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Respuestas Secciones Cónicas- Mg. Patricia Có 1

Respuestas Secciones Cónicas

Colaboración: María Virginia Frontini

Santiago Brun

Actividad 1: Cuando el plano que corta a la superficie es perpendicular al eje y pasa por el vértice, se obtiene un punto. Cuando el plano que corta a la superficie contiene a una de las generatrices se obtiene una recta. Cuando el plano que corta a la superficie contiene al eje se obtienen dos retas que se intersecan en el vértice de la cónica.

Actividad Opcional:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10) 11)

12) 13) 14)

Respuestas actividades Circunferencia: Actividad 2:

Actividad 3:

a) 2

19)

2

1()1( 22 −=++− yx No representan a ningún lugar geométrico b) 0)1( 22 =++ yx Representa al punto (-1,0).

Actividad 4:

1) 4)3( 22 =−+ yx 25)6()1()2 22 =−+− yx 16)1()3 22 =+− yx


10)1()1()4 22 =++− yx 98

845)

14

55()

14

11()5 22 =−++ yx

6) Son los puntos que pertenecen a una circunferencia de centro en (-1, 2) y radio 5 . 7) El conjunto solución es vacío.

8) Existen dos soluciones: 25)5()5( 22 =+++ yx y 169)13()13( 22 =+++ yx .

9) 222 1)( bbyx +=−+ , centro (0,b) y radio 21 b+ .

Actividad 5:

1) 3 x – 4 y -3 = 0 2) 2)4()2( 22 =−+− yx 13

400)4()1()3 22 =+++ yx

Actividad 6:

1) No hay intersección

2) Secante 5<k , tangente k =5, exterior 5>k .

3) 8<r Actividad 7:

π2042

cos41)1 <≤

+−=

+=t

senty

tx

( ) 4)2(3)16))2 2222 =−++=+ yxbyxa

( ) 9)2(3)4)2()1())3 2222 =++−=−++ yxbyxa

Actividad complementaria:

16)34()48(y;16)2(:soluciones Dos1) 22222 =++−=−+ yxyx

40a :exterior c) 40a :secante b) 40 a : tangentea) 2) ><±=

3) 17)1()2( 22 =++− yx 4) El área de la región cubierta por el césped es 62493 π cm2

5) Área de la corona circular : 4 π cm2

6) Área círculo: 625 π cm2


Respuestas actividades Parábola:

Actividad 9:

Ejemplo 5 Ejemplo 6

Actividad 10:

1) a) F(0, ½) d) y= - ½ b) F(-1,0) d) x= 1 c) F(3/2, 0) d) y=-3/2 d) F(0,-6) d) y=6 ½

2) a) xy 82 = b) xy 162 −= c) yx 62 −=

3) yx 62 −=

4) )32,3( ±

5) A (1,-1) B (4,2)

6) Ecuación de parábola con foco en F1(0,1/8): yx2

12 = ; Ecuación de parábola con foco en F2(0,1/2): yx 22 =

Ecuación de parábola con foco en F3(0,1): yx 42 = ; Ecuación de parábola con foco en F4(0,4): yx 162 =

Cuanto más cerca esté el foco del vértice, más se contraen las ramas de la parábola.

7) Dos soluciones yx =2 e xy 82 =

Actividad 11:

Foco: F(h+p,k) Diretriz: r) x=h-p Por definición de parábola:

( )( ) )()(),(),( 22phxkyphxrPdFPd −−=−+−−⇔=

Elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:

( )( ) 222 ))(()( phxkyphx −−=−+−−

Desarrollando:


)(4)(

2222)(

)()(2)()(2

2

2

2222

hxphy

hpxphpxpky

phphxxphphxx

−=−

−+−=−

−+−−=+++−

Actividad 12: 1) a) V(2,-2) F(4,-2) d) x=4 b) V(-1/2, 0) F(-1/2,-1) d) y=1 c) V(1/2, -1) F(4,5,-1) d) x=-3

d) V(2, 0.63) F(2, 2.63) d) y=-1.37 e) V(1,-3) F(1-3.13) d) y=-2.88 f) V(0,1) F(3/16,1) d) x=-3/4

2) a) )2(82 −= yx b) )6(4)2( 2 −=− xy c) )4(4)4( 2 −−=− yx

d) )1(4)2( 2 +−=− xy e) )2(8)2( 2 −=− xy f) )1(2

32 −−= yx

3) )4()2( 2 −−=+ xy

Actividad 13: 1) a) dos rectas paralelas b) una recta c) conjunto vacío d) parábola

2) 02 =+++ FEyDxAx

Sacando factor común A: 02 =+++A

Fy

A

Ex

A

Dx

Completando cuadrados en la variable x: A

Fy

A

E

A

D

A

Dx

A

Fy

A

E

A

D

A

Dx −−=

+=++−

+

2

22

2

22

42;0

42

,

−+

−=

+−

EA

D

E

FyA

E

A

Dx

A

E

2

2:comúnfactor Sacando

2

2

−+

−=

+

EAE

DAFyA

E

A

Dx

4

42 2

2

Vértice:

−−AE

AFD

A

D

4

4,

2

2 , Eje de simetría: A

Dx 2−=


Actividad Complementaria

1) 2,5 m del vértice.

2) La profundidad deberá ser 4

2m.

3) La distancia que más se acercaran será de 25 millones de millas.

4) Tirante 1: 19,2 m, Tirante 2: 15

278 m, Tirante 3: 18 m, Tirante 4: 17,6 m, Tirante 5: 3

52 m

Tirante 6: 17,2 m, Tirante 7: 17,2 m, Tirante 8: 3

52 m, Tirante 9: 17,6 m, Tirante 10: 18 m

Tirante 11: 15

278m, Tirante 12: 19,2 m, Tirante 13: 20 m, Tirante 14:

15

314 m

5) La longitud de las péndolas, de izquierda a derecha, cada 50 pies son:

Péndola 1: 67,6 pies, Péndola 2: 42,4 pies, Péndola 3: 24,4 pies, Péndola 4: 13,6 pies

Péndola 5: 10 pies, Péndola 6: 13,6 pies, Péndola 7: 24,4 pies, Péndola 8: 42,4 pies, Péndola 9: 67,6 pies

6) ℜ∈

+=

+=

tt

pky

thx

2

4

1

7) [ ]6,04

1 2

∈

+=

=t

tky

tx

Respuestas actividades Elipse:

Actividad 18:

1) a) vértices: ( )0,4±

focos: ( )0,7±

excentricidad: 4

7 ,

eje mayor: 8, semieje menor: 3

b) vértices: ( )8,0 ±

focos: ( )60,0 ±

excentricidad: 4

15


c) vértices: ( )6,0 ±

focos: ( )33,0 ±

excentricidad: 2

3


2) a) 1

16151

4151

22

=+yx

b) 164

2541024

22

=+yx

c) 122

1866

22

=+yx

d) 14

22 =+

yx

e) 1109100

22

=+yx f) 1

324320

22

=+yx h) 1

42

2

=+ yx

g) 11136

22

=+yx


3) a) (0,3) y (1,2) b) (-3,4), (3,4), (3,-4) y (-3,-4) c) (-2,4, 2,4), (2,4, 2,4),(2,4, -2,4),(-2,4,- 2,4)

Actividad 20:

1) a) Centro (2,0), Vértices )0,22( ± ,

Focos ( )0,32 ± , excentricidad 2

3

b) Centro (3,-3), Vértices )43,3( ±− ,

Focos ( )153,3 ±− , excentricidad 4

15

c) Centro (2,1), Vértices )1,32( ± ,

Focos ( )1,52 ± , excentricidad 3

5

2) a) 164100

22

=+yx

b) 112

)2(

16

)1( 22

=+

+− yx

c) 116

)1(

4

)3( 22

=−

+− yx

d) 1

4121

)29(

430

22

=−

+yx


3) 19

)3(

16

)4( 22

=+

+− yx

Actividad 21:

1) a) punto de coordenadas (1, -2) b) conjunto vacío c) elipse de ecuación 2

91)1()

2

3(2 22 =+++ yx

d) 12

)1( 22 =

−+

yx e) conjunto vacío e) punto de coordenadas (1,0)

2) a) F < 17 b) F = 17 c) F < 17


1) longitud del hilo 5,2π≈ m. distancia entre tachuelas ≈ 3.29 m

2) ≈e 0.00167 longitud eje mayor ≈ 299.25 longitud eje menor ≈ 299.21 3) ≈e 0.067 longitud del eje mayor ≈ 763.11 longitud eje menor ≈ 761.45

4) 110

)20(

25 2

2

2

2

=−

+yx

5) 119391942 2

2

2

2

=+yx

6) Reemplazando sentb

yt

a

x== ;cos elevando cada término al cuadrado y sumando se llega a 1cos 22

2

2

2

2

=+=+ tsentb

y

a

x

7) a) Focos en

± 23

4,0 b) Focos en ( ))0,1±

Respuestas actividades Hipérbola:

Actividad 24

1)

a) Vértices )0,2(± , Focos ( )0,5± ,

asíntotas xy2

1±= , excentricidad

2

5

b) Vértices )0,4(± , Focos ( )0,5± ,

asíntotas xy4

3±= , excentricidad

4

5

c) Vértices )1,0( ± , Focos ( )2,0 ± ,

asíntotas xy ±= , excentricidad 2


d) Vértices )3,0( ± , Focos ( )13,0 ± ,

asíntotas xy2

3±= , excentricidad 2/13

2) a) 1169

22

=−yx b) 1

124

22

=−xy c) 1

3616

22

=−yx d) 1

9/209/16

22

=−yx

3) No hay puntos de intersección, la hipérbola no se cruza con la recta. 4)

5 ) F ( )0,173 , distancia=3

Actividad 27

1) a) 15

)2(

4

2( 22

=−

−− yx

b) 14/459

)3( 22

=−− xy

c) 125

)2(

144

)3( 22

=−

−− yx

3) a) centro(-1,0), vertices ( -1±2,0),

focos ( )0,51±− , excentricidad 2

5 ,

asíntotas )1(2

1+±= xy


b) centro(-1,3), vertices ( -1,3±3),

focos ( )103,1 ±− , excentricidad 3

10,

asíntotas 3)1(3 ++±= xy

c) centro(0,2), vertices ( 0,2±2),

focos ( )132,0 ± , excentricidad 2

13,

asíntotas 23

2+±= xy

d) centro(-3,1), vertices ( -3±3

1,1),

focos

±− 1,

6

133 , excentricidad

2

13,

asíntotas 1)3(2

3++±= xy

Actividad 28

1) a) Par de rectas secantes que se cortan en el punto (3, 0), de ecuaciones 13

1,1

3

1+−=−= xyxy .

b) 1)2()1(8 22 =+−− xy , hipérbola con centro en (-2,1), vértices )2

1,2(),

2

3,2( −− ; focos )

2

52,2(±

− ,

asíntotas: 12

1,2

2

1−−=+= xyxy .

c) No representa a ningún punto.

d) Par de rectas secantes que se cortan en el punto (1, 3), de ecuaciones xyxy 3;63 =+−= .

e) No representa a ningún punto.

f) 122 =− xy , hipérbola con centro en (0,0), vértices en (0, ± 1), focos (0, 2± ); asíntotas xy ±= .

2) a) F<0 b) F>0 c) F=0. Actividad 29

a) 1

429

529

)4( 22

=−+ xy b) 1

4/255

22

=−xy


1) ( )2

2

2

2

36

9

a

y

a

x

−−

− o ( )2

2

2

2

36

9

a

y

a

x

−−

+ ; 240 yx =

2) 1)340(40 2

22

=−yx 4) [ ]

−∈

=

=π

ππ

2

3,

22,0

)(

)sec(2t

ttgy

tx

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