CÓNICASCÓNICAS 11

SUPERFICIE CÓNICA

CORTES CON PLANOS

SUPERFICIE CÓNICA

CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz)

alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie

cónica.e

Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman

cónicas:

CircunferenciaElipse

ParábolaHipérbola

g

CÓNICAS CÓNICAS

UN POCO DE HISTORIA

UN POCO DE HISTORIA

Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las

cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas

se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler

enunció sus importantes leyes, una de las cuales

asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un

siglo antes, Copérnico había dado al traste con la

concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba

alrededor del Sol.

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una

distancia r que llamaremos radio.

LA CIRCUNFERENCIA

P(x,y)

x-a

yr

d(P,C) rP(x,y)

2 2x a y b r

Ecuación de la circunferencia de centro

(a, b) y radio r

x

y-b

bC(a,b)

22 2 2x a y b r

2 2 2x a y b r

2 2 2 2 2x 2ax a y 2by b r

2 2 2

A 2a

B 2b

C a b r

También:

a

2 2x y Ax By C 0

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado

centro una distancia r que llamaremos radio.

LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDA

P(x,y)

x

yr

d(P,O) rP(x,y)

2 2x 0 y 0 r

22 2 2x y r

Ecuación de la circunferencia de centro

(0,0) y radio r

Ecuación reducida de la circunferencia

2 2 2x y r

Posiciones relativasPunto y circunferencia Recta y circunferencia

P es un punto interior

C P

PP es un punto de la

circunferencia

C

P

P es un punto exterior

La recta s es secante a la circunferencia

C

B

C

La recta m es exterior a la circunferencia

C

P La recta t es tangente a la circunferencia

A

s

m

t

La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia

Pt

P

tP

t

d(C,P) > r

d(C,P) < r

d(C,P) = r

d (t, C) = r

d (m, C) > r

d (s, C) < r

C

Posiciones relativas

Exteriores Tangentes exteriores Secantes

Tangentes interiores Interior Concéntricas

d(C, C´) > r+r´ d(C, C´) = r+r´d(C, C´) < r+r´

d(C, C´) > r-r´

d(C, C´) < r+r´

d(C, C´) = r-r´

d(C, C´) < r+r´

d(C, C´) < r-r´C = C´

Circunferencias

Si P es un punto y C una circunferencia, dada una recta cualquiera que pase por P y corte a C, se define

POTENCIA DEL PUNTO P RESPECTO DE LA CIRCUNFERENCIA C

como el producto de las distancias de P con los puntos de corte de la recta con la circunferencia C

LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia

P

B

A

r

El valor de este producto no depende de la recta elegida

B´A´ s

Sea s, otra recta secante a la circunferencia, desde P y sean A´, B´ los puntos donde esa

recta corta a la circunferencia.

PB

Ar

PotC(P) = PA · PB

Se determinan los triángulos PBA´ y PB´A

Porque comparten el ángulo P

Y los ángulos B y B´ son iguales porque abarcan el mismo arco

Ambos triángulos

son semejantes El producto PA · PB es constante

(No depende de la recta elegida para calcularla)

PA

PB

PA

PB ´

´

´´PBPAPBPA

LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia

El valor de este producto no depende de la recta elegida

P BA

PotC(P) = PA · PB

212

1),( byaxCPdh

CP (x1,y1)

C (a,b)h

r

PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2

PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2

PotC(P) = x12 + y1

2+mx1+ny1+p

Ejemplo: P(-1, 3) y Circunferencia (x-2)2+(y+5)2=8

PotC(P) = (-1-2)2 + (3+5)2 – 8 = 9 + 64 – 8 = 65

LA CIRCUNFERENCIAPotencia de un punto respecto de una circunferencia

PotC(P) = PA · PB

PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2

PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2

P es un punto interior

C P

PP es un punto de la

circunferencia

C

P

P es un punto exterior

d(C,P) > rh>rd(C,P) < r

h<r

d(C,P) = rh=r

C PotC(P) = 0

PotC(P) < 0PotC(P) > 0

LA CIRCUNFERENCIAEje radical

El EJE RADICAL de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas

circunferencias

Sean las circunferencias:

C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0

Sea P(x,y) un punto del eje radical PotC1 (P)=PotC2 (P)

PotC1(P)= x2+y2+m1x+n1y+p1 PotC2(P)= x2+y2+m2x+n2y+p2

Luego: x2+y2+m1x+n1y+p1= x2+y2+m2x+n2y+p2

m1x+n1y+p1= m2x+n2y+p2

(m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0

Se trata de una recta con vector normal (m1 - m2 , n1-n2)

LA CIRCUNFERENCIAEje radical

Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0

El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros

C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0

O1: (-m1/2,-n1/2) O2: (-m2/2,-n2/2)

Un vector director de la recta que une los centros:

Que coincide con el vector normal del eje radical, por lo tanto ambas rectas: eje radial y recta que une los

centros, son perpendiculares

2

,22

)(,

2

)( 2121121221

nnmmnnmmOO

2121 , nnmmu

vector normal (m1 - m2 , n1-n2)

LA CIRCUNFERENCIAEje radical

Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0vector normal (m1 - m2 , n1-n2)

C1

C2

Eje radical

C1

C2

Eje radical

C1

C2

Eje radical

LA CIRCUNFERENCIACentro radical

C3

C1

C2

El CENTRO RADICAL de tres circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de las

tres circunferencias

Centro radical

El centro radical de tres

circunferencias es el punto de

intersección de los ejes

radicales de dichas

circunferencias tomados dos a

dos

LA ELIPSELa ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya

suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante.

FF´

Elementos de la elipse

FF’

A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y la designaremos 2c d (F, F´)=2c

2c

P

dd´ Para un punto P se llaman radios vectores a d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ d+d´=2a

La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante

que llamamos 2a.

El segmento FF´ se llama eje focal, y su punto medio se llama O centro de la elipse

O

La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la elipse

A

Los puntos donde los ejes de la elipse cortan a la elipse se llaman vértices de la elipse: A, A´ B, B´. AA´se llama eje mayor y BB´ eje menor

A´

B

B´

A es un punto de la elipse. Cumple d(A, F) + d(A, F´) = 2a

FF’A´

FF’AA´Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)

d(A´,F´) )+d(A,F´)=2a

d(A, A´)=2a

dd´

Elementos de la elipse

Se define la longitud del eje menor d(B, B´)=2b2c

2a2b

El eje mayor mide 2a d(A, A´)=2a El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c

B es de la elipse. Cumple que la suma de sus radios vectores es 2a

d(B,F)+d(B,F´)=2acomo ambos radios vectores son iguales

(por simetría de la figura)

d(B, F)=d(B, F´) = a

a

c

b

Se forma un triángulo rectánguloab

ca2=b2+c2

Se llama excentricidad de la elipse e

En la elipse

2c

2a2b

c

ea

Excentricidad de la elipse:

c=0 los focos coincidene = 0

Se trata de una CIRCUNFERENCIA

c=a los focos coinciden con los vértices

e = 1

Se trata de un SEGMENTO

c < a 0 < e < 1

Se trata de una ELIPSE

Excentricidad de la elipse

d(P,F') d(P,F) 2a

Centro:

Focos:

Vértices:

Eje mayor:

Eje menor:

Ecuación eje mayor:

Ecuación eje menor:

Excentricidad:

C(0,0) A(a,0)A’(-a,0)

F(c,0)F’(-c,0)

B’(0,-b)

B(0,b)

Centramos la elipse en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas

d(P,F') d(P,F) 2a

ab

c

C(0,0)

F(c,0) y F’(-c,0)

A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=0

x=0

e=c/a2 2 2 a c b

NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor

a c

a b

(e<1)

Características de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (focos) es constante (2a)

2 22 22 2x c y 2a x c y

d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)

2 22 2x c y x c y 2aP(x,y)

2 22 2x c y 2a x c y

22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

2 2 24a x c y 4a 4cx

222 2 2a x c y a cx

2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

FF’

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2

2 2 2 2

b x a y1

a b a b

ab

c2 2 2 a c b

2 2

2 2

x y1

a b

Ecuación reducida de la elipse

Centro:

Focos:

Vértices:

Ecuación eje mayor:

Ecuación eje menor:

Excentricidad:

a

C(0,0)

A(0,a)

A’(0,-a)

F(0,c)

F’(0,-c)

B’(-b,0) B(b,0)

Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje OY F(0,c) y F’(0,-c)

a b

d(P,F') d(P,F) 2a

2 2

2 2

x y1

b a

b

c

ab

c

Ecuación reducida de la

elipse invertida

C(0,0)

F(0,c) F’(0,-c)

A(0,a) A’(0,-a)

B(b,0) B’(-b,0)

x=0

y=0

e=c/a2 2 2 a c b

a c

NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY

Elipse invertida

C (h , k)

Ecuación de una elipse de C (h,k) y ejes paralelos a los ejes de

coordenadas

y=k

x=h

e=c/a

A (h+a , k)A’(h-a ,k)

B (h, k+b)

B’ (h, k-b)

ab

F (h+c, k)

Elipse no centrada en el origen(Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)

O

c

ab

F (h-c, k)

a2=b2+c2

X

Y

LA HIPÉRBOLALa HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados

focos es una cantidad constante.

Elementos de la HIPÉRBOLA

FF’

A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y se designa 2c d (F, F´)=2c

2c

d Para un punto P se llaman radios vectores d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ Id-d´I=2a

La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante

que llamamos 2a.

El segmento FF´ se llama eje focal, el punto medio se llama O centro de la hipérbola

O

La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la hipérbola

A

Los puntos donde el eje focal corta a la hipérbola se llaman vértices : A, A´ y el segmento AA´se llama eje real

A es un punto de la hipérbola: Cumple d(A, F´) - d(A, F) = 2a

FF’AA´

Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´)

d(A, F´) - d(A´,F´)=2a d(A, A´) = 2a

d´

P

A´

Elementos de la hipérbola Se define un segmento de

longitud b, como el cateto de un triángulo que tenga de hipotenusa c y otro cateto a

2c2a

2b

El eje real mide 2a d(A, A´)=2a

El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c

a

cb

c2=a2+b2

Se llama excentricidad de la hipérbola: e

B

B´

Se definen dos puntos B y B´ sobre el eje de simetría vertical que estén a distancia b del centro O d(B, B´)=2b

Los puntos B y B´ se llaman también vértices de la hipérbola (junto con A y A´) y al eje que los une se llama eje imaginario.

Asíntotas de la hipérbola son las rectas hacia las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola sin llegar a tocarlas

Excentricidad de la hipérbola

1 c

ea

Excentricidad de la hipérbola:

c=a , es decir, los focos coinciden con los vértices

e = 1

Se trata de dos SEMIRRECTAS

c > a e > 1

Se trata de una HIPÉRBOLA

semidis tancia focal

excentricidadsemieje real

Características de la hipérbola

Centro:

Focos:

Vértices:

Eje real:

Eje imaginario:

Ecuación eje real:

Ecuación eje imaginario:

Excentricidad:

Asíntotas: b

y xa

cb

a

C(0,0)

F(c,0) F’(-c,0)

A(a,0) A’(-a,0)

B(0,b) B’(0,-b)

|AA’|=2a

|BB’|=2b

y=0

x=0

e=c/a

2 2 2 c a b

(e>1)c a

Centramos la hipérbola en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas

C(0,0) A(a,0)A’(-a,0) F(c,0)F’(-c,0)

B’(0,-b)

B(0,b)

b

a

cm=b/a

Ecuación de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) es constante (2a).

2 22 22 2x c y 2a x c y

d(P,F') d(P,F) 2aP(x,y)

2 22 2x c y x c y 2a

2 2

2 2

x y1

a b

2 22 2x c y 2a x c y

22 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

22 24cx 4a 4a x c y

22 22 2cx a a x c y

2 2 2 4 2 2 2 2c x 2a cx a a x 2cx c y

2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2

2 2 2 2

b x a y1

a b a b

P(x,y)

Hipérbola invertida

Centro:

Focos:

Vértices:

Ecuación eje real:

Ecuación eje imaginario:

Excentricidad:

Asíntotas:

aC(0,0)

A(0,a)

A’(0,-a)

F(0,c)

F’(0,-c)

B’(-b,0) B(b,0)b

cC(0,0)

F(0,c) F’(0,-c)

ay x

b

2 2

2 2

y x1

a b

Ecuación reducida de la hipérbola

y=0

e=c/a

NOTA: Los focos siempre están en el eje real

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante.

cb

a

2 2 2 c a b

c a

A(0,a) A’(0,-a)

B(b,0) B’(-b,0)

(e>1)

x=0

Hipérbola trasladada

Ecuación de la hipérbola de C(h,k) y ejes paralelos a los ejes

de coordenadas

c

X

Y(Ejes paralelos a los ejes de coordenadas)

a

C(h,k)A(h+a, k)A’(h-a, k)

F(h+c, k)F’(h-c, k)b

c

B’(h, k-b)

B(h, k+b)

Ecuaciones de las asíntotas

Hipérbola equiláteraUna hipérbola se llama equilátera si tiene iguales sus dos semiejes

Al ser a = b las pendientes de las

asíntotas son +1 y -1. Las asíntotas son las

bisectrices de los cuadrantes

x2 - y2 = a2

c2 = 2a2

a

a

c

Al ser a = b su ecuación reducida queda

Ecuaciones de las asíntotas:

y=x y=-x

(rectas perpendiculares)

ab

Hipérbola equilátera

A (t,t)

t

t

a

a a2 = 2t2

Hipérbola equiláteraReferida a las asíntotas

F (h,h)

h

h

2a2 = 2h2 h= a

Ecuaciones de las asíntotas:

y=0 x=0

A´

B

B´

F ´

AF

x2 - y2 = a2

Ecuaciones de las asíntotas: y=x y=-x Ecuaciones de las asíntotas:

y=0 x=0

Hipérbola equilátera. Resumen

LA PARÁBOLALa PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano que

equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Elementos de la PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (d)

V

La distancia del foco a la directriz se le llama parámetro de la parábola: p

p

Eje (e)

p>0

P

La perpendicular a la directriz pasando por el foco se llama eje de la parábola y es eje de simetría

El punto de corte del eje con la parábola se llama vértice de la parábola V

V es un punto de la parábola, por lo tanto cumple su condición:

F

Directriz (d)

d ( V, F) =d ( V, d)

FV

y ambos sumandos son iguales

d(V, F) =d(V,d)=p/2

p=d ( F, d) =d ( V, F) + d( V, d) p

dp/2p/2

Parámetro de la PARÁBOLA

p = d ( F, d) p>0

Elementos de la PARÁBOLACentramos la parábola de forma que su vértice coincida con el origen de

coordenadas.

V(0,0)

pFoco:

Vértice:

Eje :

Directriz:

Parámetro:

y=0

eje

p>0

P (x, y)

F X

Y

p/2

d

p/2

V(0,0)

Ecuación de la PARÁBOLA

Ecuación reducida de la parábola

Vértice (0,0) y eje OX

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una

recta llamada directriz (x=-p/2).

P(x,y)

22 2

2p px y x

2 2

22p p

x y x2 2

2 2

2 2 2p px px y x px

4 4

PARÁBOLA trasladada

Ecuación de una parábolade eje paralelo al eje OX

y=k

X

Y

p/2V(h,k) F(h+p/2, k)

Directriz (d)

Eje (e)

Ecuaciones de la PARÁBOLA

y = 0 y = 0y = k

x = 0

x = 0

x = h

Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos

F y F’ (llamados focos) es constante.

Hipérbola es el lugar geométrico de los

puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’

(llamados focos) es constante.

Parábola es el lugar geométrico de los

puntos del plano que equidistan de un

punto fijo F (llamado foco) y de una recta

llamada directriz.

Las Cónicas como lugar geométrico Las Cónicas como lugar geométrico

La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)