Post on 03-Feb-2016
CÓNICASCÓNICAS 11
SUPERFICIE CÓNICA
CORTES CON PLANOS
SUPERFICIE CÓNICA
CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz)
alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie
cónica.e
Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman
cónicas:
CircunferenciaElipse
ParábolaHipérbola
g
CÓNICAS CÓNICAS
UN POCO DE HISTORIA
UN POCO DE HISTORIA
Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las
cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas
se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler
enunció sus importantes leyes, una de las cuales
asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un
siglo antes, Copérnico había dado al traste con la
concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba
alrededor del Sol.
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una
distancia r que llamaremos radio.
LA CIRCUNFERENCIA
P(x,y)
x-a
yr
d(P,C) rP(x,y)
2 2x a y b r
Ecuación de la circunferencia de centro
(a, b) y radio r
x
y-b
bC(a,b)
22 2 2x a y b r
2 2 2x a y b r
2 2 2 2 2x 2ax a y 2by b r
2 2 2
A 2a
B 2b
C a b r
También:
a
2 2x y Ax By C 0
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro una distancia r que llamaremos radio.
LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDA
P(x,y)
x
yr
d(P,O) rP(x,y)
2 2x 0 y 0 r
22 2 2x y r
Ecuación de la circunferencia de centro
(0,0) y radio r
Ecuación reducida de la circunferencia
2 2 2x y r
Posiciones relativasPunto y circunferencia Recta y circunferencia
P es un punto interior
C P
PP es un punto de la
circunferencia
C
P
P es un punto exterior
La recta s es secante a la circunferencia
C
B
C
La recta m es exterior a la circunferencia
C
P La recta t es tangente a la circunferencia
A
s
m
t
La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia
Pt
P
tP
t
d(C,P) > r
d(C,P) < r
d(C,P) = r
d (t, C) = r
d (m, C) > r
d (s, C) < r
C
Posiciones relativas
Exteriores Tangentes exteriores Secantes
Tangentes interiores Interior Concéntricas
d(C, C´) > r+r´ d(C, C´) = r+r´d(C, C´) < r+r´
d(C, C´) > r-r´
d(C, C´) < r+r´
d(C, C´) = r-r´
d(C, C´) < r+r´
d(C, C´) < r-r´C = C´
Circunferencias
Si P es un punto y C una circunferencia, dada una recta cualquiera que pase por P y corte a C, se define
POTENCIA DEL PUNTO P RESPECTO DE LA CIRCUNFERENCIA C
como el producto de las distancias de P con los puntos de corte de la recta con la circunferencia C
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
P
B
A
r
El valor de este producto no depende de la recta elegida
B´A´ s
Sea s, otra recta secante a la circunferencia, desde P y sean A´, B´ los puntos donde esa
recta corta a la circunferencia.
PB
Ar
PotC(P) = PA · PB
Se determinan los triángulos PBA´ y PB´A
Porque comparten el ángulo P
Y los ángulos B y B´ son iguales porque abarcan el mismo arco
Ambos triángulos
son semejantes El producto PA · PB es constante
(No depende de la recta elegida para calcularla)
PA
PB
PA
PB ´
´
´´PBPAPBPA
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
El valor de este producto no depende de la recta elegida
P BA
PotC(P) = PA · PB
212
1),( byaxCPdh
CP (x1,y1)
C (a,b)h
r
PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2
PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2
PotC(P) = x12 + y1
2+mx1+ny1+p
Ejemplo: P(-1, 3) y Circunferencia (x-2)2+(y+5)2=8
PotC(P) = (-1-2)2 + (3+5)2 – 8 = 9 + 64 – 8 = 65
LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia
PotC(P) = PA · PB
PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2
PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2
P es un punto interior
C P
PP es un punto de la
circunferencia
C
P
P es un punto exterior
d(C,P) > rh>rd(C,P) < r
h<r
d(C,P) = rh=r
C PotC(P) = 0
PotC(P) < 0PotC(P) > 0
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
El EJE RADICAL de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas
circunferencias
Sean las circunferencias:
C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0
Sea P(x,y) un punto del eje radical PotC1 (P)=PotC2 (P)
PotC1(P)= x2+y2+m1x+n1y+p1 PotC2(P)= x2+y2+m2x+n2y+p2
Luego: x2+y2+m1x+n1y+p1= x2+y2+m2x+n2y+p2
m1x+n1y+p1= m2x+n2y+p2
(m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0
Se trata de una recta con vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0
El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros
C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0
O1: (-m1/2,-n1/2) O2: (-m2/2,-n2/2)
Un vector director de la recta que une los centros:
Que coincide con el vector normal del eje radical, por lo tanto ambas rectas: eje radial y recta que une los
centros, son perpendiculares
2
,22
)(,
2
)( 2121121221
nnmmnnmmOO
2121 , nnmmu
vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
LA CIRCUNFERENCIAEje radical
Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0vector normal (m1 - m2 , n1-n2)
C1
C2
Eje radical
C1
C2
Eje radical
C1
C2
Eje radical
LA CIRCUNFERENCIACentro radical
C3
C1
C2
El CENTRO RADICAL de tres circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de las
tres circunferencias
Centro radical
El centro radical de tres
circunferencias es el punto de
intersección de los ejes
radicales de dichas
circunferencias tomados dos a
dos
LA ELIPSELa ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante.
FF´
Elementos de la elipse
FF’
A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y la designaremos 2c d (F, F´)=2c
2c
P
dd´ Para un punto P se llaman radios vectores a d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ d+d´=2a
La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante
que llamamos 2a.
El segmento FF´ se llama eje focal, y su punto medio se llama O centro de la elipse
O
La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la elipse
A
Los puntos donde los ejes de la elipse cortan a la elipse se llaman vértices de la elipse: A, A´ B, B´. AA´se llama eje mayor y BB´ eje menor
A´
B
B´
A es un punto de la elipse. Cumple d(A, F) + d(A, F´) = 2a
FF’A´
FF’AA´Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)
d(A´,F´) )+d(A,F´)=2a
d(A, A´)=2a
dd´
Elementos de la elipse
Se define la longitud del eje menor d(B, B´)=2b2c
2a2b
El eje mayor mide 2a d(A, A´)=2a El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c
B es de la elipse. Cumple que la suma de sus radios vectores es 2a
d(B,F)+d(B,F´)=2acomo ambos radios vectores son iguales
(por simetría de la figura)
d(B, F)=d(B, F´) = a
a
c
b
Se forma un triángulo rectánguloab
ca2=b2+c2
Se llama excentricidad de la elipse e
En la elipse
2c
2a2b
c
ea
Excentricidad de la elipse:
c=0 los focos coincidene = 0
Se trata de una CIRCUNFERENCIA
c=a los focos coinciden con los vértices
e = 1
Se trata de un SEGMENTO
c < a 0 < e < 1
Se trata de una ELIPSE
Excentricidad de la elipse
d(P,F') d(P,F) 2a
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje mayor:
Eje menor:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
C(0,0) A(a,0)A’(-a,0)
F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b)
Centramos la elipse en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas
d(P,F') d(P,F) 2a
ab
c
C(0,0)
F(c,0) y F’(-c,0)
A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
x=0
e=c/a2 2 2 a c b
NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor
a c
a b
(e<1)
Características de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (focos) es constante (2a)
2 22 22 2x c y 2a x c y
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2aP(x,y)
2 22 2x c y 2a x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
2 2 24a x c y 4a 4cx
222 2 2a x c y a cx
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
FF’
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y1
a b a b
ab
c2 2 2 a c b
2 2
2 2
x y1
a b
Ecuación reducida de la elipse
Centro:
Focos:
Vértices:
Ecuación eje mayor:
Ecuación eje menor:
Excentricidad:
a
C(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)
Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje OY F(0,c) y F’(0,-c)
a b
d(P,F') d(P,F) 2a
2 2
2 2
x y1
b a
b
c
ab
c
Ecuación reducida de la
elipse invertida
C(0,0)
F(0,c) F’(0,-c)
A(0,a) A’(0,-a)
B(b,0) B’(-b,0)
x=0
y=0
e=c/a2 2 2 a c b
a c
NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY
Elipse invertida
C (h , k)
Ecuación de una elipse de C (h,k) y ejes paralelos a los ejes de
coordenadas
y=k
x=h
e=c/a
A (h+a , k)A’(h-a ,k)
B (h, k+b)
B’ (h, k-b)
ab
F (h+c, k)
Elipse no centrada en el origen(Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
O
c
ab
F (h-c, k)
a2=b2+c2
X
Y
LA HIPÉRBOLALa HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados
focos es una cantidad constante.
Elementos de la HIPÉRBOLA
FF’
A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y se designa 2c d (F, F´)=2c
2c
d Para un punto P se llaman radios vectores d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ Id-d´I=2a
La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante
que llamamos 2a.
El segmento FF´ se llama eje focal, el punto medio se llama O centro de la hipérbola
O
La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la hipérbola
A
Los puntos donde el eje focal corta a la hipérbola se llaman vértices : A, A´ y el segmento AA´se llama eje real
A es un punto de la hipérbola: Cumple d(A, F´) - d(A, F) = 2a
FF’AA´
Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)
d(A, F´) - d(A´,F´)=2a d(A, A´) = 2a
d´
P
A´
Elementos de la hipérbola Se define un segmento de
longitud b, como el cateto de un triángulo que tenga de hipotenusa c y otro cateto a
2c2a
2b
El eje real mide 2a d(A, A´)=2a
El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c
a
cb
c2=a2+b2
Se llama excentricidad de la hipérbola: e
B
B´
Se definen dos puntos B y B´ sobre el eje de simetría vertical que estén a distancia b del centro O d(B, B´)=2b
Los puntos B y B´ se llaman también vértices de la hipérbola (junto con A y A´) y al eje que los une se llama eje imaginario.
Asíntotas de la hipérbola son las rectas hacia las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola sin llegar a tocarlas
Excentricidad de la hipérbola
1 c
ea
Excentricidad de la hipérbola:
c=a , es decir, los focos coinciden con los vértices
e = 1
Se trata de dos SEMIRRECTAS
c > a e > 1
Se trata de una HIPÉRBOLA
semidis tancia focal
excentricidadsemieje real
Características de la hipérbola
Centro:
Focos:
Vértices:
Eje real:
Eje imaginario:
Ecuación eje real:
Ecuación eje imaginario:
Excentricidad:
Asíntotas: b
y xa
cb
a
C(0,0)
F(c,0) F’(-c,0)
A(a,0) A’(-a,0)
B(0,b) B’(0,-b)
|AA’|=2a
|BB’|=2b
y=0
x=0
e=c/a
2 2 2 c a b
(e>1)c a
Centramos la hipérbola en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas
C(0,0) A(a,0)A’(-a,0) F(c,0)F’(-c,0)
B’(0,-b)
B(0,b)
b
a
cm=b/a
Ecuación de la hipérbola
Ecuación reducida de la hipérbola
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) es constante (2a).
2 22 22 2x c y 2a x c y
d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)
2 22 2x c y x c y 2a
2 2
2 2
x y1
a b
2 22 2x c y 2a x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y
22 24cx 4a 4a x c y
22 22 2cx a a x c y
2 2 2 4 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2cx c y
2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
b x a y1
a b a b
P(x,y)
Hipérbola invertida
Centro:
Focos:
Vértices:
Ecuación eje real:
Ecuación eje imaginario:
Excentricidad:
Asíntotas:
aC(0,0)
A(0,a)
A’(0,-a)
F(0,c)
F’(0,-c)
B’(-b,0) B(b,0)b
cC(0,0)
F(0,c) F’(0,-c)
ay x
b
2 2
2 2
y x1
a b
Ecuación reducida de la hipérbola
y=0
e=c/a
NOTA: Los focos siempre están en el eje real
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.
cb
a
2 2 2 c a b
c a
A(0,a) A’(0,-a)
B(b,0) B’(-b,0)
(e>1)
x=0
Hipérbola trasladada
Ecuación de la hipérbola de C(h,k) y ejes paralelos a los ejes
de coordenadas
c
X
Y(Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
a
C(h,k)A(h+a, k)A’(h-a, k)
F(h+c, k)F’(h-c, k)b
c
B’(h, k-b)
B(h, k+b)
Ecuaciones de las asíntotas
Hipérbola equiláteraUna hipérbola se llama equilátera si tiene iguales sus dos semiejes
Al ser a = b las pendientes de las
asíntotas son +1 y -1. Las asíntotas son las
bisectrices de los cuadrantes
x2 - y2 = a2
c2 = 2a2
a
a
c
Al ser a = b su ecuación reducida queda
Ecuaciones de las asíntotas:
y=x y=-x
(rectas perpendiculares)
ab
Hipérbola equilátera
A (t,t)
t
t
a
a a2 = 2t2
Hipérbola equiláteraReferida a las asíntotas
F (h,h)
h
h
2a2 = 2h2 h= a
Ecuaciones de las asíntotas:
y=0 x=0
A´
B
B´
F ´
AF
x2 - y2 = a2
Ecuaciones de las asíntotas: y=x y=-x Ecuaciones de las asíntotas:
y=0 x=0
Hipérbola equilátera. Resumen
LA PARÁBOLALa PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
Elementos de la PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (d)
V
La distancia del foco a la directriz se le llama parámetro de la parábola: p
p
Eje (e)
p>0
P
La perpendicular a la directriz pasando por el foco se llama eje de la parábola y es eje de simetría
El punto de corte del eje con la parábola se llama vértice de la parábola V
V es un punto de la parábola, por lo tanto cumple su condición:
F
Directriz (d)
d ( V, F) =d ( V, d)
FV
y ambos sumandos son iguales
d(V, F) =d(V,d)=p/2
p=d ( F, d) =d ( V, F) + d( V, d) p
dp/2p/2
Parámetro de la PARÁBOLA
p = d ( F, d) p>0
Elementos de la PARÁBOLACentramos la parábola de forma que su vértice coincida con el origen de
coordenadas.
V(0,0)
pFoco:
Vértice:
Eje :
Directriz:
Parámetro:
y=0
eje
p>0
P (x, y)
F X
Y
p/2
d
p/2
V(0,0)
Ecuación de la PARÁBOLA
Ecuación reducida de la parábola
Vértice (0,0) y eje OX
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una
recta llamada directriz (x=-p/2).
P(x,y)
22 2
2p px y x
2 2
22p p
x y x2 2
2 2
2 2 2p px px y x px
4 4
PARÁBOLA trasladada
Ecuación de una parábolade eje paralelo al eje OX
y=k
X
Y
p/2V(h,k) F(h+p/2, k)
Directriz (d)
Eje (e)
Ecuaciones de la PARÁBOLA
y = 0 y = 0y = k
x = 0
x = 0
x = h
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos
F y F’ (llamados focos) es constante.
Hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’
(llamados focos) es constante.
Parábola es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un
punto fijo F (llamado foco) y de una recta
llamada directriz.
Las Cónicas como lugar geométrico Las Cónicas como lugar geométrico
La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)