movimiento de un cuerpo con rozamiento

Ecuación del centro de masas

v

FLcm

f

G

N ✓

µ

Segunda ley de Newton

Primer principio de la termodinámicaCambio de referencial

Cuadrivector calor. Fotones

Para la misma energía intercambiada, el momento lineal total nulo equivale al máximo aumento de la

entropía del univrrso.

Qµ=

X

n

8>><

>>:

h⌫n cos ✓nh⌫n sin ✓n

0

h⌫n

9>>=

>>;=

8>><

>>:

0

0

0

Q

9>>=

>>;

Cuadrivector calor. Fonones

Para la misma energía intercambiada, el momento lineal total nulo equivale al máximo aumento de la

entropía del universo.

Qµ =

8>><

>>:

000

�N~!B

9>>=

>>;

Ecuaciones

Eµf � Eµ

i =X

k

Wµk +Qµ

Ecuación fundamental con procesos térmicos.Forma de la energía

pµf � pµi =X

k

Fµk dtk + pµQ

Ecuación fundamental con procesos térmicos.Forma de la ley de Newton

Cuadrivectores estado. Inicial y final

Eµi =

8>><

>>:

000

Mc2

9>>=

>>;Eµ

f =

8>><

>>:

c�vfMvf00

�vfMc2

9>>=

>>;

Cuadrivectores impulso-trabajo

Wµ

F

=

8>><

>>:

cFx

t0cF

y

t00Fx

L

9>>=

>>;

Fx

= F cos ✓

Fy = F sin ✓

W = F · L = FL cos ✓ = Fx

L

L ⌘ Lcm

Cuadrivectores impulso-trabajo

WµG =

8>><

>>:

0�cMgt0

00

9>>=

>>;, Wµ

N =

8>><

>>:

0cNt000

9>>=

>>;

Fuerza de rozamiento

WµR =

8>><

>>:

�cµ(Mg � Fy)t0000

9>>=

>>;

FR = µN = µ(Mg � Fy)

Cuadrivector calor. Foco térmico

Qµ =

8>><

>>:

000

�Npn~!B

9>>=

>>;= Wµ

D


8>><

>>:

c�vfMv

f

00

�vfMc2

9>>=

>>;�

8>><

>>:

000

Mc2

9>>=

>>;=

8>><

>>:

cFx

t0cF

y

t00

Fx

L

9>>=

>>;+

8>><

>>:

�cµ(Mg � Fy

)t0000

9>>=

>>;+

+

8>><

>>:

0�cGt0

00

9>>=

>>;+

8>><

>>:

0cNt000

9>>=

>>;+

8>><

>>:

000Q

9>>=

>>;

Eµf � Eµ

i = WµF +Wµ

R +WµG +Wµ

N +Qµ


8>><

>>:

c�vfM(T

f

)vf

00

�vfM(T

f

)c2

9>>=

>>;�

8>><

>>:

000

M(Ti

)c2

9>>=

>>;=

8>><

>>:

cFx

t0cF

y

t00

Fx

L

9>>=

>>;+

8>><

>>:

�cµ(Mg � Fy

)t0000

9>>=

>>;

+

8>><

>>:

0�cGt0

00

9>>=

>>;+

8>><

>>:

0cNt000

9>>=

>>;+

Eµf � Eµ

i = WµF +Wµ

R +WµG +Wµ

N

Ecuaciones

�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0

�vfMc2 �Mc2 = F

x

L+Q

Segunda ley de Newton

Ecuación de la energía

Fuerza de rozamiento�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0

�vfMc2 �Mc2 = F

x

L+Q

vd(�vv) = d(�vc2)

�vfMc2 �Mc2 = [F

x

� µ(Mg � Fy

)]L

Relación

Ecuación del pseudo-trabajo

Ecuación de la energía

Calor. Entropía

�vfMc2 �Mc2 = F

x

L+Q

�vfMc2 �Mc2 = [F

x

� µ(Mg � Fy

)]L

Q = �µ(Mg � Fy)L

�SU =µ(Mg � Fy)L

T

Ecuación de los efectos térmicos

Irreversibilidad

Segunda ley de Newton en

�vf vf = �V �vf (vf � V )

t0 = �V (t0 � V c�2L)

�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0 + �V

(c�2Q)V

S

M(Q) = c�2Q

�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0

�vfMc2 �Mc2 = F

x

L+Q

�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0 + �V

(c�2Q)V

�V [

�V V c�2[

+

+

Segunda ley de Newton en S

La ecuación del momento lineal en es combinación lineal de las ecuaciones del momento lineal y de la

energía en S.

S

�vfMc2 � �

V

Mc2 = Fx

L+ Q

�vf = �V �vf (1� V vf/c2)

L = �V (L� V t0)

Q = �V Q

Energía en S


�vfMc2 � �

V

Mc2 = Fx

L+ Q

�vfMv

f

= [Fx

� µ(Mg � Fy

)] t0

�vfMc2 �Mc2 = F

x

L+Q�V [+

�V V [

+

La ecuación de la energía en es combinación lineal de las ecuaciones del momento lineal y de la energía

en S.

S

Cambio de referencial

Lµ⌫ (V )

hE⌫

f � E⌫i = W ⌫

F +W ⌫R +W ⌫

G +W ⌫N +Q⌫

i)

) Eµf � Eµ

i = WµF + Wµ

R + WµG + Wµ

N + Qµ

Transformaciones de Lorentz

Lµ⌫ (�V )

hE⌫

f � E⌫i = W ⌫

F + W ⌫R + W ⌫

G + W ⌫N + Q⌫

i)

) Eµf � Eµ

i = WµF +Wµ

R +WµG +Wµ

N +Qµ

S ) S

S ) S

Principio de relatividadTransformaciones de Lorentz

B

µ =

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;,

B

µ =

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;.

Cambio de referencialTransformaciones de Lorentz

8>><

>>:

�(V ) 0 0 ��(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0

��(V )�(V ) 0 0 �(V )

9>>=

>>;

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;=

=

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;

Principio de relatividad


cM(�v

v

x

) = cF

x

t0

#�

V

⇥cM�

v

v

x

= cF

x

t0

⇤

+

��

V

�

V

⇥Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

⇤.



�

v

Mc

2 = F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

#��

V

�

V

⇥c�

v

Mv

x

= cF

x

t0

⇤

+

�

V

⇥�

v

Mc

2 = F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

⇤.



8>><

>>:

�(V ) 0 0 +�(V )�(V )0 1 0 00 0 1 0

+�(V )�(V ) 0 0 �(V )

9>>=

>>;

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;=

=

8>><

>>:

cM�

v

v

x

= cF

x

t0

cM�

v

v

y

= cF

y

t0

cM�

v

v

z

= cF

z

t0

Mc

2�

v

= F

x

x0 + F

y

y0 + F

z

z0

9>>=

>>;

Las leyes de la física son independientes del referencial


Simetría en transformaciones de espacio y tiempo. Tiempo y espacio son relativos

Simetría en transformaciones de momento lineal y energía.

Simetría en conservación del momento lineal y de la energía.

FINProf. J Güémez

Departamento de Física AplicadaUniversidad de CantabriaSantander, enero 2019

Ideas que dan forma a la físicaLas leyes de la física son independientes del

referencial(Teoría especial de la relatividad)

Colisiones elásticas

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