Proyecto Especial De Nivel Avanzado De Desarrollo Profesional

9 al 11 de octubre del 2009

Prof: Israel Quiñones

“Secciones Cónicas”

“Estudiar los procedimientos del pensamiento geométrico nos permite alcanzar lo más esencial de la mente humana”, Henri

Poincaré.

Comentarios:

La geometría de las secciones cónicas (o simplemente cónicas) son curvas que se forman con la intersección de un plano con un par de conos circulares. Esas curvas tienen cuatro formas básicas, llamadas círculo, elipse, parábola e hipérbola.

Ilustración:

Si comenzamos con una recta fija L y un punto fijo V sobre la recta L, la superficie formada por todas las rectas que pasan por V haciendo un ángulo constante con la recta L se denomina un cono recto circular. A la recta L se le llama el eje del cono y V es su vértice. Las dos partes de un cono separadas por el vértice se llaman hojas.

ángulo constante

V vértice

hoja

L

Ilustraciones:

Círculo Elipse

Parábola Hipérbola

Todas estas curvas son generadas por la siguiente ecuación de segundo grado en

dos variables, donde sus coeficientes no son todos

cero, representando diferentes curvas a base de los coeficientes.

2 2 0,A x B x y C y D x E y F

Comentarios

En la antigua Grecia, las cónicas se estudiaban como cuestión de arte o belleza, por ejemplo Apolonio (262-190 a. C.) escribió una obra de ocho volúmenes, sobre el tema. Más recientemente Galileo, en el 1590 establece que la trayectoria de un proyectil disparado hacia arriba, formando un ángulo con la horizontal es una parábola. En el 1609, Kepler descubre matemáticamente que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este como uno de sus focos.

Newton, en 1668 construye el primer telescopio reflector, basado en las propiedades de las parábolas e hipérbolas. En pleno siglo XX la aplicación llegó al sistema de radionavegación LORAN, usando los puntos de intersección de las hipérbolas para determinar la ubicación de barcos y aviones. En la medicina, la litotripsia, eliminación de cálculos renales sin cirugía, es basado en las propiedades de las elipses.

Definición geométrica de una parábola:

Una parábola es el conjunto de puntos de una curva en el plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y una recta fija , llamada directriz.

Parábolas

La gráfica de la ecuación

es una curva en forma de y se denomina una parábola; abre hacia arriba si (positivo) y abre hacia abajo si (negativo).

Cuando , nos dice que el punto más bajo de la curva denominado vértice es el mínimo, y si

implica que el vértice es el punto más alto de la curva representando el valor máximo de la misma.

2 ,d o n d e 0 y a x b x c a & , ,a b c R

0a 0a

0a

0a

Ilustración:

Eje de simetría

X

0aVértice

O

Vértice

x

O Eje de simetría0a

Ilustración:

p

y

P(x,y)

F(0,p)

O

Si es cualquier punto de la

parábola, la distancia desde P al

foco, F de acuerdo con la fórmula

de la distancia, es dada por

y la distancia de P a la directriz es

(vértical)

i.e.

py

x

,P x y

22x y p

y p ó y p

2 20 .x y p

Según la definición geométrica de una parábola, esas dos distancias deben de ser iguales.

pypyx 22

22 22 x y p y p

2 22

2 2 2 2 2

2 2

x y p y p

x y p y p y p y p

pyx

pypyx

4

222

2

,0p

,0p

,xporx

Sila parábola abre hacia arriba y si abre hacia abajo. Ver que al sustituir a la ecuación no cambia, implica que la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas.

Parábola con Eje de Simetría Vertical

La gráfica de la ecuación es una parábola con las siguientes propiedades:

Vértice V(0,0) Foco F(0,p) Directriz La parábola abre hacia

arriba si y abre hacia abajo si .

2 4px y

y p0p 0p

x

y

O

x

y

OF(0,p)

y= -p

2 4 , c o n 0x p y p

y p

pF ,0

2 4 , c o n 0x p y p

Ejemplo 1

Halla la ecuación de una parábola que cumple con las siguientes condiciones: Vértice en V(0,0) y el Foco en F(0,2) . Esquematiza la misma.

Solución

Como el foco es la directriz es . La ecuación estándar de esta parábola es , si tenemos

0,2 2F p

2 4 x p y

2 24 2 ; 8 x y x y

2y 2p

Como , la parábola abre hacia arriba y su esquema es el siguiente.

02 pp

yx 82

2,0

2y

x

Ejemplo 2

Hallar el foco y la directriz de la parábola

Tenemos que expresarla en forma estándar,

Vemos que su eje de simetría es vertical

. Quiere decir que el foco esta localizado

en el eje de y, con coordenadas

y la ecuación de la directriz es una recta horizontal

2xy

yx 2

14 1,

4p p

4

1,0F

4

1y

Ilustración

x

y

1

4y

0, 1 / 4F

2y x

Comentarios

Si reflejamos la gráfica de una curva en posición estándar con respecto a la recta e intercambiamos los papeles de generamos una parábola con eje de simetría horizontal y la directriz paralela al eje de . Veamos la siguiente ilustración

2 4 yx py x

& x y

y

2 4 , 0y px con p

F(p,0)

px 0,42 pconpxy

O O

F(p,0)px

x x

Parábola con Eje de Simetría Horizontal

La gráfica de la ecuación es una

parábola con las siguientes propiedades:

Vértice V(0,0)

Foco F(p,0)

Directriz

La parábola abre hacia la derecha si , y abre hacia la izquierda si .

pxy 42

x p0p

0p

Ejemplo 3

Hallar el foco y la directriz de la parábola

e ilustrar un esquema gráfico de la misma.

Transformamos la ecuación dada a su forma estándar, y la comparamos con la

original, .

06 2 yx

xy 62 2 4 , c o n 0 4 6 3 / 2y px p p p

Tenemos el foco en F(-3/2,0) y la directriz en . . Como la parábola abre hacia la izquierda tenemos la siguiente ilustración.

3 / 2x

F(-3/2,0)

06 2 yx

2/3x

x

Nota: La cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría, además es paralela a la directriz con sus extremos sobre la curva (parábola) se denomina “latus rectum” (lado recto) y su longitud es el diámetro focal de la parábola.Esta distancia es determinada por la fórmula p4

Ejemplo 4

Determina el foco, la directriz y el diámetro focal de

la parábola e ilustra su gráfica. Transformamos la ecuación dada a la forma

estándar La longitud del diámetro focal es igual a

unidades. El foco esta en y abre hacia arriba con la

directriz,

21

2y x

2 24 2 4 2 1 / 2.x p y x y p p

4 4 1 / 2 2 2p 0,1 / 2F

1 / 2.y

Ilustración

2

2

1xy

F (0, 1/2)

2/1yx

Propiedad de Reflexión

La propiedad de reflexión de una parábola se utiliza en diseños de lámparas y telescopios siendo esta la base de su gran utilidad. La luz de una fuente que se coloca en el foco de una superficie con sección transversal parabólica se refleja de tal manera que es paralela al eje de la parábola y viceversa, la luz que llega al reflector parabólico en forma de rayos paralelos al eje de simetría, se concentran en el foco.

Ejercicio de aplicación:

Hallar el foco de un reflector de un faro. Un faro tiene un reflector parabólico que forma una “cuenca” de doce pulgadas de orilla a orilla (diámetro) y ocho pulgadas de profundidad. El filamento del bulbo está en el foco. ¿A qué distancia del vértice del reflector se encuentra el foco?

Solución:

Ubicamos la situación en un sistema de coordenadas con eje de simetría vertical de la forma . De acuerdo a la información del problema tenemos que las coordenadas satisfacen a la ecuación de curva de donde obtenemos

pyx 42

8,6 8462 p

.8/93632 pp

Tenemos el foco en F(0,9/8) la distancia entre el vértice y el foco es 9/8 pulgadas, y es el lugar donde esta el filamento del bulbo.

Comentario

Para ver como afecta el “ancho” de una parábola el cambio en la distancia entre el foco y el vértice basta con ubicar varios focos y trazar sus respectivas parábolas y observaremos que mientras más cerca se encuentre el foco del vértice de una parábola es más angosta. Es el mismo efecto que le produce a .1&0,2 aacbxaxy

Ejercicio: Reflector parabólico

Una lámpara con reflector parabólico. La bombilla se coloca en su foco y su diámetro focal es de 12 cm.paralelo al eje ordenado.

a) Determina la ecuación de la parábola.

b) Determina el diámetro de la abertura

que esta a 20 cm. del vértice.

Ejercico: Puente suspendido

En un puente suspendido la forma de los cables es parabólica. Si las torres de suspención distan 600 m y el punto más bajo de los cables está a 150 m debajo de la parte superior de las torres.

Halla la ecuación de la parte parabólica de los cables, con el origen del sistema de coordenadas en el vértice.

Elipses

Definición geométrica de una elipse. Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se denominan los focos de la elipse. Vea que la distancia es constante, porque es determinada por la longitud del “hilo” con que la construimos. Mientras más separados estén los focos más ovalada queda la elipse y mientras más cercanos estén localizados, más semejante a un círculo será.

21 & FF

yxP ,

21 FF

Hilo Elipse

Para obtener la ecuación más sencilla de una elipse, se colocan los focos en un sistema de coordenadas rectangulares sobre el eje de “x” en posiciones de tal manera que el origen del sistema está a mitad de la distancia entre los focos. Ahora por comodidad diremos que la suma de las distancias desde un punto sobre la curva a cada foco será representada como 2a.

,0,&0, 21 cFcF

Deducción de la fórmula

y

P (x,y)

0,0, 21 cFcF

Dado un punto sobre la curva y mediante manejos algebraicos logramos las ecuaciones siguientes:

2222

2222

21

2

2

2,,

ycxaycx

aycxycx

aFPdFPd

yxP ,

Al simplificar la ecuación anterior llegamos,

Si dividimos cada miembro por 4, tenemos

Cuadramos nuevamente en ambos lados

expandimos

Reordenamos y combinamos

222222222 2442 yccxxycxaayccxx

cxaycxa 444 222

cxaycxa 222

22222 cxaycxa

22242222222 22 xccxaayacacxaxa

22222222 caayaxca

Por la propiedad de la “Desigualdad triangular”, nos permite decir que la suma de las distancias desde el punto P(x,y) a los focos es mayor que la distancia entre los focos, i.e.

de esto se deduce y si dividimos cada lado de la ultima ecuación por obtenemos la ecuación de una elipse,

2222 cacaca ,022 ca

)( 222 caa

.122

2

2

2

ca

y

a

x

Si hacemos que ,siendo . Además , ahora podemos reescribir la ecuación de la forma

,222 bca 0babab 22

.12

2

2

2

baconb

y

a

x

Para hacer un esquema de su gráfica, buscamos los cortes con los ejes x & y.

Si La elipse corta al eje de x en (a,0) &(-a,0) y a estos

puntos le denominamos vértices y el segmento que los une se llama eje mayor de longitud 2a.

Los cortes en el eje de , los determinamos cuando

con longitud igual a 2b.

2

20 1,

xy

a .22 axax

bbbyentoncesx .0&,0,0

Vea que .22 ba

" "y

Comentarios

Si intercambiamos a

vemos que la ecuación no cambia e implica que es simétrica a ambos ejes y al origen que le llamamos centro de la elipse.

p o r & p o r ,x x y y

Ilustración:

(0,b)

(-a,0) (a,0)

(-c,0)

(0,-b)

(c,0)0

222

2

2

2

2

&

1

cabbacon

b

y

a

x

y

x

Para calcular se resta el denominador menor del denominador más grande. Ahora podemos generalizar con el eje mayor en posición vertical como ilustramos a continuación.

2c

Elipse con centro en el origen

La gráfica de la ecuación

es una elipse con centro en el origen, y tiene las propiedades que se indican:

0112

2

2

2

2

2

2

2

bacona

y

b

xo

b

y

a

x

(0,b)

(-a,0)

(-c,0) (c,0)

(a,0)

(0,-b)

21 FF0

y

x

(b,0)

(0,a)

(0,c)

(-b,0))

(

(0,-a)

(0,-c)

2

1

F

F

y

x

Vértical,de longitud 2a

Horizontal,de longitud 2b

Ecuaciones

Vértices

Eje mayor

Eje menor Vértical,de

longitud 2b

Focos

0

12

2

2

2

ba

conb

y

a

x

0,a

Horizontal, de longitud a2

2220, bacdondec

0

12

2

2

2

ba

cona

y

b

x

a,0

222,0 bacdondec

Ejemplo 1

Dada la ecuación de la elipse

Determina los focos, vértices y longitudes de los ejes, mayor y menor. Esquematiza la misma.

.149

22

yx

Solución:

Como el denominador que acompaña la

que su eje mayor esta en posición horizontal. Así .

Además

49&92 esx

.24&39 22 bbaa

.552222 ccbac

Analizamos :

Focos

Vértices

Longitud del eje mayor es 6

unidades

Longitud del eje menor es 4 unidades

5,0

0,3 0,5 (0,2) 0,5

(-3,0)

(0,-2)

( 3,0)

y

x

Ejemplo 2

Obtener la ecuación de una elipse que cumpla con las siguientes condiciones: vértices en y los focos en

0,4

.0,2

Solución:

Si los vértices están localizados en Los focos están ubicados inferimos que Para encontrar “b” usamos la ecuación Como , tenemos que el eje mayor esta en posición horizontal y la ecuación

será de la forma

.40,4 a

,0,2.2c

2 2 2 2 2 2 2 4 2 12.b a c b b 22 ba

.11216

122

2

2

2

2

yx

b

y

a

x

Ejemplo 3

Determinar los focos de la elipse dada por la ecuación

.144916 22 yx

Solución

Si dividimos por 144 cada miembro de la ecuación anterior, obtenemos la siguiente

9161169

22

comoyx

2223&4 baccomoba 772 cc

7,0

que el eje mayor es vértical y los focos están sobre el eje de “y”. Ahora

podemos deducir que

los focos están ubicados en

.

Comentarios :

Vea que si es ligeramente mayor que , i.e. los focos están mas cerca de los

vértices de la elipse entonces es alargada y delgada; pero si es grandemente mayor que , la elipse es casi circular, esto provoca que la relación entre determinan una propiedad importante de la elipse, denominada como la excentricidad.

2a 2c

2a2c

&a c

Para la elipse

siendo se define la excentricidad “e” como una razón definida por

Si podemos decir que entonces la elipse es bien alargada, es un “estiramiento” de la elipse.

2 2 2 2

2 2 2 21 1

x y x yó

a b b a

,0 ba

.1022 ebacdondea

ce

1,e ,ae

Aplicaciones

Excentricidades de órbitas de los planetas

Las órbitas de los planetas son elípticas y el Sol está en uno de sus focos. Para la mayoría de los planetas sus excentricidades son muy pequeñas y por tal razón son casi circulares

no así la de Mercurio (planeta interior) y la de Plutón (planeta exterior).

Comentario historico:

Johannes Kepler (1571-1630) fue quien estableció que la trayectoria de movimiento de los planetas entorno al Sol como uno de sus focos era elíptica, usó las observaciones del astrónomo danés, Ticho Brahe para sus teorías. Estas leyes se consideran la deducción más impresionante, a partir de datos empíricos, en la historia de la ciencia.

Conocimiento:

La órbita de cada planeta es una elipse, con el Sol en uno de sus focos.

El segmento de recta que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita.

Ejemplo 4

Hallar la ecuación de una elipse a partir de que su excentricidad es 4/5 y sus focos están en .8,0

Solución :

Dado que al sustituir en la fórmula . Para buscar “b” tenemos

así Su ecuación será sus focos están sobre el eje de “y”, pues el denominador es mayor que el de

x.

108

5

4 a

aa

ce

,8&5/4 ce

,641002222222 bcabbac.6362 bb

,110036

22

yx

Perihelio y afelio

Los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas con este en uno de sus focos. El punto en que el planeta esta más cercano al Sol se denomina perihelio y el más distante se le conoce como afelio.

Estos puntos son los vértices de la órbita. La distancia de la Tierra desde el Sol es aprox. 147,000,000 km en el perihelio y de 153,000,000km en el afelio.

Encuentre una ecuación apropiada para la órbita de la Tierra.

Hipérbolas

Comentarios:

A pesar de que las formas de la elipse e hipérbolas son totalmente distintas, sus ecuaciones son muy similares. En lugar de sumar las distancias hacia los dos focos como en la elipse, se usa la diferencia para definir la ecuación de una hipérbola.

Definición geométrica de una hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en el plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos son los focos de la hipérbola. Vea que si el punto P(x,y) esta en la hipérbola entonces

,

21 & FF

aFPdFPd 2,, 21

x

y

0,1 cF 0,1 cF 0

P(x,y)

Al igual que con la elipse, ubicamos el centro de la hipérbola en un sistema cartesiano

coincidiendo con el origen de este. Los focos están sobre el eje de “x” en .

De la figura tenemos que

donde es una constante positiva

0,c

aFPdFPd 2,, 21

aycxycx 22222

Nota: Trabajamos algebraicamente de igual forma que la elipse y logramos la siguiente ecuación :

22222222 acayaxac

Nuevamente, mediante la desigualdad triangular, ;

Además como podemos hacer

que . Así concluimos la ecuación

de la hipérbola,

21FPF

.222,, 21 cacacFPdFPd ,022 ac

222 acb

.12

2

2

2

b

y

a

x

Propiedades que se comparten

Las propiedades de simetría de la elipse, en cuanto a los ejes y al origen son validas en la hipérbola. Las intersecciones en el eje de “x” son en

y los puntos son los vértices de la hipérbola. No hay cortes en el eje de “y” porque cuando

no hay valor real que satisfaga tal condición.

Otra situación que amerita análisis es que si

podemos deducir

entonces

0,&0, aa

2 20x y b

2

2

2

2

2

2

2

2

11b

y

a

x

b

y

a

x

222

2

1 axa

x .axoax

De la situación anterior, decimos que la hipérbola es formada por dos partes, llamadas ramas.

El segmento que une los dos vértices de las ramas es el eje transversal, y al origen del sistema se le llama centro.

Nota: Si ubicamos los focos sobre el eje de “y” e intercambiamos los papeles de

da lugar a una hipérbola con eje transversal vértical.

" " p o r " "x y

Hipérbola con centro en el origen

La gráfica de la ecuación

con es una

hipérbola con su centro en el origen, con las siguientes propiedades:

ob

y

a

x1

2

2

2

2

12

2

2

2

b

x

a

y

0&0 ba

Ecuación

Vértices

Eje transversal Horizontal, longitud

2a

Asíntotas

Focos

0,0, 21 cFcF

xa

byx

a

by

12

2

2

2

b

y

a

x

0,a

xa

by

222,0, bacc

Ecuación

Vértices

Eje transversal Vértical,longitud 2a

Asíntotas

Focos

xb

ayx

b

ay

cF ,02

cF ,01

12

2

2

2

b

x

a

y

a,0

xb

ay

222,,0 bacc

Nota: Las asíntotas son las rectas a las que tiende la hipérbola cuando los valores de

los valores se hacen grandes.

Estas asíntotas oblicuas son como en las funciones racionales, se determinan despejando la ecuación para “y”,

,& yx

2

222 1

x

ax

a

byax

a

by

Observa que cuando

cuando esto ocurre el valor de

se comporta como las asíntotas de la hipérbola y son guías para el trazo de la curva.

0,2

2

x

aentoncesx

" "y

Como esquematizar una hipérbola

Trazar el rectángulo central. Es un

rectángulo con centro en el origen, cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados y se cruzan en

Trazamos las asíntotas, mediante la prolongación de las diagonales del rectángulo central.

.& ba

Localizar los vértices. Son dos intersecciones en el eje de “x” o en el eje de “y”.

Trazar la hipérbola. Usar de guías las asíntotas predeterminadas.

Comentarios historico:

Las trayectorias de los cometas son parabólicas, hiperbólicas o elípticas con el Sol en uno de sus focos. En las dos primeras trayectorias, el cometa nunca regresa. Si su trayectoria es elíptica podemos predecir con exactitud cuando y donde se podrá ver; ejemplo Halley, cada 75 años y el más brillante del siglo xx fue Hale- Bopp (1997).

Ejemplo 1

Determine los vértices, los focos y las asíntotas de la siguiente hipérbola,

Esquematiza la misma.

144169 22 yx

Solución:

Dividimos cada miembro de la ecuación por 144,

y obtenemos Ver que el término que acompaña a es positivo e

implica que el eje transversal esta en posición horizontal por lo tanto sus vértices y focos están en el eje de “x”. Sus vértices son porque ,

además como

que los focos estarán en Las asíntotas

se definen por

.1916

22

yx

2x

0,4 4162 aa

591692 cb .0,5

.4

3xy

(-5,0) (5,0)

xyyxy4

3

4

3

3

-3

Ejercicio 2.

Determinar la ecuación de una hipérbola que tiene sus vértices en y sus focos están localizados en

0,3

0,4

Solución:

Los vértices nos indican que el eje transversal de la hipérbola esta en posición horizontal, sobre el eje de “x” implica que su ecuación es de la forma

Como para conseguir el valor de “b” usamos la

ecuación Concluimos que la ecuación de la hipérbola es

.12

2

2

2

b

y

a

x

,4&3 ca

.7734 222222 bbcba

.179

22

yx

Ejemplo 3

Dado los vértices y las asíntotas de una hipérbola, hallar la ecuación de la misma.

2,0 xy 2

Solución:

De la forma en que se dan los vértices inferimos que el eje transversal de la curva esta en posición vertical y Como las asíntotas son Así, la

ecuación buscada es Para ubicar los focos usamos la fórmula,

,entonces los focos están en

.2a.122 b

b

axy

.14

22

xy

5512 222222 cccba .5,0

Secciones cónicas con su centro fuera del origen: Traslaciones

Comentarios:

Las técnicas o transformaciones de trazo de curvas o gráficas comunes son válidas y aplicadas a las cónicas mediante fórmulas de traslado del origen (0,0) como centro, a un lugar (h, k) que funge como nuevo centro de la cónica trasladada.

Traslación de Gráficas de Ecuaciones

Si h& k son números reales positivos, al reemplazar x-h o por x+h , y de igual forma sustituimos a por y-k o por y+k se deducen los siguientes efectos en las curvas de cualquier ecuación en el plano cartesiano.

Sustitución Efecto en la gráfica

i. Si reemplazamos a, x por x-h Se traslada horizontalmente h unidades a la derecha.

ii. Si reemplazamos a, x por x+h Se traslada horizontalmente h unidades a la izquierda

iii. Si reemplazamos a, y por y-k Se traslada verticalmente k unidades hacia arriba

iv. Si reemplazamos a, y por y+k Se traslada verticalmente k unidades hacia abajo

Comentarios:

Logramos lo mismo si hacemos

kyykyy

hxxhxx

'&'

'.2&'.1

Cuando aplicamos estas ecuaciones a las formas básicas de las cónicas, obtenemos

las siguientes ecuaciones de cónicas trasladadas.

Ecuaciones de las Cónicas

Ecuaciones con vértice o Ecuaciones con vértice o centro en el origen (0;0) centro en (h,k)

2

2

4 , AHAri 0

4 , AHAba 0

x h p y k si p

x h p y k si p

2

2

4 , 0

4 , 0

y px AHDer p

y px AHIzq p

2

2

4 , AHDer si 0

4 , AHIzq si 0

y k p x h p

y k p x h p

2 2

2 2

2 2

2 2

1, CEMH

1, CEMV

.

x y

a b

x y

b aen ambos casos el CEO

2 2

2 2

2 2

2 2

1,

1, CEMV

CE , .

x h y kCEMH

a b

x h y k

b aen ambos casos el en h k

2 2

2 2

2 2

2 2

1,

1,

.

x yCETH

a b

y xCETV

a ben ambos casos el CEO

2 2

2 2

2 2

2 2

1, CETH

1, CETV

CE , .

x h y k

a b

y k x h

a ben ambos casos el en h k

2

2

4 , AHAri si 0

4 p , AHAba si 0

x p y p

x y p

Ejemplo 1

Analizar la siguiente ecuación de una elipse trasladada,

.1

9

2

4

1 22

yx

Solución:

Ver que la posición del eje mayor es vértical. Sea , la ecuación de la elipse con centro en el origen, idéntica a

con tenemos la misma gráfica pero con las condiciones siguientes:

19

'

4

' 22

yx

2 21 2

1,4 9

x y

2'&1' yyxx

49

0,0 2,1,20,10 kh

3,0&3,0 1,1&5,123,10&23,10 0,2&0,2 2,3&2,120,12&20,12

Sistema “original” Sistema“trasladado”

Centro

Extremos de los ejes: Vertical: Mayor

Horizontal: Menor

5,5494&9 2222 cqueasiccba

.52,125,105,0

52,125,105,0

Para buscar las coordenadas de los focos, primero determinamos las coordenadas de estos antes de ser trasladadas. Como

Las nuevas coordenadas de los focos comparadas con las originales son: Focos

Ejemplo 2

Dada la ecuación de la parábola trasladada ,

determina su vértice, foco y la directriz de la misma.

28842 yxx

Solución:

Transformamos la ecuación dada a la forma estándar, por medio de la complexión del

cuadrado. Añadimos

para completar cuadrado.

Parábola trasladada del origen al centro .

2 4 4 8 28 4x x y 242/1

382

24822

2

yx

yx

, 2,3h k

Ver que es una parábola que abre hacia arriba, con vértice en que se traslado 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba. Como el foco está 2 unidades arriba del vértice, y su directriz está 2 unidades abajo del vértice. Así, las coordenadas del foco son (2,5) y la ecuación de la directriz es y = 1.

3,2

284 pp

Ejemplo 3

Demostrar que la ecuación

representa una hipérbola trasladada. Diga su centro, focos y asíntotas.

163216729 22 yyxx

Solución:

Primero completamos los cuadrados en x & en y :

1621689 22 yyxx

161441612161689 22 yyxxCompletamos los cuadrados

14411649 22 yx Dividimos por 144 y obtenemos

2 24 1

116 9

x y

Hipérbola trasladada del origen.

Ver que la curva es una hipérbola con centro en (4,-1) y su eje transversal es horizontal porque el coeficiente de la variable es positivo. Además

Así, que los focos están localizados a 5 unidades a la izquierda y a la derecha del centro y sus vértices se ubican a 4 unidades en ambos lados del centro:

2222222 9&16 bacbacba

525916c

Focos: 1, 1 & 9, 1

Vértices: 0, 1 & 8, 1

Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

no trasladada son

que las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola trasladada son:

,3&4, basixa

by

xy4

3

.24

3&4

4

33

4

31 xyxyoxy

Comentarios:

El concepto de cónicas degeneradas se produce cuando la ecuación general

no son cero simultáneamente y esta puede representar un par de rectas, un sólo punto o simplemente no podemos trazar la curva.

2 2 0, &Ax Bxy Cy Dx Ey F donde A C

Ejercicios para ser discutidos:

06284)

06189)22

22

yxyxii

yxyxi

Ecuación general de una cónica trasladadaLa gráfica de la ecuación no son cero simultáneamente, representa una cónica o una cónica degenerada. Si es una cónica en verdad, entonces la gráfica será: Nota: No consideramos el termino , rotación. i)Una parábola si A o C es cero.

ii)Una elipse si A y C tienen el mismo signo.

iii)Un círculo si A & C son iguales.

iv)Una hipérbola si A y C tienen signos contrarios .

CAdondeFEyDxCyAx &,022

Bxy

Nota:

Si a la ecuación anterior le agregamos un nuevo componente, que implica una rotación

mediante un término cruzado .

La ecuación generalizada es;

no son cero simultáneamente.

Bxy

CAdondeFEyDxCyBxyAx &,022

Veamos las fórmulas de rotación de ejes en un sistema de coordenadas.

Fórmulas para rotación de ejes Un plano coordenado con ejes ,

se gira un ángulo para producir un nuevo sistema con ejes como ilustramos, entonces las coordenadas del punto original

en el plano se relacionan con el nuevo sistema mediante las siguientes ecuaciones:

xyP

,&YX

yx,xyP

XYP

cos

cos

YsenXy

senYXx

cos

cos

ysenxY

senyxX

yx&

Ilustración:

YXP

yxP

,

,

r

xX

y

Y

x

y

0

Y

X

cos

cos

rx

rX

senry

senrY

Ejemplo:

Rotación de ejes. Si los ejes coordenados se giran , determina las coordenadas en el plano del punto en el plano .

30

XYP 4,2

xyP

Solución:

Aplicamos las fórmulas de rotación de ejes con y logramos lo siguiente,

Las coordenadas en el plano son

30&4,2 yx

232

14

2

3230430cos2

senX

.3212

34

2

1230cos4302

senY

.321,32

XYP

Ejemplo 2. Rotación de una hipérbola

Verificar, que al aplicar un giro de a los ejes coordenados, la gráfica de la ecuación

es una hipérbola.

45

2xy

Solución: Aplicando las fórmulas de rotación de ejes con obtenemos 45

cos

cos

YsenXy

senYXx

45cos45

4545cos

YsenXy

senYXx

2 2

2 2

X Yx

X Yy

Ahora, sustituimos estas ecuaciones en la ecuación oroginal,dada en el ejercicio para lograr lo siguiente,

Vea que la última ecuación representa una hipérbola en el sistema de coordenadas rotado con vértices en . . Donde las ecuaciones de las asíntotas son observa que corresponden a los ejes coordenadas originales

Nota: Este ejemplo nos ilustra como se elimina el

término cruzado de la ecuación general

hacia una ecuación en el sistema coordenado rotado con el ángulo adecuado. 2 2 2 2

22 2 2 2

22 2

2 12 4 4

X Y X Y

X Y X Y

X Y X Y

XY 0,2,Y X

.xy

Bxy,022 FEyDxCyBxyAx

XY

Deducción de las fórmulas de rotación:

En general lo que hacemos es girar los ejes un ángulo , sustituimos las fórmulas de rotación en la ecuación general,

2

2

cos cos cos

cos cos

cos 0.

A X Y sen B X Y sen X sen Y

C X sen Y D X Y sen

E X sen Y F

Si expandimos la ecuación y agrupamos los términos semejantes logramos la siguiente ecuación.

2 2

2 2

2 2

' cos cos

' 2 cos cos

' cos cos

' cos

' cos

'

A A B sen C sen

B C A sen B sen

C Asen B sen C

D D E sen

E D sen E

F F

2 2' ' ' ' ' ' 0,dondeA X B XY C Y D X E Y F

Para eliminar el término cruzado , tomamos un ángulo y logramos que , esto es

XYB'

0'B

B

CA

senCAB

BsenAC

senBsenAC

2cot

22cos

02cos2

coscos2 22

Como eliminar el término cruzado de la ecuación no son ceros simultáneamente, usamos las fórmulas siguientes:

Simplificación de la ecuación general de una cónica .

Para eliminar el término cruzado de la ecuación general de una cónica

no son cero simultáneamente, se rotan los ejes el agudo que satisfaga la ecuación .

CAdondeFEyDxCyBxyAx &,022

Bxy

CAdondeFEyDxCyBxyAx &,022

B

CA 2cot

Identificación de las cónicas mediante el discriminante La gráfica de la ecuación puede ser una cónica o una cónica degenerada. Cuando no es degenerada, la gráfica es una parábola, si una elipse, si una hipérbola, si Nota: La cantidad se denomina el

discriminante de la ecuación y este es invariante bajo una rotación de un ángulo

,022 FEyDxCyBxyAx

.042 ACB

.042 ACB.042 ACB

ACB 42

.

Ejemplo 3. Eliminar el término cruzado de la ecuación dada, identifica y esquematiza la curva.

Solución:

Para lograr eliminar el término cruzado tenemos que rotar los ejes un ángulo que cumpla con la

siguiente condición;.

32134636 22 yxyx

306023

3

6

34362cot

B

CA

Ahora, usando las fórmulas de rotación de ejes tenemos:

cos

cos

YsenXy

senYXx

30cos30

3030cos

YsenXy

senYXx

2

3

2

1

2

1

2

3

YXy

YXx

Sustituimos estos valores en la ecuación original que queremos rotar,

3212

3

234

2

3

222

36

22

336

22

YXYXYXYX

3213337 22 YX321

173

22

YX

XY3&7 22 ba

7232

al expandir o desarrollar esta ecuación y combinando los términos semejantes obtenemos la siguiente:

que al dividir cada miembro de la misma por

logramos nuestro objetivo

. Esta es una elipse en el sistema de coordenadas

. Los focos están en el eje Y, donde

de manera que el eje de longitud mayor es de unidades, y el menor es de

Ilustramos:

Y y

30

X

x

32134636 22 yxyx

Comentarios:

En general, la determinación de ese ángulo de rotación no es tan fácil. Muchas veces tenemos que recurrir a fórmulas trigonométricas como las de ángulo medio cuyo dominio es limitado donde

,2/0

2

2cos1&

2

2cos1cos

sen

Ejemplo 4.

Dada la ecuación

Realiza una rotación, determinando un ángulo

para eliminar el término cruzado

Identifica y esquematiza la curva que esta

representa.

.0252015369664 22 yxyxyx

xy96

Solución:

Sabemos que

Por el enfoque triangular de la trigonometría podemos deducir de la siguiente figura;

24

7

96

36642cot

B

CA

De la figura podemos deducir que

el

2524

7 2

2

2cos1&

2

2cos1cos

sen

5

3

25

9

225

71

&5

4

25

16

225

71

cos

sen

25

72cos

Ahora aplicamos las fórmulas de rotación de ejes de la siguiente forma,

y las sustituimos en la ecuación original dada, para lograr:

cos

cos

YsenXy

senYXx

YXy

YXx

5

4

5

3

5

3

5

4

2

2

64 (4 / 5) (3 / 5) 96 (4 / 5) (3 / 5) (3 / 5) (4 / 5)

36 (3 / 5) (4 / 5) 15 (4 / 5) (3 / 5)

20 (4 / 5) (4 / 5) 25 0.

X Y X Y X Y

X Y X Y

X Y

Expandimos y combinamos los términos semejantes para lograr

Ver que es una parábola que abre hacia la parte negativa del eje Y, cuyo vértice está ubicado en (0,1) ;claro en las coordenadas XY.

Ahora foco está en (0,0) y la ecuación de la directriz Y =2 .Para determinar el ángulo de rotación

.375

4cos 1

.14025100 22 YXYX

144 pp

Ilustración:

1,0

37

Y y

X

x