SECCIONES CNICAS

Una seccin cnica, es la curva de interseccin de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parbola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hiprbola. (Ver fig. 6.1.)

LA PARABLA

Definicionesi. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no est en la recta dada. Se define la parbola como el lugar geomtrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.ii.La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parbola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.Esto es:PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF= 1} PD

fig. 6.1.1.Observaciones:i.Al trazar por F la perpendiculara la directriz. Se llamar: la distancia del foco a la directriz.ii.Sea V el punto medio del segmento. Como, entonces el punto V pertenece a la parbola. V es llamado VERTICE de la parbola.El lugar correspondiente a la parbola es simtrico respecto a la recta. En efecto, si P es el simtrico de P respecto a la recta, entonces PP = PP. Por lo tanto, el tringulo PPF es congruente al tringulo PPF. De donde PF = PF y como PD = PD, entonces,, lo cual nos muestra que P e PDD-F.6.1.1. Ecuaciones Analticas de la ParbolaEn esta seccin slo se considerarn parbolas con el vrtice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarn localizados sobre los ejes x y (fig. 6.1.2.)

fig. 6.1.2.Sea P(x, y) un punto de la parbola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces,.Pero,yLuego,Elevando al cuadrado ambos miembros de la ltima igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene:, y simplificando queda finalmente,(1)Recprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.Por hiptesis, (2)Se debe probar queDe esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parbola)i. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces PPDD-Fii.La ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2= 2py (4)iii.Recprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces PPDD-F

fig. 6.1.3.

fig. 6.1.4.Observaciones:i.En la fig. 6.1.3. aparecen las grficas de dos parbolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuacin x = -p/2. Adems todos sus puntos son simtricos con respecto al eje x, de aqu que las ecuaciones que representan sus lugares geomtricos, poseen nicamente a la variable y elevada a su potencia par.6.1.2. Traslacin de EjesEn el ejemplo 5 de la seccin 5.6., se determin que la ecuacin de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:Sin embargo, si se encuentra la ecuacin con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene.De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuacin sin cambiar la forma de la grfica (fig. 6.1.5.).

fig. 6.1.5.Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x e y paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema.Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas estn referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x, y) referidas al sistema x-y vienen dadas por las relaciones: x = x + h (1) y = y + k (2) llamadas: ECUACIONES DE TRASLACIN DE EJES, y que pueden deducirse fcilmente de la fig. 6.1.6.

fig. 6.1.6.Observacin:La traslacin de ejes modifica la ecuacin de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.Una aplicacin til de la traslacin de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parbola, con vrtice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.Si se toma como referencia los ejes x e y, hallar las ecuaciones de la parbola con vrtice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parbola con vrtice en (0, 0) referido al nuevo sistema.Las ecuaciones, permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parbola, como lo afirma el siguiente teorema:6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parbola. Forma general)i.La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco eny por directriz la recta:(fig. 6.1.7.) viene dada por:(1)

fig. 6.1.7.ii. La ecuacin de la parbola con vrtice en el punto V (h, k), que tiene su foco eny por directriz la recta:(fig. 6.1.8.) viene dada por:(2)

fig. 6.1.8.Demostracin:Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x-y y luego hacereObservacin:Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, despus de simplificarlas, pueden expresarse en la forma:(3)(4)En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parbola siempre se abre en la direccin del eje cuya varia- ble aparece lineal.As por ejemplo, la ecuacin (3) representa una parbola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuacin (4) representa una parbola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).6.1.4. Valores mximos y mnimos de una parbolaSe ha visto en la seccin precedente que la ecuacin (1) puede escribirse (completando cuadrados) en la forma(2) y representa una parbola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) hacia abajo (p < 0).Cuando la ecuacin aparece en la forma (1), el signo dea(coeficiente de x2), determina si la parbola se abre hacia arriba o hacia abajo y tambin determina si el vrtice es un punto mximo o mnimo de la curva.

fig. 6.1.9. (a) fig. 6.1.9. (b)Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parbola se abre hacia abajo, el vrtice V (punto mas alto de la curva) es llamado el punto mximo de la parbola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor mximo de la funcin que ella representa.Similarmente, si la parbola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vrtice V es llama- do el punto mnimo de la parbola; y el correspondiente valor de y, es el valor mnimo de la funcin.Toda funcin cuadrtica, tiene un valor mximo o un valor mnimo, pero no ambos.

Ejercicios Resueltos Sobre La Parbola

1.Usando la definicin, hallar la ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(2,0) y su direccin DD es la recta de ecuacinx= -2.Solucin:Trcese la grfica con los elementos dados.De acuerdo a la definicin, un punto

Pero,Luego,Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:

fig. 6.5.1.De donde y2= 8x es la ecuacin de la parbola pedida.2.Dada la parbola que tiene por ecuacinx2= -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz, analizar la simetra de la curva y trazar la grfica.Solucin:la ecuacinx2= -6y tiene la forma de la ecuacin (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de dondep= -3 < 0.Comop< 0, la parbola se abre hacia abajo.El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).La ecuacin de la directriz es la recta,es decir,

Fig 6.5.23.Dado el punto del plano B(a, b) cona, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parbola(1).Determine el foco y la ecuacin de la directrizSolucin:Comose sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuacin (1) y por lo tanto B pertenece a la parbola.Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1.con lo cualEn consecuencia, el foco se encuentra localizadoen el puntoy la ecuacin de la directrizes la recta

fig 6.5.3

4.Dada la ecuacin (y)2= 4x, referida al sistemax-yen donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuacin de la grfica en trminos dex e y.Solucin:La ecuacin (y)2= 4xrepresenta en el sistemax-yuna parbola con vrtice en O(2, 3). La parbola se abre hacia la derecha y adems 2p = 4, de donde p = 2. Con lo cual= distancia del vrtice al foco.

Fig. 6.5.4.Dado que O (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la seccin 6.1.2. que:de dondeSustituyendo los valores dexeyen la ecuacin inicial, se obtiene:

Esta ltima ecuacin, representa una parbola cuyo vrtice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vrtice al foco y del vrtice a la directriz es 1.5.Determine el vrtice V y la ecuacin de la parbola que tiene como directriz la recta de ecuacinx= 2 y cuyo foco est localizado en el punto F(4, 2).Solucin:Como la directriz es la recta de ecuacinx= 2, paralela al ejey, se sigue que el eje focal es paralelo al ejexy como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ciny= 2.El vrtice V de la parbola est sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vrtice son V(3, 2).

fig. 6.5.5.Ahora, la ecuacin de la parbola viene dada por:6.Determine el vrtice V, el foco F, la ecuacin de la directriz, el eje focal y dibujar la grfica de la parbola cuya ecuacin es:

Solucin:Se debe expresar la ecuacin en la forma:(1)As,

(Completacin de cuadrados)(2) (Factorizando)Comparando (1) y (2) se deduce q ue:As que las coordenadas del vrtice son.Como p = 4 > 0 y la variable lineal esy, se deduceentonces que la parbola se abre hacia arriba.El eje focal es la recta paralela al ejeyde ecuaciny el foco se encuentra localizado en el punto, esto es,

fig. 6.5.6.La directriz es la recta paralela al ejex, de ecuacin; esto es,En la figura 6.5.6. aparece la grfica de la parbola con todos sus elementos.7.Para la parbolademostrar que el vrtice est en el puntoy que corresponde a un mximo o un mnimo de acuerdo al signo dea.Solucin.La ecuacin:, puede escribirse en la forma:.Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la ltima igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar esta ltima ecuacin, con la igualdad (1) delteorema 2 (seccin 6.1.3.), se deduce que el puntoson las coordenadas del vrtice de la parbola y adems,Ahora, sia > 0, entoncesp > 0y la parbola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mnimo de la parbola.Sia < 0, entoncesp < 0y la parbola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corres- ponde a un punto mximo de la parbola.8. (Propiedad ptica (o focal) de la parbola)Demostrar que la normal a la parbola en un puntoQ, hace ngulos iguales con la recta que pasa porQyFy con la paralela al eje focal trazada por el punto.Solucin.Considere la parbolay2= 2pxque aparece en la figura 6.5.7., la normalnny la tangentetta la curva en el puntoQ(x1, y1). Al trazar las rectas que pasan porQyFy la paralela al eje focal, se forman los ngulosqyb.

fig. 6.5.7.Se debe probar queq=b.La ecuacin de la tangentetta la curva en el puntoQ(x1, y1)viene dada por:.De aqu se deduce quey por lo tanto.Ahora,.Asi que(1).En el tringulo QFN, se tiene,, de donde.Luego,.Pero,.De esta forma:(puesto quey12=2Px1)Es decir,.Luego,y por tantoq=b.

La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo parablico per-fectamente liso, como el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin, todo rayo para- lelo al eje de simetra de la parbola, se refleja pasando por el foco.Esta propiedad conocida como lapropiedad ptica(o focal) de la parbola es utilizada en la construccin de reflectores y de antenas parablicas.

Definicionesi.Sean F y F dos puntos de un plano (FF). Se define lahiprbolade focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a> 0).ii.Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmento FF se llaman:Ejes de simetra de la hiprbola.iii.El punto de interseccin 0 de dos ejes de simetra, se llama CENTRO de la hiprbola. Los puntos A y A se llaman: VERTICES de la hiprbola.

fig. 6.3.1.Observaciones:i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hiprbola. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.).

ii. Sise obtiene la rama derecha de la hiprbola; mientras que sise obtiene la otra rama.iii.Note que 2a< 2c, ya que la diferencia de los lados de un tringulo siempre es menor que el tercer lado. Adems, se toma.6.3.1. Ecuaciones Analticas de la Hiprbolacaso 1. Hiprbola con focos F(-c, 0) y F(c, 0) ;c> 0.TEOREMA:La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:(1).Demostracin:Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hiprbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definicin i. que:De donde,Es decir,Equivalentemente, usando la frmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y despus de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando adems que(observacin iii.) y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por, se obtiene finalmente,que corresponde a la ecuacin pedida.Caso 2. Hiprbola con focos en F(0,-c) y F(0,c) ;c> 0.TEOREMA:La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(0,-c) y F(0,c) viene dada por:(1).

fig. 6.3.2.La demostracin es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.Caso 3. (Caso General)Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente, se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:(3)(4)

Segn que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.Observaciones:i.En la figura 6.3.3., se ha trazado la hiprbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1y V2son los vrtices de la hiprbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). El rectngulo MNPQ recibe el nombre derectngulo auxiliar de la hiprbola.

fig. 6.3.3.ii.La grfica de la hiprbola es simtrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.iii.Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llamanasntotas oblicuasde la hiprbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:yUna forma "nemotcnica" de obtener las ecuaciones de las los asntotas de la hiprbola es la siguiente: En la ecuacin de la hiprbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).As, en el caso particular de la hiprbola,

Hacemos:(factorizando)Estas son las ecuaciones de las asntotas

iv.En el caso particular, cuandoa = b, las ecuaciones de la hiprbola se transforman en:

En ambos, la hiprbola se llama:Hiprbola Equilteray tienen como asntotas las rectasy = xey = -x.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hiprbola

1.Los focos y los vrtices de una hiprbola son los puntos:F(5, 0), F(-5, 0), V1(4, 0)yV2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica e indicar las asntotas.

SOLUCIN

Como los focos estn sobre el ejex, la ecuacin de la hiprbola es de la forma:.

fig. 6.5.13.En este caso:a = 4; c = 5, de donde(Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuacin de la hiprbola es:.Ahora,Luego, las ecuaciones de las asntotas son las rectas:, y,

2. Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por:. Determine: coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica.

SOLUCIN

La ecuacin:, puede escribirse en las formas equivalentes:La ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje y(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.En este caso:. Luego,.Con estos datos, se tiene:F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).Adems de la ecuacin:, se deduce que las ecuaciones de las asntotas son las rectas de ecuacin:e.

..3.Una hiprbola cuyo centro es el puntoC(2, 3), tiene sus focos sobre la rectay = 3. Adems, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vrtices es 8 unidades. Trazar la grfica y determine: coordenadas de los vrtices, focos y ecuaciones de las asntotas.

SOLUCIN

Como la distancia entre los vrtices es 8, se sigue quea = 4. Igualmente, como2c = 10, se sigue quec = 5y por lo tantob2= c2 a2= 9. Asi queb = 3(fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.Ahora, puesto que los focos estn sobre la rectay = 3(paralela al eje x), la ecuacin de la hiprbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son:yy = 3. Esto es:F(7, 3) y F(-3, 3).Igualmente, las coordenadas de los vrtices son:yy = 3.Esto es,V1(6, 3)yV2(-2, 3).Adems, de la ecuacin:, se deduce que:; yson las ecuaciones de las asntotas.

4.Dada la hiprbola, cuya ecuacin en su forma general es: 3y2 x2+ 4x 6y 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vrtices y ecuaciones de las asntotas.

SOLUCIN

La ecuacin general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo centro es el puntoC(2, 1)y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa porC(2, 1). En esta caso,x = 2(fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.Adems,a2= 4, b2= 12. Con lo cual:.Las coordenadas de los focos son:x = 2e. Esto esF(2, 5)yF(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vrtices son:x = 2e. Esto esV1(2, 3)yV2(2, -1).Las ecuaciones de las asntotas son las rectas:, e,.

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en ingls), una estacin principal de radio y una estacin secundaria emiten seales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos seales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos seales, lo cual se traduce en una pequea diferencia de tiempo entre las seales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias tambin ser constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguir la trayectoria de una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio.

fig. 6.5.17.Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperblica diferente, cada una llevando al barco a una posicin distinta en la costa. Las cartas de navegacin muestran las diferentes rutas hiperblicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. Dos estaciones LORAN estn separadas 250 millas a lo largo de una costa recta.

a)Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las seales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzar la costa si contina sobre la trayectoria de la hiprbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.b)Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estacin principal, qu diferencia de tiempo debe observar?.c)Si el barco est a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, cul es su ubicacin exacta? (Nota: la velocidad de cada seal de radio es de 186.000 millas/seg.).

..SOLUCIN

a.Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos estaciones estn sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas (Ver fig. 6.5.18.).

fig. 6.5.18.Como la diferencia de tiempo constante de las seales desde cada estacin implica unadiferencia constante en la distanciadel barco a cada una de las estaciones, se deduce entonces que el barco est localizado sobre una hiprbola cuyos focos son las estaciones e radio.Ahora,dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas.Esto indique que2a = 160(recordar la definicin de la hiprbola) y de aqua = 80, lo que indica que uno de los vrtices de la hiprbola est en el puntoV1(80, 0). Ahora, como uno de los focos est en el puntoF(125, 0)se deduce entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperblica alcanzar la costa a125 80 = 45millas de la estacin principal.

b.Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estacin principal, esto indica que debe seguir una trayectoria hiperblica cuyo vrtice es el puntoV(100, 0). Asi que2a = 200(diferencia constante entre las distancias del barco a cada estacin).De esta forma:.

c.Para encontrar la ubicacin exacta del barco, se necesita determinar la ecuacin de la hiprbola cuyo vrtice esV(100, 0)y uno de sus focos esF(125, 0).Asi quea = 100,c = 125. Con lo cual,b2= c2 a2= 5625.De esta forma, la ecuacin de la hiprbola viene dada por:Como el barco est a 80 millas sobre la costa, quiere decir que est en el punto(x, 80)sobre la hiprbola. En consecuencia,, de dondex = 146.Por lo tanto, la ubicacin exacta del barco es sobre la hiprbola en el puntoP(146, 80).

LA ELIPSE

Definiciones:i.Sean F y F dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).ii.Las rectas: La que pasa por los focos F y F y la recta mediatriz del segmentose llaman EJES DE SIMETRA DE LA ELIPSE.iii.El punto de interseccin O de los dos ejes de simetra, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A, A, B y B se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.Si el segmentoes mayor que el segmento, ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

fig. 6.2.1.Observaciones:i.De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente aquellos casos en los cuales los focos estn en el mismo eje (eje x, eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).ii. Ntese tambin que como, se sigue que(teorema de Pitgoras).

fig. 6.2.2.6.2.1. Ecuaciones Analticas de la ElipseCaso 1. Elipses con focos. F(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por:(1)

fig. 6.2.3. fig. 6.2.4.DemostracinSi p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definicinique, o equivalentemente,(frmula de distancia entre dos puntos)Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:Simplificando la ltima igualdad se llega a:Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima ecuacin, se obtiene:La cual se reduce a:Recordando adems quey al dividir ambos miembros de la ltima igualdad por, se obtiene finalmente: que corresponde a la ecuacin pedida.Caso 2. Elipses con focos F(0, -c) y F(0, c) ; c > 0Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)Eje menor: Longitud 2b (b > 0)TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:(2)Demostracin:Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.NOTA:Ntese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuacin de una circunferencia de centro en el origen y radio a.Caso 3. (Caso General).Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuacin de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:(3)Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

fig. 6.2.5. (a)(x-h)+(y-k)b(x-h)+(y-k) abbaObservaciones:i.La ecuacin (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.ii.Si a > b, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a).Si b > a, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b).6.2.2. Construccin de la ElipseExisten muchas construcciones geomtricas de la elipse, pero en la mayora de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razn, solo se presentan dos mtodos geomtricos sencillos para construir la elipse.Construccin 1Supngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lpiz se tensiona la cuerda. Al mover el lpiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.)

fig. 6.2.6.Construccin 2Supngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuacin dada por, con a > b.Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados crculos directores, que son crculos concntricos , con centro en 0, uno de radio y el otro de radio. (Ver fig. 6.2.7.)

fig. 6.2.7.Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los crculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).Se puede afirmar que el punto M est en la elipse de ecuacin.En efecto, basta demostrar que.Para ello, ntese que:Sumando miembro a miembro las ltimas igualdades, se concluye que

Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

1.Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntosF(3, 0) y F(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).Solucin:Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue quea = 5y comoc = 3(fig. 6.5.8) se tiene que,y por tanto.

fig. 6.5.8.De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntosV1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) yV4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :2.Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por:25x2+ 4y2= 100Solucin:La ecuacin:25x2+ 4y2= 100, puede escribirse en las formas equivalentes:x2+y2= 1 (porqu?)4 25La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor esb = 5y eje menor esa = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el ejey.De otro lado,, de dondey en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntosy.Adems, los vrtices de la elipse son los puntos:V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.

fig. 6.5.9.3.Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:4x2+ y216x + 2y + 13 = 0Solucin:La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:(completacin de cuadrado)(factorizacin y simplificacin)(dividiendo por 4)Esta ltima ecuacin corresponde a la elipse cuyo centro es el puntoC(2, -1), semiejes;a = 1yb = 2. Comoa < b, el eje focal es paralelo al ejeyy tiene por ecuacinx = 2(ver fig. 6.5.10.).Los vrtices son los puntosV1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).Como, se tiene que los focos estn localizados en los puntosy.

fig. 6.5.10.4. Propiedad ptica de la ElipseEn geometra plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un tringuloABCy un puntoDsobreBC(ver figura 6.5.11), entonces:es Bisectriz del ngulo.

Esta propiedad permite construir la normal y por ende la tangente en un punto cualquiera de la elipse.

Al unir el puntoP1de la elipse conFy conF, puede demostrarse que la bisectriz del nguloFP1Fes la normalnna la curva porP1(fig. 6.5.12.).

fig. 6.5.11.Esta propiedad se conoce como lapropiedad pticaofocal de la elipsey tiene interesantsimas aplicaciones:

fig. 6.5.12.1)Considrese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un puntoP1de la curva. Comonnes bisectriz del nguloFP1F, entonces, ngulo de incidencia = ngulo de reflexin y por tanto el rayo se reflejar pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construccin de conchas acsticas.Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del ejexformando una superficie de revolucin e imaginemos un saln cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuando una persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estar muy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que las ondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a l en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.2)Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 1630) determin empirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como las leyes de Kepler:1. La rbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.2. El radio vector trazado desde el sol barre reas iguales en tiempos iguales.3. Los cuadrados de los perodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la rbita elptica.Newton (1642 1727) partiendo de estas tres leyes empricas y utilizando elementos del clculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitacin universal: "la fuerza que ejerce el sol so- bre un planeta es una fuerza de atraccin radial e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada pordondem: masa del planeta,M: masa del sol yconstante de gravitacin universal".Fijadas la directriz, el focoFy la excentricidad, sabemos que si llamamos p: distancia foco - directriz, la ecuacin de la elipse es(1) dondeydonde como se puede demostrar fcilmente quea > b.Ahora, cuando, dejando fijos los dems elementos; directriz, foco yp, la elipse se aproxima a una circunferencia y por tanto la rbita es cada vez mas cercana a una circuferencia En efecto:.Siyy por tanto, a y b se acercan al mismo valor y la ecuacin (1) tiende a ser la ecuacin de una circunferencia.Esto puede verse tambin en el siguiente cuadro.p = 1

0.50.40.20.10.010.0020.0010.66660.47620.20830.10100.01000.0020.0010.577350.43640.20410.10050.01000.0020.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen rbitas que son aproximadamente circulares:MercurioVenusTierraMarteJpiter0.210.010.020.090.05SaturnoUranoNeptunoPlutn0.060.050.010.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una excetrici- dad dey una rbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo (1 U.A.: 150 millones de kilmetros = semieje mayor de la rbita de la tierra distancia tierra sol). El perodo de revolucin de este cometa es de 76 aos. Fue observado por el astrnomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvera a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su prediccin ya que muri en 1742. Esta periodicidad de la rbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor de la teora de Gravitacin de Newton.

Hiprbola

Elementos de la hiprbolaFocosSon los puntos fijos F y F'.Eje focalEs la recta que pasa por los focos.Eje secundario o imaginarioEs la mediatriz del segmento.CentroEs el punto de interseccin de los ejes.VrticesLos puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vrtices y de radio c.Radios vectoresSon los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.Distancia focalEs el segmentode longitud 2c.Eje mayorEs el segmentode longitud 2a.Eje menorEs el segmentode longitud 2b.Ejes de simetraSon las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.AsntotasSon las rectas de ecuaciones:Relacin entre los semiejes

Ecuacin de la hiprbola. Ejercicios1Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.12342Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:123Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.4El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuacin.5Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.6Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos.7Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el puntoy su excentricidad es.8Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de los vrtices de la hiprbola 50 y 2.9Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 = 0 con respecto a la hiprbola x2 2y2= 1.10 Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida a sus asntotas como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.Ecuacin de la hiprbola. Ejercicios1El eje focal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuacin de la hiprbola.2Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal es.3El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.