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7/23/2019 Comportamiento Elástico e Inelástico de Columnas
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1. PANDEO Y ESTABILIDAD:
Suponiendo que debe diseñarse una columna AB de longitud para soportar una
carga P imaginaremos que P es una carga axial céntrica y que la columna es tal
que el valor A P /=σ del esfuerzo en la sección transversal lo menor que el valor
admisible Admisibleσ para el material utilizado y si la deformación AE PL /=σ cae
dentro de las especificaciones dadas, podría concluirse que la columna se ha
diseñado bien Sin embargo, puede suceder que al aplicar la carga la columna se
pandee, en lugar de permanecer recta, y se curve repentinamente, !bviamente,
una columna que se pandea ba"o la carga específicamente no est# bien diseñada
$ara ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad analizaremos
una estructura hipotética que consta de dos barras rígidas AB y BC , cada una de
longitud ½, unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un
resorte rotatorio con rigidez Br %a elasticidad de esta estructura est# concentrada
en el resorte rotatorio, mientras que una columna real puede flexionarse en toda su
longitud
&n la estructura, las dos barras est#n alineadas y la carga P acciona a lo largo del
e"e longitudinal
&l resorte no est# sometido a esfuerzos que las barras est#n en compresión directa
Supongamos que la estructura est# perturbada por alguna fuerza externa que
desplaza al punto B una pequeña distancia %as barras giran #ngulos pequeños θ
y un momento se desarrolla en el resorte &ste momento tiende a regresar a la
estructura a su posición original, por lo que se llama momento restitutivo $ero al
mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de compresión aumenta el
desplazamiento lateral &stas dos acciones tienen efectos opuestos &l momento
restitutivo disminuye el desplazamiento y aumenta la fuerza axial
'onsideremos que se elimina la fuerza perturbadora Si la fuerza P es pequeña y
el momento restitutivo dominar# la acción de la fuerza, la estructura retornar# a su
posición original entonces decimos que la estructura es estable, pero si la fuerza
axial P es grande, el desplazamiento del punto B aumentar# y las barras girar#n
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#ngulos mayores hasta que colapse la estructura &ntonces la estructura es
inestable
%a transición entre las condiciones estable e inestable ocurre a un valor de fuerza
axial conocido como carga crítica ( P cr ) $odemos determinar la carga crítica
considerando la estructura en posición alterada $rimero consideramos la
estructura como cuerpo libre, tomamos momentos respecto al punto A
concluyendo que no hay reacción horizontal en el soporte C %uego consideramos
la barra BC como cuerpo libre y notamos que est# sometida a la acción de fuerzas
axiales P y al M B en el resorte
M o = 2 Br θ (1)
'omo θ es una cantidad pequeña, el desplazamiento lateral del punto B es * Lθ
entonces sumando momentos en B+
,*
=
− L
P M Bθ
(2)
&ntonces (1) y (2)
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,*
* =
− θ
PL Br
-na solución es, θ . 0, significa que la estructura est# en equilibrio si es
perfectamente recta, cualquiera que sea la magnitud de la fuerza P !tra solución
se obtiene igualando a cero el término entre paréntesis y despe"ando el valor de P +
L
B P r
cr
=
$ara este valor de P cr , la estructura est# en equilibrio la carga P cr representa la
frontera entre las condiciones estable e inestable
Si P < P cr , la estructura es estable.
Si P > P cr , la estructura es iestable.
2. COLUMNAS ARTICULADAS:
-na columna articulada de longitud L y de rigidez flexional constante E! sometida
a una carga axial céntrica P Suponiendo que la columna se hubiera pandeado, se
observa que el momento flector en " era igual a 0 P# y se deduce observando el
gr#fico+
la ecuación+ # E!
P
E!
M
$
#
−==∂∂ *
*
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1esolviendo la ecuación diferencial, su"eta a las condiciones de fronteras
correspondientes a una columna articulada, se determina la carga P m#s pequeña
para la cual el pandeo podría ocurrir &sta carga, llamada carga crítica y denotada
por P cr , est# dada por la fórmula de &uler+
*
*
L
E! P cr
π =
&n donde L es la longitud de la columna $ara esta carga, u otra mayor, el
equilibrio de la columna es inestable y ocurren deflexiones transversales
1epresentando el #rea de la sección transversal de la columna por A y su radio de
giro por r , se encontró el esfuerzo crítico cr σ correspondiente a la carga crítica
P cr
*
*
=
r
L
E cr
π σ
%a cantidad L%r se llama relación de esbeltez y se dibu"ó cr σ , como función de
L%& $uesto que el an#lisis se basó en esfuerzos que permanecen por deba"o del
límite de fluencia del material, se observó que la columna fallar# por fluencia
cuando cr σ 2 #σ
3. COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE EXTREMO:
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Se dedu"o anteriormente la fórmula para una columna con extremos articulados,
ahora estudiaremos como puede hallarse P cr para columnas con diferentes
condiciones de extremo
&n el caso de una columna com3n extremo libre A y empotrada en B, con carga P
aplicada en A, se observa que la columna se comportar# como la mitad superior de
una columna articulada, la carga crítica para la columna de la figura, es la misma
que para la articulada y puede obtenerse por la fórmula de &uler usando una
longitud igual al doble de longitud real L de la columna dada Se dice que la
lo'itud e(ecti)a Le de la columna es igual a 2L y remplazamos Le = 2L en la
fórmula de &uler+
*
*
e
cr L
E! P
π =
&n forma similar se encuentra el esfuerzo crítico mediante la ecuación
( ) *
*
r L
E
ecr
π σ
=
%a cantidad Le %r es la relaci* e(ecti)a de esbelte+ de la columna y en el caso
considerado aquí, es igual a 2L%r.
Longitu !"!#ti$% ! #o&u'n% %% i"!!nt!* #oni#ion!* ! !+t!'o
Padeo e el lao $#
&n la figura se observa que la longitud efectiva de la columna con respecto al
pandeo en este plano es Le = 0.-L &l radio de giro r + de la sección transversal se
obtiene escribiendo
4
5*
5ba ! + = A = ab
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y, como*
+ + Ar ! = ,
5*
5*5 4
4
* a
ab
ba
A
! r
+
+ ===
5*ar + =
%a relación efectiva de esbeltez de la columna con respecto al pandeo en el plano
$# es
5*
6,
a
L
r
L
+
e = (,)
Padeo e el lao $+
%a longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es Le =
2L, y el correspondiente radio de giro es 5*br # =
5*
*
b
L
r
L
#
e = (,,)
%) Di*!-o '* !"i#i!nt!: &l diseño m#s eficiente es aquel para el cual los
esfuerzos críticos correspondientes a los dos posibles modos de pandeo
son iguales Se tiene que éste ser# el caso si los dos valores obtenidos
arriba para la relación efectiva de la esbeltez son iguales Se escribe
5*
*
5*
6,
b
L
a
L=
y, despe"ando a a%b,*
6,=
b
a47,=
b
a
/) Di*!-o %% &o* %to* %o*: 'omo .S. . 2./,
0i,s0i,s P S . P cr 75*)7)(7*()( ===
-sando a = 0.1/ b, se tiene A = ab = 0.1/b2 y
*47,
7,,5*
b
lb
A
P cr cr ==σ
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8aciendo L = 20 ul' en la ecuación (,,), Le %r # = 13.4%b Sustituyendo
E, Le %r , y cr σ en la ecuación
( ) **
/ r L E
e
cr π σ = ( )( ) *
9*
*/954:5,55,
47,7,,5*
b ,si
blb ×= π
b = 1.620 pulg a = 0.35b = 0.567 pulg
0. COMPORTAMIENTO ELSTICO E INELSTICO DE COLUMNAS:
;l incluir en el an#lisis el pandeo inel#stico, es decir, el pandeo de columnas
cuando se rebosa el límite proporcional
&l valor de la relación de esbeltez arriba del cual la curva de &uler, es v#lida, se
obtiene igualando el esfuerzo crítico+( )*
*
*
*
γ
π π σ
L
E
AL
E!
A
P cr cr === , al límite
proporcional !,σ y despe"ando la relación de esbeltez ;sí, entonces si ( 5r )c
representa la relación de esbeltez crítica (figura), obtenemos+
!,c
E L
σ
π
γ
*=
(1)
'omo por e"emplo, consideramos el acero estructural con !,σ . 49 <si y E .
4 <si %a relación de esbeltez crítica ( L%&)c es igual a =6 ;rriba de este
valor, una columna ideal se pandea el#sticamente y la carga de &uler es v#lida
;ba"o de este valor, el esfuerzo en la columna es inel#stico
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&ntre las regiones de columnas cortas y largas, hay un intervalo de relaciones de
esbeltez intermedias muy pequeño para que domine la estabilidad el#stica y muy
grande para que ri"an solo consideraciones de resistencia una columna de longitud
intermedia falla por pandeo inel#stico, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos
est#n arriba del límite proporcional, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos
est#n arriba del límite proporcional, la pendiente de la curva esfuerzo>deformación
unitaria para el material es menor que el módulo de elasticidad, por consiguiente,
la carga crítica para pandeo inel#stico es siempre menor que la carga de &uler
%a capacidad m#xima de carga de una columna en particular se representa por la
curva ;?'@ en la figura Si la longitud es muy pequeña (región ;?), la columna
falla por pandeo inel#stico, y si es a3n m#s larga (región !@), falla por pandeo
el#stico (es decir, pandeo de &uler) %a curva ;?'@ se aplica a columnas en
varias condiciones de soporte si la longitud L en la relación de esbeltez se
reemplaza en la longitud efectiva Le
0.1. PANDEO INELSTICO:
• T!o% !& Mu&o T%ng!nt!:
'onsiderando para esto una columna ideal articulado en sus extremos y
sometida a una fuerza axial P (fig a) Se supone que la columna tiene
una relación de esbeltez L%& menor que la relación de esbeltez crítica (1),
de suerte que el esfuerzo axial P%A llega al límite proporcional antes de
que se alcance la carga crítica
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&l diagrama esfuerzo>deformación unitario en comprensión para el
material de la columna se muestra en la figura &l límite proporcional del
material est# indicado por !,σ y el esfuerzo real Aσ en la columna
(igual a P%A) est# representado por el punto A (que esta arriba del límite proporcional) Si la carga se incrementa, de manera que ocurra un
pequeño aumento en el esfuerzo, la relación entre el incremento de
esfuerzo y el correspondiente incremento de deformación unitaria, est#
dada por la pendiente del diagrama esfuerzo>deformación unitaria en el
punto A &sta pendiente, igual a la pendiente en A se llama módulo
tangente y se denota con E c, en tonos
ε
σ
∂∂=t E
&ste módulo tangente disminuye cuando el esfuerzo aumenta m#s alla
del límite proporcional 'uando el esfuerzo es menor que el límite
proporcional, el módulo tangente es el mismo que el módulo de
elasticidad E ordinario
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Aerificando las teorías del módulo tangente de pandeo inel#stico, la
columna de la figura (%) permanece recta en tanto no se alcanza la carga
crítica inel#stica &n tal valor de la carga, la columna puede experimentar
una pequeña deflexión lateral (/) 'omo la columna empieza a
flexionarse desde una posición recta, los esfuerzos de flexión iniciales
representan solo un pequeño incremento del esfuerzo, por lo tanto, la
relación entre los esfuerzos de flexión y las deformaciones unitarias
resultantes est# dada por el módulo E c
%as expresiones para la curvatura son las mismas que en el caso de
flexión lineal el#stica, excepto que E c, reemplaza a E +
! E
M
$
) 6
t
=∂==*
*
:
5
ρ
@ado el momento flexionante M = 7 P ) (vease figura b), la ecuación
diferencial de la curva de deflexión es+ E!899 : P8 = 0
!bteniéndose la expresión para la carga del módulo tangente
*
*
L
! E P t
t
π =
&sta carga representa la carga crítica para la columna de acuerdo con la
teoría del módulo tangente &l esfuerzo crítico correspondiente es+
( ) **
γ
π σ
L
E
A
P t t
t ==
&l modulo tangente E t varía con el esfuerzo de compresión A P =σ
(figura B) por lo general obtenemos la carga del módulo tangente
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mediante un proceso iterativo $rimero estimando el valor de P t &ste
valor de prueba, que llamaremos P , debe ser un poco mayor que !,σ A,
que es la carga axial A P ! 5=σ y determinar el módulo tangente E c del
diagrama esfuerzo>deformación unitaria Cr#fico (figura B)
• T!o% !& Mu&o R!u#io:
&l valor de E & depende no solo del esfuerzo por que E t depende de la
magnitud del esfuerzo sino también de la forma de la reacción transversal
de la columna ;sí entonces, el módulo reducido E r es m#s difícil de
determinar que el módulo tangente E t
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&n el caso de una columna con secci* tras)ersal recta'ular , la
ecuación del módulo reducido es
( )*
t
t
E
E E
ε
ε
γ
+
=
$ara una viga de patín ancho en que se desprecia el #rea del alma, el
módulo reducido por flexión respecto al e"e fuerte es
t
t
E
E E
ε
ε
γ +
=*
&cuaciones para la carga del módulo reducido+
*
*
L
! E P
γ π =
&cuación correspondiente para el esfuerzo crítico es+
( ) *
*
γ
π σ
γ
γ
L
E =
%a teoría del módulo reducido es difícil de usar en la pr#ctica por que E t
depende de la forma de la sección transversal así como de la curva
esfuerzo>deformación unitario y debe evaluarse para cada columna
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particular ;dem#s, esta teoría tiene un defecto conceptual $ara que el
módulo E & sea aplicable, el material en el lado convexo de la columna
debe estar sufriendo una reducción en su esfuerzoD sin embargo, tal
reducción en el esfuerzo no puede ocurrir hasta que la flexión no tenga
lugar
• T!o% ! S4%n&!5:
Ei la teoría del módulo tangente ni la teoría del módulo reducido
explican el fenómeno del pandeo inel#stico en forma totalmente racional
&sta teoría supera a los dos anteriores reconociendo que no es posible
que una columna se pandee en forma inel#stica de manera an#loga al
pandeo de &uler &n este caso ni la carga P t del módulo tangente ni la
carga P & del modulo reducido pueden representar este tipo de
comportamiento
&n vez de equilibrio neutro, en que de repente es posible la s3bita
presencia de una forma reflexionada sin cambio en la carga, debemos
pensar que una columna siempre tiene una carga creciente
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&ntonces, en vez de equilibrio neutro, donde la relación entre la carga y
deflexión no est# definida, tenemos una relación definida entre cada
valor de la carga y la deflexión correspondiente &ste comportamiento se
muestra por la curva marcada Fteoría de ShanleyG (en la figura) Eote
que el pandeo comienza en la carga del modulo tangenteD la carga
aumenta a continuación, pero sin alcanzar la carga del módulo reducido,
hasta que la deflexión se vuelve infinitamente grande (en teoría)
•
0.2.
6.