CÓNICAS EN APOLONIO

APOLONIO DE PERGA

TRATADO DE CÓNICAS

DEFINICIONES

OBRAS PERDIDAS

APORTES

¿QUIÉN FUE ?

Nació en Perga en Pamfilia (Sur Asia Menor) ¿262-192? A.C.

Epoca helenística ( Euclides, Arquímedes y Apolonio)

Siglo de oro

Esquema de “Tetradas”

Libros: “Reparto Rápido”, ”Tesoro de análisis”

Astrónomo y geómetra

Secciones en una razón dada

Secciones en una área dada

Secciones determinadas

Tangencias

Inclinaciones

Lugares planos

Apolonio hace un tratado de las cónicas en ocho libros:

Fundamentación

Profundización

I. Trata de la generación de las tres secciones y sus propiedades.

II. Teoría de los diámetros conjugados y de las tangentes.

III. Teoremas para construcción de lugares sólidos y determinación de límites.

IV. Intersección de las cónicas entre sí y con el círculo.

V. Estudia segmentos máximos y mínimos respecto a una cónica.

VI. Investiga las secciones cónicas iguales y semejantes.

VII. Proposiciones relativos a los diámetros de las secciones cónicas

VIII. Problemas sobre cónicas ¿?

CONO

DIÁMETRO

VÉRTICE

EJE

EJE CONJUGADO

PARÁMETRO, ABSCISA

Propiedad fundamental en la construcción de las cónicas

Apolonio demuestra que en la parábola el cuadrado de la ordenada es igual al producto del parámetro y la abscisa, mientras que en la hipérbola es mayor y en la elipse es menor.

PROPOSICIÓN 11

Cortando un cono por un plano que pasepor el eje y por otro que corte a la base según una perpendicular a la base deltriángulo en dónde el diámetro de lasección es paralelo a uno de los lados deltriángulo, se obtiene la sección cónica parábola, en la que el cuadrado de la ordenada es igual que el producto delparámetro y la abscisa.

PARÁBOLA

Para la construcción se debe tener en cuenta:

Proposición 3-I

Proposición 4

PROPOSICIÓN 3-I

Un cono de vértice el punto A y base el círculo BG, cortado por un plano que pase por A, determinará en la superficie cónica las rectas AB y AG y el base la recta BG. Entonces se dice que ABG es un triángulo.

PROPOSICIÓN 4-I

Una superficie cónica de vértice Ay base el círculo BG, al ser cortadapor un plano paralelo al del círculo BG se tiene como intersección la línea DE, que es una circunferencia de centro en el eje de la superficie.

PARÁBOLA

Por construcción Apolonioestablece la longitud del parámetro teniendo encuenta la siguiente proporción: (1-)

AG

BG

AB

BG

AGAB

BG

ZA

ZT*

*

2

PARÁBOLA

Por propiedad del círculose tiene(4-):

LNLMKL *2 Por construcción:

DE BGZT ZHZH // AGKL // DEMN // BG

PARÁBOLADebido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentesse obtienen los siguientes triángulos semejantes:

AMN ABG ZML y por el teorema de proporcionalidad aplicado a AMN y ZML, resulta:

AZ

LN

ZM

ML

AM

MN

AB

BG

PARÁBOLA

De la proporción anterior se toma:(2-)

AZ

LN

AB

BG

AZ

LNABBG

*

De la semejanza de los triángulos anteriores también resultan las siguientes proporciones (3-)

LZ

ML

NA

MN

AG

BG

LZ

MLAGBG

*

PARÁBOLA

Reemplazando (2-) y (3-) en (1-), se obtiene (5-):

LZ

ML

AZ

LN

ZA

ZT*

Ahora reemplazando (4-) en (5-), tenemos

LZAZ

KL

ZA

ZT

*

2

PARÁBOLA

De la igualdad anterior resulta: ZLZTKL *2

PROPOSICIÓN 14

Cortando dos superficies cónicasopuestas por el vértice por un plano que no pase por el eje se tendrá en cada superficie una sección llamada hipérbola

Características….

El diámetro de ambas secciones será la misma.

Los parámetros de las rectas trazadas ordenadamenteal diámetro y paralelas a la situada en el cono serániguales.

El eje transverso de la figura será la recta que une los vértices de las dos secciones.

Estas secciones se llaman opuestas.

En esta proposición Apolonio por primera vezconsidera como una sola curva a las dos ramas.

Para la construcción se debe tener en cuenta:

Proposición 4-I

Elementos XI-16

Proposición 12-I

Se consideran las ramas semejantes y congruentes en la proposición 16 del libro VI

Elementos XI-3

PROPOSICIÓN 4-I

Sea una superficie cónica de vértice A, y BG lacircunferencia que recorre la recta para describirlay si se traza un plano paraleloa BG, entonces la circunferenciava a tener centro en el eje AZ .(ZAH va a ser el eje de la superficie).

ELEMENTOS 16-XI

Si un plano interseca a dos planosparalelos, entonces la intersecciónconsiste en dos rectas paralelas.

ELEMENTOS 3-XI

La intersección de dos planos es una recta.

PROPOSICIÓN 12-IConstrucción de una hipérbola “sencilla”.

El cuadrado de la ordenada es mayor al rectángulo cuyos lados son el parámetro y la abscisa.

PROPOSICIÓN 12-I

Cuando Apolonio construye la hipérbola lo hace de manera tal que:

KGKB

KA

ZL

ZT

*

2

Secciones Opuestas

NTEM es el diámetro

EW=TV

ET es el lado transverso de ambassecciones

Secciones Opuestas

DZ es paralela a HK , PO es paralela a BG (Euclides XI,16) .

LAR es el eje de la superficie (Prop. 4-I)

Debido a los planos que cortan el cono y por las paralelas establecidas anteriormente se puede deducir quePO HK y que BG DZ.

Secciones Opuestas

El plano que pasa por eleje corta a las secciones enM y N, en T y E; por tanto estos puntos pertenecen a ese plano.

Y estos puntos también están en el plano HKDZ.

Entonces los puntos pertenecena una misma recta (Euclides XI,3)

Secciones Opuestas

TV NM y EW NM

Por tanto EW es el parámetro de las trazadas ordenadamente a la EM y ET por definición de hipérbola es denominado el lado transverso de la figura.

Secciones Opuestas

Como AQP ASG y QAO SAP, entonces

Por tanto

SG

SA

QP

QA y SB

SA

QO

QA

QOQP

QA

SBSG

SA

**

22

Secciones Opuestas

Y al construir las hipérbolas ya se había deducido que

por tanto EW = TV

entonces:

SGSB

SA

EW

ET

*

2

yQPQO

QA

TV

ET

*

2

TV

ET

EW

ET

PROPOSICIÓN 13

Cortando un cono por un planoque pase por el eje y por otro no paralelo ni en sentido contrario que cumple ciertas características se obtiene la sección cónica elipse, en la queel cuadrado de la ordenada es menor que el producto delparámetro y la abscisa.

ELIPSE

Por construcción Apolonioestablece la longitud del parámetro teniendo encuenta la siguiente proporción: (1)

KG

KA

KB

KA

KGKB

KA

ET

ED*

*

2

ELIPSE

Por propiedad del círculose tiene: (2)

MRMPLM *2 Por construcción:

AK // EHPR // BGET // MN // DQ

ELIPSE

Debido a las relaciones de paralelismo y ángulos congruentesse obtienen los siguientes triángulos semejantes:

ABK EBH EPM

MP

ME

HB

HE

KB

KA

ELIPSE

AGK DGH DRM

MR

MD

HG

HD

KG

KA

De las proporciones anteriormenteestablecidas se tiene:(3)

MRMP

MDME

KGKB

KAKA

*

*

*

*

ELIPSE

Sustituyendo en (1), (2) y (3) se obtiene:

2

**

LM

MDME

MR

MD

MP

ME

ET

ED

Despejando lo anterior tenemos:(4)

ED

ETMDMELM

**2

ELIPSE

Por otro lado tenemos los siguientestriángulos semejantes:

DET DMV

Por tanto: (5)

MV

MD

ET

ED

ED

ETMDMV

*

ELIPSE

Sustituyendo (5) en (4), tenemos: MEMVLM *2