SECCIONES CÓNICAS:LA HIPÉRBOLA

Prof. Carlos A. BlancoI.E.S. María de Molina (Zamora)

Eje

SECCIONES CÓNICAS (I)• Se define un cono

como una superficie de revolución que se obtiene al girar una recta llamada generatriz alrededor de una recta secante a ella llamada eje.

• El punto de corte de ambas rectas es el vértice del cono.

Generatriz

Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:

1. Si el plano es perpendicular al eje se obtiene una circunferencia.

2. Si se obtiene una elipse.

3. Si el plano es paralelo a la generatriz se obtiene una parábola.

4. Si se obtiene una hipérbola.

CircunferenciaElipseParábolaHipérbola

Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)Un experimento que se puede realizar es apuntar con una linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas secciones cónicas.

HIPÉRBOLA DEFINICIÓNUna hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, (focos), es constante.

• En la hipérbola de la figura, el punto medio del segmento que une los focos es el centro de la hipérbola.

• La recta que une los focos es el eje real.

• Su perpendicular por el centro es el eje imaginario.

Eje real

Eje imaginario

Centro

HIPÉRBOLA ELEMENTOS• son los vértices.• es el semieje real.• es el semieje imaginario.• es la semidistancia focal.• Las rectas son las asíntotas de la hipérbola

c

Asíntotas

a

b

HIPÉRBOLA RELACIÓN FUNDAMENTAL

En una hipérbola se cumple que se llama relación fundamental de la hipérbola.

c

a

b

Asimismo, y tal y como se definió en la elipse, la excentricidad es

Que en este caso será mayor que la unidad puesto que el numerador es mayor que el denominador.

HIPÉRBOLA ECUACIÓNPara hallar la ecuación de la hipérbola, suponemos que y son los focos, el semieje real y el semieje imaginario, siendo . Si es un punto de la elipse:

𝑑 (𝐹 1 ,𝑃 )−𝑑 (𝐹2 ,𝑃 )=2𝑎⟹√ (𝑥−𝑐 )2+𝑦2−√ (𝑥+𝑐 )2+𝑦2=2𝑎Operando nos queda

(𝑐2−𝑎2 ) 𝑥2−𝑎2 𝑦2=𝑎2 (𝑐2−𝑎2 )⟺𝑏2𝑥2−𝑎2 𝑦2=𝑎2𝑏2

𝑥2

𝑎2−𝑦 2

𝑏2=1

Lo que es equivalente a

Para terminar, escribimos las ecuaciones de las asíntotas, que son rectas que pasan por el centro y tienen pendientes y

y

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLASuponiendo que el centro es el origen de coordenadas, tenemos las siguientes posibilidades.

Si el centro es el punto entonces es:

ó

𝑥2

𝑎2−𝑦 2

𝑏2=1 𝑦2

𝑎2−𝑥2

𝑏2=1

Según cuál sea el eje real, siendo las asíntotas entonces:

ó

CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA• Trazamos circunferencias centradas en los focos de modo

que la diferencia de los radios sea constante.• Los puntos de intersección son los puntos de la hipérbola.

LA HIPÉRBOLA CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Fijamos un extremo de un listón a uno de los focos (En este caso )

• Del otro extremo fijamos el extremo de un hilo, cuyo otro extremo atamos al otro foco ().

• Manteniendo el hilo tenso con el lapicero movemos el listón hacia arriba para trazar una de las ramas de la hipérbola.

• La otra rama se trazaría de modo similar.

PROPIEDAD DE LA HIPÉRBOLALa tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente propiedad: 

La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores de ese punto.

Esto se traduce en que los rayos emitidos desde un foco de un hipérbola se reflejan en la rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por el otro foco.Su uso son los espejos hiperbólicos.

EJERCICIOS DE HIPÉRBOLASHay dos tipos de ejercicios de hipérbolas:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de la hipérbola a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los elementos más destacados de la hipérbola y realizar un dibujo aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la ecuación de la hipérbola en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la hipérbola en forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE HIPÉRBOLASHalla la ecuación de la hipérbola de centro el punto de , con vértice y con un foco en .

Para hallar la ecuación de una hipérbola necesitamos conocer el centro y los semiejes. Calculamos los semiejes:

𝑎=𝑑 (𝑂 , 𝐴 )=√ (5−2 )2+ (3−3 )2=3

Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental

52=𝑏2+32⟹𝑏=4Puesto que también tenemos el centro, y el eje real de la hipérbola es horizontal; la ecuación es

(𝑥−2 )2

32−

( 𝑦−3 )2

42=1

𝑐=𝑑 (𝑂 ,𝐹 )=√ (7−2 )2+ (3−3 )2=5

EJERCICIO 2 DE HIPÉRBOLASHalla todos los elementos de la hipérbola

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje real el paralelo al eje y. Hallamos pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos, los vértices y las asíntotas.

𝑐2=32+22⟹𝑐=√13,

,

,

y

, y

EJERCICIO 3 DE HIPÉRBOLASEstudia la hipérbola

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Además el semieje real es paralelo al eje x. Hallamos el resto de los elementos de la hipérbola.

𝑐2=32+42⟹𝑐=5,

,

,

y

, y

En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación reducida. (𝑥+3 )2

32−

(𝑦−2 )2

42=1

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

• En las siguientes imágenes se puede observar que las secciones cónicas cumplen las definiciones como lugares geométricos.

• Las imágenes proceden de la página http://www.aulamatematicas.org/Conicas/ConicasSeccionesCono.htm

• Para saber más sobre las esferas de Dandelin, clic aquí

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

Que es la longitud de la generatriz entre y y no depende del punto